大工《复变函数与积分变换》模拟试卷B

机 密★启用前
大连理工大学网络教育学院
2015年3月份《复变函数与积分变换》课程考试
模 拟 试 卷
考试形式：闭卷 试卷类型：（B ）
☆ 注意事项：本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。

学习中心______________ 姓名____________ 学号____________
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1、复数)
2)(3()
2)(3(i i i i z +--+=的模为（ A ）
A 、1
B 、2
C 、
2
1 D 、3
2、设z
i
e i =，则=z Re （ B ）
A 、
2π B 、2
π-
C 、π
D 、π-
3、函数z z f 5sin )(=的周期是（ C ）
A 、
2π B 、
5
π C 、5
2π
D 、π2
4、对函数2)(z z z f ⋅=可导与解析的描述以下正确的是（ D ） A 、2)(z z z f ⋅=处处可导，处处解析 B 、2)(z z z f ⋅=处处不可导，处处不解析 C 、2)(z z z f ⋅=仅在0=z 处可导，处处解析
D 、2)(z z z f ⋅=仅在0=z 处可导，处处不解析
5、⎰==-+-2
||2112z dz z z z （ A ）
A 、i π4
B 、i π2
C 、i π
D 、0
6、函数
2
1
z 在点10=z 处的泰勒展式为（ A ） A 、
1|1z |)1)(1()
1(0<--+-∑∞
=，n
n n
z n
B 、
1|1z |)1)(1(0<--+∑∞
=，
n n
z n C 、
1|1z |)1()
1(0
<---∑∞
=，n
n n
z n
D 、
1|1-z |)1)(1()
1(0
<---∑∞
=，n n n
z n
7、设z
z z f 1
sin
)(2
=，则=]0),([Re z f s （ A ） A 、
!31- B 、
!31 C 、3
1-
D 、3
1
8、利用留数计算积分⎰=n
z n dz z ||()tan(π为正整数)的值为（ B ）
A 、i n 4
B 、i n 4-
C 、n 4
D 、n 4-
9、已知t t t f sin cos )(=，则F =)]([t f （ A ） A 、
)]2()2([2
--+ωδωδπi
B 、
)]2()2([2
-++ωδωδπi
C 、)]2()2([--+ωδωδπi
D 、)]2()2([-++ωδωδπi
10、在区间],0[+∞上的卷积=≠*)0(sin sin k t k t k （ B ）
A 、
k t k t k t 2sin cos 21
+ B 、k
t k t k t 2sin cos 21
+-
C 、k
t k t k t 2sin cos 21
-- D 、
k
t k t k t 2sin cos 21
-
二、填空题（本大题共10小题，每小题3
分，共30分）
1、6
)1(i +的值为i 8-。

2、i 22+的三角形式为
)4sin 4(cos 22ππi +)
34
arctan (5ln -+πi 3、已知iv u z f +=)(是解析函数，其中)ln(2
1
22y x u +=
，则=∂∂y v 22y x x + 。

4、设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→z
z f z 1
)(lim
i +1。

5、判断级数∑∞
=1n n
n
i 的敛散性为（若收敛，请回答是绝对收敛还是条件收敛）条件收敛。

6、1=z 是函数2
)1()(-=
z z
z f 的 2 级极点。

7、分式线性映射z
1
=
ω通常称为 反演 映射。

8、映射2
z w =在10=z 下的旋转角为0=θ，伸缩率为___2_____。

9、已知函数⎩⎨
⎧≥<≤=2
,320,2)(t t t f ，则)(t f 的拉普拉斯变换L =)]([t f )2(12s
e s -+。

10、已知函数2
)
1(1
)(-=s s s F ，则)(s F 的拉普拉斯逆变换1
-L =)]([s F t t te e +-1。

三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）
1、如果)(z f 在点0z 处连续，)(z f 在点0z 处是否连续？
解法1：设),(),()(y x iv y x u z f +=，那么),(),()(y x iv y x u z f -=。

（2分） 由于)(z f 在点000iy x z +=处连续，则),(y x u 与),(y x v 在),(00y x 处必连续。

（3分）
既然),(y x v 在),(00y x 处连续，那么),(y x v -在),(00y x 也连续，从而)(z f 在点0z 处连续。

（3分） 解法2：因为|)()(||)()(||)()(|000z f z f z f z f z f z f -=-=-（2分）
又因)(z f 在点0z 处连续，所以对于任意给定的0>ε，必存在一个正数)(εδ，当δ<-||0z z 时，
ε<-|)()(|0z f z f ，（3分）从而当δ<-||0z z 时，有ε<-|)()(|0z f z f 。

所以)(z f 在点0z 处也连续。

（3分）
2、求函数z
e
z f z
-=
1)(1在奇点0=z 处的留数 解：函数)(z f 的奇点为0=z 和1=z ，故应在1||0<<z 内展开)(z f 为洛朗级数（2分）：
)!1
!2111()1(1)(221
+++++⋅+++++=-=
n
n z
z n z z z z z z e z f （2分） ++++++=)!
1
!211(1n z （2分）
即1)!1
!211(]0),([Re 1-=++++==-e n C z f s （2分）
3、指出函数4
29
)(z
z z f +=的所有零点，并指明其阶数。

解：4
42)
3)(3(9z i z i z z z -+=+，（4分）显然i z 3±=为其一阶零点。

（4分） 4、求下列积分dt te t ⎰
+∞
-0
2的值
解：
=⎰
+∞
-dt te t 0
2L 2][=s t （3分）22
1==
s s （3分）4
1
=
（2分） 5、将)
1()
1()(2-+=
z z z z f 分别在圆环域1||0<<z 和+∞<<||1z 内展为洛朗级数
解：用待定系数法分解)(z f 为部分分式：
1
2
21)(2-+
--
=z z z z f （1）在1||0<<z 内展为洛朗级数
z z z
z f ----
=11
221)(2
（2分） ]1[22
1322 ++++---=z z z z z
+------=32222222
1z z z z
z （2分）
（2）在+∞<<||
1z 内展为洛朗级数
)/1(11221)(2
z z z z
z f -+--
=（2分） ]1111[2213
22 +++++--
=z z z z z z +++=4322
21z z z （2分） 四、证明题（本大题1小题，共10分）
设=)(ωF F )]([t f ，证明：函数)(t f 为实值函数的充要条件为)()(ωω-=F F 。

证明：（1）必要性：若函数)(t f 为实值函数，由dt e t f F t i ⎰
+∞
-∞
-=
ωω)()(（1分）有
dt e t f dt e
t f F t i t
i ⎰
⎰
+∞
-∞-+∞
-∞
-==ωωω)()()(（2分）
)()()()(ωωω-===⎰
⎰
+∞
-∞
--+∞
-∞
F dt e t f dt e t f t i t
i （2分）
（2）充分性：若)()(ωω-=F F ，由ωωπ
ωd e F t f t i ⎰
+∞
-∞
=
)(21)(（1分）有
⎰
⎰
+∞
-∞
-+∞
-∞
-=
=
ωωπ
ωωπ
ωωd e F d e F t f t i t i )(21)(21)(（2分）
令ζω=-，则)()(21
)(t f d e F t f t i ==
⎰
+∞
-∞
ζζπ
ζ（2分）
因此函数)(t f 应为实值函数。