2021年高考数学重难点复习：恒成立问题

2021年高考数学重难点复习

“三招”破解不等式恒成立问题

一．方法综述

不等式恒成立问题一直是高考命题的热点，把函数问题、导数问题和不等式恒成立问题交汇命制压轴题成为一个新的热点命题方向．由不等式恒成立确定参数范围问题，常见处理方法有：① 分离参数

()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立

（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 最值法：讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.在诸多方

法中，构造函数并利用导数研究函数的单调性、最值等，是必须要考虑的解题门径.本专题举例说明《用好导数，“三招”破解不等式恒成立问题》.

二．解题策略

类型一 构造函数求最值

【例1】【2020·重庆南开中学期末】已知函数()ln x

f x ae x x =-，其中a R ∈，e 是自然对数的底数. （1）若()f x 是()0,∞+上的增函数，求实数a 的取值范围；

（2）若22a e

>，证明：()0f x >. 【分析】（1）由()f x 是()0,∞+上的增函数等价于()0f x '≥恒成立，得1ln x x a e +≥

，求()()1ln 0x x g x x e

+=>的最大值，即可得到本题答案； （2）由()e 0ln 0x a f x x x >⇔->，证明当22a e ≥时，()()e ln 0x

a F x x x x

=->的最小值大于0，即可得到本题答案.

【解析】（1）()()1ln x f x ae x '=-+，()f x 是()0,∞+上的增函数等价于()0f x '≥恒成立. 令()0f x '≥，得1ln x x a e +≥

，令()()1ln 0x x g x x e +=>.以下只需求()g x 的最大值. 求导得()11ln x g x e x x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭

，令()11ln h x x x =--，()2110h x x x '=--<， ()h x 是()0,∞+上的减函数，又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，

当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增；

当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减；

故当1x =时，()g x 取得极大值且为最大值()11g e

=，所以1a e ≥. （2）()e 0ln 0x a f x x x >⇔->，令()()e ln 0x

a F x x x x

=->， 以下证明当22a e

≥时，()F x 的最小值大于0. 求导得()()()221e 111e x x a x F x a x x x x x

-'⎡⎤=-=--⎣⎦. ①当01x <≤时，()0F x '<，()()10F x F ae ≥=>；

②当1x >时，()()()211x a x x F x e x a x ⎡⎤-'=-⎢⎥-⎣⎦

，令()()1x x G x e a x =--. 则()()

21

01x G x e a x '=+>-，又()222220ae G e a a -=-=≥， 取()1,2m ∈且使()21m e a m >-，即2211

ae m ae <<-，则()()2201m m G m e e e a m =-<-=-， 因为()()20G m G <，故()G x 存在唯一零点()01,2x ∈，即()F x 有唯一的极值点且为极小值点

()01,2x ∈，又()0000ln x ae F x x x =-，且()()0000

01x x G x e a x =-=-，即()0001x x e a x =-， 故()0001ln 1F x x x =--，因为()()020

01101F x x x '=--<-，故()0F x 是()1,2上的减函数. 所以()()021ln 20F x F >=->，所以()0F x >. 综上，当22a e

≥时，总有()0f x >. 【指点迷津】

1.首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.

2.在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候