物理论文：拔河比赛中的决胜原因

轻质绳上张力处处相等，只要站在水平地面上的另 一方手亦握紧，则就受到如此大的拉力，而脚底的 最大静摩擦力总小于G，F′＞fm，另一方被拉滑动 向前方而失败。这才是拔河比赛胜负的真正原因和 物理本质。
综上所析可知：
（1）拔河比赛中的绳质量远小于人体总质量，故 应略去不计。则无论静止、匀速运动或加速运动 （加速度又很小），绳上张力处处相等。亦即不论 那一队胜负，绳向那一方运动，两队对绳的拉力大 小总是相等的。
PB04203185
董成
拔河比赛是一种体育运动，也是一种 常见的物理现象。
质量为m的一根绳，它的两端分别受到沿 绳向外的拉力F1 和F2 ，设F1＞F2，则绳 上各处的张力如何？ 为简化问题便于研究起见，可将绳均匀 地分成质量相等的n段，且质量集中于各 n 段的一点，如图1所示。 a F2 F1
-----------------1 2 n
F − fm a= 1 = (tgθ1 − µ2 )g > 0 M
脚底就会打滑而失败。所以拔河时不可后仰 得太多就是这个道理。 根据tgφ＝µ2可知，由于µ2＜1，则必然tgφ＜1，摩 擦角φ必定小于45°。故拔河时的后仰偏角应小于 45°才好。假如橡皮鞋底与地面的摩擦系数是0.7， 则tgφ＝0.7，摩擦角φ＝35°。故穿这种鞋在该地 35 面上拔河时的后仰偏角就不应超过35°，这样才 有利于取胜。又由于拔河时的拉力为持续力，拉力 的最大值等于脚底的最大静摩擦力F≤fm，用以上 数据为例，两队可以产生的最大拉力F＝ µ2Mg=490kg，这也就是绳上的最大张力。 为获胜需后仰，在同样条件下，只要在摩擦角范围 内，谁偏角大，拉力F就大，脚底的静摩擦力就大， 谁就能获胜。假如甲队偏角大，乙队偏角小，
（三）适当后仰者获胜 （1）若甲队人员都稍作后仰，乙队人员直立，在 其它同样条件下，甲队应获胜。 设甲队后仰时与竖直方向的偏角是θ（如图4所 示），处于平衡状态时有关系式： ∑Fx=F1-f1=0… ① ∑Fy=N1-G1=0… ② 和力矩 ∑M1=F1hcosθ1-G1hsinθ1=0 ③ 从③式得F1=G1tgθ1，这表 示甲队后仰偏角θ愈大，则 为了保持平衡，手对绳的拉 力必须越大，绳拉人的力亦 越大才行，F1∝tgθ1。
拔河比赛按规则有两种情况皆算获胜：一是将绳的 中点标志拉过自己一方河界线即为获胜；另一是将 对方成员拉过中点分界线亦为获胜。为便于研究， 设甲、乙两队的总质量相等均为M，手与绳间的静 摩擦系数均为µ1，脚与地面间的静摩擦系数均为µ2， 绳的质量m<<M（可忽略不计）。 获胜的几种情况： （一）双脚前后分开者获胜 若两队人都直立着拔河，只要脚与地面间有足够大 的静摩擦系数，设甲队双脚分开距离大，乙队双脚 分开距离小，人的重心原来高度为h，其余条件均 相同，如图3所示。
假如甲队偏角大，乙队偏角小， θ1＞θ2，θ1≤φ。 则当甲达到平衡时有关系式：∑Fx＝F1-f1=0， ∑Fy=N1-G1=0和∑M1=F1hcosθ1-G1hsinθ1=0，其中 F1=G1tgθ1。而此时乙队的拉力F2＝F1，又G2＝G1， 随着手上拉力增大，脚底的静摩擦力亦增大，且增 大到相等f2=f1。并且最大静摩擦力总是相等的fm2 fm µ Mg F G ＝fm1＝µ2Mg。由于力矩F2hcosθ2＞G2hsinθ2，故 乙的合力矩∑M2=F2hcosθ2-G2hsinθ2=Jα，（J为转 动惯量，α为角加速度）乙将以脚底为轴向前发生 转动而倾倒。乙为了不倾倒，又要继续保持偏角θ2 不变，就必须移步向前或放松手中绳，如此下去就 遭致失败，甲队因此获胜。就在此时，双方对绳的 拉力依然是大小相等，绳向甲方运动。
紧张突然使用暴发力拉对方，其结果必然是双方都向前冲 去均告失败，而决无胜负之分。 事实上决没有完全相同的两个事物，两队总会有些差异的， 即使开始时差不多，但时间稍长就会有明显差别，从而产 生出胜负。故常见拔河比赛开始时双方僵持不下的局面， 而后来总会分出胜负结果，就是这个道理。
（二）真实情况
设想一个人脚抵地面上固定木桩，他能发挥足够大的拉力 （克服对方最大静摩擦力），则他完全可以通过绳将站在 水平地面上的一队人都拉过来。同样，站在地面上的一个 小孩，通过绳可以将穿冰鞋站在冰面上的一队人都拉过来。 或者是小孩手握粗糙绳端而将涂抹油的另一绳端从一队人 手中拉出来。所有这些都不是什么凭主观的“力”大就行 的问题，而是由客观的物理规律来决定的。
当绳处于静止或匀速运动时，加速度a=0，则 当绳处于静止或匀速运动时，加速度a=0，则 F1-T1=T1-T2=……=Tn-2-Tn-1= F1-T1=T1-T2=……=Tn- TnTn-1-F2=ma/n Tn由此得到F1=T1=T2=…...=Tn由此得到F1=T1=T2=…...=Tn-1=F2 绳上各点的张力均相等。 当a≠0，而绳的质量在运动物的整体中可略去不计时， a≠0，而绳的质量在运动物的整体中可略去不计时， m≈0，F1-F2=ma≈0。则亦有F1=T1=……=Tnm≈0，F1-F2=ma≈0。则亦有F1=T1=……=Tn1=F2，此时绳上各点的张力亦相等。 1=F2，此时绳上各点的张力亦相等。 故当加速度a 故当加速度a很小、绳的质量亦很小时，绳上各点的 张力均相等，即 F1=T1=……=TnF1=T1=……=Tn-1=F2
脚底的最大静摩擦力。而fm=µ2Mg是个定值。当 F1=fm=Mgtgφ=µ2Mg 时， tgφ=µ2， 这时的偏角φ叫摩擦角。只要偏角θ≤φ，脚底就不 会在地面上滑动，这称为自锁。若后仰时的偏角大 于摩擦角， F1=Mgtgθ1＞fm， 平衡遭破坏，虽然
∑F
但
y
= N1 −G = 0 1
∑F
X
= F − fm = ma ≠ 0a 1
甲队后仰偏角θ不断增大，只要在脚底最大静摩擦 力的范围内，手对绳的拉力可达到很大。一旦拉力 F1达到使乙发生转动的临界值F2时，乙队开始向前 倾倒（以前脚底为轴），乙队为不致倾倒只得放松 手中绳或是向前移步而导致失败，甲队依然处于瞬 时平衡获胜。就是在这时，绳被拉向甲方运动，甲、 乙对轻质绳的拉力大小依然相等，而不是什么“绳 向拉力大的方向运动”。 （2）如果甲乙两队人员都后仰，为了获胜，是否 这个后仰偏角越大越好？ 我们知道，为了获胜必须保持自身的起码的平衡。 如图4的甲在平衡时，拉力F1（持续力）与偏角有 关系F1=Mgtgθ1。F1随θ1而增大，但只能是F1≤fm， 即平衡时的拉力总是小于（或等于）
图1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
用整体法建立动力学方程 F1-F2=ma 得到a=(F 得到a=(F1-F2)/m 运用隔离法分析绳中各段的受力情况 第（n ）与第n 第（n-1）与第n段之间的张力是 Tn-1=F1-(n-1)(F1-F2)/n (n上述结果表明，n 上述结果表明，n为正整数， T1>T2>T3>……>Tn- ，当绳向F1方向作加速 T1>T2>T3>……>Tn-1，当绳向F1方向作加速 运动时，绳上各处的张力不等，前端的张力大， 愈往后绳上张力愈小。且绳的质量愈大、加速 度愈大这个差别就愈明显。
（2）拔河时若计较绳的质量，只有当发生加速运 动时，绳上各处张力才不相等，绳两端的拉力才不 相等。在计较绳的质量时所画的共点力，只能表 在计较绳的质量时所画的共点力， 在计较绳的质量时所画的共点力 示该点的等值反向的一对张力， 示该点的等值反向的一对张力，而决不能代表绳 的两端所受的拉力。 的两端 （3）拔河比赛不是单纯的拉绳比赛，拔河比赛中 的绳不是孤立体，它的动向取决于两队所受外力 它的动向取决于两队所受外力 的合力。 的合力。这就不能孤立的只谈绳的受力和动向，而 将绳与两队人割裂开来，绳不会孤立地发生运动， 而总是跟随一队或两队人一起发生运动的。
从平衡观点看，甲队有 ∑Fx=F1-f1=0 ∑Fy=N1-G1=0 和力矩 ∑M1=F1hsinθ1-G1hcosθ1; 乙队亦有关系式 ∑Fx=F2-f2=0 ∑Fy=N2-G2=0 和力矩 ∑M2=F2hsinθ2-G2hcosθ2。 由于两队总质量相等，故 G1=G2=Mg。 由于轻质绳上张力处处相等，故 F1=F2=T。
而θ1＜θ2 ，则 Fhsinθ1＜F2hsinθ2， G1hcosθ1＞G2hcosθ2 若甲队刚处于平衡， ∑M1=F1hsinθ1-G1hcosθ1=0 时，则必然 ∑M2=F2hsinθ2-G2hcosθ2＞0。 0 这表示此时乙队将在不平衡力矩的作用下向前方倾 倒（以前脚底为轴发生转动）。若为了避免向前倾 倒，则乙必须放松手中绳或向前移步，这就导致自 己失败。这时虽然甲胜乙负，绳被拉向甲方运动， 但绳上张力依然处处相等，甲、乙两队对绳的拉力 大小时刻相等。
θ1 − θ 2
（二）双手紧握绳者获胜 只要脚底与地面间有足够大的静摩擦力，在其它同 样条件下，谁紧握绳谁就可能获胜。设甲队握得较 紧，则甲队手绳间的最大静摩擦力fm1=Q1µ1，乙 队手绳间的最大静摩擦力fm2=Q2µ1，fm1＞fm2。 拔河时，双方都用力将绳拉向自己一方，这就使绳 上张力迅速增大，当张力达到乙队手绳间最大静摩 擦力时T=fm2，绳在甲队拉力作用下就开始从乙队 手中滑出。这时甲队手中依然是静摩擦力，而乙队 手中变为滑动摩擦力了。甲队将绳的中点标志拉过 自己一方的河界线而取胜，乙队虽败而人员并未越 出界线。也就在此时，甲乙两队对轻质绳的拉力依 然是大小相等，仅不过是静摩擦和滑动摩擦之分而 已，绳是向着甲方运动着的。
拔河比赛总是从静止开始的，故这个连结体不 论向任何方向发生运动，总得在所受外力的合 力不为零时才能发生。设M1受外力F1，M2受 外力F2，且F1>F2，连结体就具有向左的加速 度a（如图2所示）。 a 甲 乙 F2 F1 T1 T2 M1 M2 m 图2
用隔离法建立它们的动力学方程： 甲队： F1-T1=M1a ① 绳： T1-T2=ma ② 乙队： T2-F2=M2a ③ 用整体法建立的动力学方程 F1-F2=（M1＋M2＋m）a ④ 联立①②③④式解得 T1-T2=(F1-F2)[1-(M1 + M2)/(M1 + M2 +m)] 由于实际拔河时F1和F2相差不大，又 M>>m,(M1 + M2)/(M1 + M2 +m)≈1 故T1-T2≈0。 这表明，在连接体中当绳的质量远小于被连结物的质量 时，此绳两端受到的拉力大小可看作是相等的。连结体 处于静止或匀速运动时固然如此；在加速运动中，对轻 质绳两端的拉力大小亦然是相等的。此即是轻质绳上处 处张力相等的原理。
从②式又可知，主动力F1愈大，则被动力（亦称 反力）f1亦相应地增大而处于平衡。但拉力F1总不 应超过脚与地面间的最大静摩擦力。 再看乙队亦有关系式： ∑Fx=F2-f2=0 ① ∑Fy=N2-G2=0 ② 和力矩 ∑M2=F2h-G2△1=0 ③ 由③可得 F2=△1G2/h 由于跨步距的一半∆1很小，故F2不需太大就能使乙 处于转动平衡。可以说F2就是使乙不发生转动的最 小拉力，F2也就是使乙发生转动时拉力的临界值。
实际拔河比赛中决定胜负的因素是多方面的。 （一）理想情况 谁的绳不滑（µ1大）、手的握力大（Q大）以及鞋 底与地面的摩擦系数大（µ2大）、总质量大（Mg 大），谁就可能获胜。 在上述同等条件下，谁使用的方法科学，只要在摩 擦角范围内，尽量后仰（增大偏角），就能将对方 拉向前方倾倒失败而自己获胜。照此分析可知，若 两队具备同等条件，采用相同后仰偏角，在同样的 水平场地上进行拔河比赛，是否就不分胜负呢？确 实如此，只要条件和方法相同，决不会凭谁的主观 的所谓“力”大而取胜。假如有一方凭借自己的肌
真实情况是当两队实力相当时， 谁在水平地面上踩出小坑，谁 就可能获胜，这才是实际比赛 取胜的关键。这时的受力状况 发生了重大变化（如图5所示）。 只要一方蹬地面有轻 足够大的力，则地面的压力N就会很大，且方向不 再是竖直向上。压力N与重力G的合力就产生对绳 的拉力，F′=N＋G＝Gtgβ。（β为人与重垂线的夹 角）。由于是凹坑，这里的拉力不受最大静摩擦力 的限制，故β可以超过45°。譬如当β=60°时，拉 力F′=Gtg60°=1.7G；β=75°，F=3.7G；……。 只要小坑不破裂坍塌，则可以对绳产生非常大的拉 力。