4数列求和(1)

第四节数列求和

、基础知识

1. 公式法

(1)等差数列｛a n｝的前n项和S n = n®1]* = na j + 卑—

推导方法：倒序相加法.

严1, q = 1,

⑵等比数列｛a n｝的前n项和S n = a1(1-q n) q^ 1 L. 1 q

推导方法：乘公比，错位相减法.

⑶一些常见的数列的前n项和:

①1 + 2+ 3+…+ n =吨严

②2+4+6+…+ 2n= n(n+ 1);

③ 1 + 3+5+…+ 2n— 1 = n2

2. 几种数列求和的常用方法

(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.

⑵裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得前n项和.

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.

⑷倒序相加法：如果一个数列｛a n｝与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.

考点一分组转化法求和

［典例］

n 2 + n

已知数列｛ a n ｝的前n 项和S n = —2—，n € N . (1)求数列｛a n ｝的通项公式；

⑵设b n = 2a n + (— 1)n a n ，求数列｛b n ｝的前2n 项和. [解](1)当 n = 1 时，a 1= S 1= 1; 2 2 当 n >2 时，a n = S n -S n — 1=

又a 1= 1也满足a n = n ,故数列｛a *｝的通项公式为a n = n. ⑵由⑴知 a n = n ,

故 b n = 2"+

( — 1)

n n.

记数列｛b n ｝的前2n 项和为T 2n ,

则 T 2n = (21 + 2?+ …+ 22n )+ (— 1 + 2— 3 +4—…+ 2n). 记 A =:勺 + :2+ …+ 22n , B =— 1 + 2— 3 + 4—…+ 2n , 则 A =红1二幼 22n +

1 — 2,

1 — 2

B = (— 1 + 2) + (— 3 + 4) +…+ [ — (2n — 1) + 2n] = n. 故数列｛b n ｝的前2n 项和

［解题技法］

1.分组转化求和的通法 若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数

解析：选C

T 2n = A + B = 22n +

1+ n — 2.

数列求和应从通项入手, 列或等比数列或可求数列的前

n 项和的数列求和.

2.分组转化法求和的常见类型

厂I 叫=也士*・，血｝, 为等差或竽

分组求和

［题组训练］

1.

已知数列｛a n ｝的通项公式是a n = 2n — g),则其前20项和为( )

379 + 2^ B . 399 + 220 C . 419 + 尹

D . 439 + 220

1

2. 已知数列｛a n ｝

中, a 1 = a 2= 1, a n +2= ［an + 2, n 是奇数，

仁，n 是偶数，则数列｛an ｝的前20项和为

1 121 B . 1 12

2 C . 1 12

3 D . 1 124

解析：选C 考点二裂项相消法求和 ［解题技法］

1.用裂项法求和的裂项原则及消项规律

2.常见的拆项公式

1 = 1- __|

⑴n (n + 1 ) n n + 1 ；

_= 1( 1 - __________ .

⑵(2 n - 1 )(2 n + 1 = 2^门—1 2n + 1

丿；

⑶乔k =时"；

⑷ 2n =

⑷(2n — 1 j(2n +

1 - 1) 2n - 1

2n +

1- 1.

1

考法(一)形如a n =

型

n (n + k )

［典例］已知等差数列｛a n ｝满足a 3= 7, 85+ a 7= 26. (1)求等差数列｛a n ｝的通项公式;

⑵设C n =^^, n € N *，求数列｛C n ｝的前n 项和T n .

a n a n +

1

考法(二)形如a n =

—

尸型 V n +k +V n

1

［典例］已知函数f(x)= X a的图象过点(4,2)，令a n= f(n+ 1 Z f(n)' n e ".记数列｛瑞的前n项和为S n，贝y S2 019=( )

A^2 018- 1 B^2 019- 1

C72 020—1 D.\/2 020 + 1

［答案］C

［题组训

练］

1.在等差数列｛a n｝中, a3+ a5+ a7= 6, a11= 8,则数列i a n+3 a n.4J的前n项和为(

)

n+ 1 n

B.n + 2

n C.n+ 1

2n D.乔

解析：选C

2.各项均为正数的等比数列｛a n｝中，a1= 8,且2a1, a3,3a2成等差数列.

(1)求数列｛a n｝的通项公式；

1

⑵若数列｛b n｝满足b n= 求｛b n｝的前n项和S n.

考点三错位相减法