江西财经大学历届线性代数期末考试试卷及详细答案解析

江西财经大学

07—08第一学期期末考试试卷

【请注意：将各题题号及答案写在答题纸上，写在试卷上无效】

一、 填空题（要求在答题纸相应位置上，不写解答过程，本大题共5个小题，每小题3

分，共15分）。

1.设4⨯4矩阵A=()234,,,αγγγ，B=()234,,,βγγγ，其中,α234,,,,βγγγ均在4维列向量，且已知A =4，B =1，则行列式A B += ；

2.设A 为n 阶矩阵，A ≠0，*A 为A 的伴随矩阵，若A 有特征值λ，则*A 的一个特征值为 ；

3.设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且()R A =n-1，则线性方程组AX =0

的通解为 ；p133 4.设(

)1,2,

,T

n a a a α=，()12,,

T

n b b b β=为非零向量，且满足条件)(,0αβ=，

记n 阶矩阵T

A αβ=，则2

A = ； 5.设二阶矩阵A=712y x ⎡⎤

⎢

⎥

⎣⎦

与B=1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦相似，则x = ,y = 。

二、 单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案。并将其代号写在答题

纸相应位置处。答案错选或未选者，该题不得分。每小题3分，共15分）。

1. 设三阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则22A I -=【 】 A. 0 B. 24 C. -14 D. 20

2. 设有向量组()1112

4α=-，()20312α=，()330714α=，

()41220α=-，()521510α= 则该向量组的极大无关组是【 】

123.,,A ααα 124.,,B ααα 125.,,C ααα 1245.,,,D αααα

3. n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的【 】 A. 充分必要条件 B. 充分而非必要条件

C. 必要而非充分条件

D.即非充分也非必要条件 4.设A 为n 阶方阵，且A =0，则 【 D 】 A. A 中至少有一行（列）的元素为全为零

B. A 中必有两行（列）的元素对应成比例

C. A 中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合

D. A 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 5.设A 、B 为同阶可逆矩阵，则【 D 】 A. AB=BA

B.存在可逆矩阵P ，使1P AP B -=

C.存在可逆矩阵C ，使T C AC B =

D.存在可逆矩阵P 和Q ，使PAQ B =

三、 计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题12分）

计算行列式ab

ac ae D bd

cd de bf

cf

ef

-=-- 四、 计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题12分）

设A 满足100020001A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

满足*

A BA=2BA-8I ，求B

五、 计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题12分）

根据K 的取值求解非齐次线性方程组12312312

33

22

kx x x k x kx x x x kx ++=-⎧⎪

++=-⎨⎪++=-⎩

六、 计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题12分） 设A 为三阶矩阵，123,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足1123,A αααα=++

2232,A ααα=+ 32323,A ααα=+

（1）求三围矩阵B ，使()1

23A ααα= ()123B ααα；

（2）求矩阵A 的特征值。 七、 计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题12分）

用正交矩阵将实对称矩阵220212020A -⎡⎤

⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

对角化。 八、 证明题（要求在答题纸相应位置上写出详细证明步骤，本大题共2小题，每小题5

分，共10分）

1. 设A,B 是两个n 阶反对称矩阵，证明：AB-BA 是n 阶反对称矩阵。

2. 设1X ，2X 为某个齐次线性方程组的基础解系，证明：12X X +，122X X -也

是该齐次线性方程组的基础解系。

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4.07-08第一学期期末考试试卷参考答案

5. 试卷代码：03043A 授课课时：48

6. 课程名称：线性代数 适用对象：本科

7. 试卷命题人 试卷审核人

8.

9.

一、填空题（本大题共5个小题，每个小题3分，共15分）

10. 1.40 2.A

λ

3.111k k R ⎛⎫ ⎪ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭

4.0

5.-2，-1

11. 二、单项选择题（每个小题3分，共15分）

12. 1.C 2.B 3.B 4.D 5.D 13. 三、计算题（本题12分）

14. 1

11

1

11(6')4(6')1

1

1

D abcdef abcdef -=-=- 15. 四、计算题（本题12分） 16. ||2A =- (2')

17. *

(2)8I A BA I -= (2') 18. 而*

1

1||2A A A

A --==-故1()4I A BA I -+= (2')

19. 上式左乘A ，右乘1

A -得()4A I

B I += (2') 20. 1

4()B A I -=+ (2')

21. 1

2241422-⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

(2')

22. 五、计算题（本题12分）

23. 211||1

1(2)(1)11k

A k

k k k

==+-

24. 当2k ≠-且1k ≠时非齐次线性方程组有唯一解。