数学建模习题

数学建模与数学实验课程练习

练习集锦

1简述数学建模的一般过程及建模过程中需要注意的问题。 2 简述数学模型及数学建模的特点。 3 简述数学建模的常用分类方法。

4求方程 06

/12

625

.05

.04

)(=------=x

x

x

x f 的模最大的根的近似值（精

确到小数点后两位）。

5在抢渡长江模型中，如果水流速度 1.8/v m s =为常数，人的游泳速度

1.5/u m s =为常数，江面宽度为1200H m =，终点位置在起点下游1000L m =处的条件，确定游泳者的最佳游泳路径及最短游泳时间。

6沿江的某一侧区域将建两个水厂，在江边建一个取水口。现需要设计最优的管线铺设方案，通过管线从取水口向水厂送水。水厂与江岸的位置见右图。

如果不用共用管线，城区单位建设费用是郊区的2倍。 （1） 对于最优方案，用α表示,βγ。 （2） 求最优取水口位

置。

7在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵

(,0)

P x

31/52a b P c d e f ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

， （1）确定矩阵P 的未知元素。 （2）求P 模最大特征值。

（3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取）。 8在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵

322P ⎡

⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，（1）将矩阵P 元素补全。 （2）求P 模最

大特征值。

（3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取）。 9考虑下表数据

(1)用曲改直的思想确定经验公式形式。 （2）用最小二乘法确定经验公式系数。 10考虑微分方程

(0.2)0.0001(0.4)0.00001dx

x xy dt

dy y xy dt

εε⎧=--⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩

（1）在像平面上解此微分方程组。（2）计算0ε=时的周期平均值。（3）计算0.1ε=时，y 的周期平均值占总量的周期平均值的比例变化了多少？%)

11考虑种群增长模型 '()(1/1000),(0)200x t kx x x =-= （1）解此微分方程。（2）根据下表数据估计参数k 值。

12 假设容积为1000003m 的某湖泊已经受到某种物质污染，污染物在湖中分布均匀，若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源，并更新湖水（此处更新指用新鲜水替换污染水），设湖水更新速率是

310(m s

单位：）。 （1） 试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型？ 求出污染物浓度降为控制前的5%所需要的时间。（）

13假如保险公司请你帮他们设计一个险种:35岁起保,每月交费400元,60岁开始领取养老金,每月养老金标准为３６００元，请估算该保险费月利率为多少（保留3位有效数字）？（）

14 某校共有学生40000人，平时均在学生食堂就餐。该校共有,,A B C 3

个学生食堂。经过近一年的统计观测发现：A 食堂分别有10%，25%的学生经常去B ，C 食堂就餐，B 食堂经常分别有15%，25%的同学去A ，C 食堂就餐，C 食堂分别有20%，20%的同学去A ，B 食堂就餐。 （1）建立该问题的数学模型。（2）确定该校3个食堂的大致就餐人数。

15 已知一阶差分方程100.80.3,

0.6n n y y y +=+=。

（1）求该差分方程平衡点。 （2）求n y 表达式。 16某种群至多只能活3岁，且按年观测的Leilie 矩阵

230.400,00.70L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

（1）该种群稳定后年增长率为多少，稳定的年龄结构是什么？ （2）在稳定的条件下，如果想只通过改变3龄组生育率来保持该种群数量上的稳定，请问该龄组生育率应该是多少？（）

17. 某人决定用10万元投资A 、B 、C 、D 四支股票，已知购买时四支股票股价分别为每股10元，15元，30元，95元，股市交易要求购买的每支股票数量以手为单位,至少为1手（1手=100股），四只股票的预期收益率分别为30%,20%,50%和15%，如果希望持有股票数量不超过80手，为了使得收益达到最大，请为他的投资建立合适的数学模型，并判断该数学模型的类型。不需要求出具体数值结果。 18小李夫妇曾经准备申请商业贷款20万元用于购房，每月还款元，25年还清。此时，房产商介绍的一家金融机构提出：贷款20万元，每半月还款元，22年还清，但贷款时，应先预付8000元，以后每次按半月还款。小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少3年还款期意味减少还款近3万2千元，而且每月多跑一趟，也不算什么，这家机构的条件还是优惠的。

（1）商业贷款的利率是多少？ （2）分析金融机构的条件是否优惠。

19. 一家油运公司每天具有5000吨的运力，由于油轮货舱容积的限

制，公司每天只能运输500003m的货物，每天可供运输的货物数量如下：

请建立该问题利润最大的优化模型（不需求解）

20.考虑下图所描述的最短路问题。

（1）给出下图从点1到点7的邻接矩阵。

（2）建立该问题最短路的优化模型。

（3）给出该问题的最优结果。

10

21考虑下图所描述的最短路问题。

（1）写出从位置1到位置9的最短路的数学模型 。 （2）给出从位置1经过位置5到位置9的最短路。 （3）给出从位置1到位置9的最短路。

22某零件寿命X （单位：月）的分布函数为[]2

140,

0(),

0,21,2t F t t t t t <⎧⎪=-∈⎨⎪>⎩

。 零件损坏时更换和预防性更换费用分别为3万元和2万元。 （1）请建立数学模型，讨论是否存在最佳预防性更换策略。 （2）如果存在，求出最佳更换时间和单位时间最小损失(要求算出具体数值结果)。如果不存在，请说明理由。

23某零件寿命X 为服从均匀分布的随机变量，假设零件最大使用寿命为6个月。零件损坏时更换和预防性更换费用分别为5万元和1万元。

（1）请建立数学模型，讨论是否存在最佳预防性更换策略。 （2）如果存在，求出最佳更换时间和单位时间最小损失(要求算出具体数值结果)。

如果不存在，请说明理由。