多移动机器人的分布式编队与避障控制
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摘 要：本文主要针对含有非完整约束的多移动机器人系统，讨论了多机器人的分布式编队控制问题。通过连续时变 状态反馈控制方法和图论知识，设计了一种能够实现机器人编队的队形控制律，利用位置相关的势能函数的避障控制 律使得机器人与其相邻机器人和外界障碍物不发生碰撞，仿真说明了这两种控制律的有效性。 关键词：多移动机器人系统，分布式编队控制，非完整移动机器人
1 引言(Introductions)1
近些年来，多移动机器人系统的分布式控制已经 成为国际控制界一个热点。分布式控制的成功，使得 以前单个机器人难以完成的任务，现在可以由多个机 器人通过信息交互来实现。在此类问题控制中，多移 动机器人的分布式编队控制因不需要中央控制和全 局信息，引起广大研究者的兴趣。由于分布式编队控 制系统中的机器人只能通过有限的传感能力和单向 通讯能力来实现编队，这就给控制带来了巨大的挑 战。
含有非完整约束的多机器人分布式编队控制律才是
工程应用领域的研究者关心的问题。
目前，针对含有非完整约束的多机器人系统的分 布式编队控制问题的研究甚少。对于非完整约束的移 动机器人，根据 Brockett 关于渐进反馈镇定系统的必 要条件的限制[8]，使得此类系统不存在可微(甚至连续) 的时不变的纯状态反馈控制使其稳定到一点。Lin[2] 和 Yamaguchi[6]采用时变状态反馈控制方法，通过平 均化方法分析了多机器人达到任意队形的充要条件。
i 视为一个障碍物，由于各个机器人的 ds 是相同的， 机器人 i 也被机器人 j 视为障碍物。这样机器人 i 的相
邻机器人障碍物的集合可以表示为
{ } Nbi = z j - zi ≤ ds 。[3]引入动态虚拟机器人 zk 来
描述与机器人相邻外界障碍物 Ok ， zk 是 Ok 边缘上的 一点，满足 zk = arg min xÎOk x - zi ，如图 1 所示。当
一致性问题原是计算机科学中的一个历史问题， 但最近它在多移动机器人的分布式控制中得到新的 深入的研究。Olfati-Saber 和 Murray[7]利用有向强连通 图解决了单积分器网络的平均一致问题。Ren[1]根据 有向图的邻接矩阵的特征值分析了二阶积分模型下 的多机器人位置一致性和速度一致性的问题。同时， 文章还指出在有向连通图的单积分网络模型下的多 机器人系统一致性的充分必要条件不一定能沿用到 二阶积分模型多机器人一致控制中。Tanner[4]利用连 通图和局部控制律使得非完整约束的机器人的速率 和方向渐进达到一致。
运动在同一平面的机器人间通信关系可用有向 图表示。视机器人为图中的节点，它们间队形控制的 信息流用有向边表示，则多机器人间的队形关系可以
表示为有向图 G = (V , E) ，其中V = {1,L, N} 为机器人
的集合，E 表示有向边的集合。如果在有向队形图中 节点 i 存在有向边到达节点 j ，这就意味着机器人 i 可 以接收机器人 j 的信息，机器人 j 是机器人 i 相邻节
s1 ( z) = z 1+ z2 。有限避障势能函数定义为
ò y b (z) =
z dss
fb
(s)ds
(5)
2.4 问题的描述 (Problem Statement)
根据机器人自己和相邻机器人以及外部环境设 计分布式编队控制律，使得多机器人能够在运动中实 现并保持队形，机器人与相邻的机器人之间不发生碰 撞，并能绕开外界的障碍物到达目的地。
多移动机器人的编队控制中，避障是一个非常关 键的问题。机器人的避障包括运动过程中机器人间的 躲避以及躲避外界环境中的障碍物。[1,2,9]的编队控 制中没有考虑避障问题。虽然[6]加入了避障控制，但 是避障控制是不连续的，避障效果如何也没有理论分 析。Tanner[4]利用位置势能函数实现了智能体间的避 障，但是避障势能不是有限的，这显然与实际不符。 为了克服这个缺陷，Olfati-Saber[3]和 Chang[5]分别利 用有限避障势能函数和有限避障作用力来设计多智 能体的避障控制。
外界障碍物 Ok 为机器人 i 一个相邻障碍物，机器人 i 相
{ } 邻外界障碍物集合可以表示为 Ngi = zk - zi ≤ ds 。
令 bi, j 描述机器人与障碍物的邻接关系，其中 i ÎV ，
j Î Nbi È Ng i 。由[3]，可以得到 bi, j 是关于 z j - zi s 的
连 续 函 数 ， 当 z j - zi s ≤ ds s 时 bi, j = 1 ， 其 中
Rk
球形障碍 (3)
其 中 m = Rk zi - yk ， ak = ( zi - yk ) zi - yk ，
P
=
I
-
a
ka
T k
。
类似[3]，避障作用力定义为
( ) fb (z) = bi, j s1 ( z - dss ) -1
(4)
其中 z 表示机器人与障碍物间的距离，
个对角矩阵，对角线上的元素为对应节点的出度。
过去的 20 年中，很多研究者在不考虑机器人本 身动力学的情况下对多机器人的编队控制问题作了 大量的工作，并已经取得了一些成果。Fax 和 Murray[9] 利用有向强连通图的 Laplacians 矩阵设计了多机器人
的编队控制器。Olfati-Saber[3]位置势能函数来实现多 智能体的群体控制。但是，实际中的机器人是一个含 有非完整约束的系统，如何利用上述控制方法来设计
Distributed Formation Control of Multiple Nonholonomic Mobile Robots
Chen Yangyang, Tian Yuping
School of Automatic control, Southeast University, Nanjing 210096, P. R. China E-mail: yptian@seu.edu.cn
对含有非完整约束的多移动机器人系统分布式
编队控制问题，只有运动过程中机器人间不发生碰撞
并能绕开外界障碍物，多机器人系统才能最终实现编 队控制。所以本文在控制过程中，将编队控制分成两
个子问题：队形控制问题和避障控制问题。由于移动
* 此 项 工 作得 到 国 家自 然 科 学基 金 资助, 项 目 批准 号:60425308, 60673058；863 项目，项目批准号:2006AA04Z263；江苏省自然科学基金， 项目批准号:BK2006097。
2.3 障碍描述和避障势能函数(Obstacles and Potential Function)
机器人在运动过程中的障碍物包括两类，一类是 相邻的机器人，一类是外界环境中的障碍物。令 ds 为 机器人检测障碍物的传感器的检测范围，当机器人 j 与机器人 i 的距离 z j - zi ≤ ds 时，机器人 j 被机器人
2.1 移动机器人模型 (Model of Mobile Robot)
在多机器人系统中，具有非完整约束的移动机器
人的动力学方程为：
ìx&i = vi cosqi
ïïïíqy&&ii
= vi sinqi = wi
(1)
ï ï
v&i
=
ai
ïîw&i = ti
动态虚拟机器人与机器人 i 的距离 zk - zi ≤ ds 时，
模型，则得到
å ( ) ai = -k1v + aij (z) z j - hj - zi + hi × ri + k2
jÎNai
( ) å aij (z) vj - vi
(6a)
jÎNai
ti = - sin(t)
(6b)
其中 k1, k2 > 0 的常数。
本文将目的地 zD 视为多机器人系统中的一个虚
图 1 外界障碍物
[3]还具体给出了动态虚拟机器人位置和速度的
具体形式。对于墙形障碍物，记障碍物表面上一点 yk
向的量单，位动法态向z虚量k =拟为P机azik 器+，(人Iri -的为P位机) y置器k ,人zvrkk和i =的速P运v度ir动i vrk方为向的单(位2)
其 物中 ，虚P 拟= I机z-k器a=k人amkTz的i。+位对(1置于- zm球k )和心yk速为, v度rkyk=vr半km为径Pv为iri
拟机器人，记为机器人 1，即 z1 = zD ，v1 = 0 ，h1 = 0 。
注意该机器人并不是中心控制器，既不能向其他所有
机器人广播信息也不能接收其他机器人的信息。
考虑到机器人只有在运动中不与障碍物发生碰 撞，才能保证机器人完成队形并且最终到达目的地， 所以，我们将分别设计队形控制律来完成多机器人系 统的队形控制和避障控制律来实现机器人即不与相 邻的机器人之间发生碰撞，也不与外界的障碍物发生 碰撞。
279
3 多移动机器人分布式编队控制律设计 (Controller Design)
3.1 队形控制律设计(Control Law for Formation)
考虑到移动机器人只能在垂直Biblioteka Baidu车轴方向上运
动，令 ri (t) = éëcos(qi (t)),sin (qi (t))ùûT 表示机器人 i 的运
动方向的单位向量。多机器人系统期望的几何队形为
h = [h1, h2 ,..., hn ]T 。将[2]的队形控制律推广到动力学
机器人是一个典型的非完整系统，机器人的控制采用 时变状态反馈控制的方法，与[2]和[6]所不同的是控
278
制的模型是机器人的动力学模型。此外，利用[3]中有 限势能函数的思想来设计避障控制律，实现运动过程 中机器人间不发生碰撞并能绕开外界障碍物。
2 模 型 及 问 题 描 述 (Model and Problem Statement)
z s
=
1 e
é êë
1+e
z2
-1ùúû (e > 0) 。
其中 zi = [xi , yi ]T 为机器人 i 重心在平面上的坐标， vi 为重心平移的线速度的大小，qi 为前进的方向，wi 是 机器人角速度的大小。 ai 和ti 分别是控制力矩和转 矩。
2.2 通信拓扑(Communication Topology)
Abstract: This paper deals with the distributed formation control problem of multiple nonholonomic mobile robots. By using smooth time-varying feedback control approach and graph theory, a distributed formation control law is designed, which can achieve formation of a system of multiple nonholonomic mobile robots. Based on potential function, a control law for obstacle collision avoidance is constructed. Simulation results prove the validity of the proposed control laws. Key Words: Multi-agent System, Distributed Formation Control, Nonholonomic Mobile Robots
Proceedings of the 26th Chinese Control Conference July 26-31, 2007, Zhangjiajie, Hunan, China
多移动机器人的分布式编队与避障控制*
陈杨杨，田玉平
东南大学自动化学院, 南京 210069 E-mail: yptian@seu.edu.cn
点，相邻节点集合可以用 Nai = {(i, j ) Î E} 表示。我们
假设 Nai 是时不变的，即信息流拓扑是静态的。如果 图中其他所有节点都可以通过有向路径到达节点 i ， 则节点 i 被称为全局可达节点。有向队形图的邻接矩
阵定义为 A = éëaij ùû ，满足 aii = 0 且 aij = 1当 (i, j ) Î E 。 Laplacian 矩阵定义为 L = D ( A) - A ，其中 D ( A) 是一
1 引言(Introductions)1
近些年来，多移动机器人系统的分布式控制已经 成为国际控制界一个热点。分布式控制的成功，使得 以前单个机器人难以完成的任务，现在可以由多个机 器人通过信息交互来实现。在此类问题控制中，多移 动机器人的分布式编队控制因不需要中央控制和全 局信息，引起广大研究者的兴趣。由于分布式编队控 制系统中的机器人只能通过有限的传感能力和单向 通讯能力来实现编队，这就给控制带来了巨大的挑 战。
含有非完整约束的多机器人分布式编队控制律才是
工程应用领域的研究者关心的问题。
目前，针对含有非完整约束的多机器人系统的分 布式编队控制问题的研究甚少。对于非完整约束的移 动机器人，根据 Brockett 关于渐进反馈镇定系统的必 要条件的限制[8]，使得此类系统不存在可微(甚至连续) 的时不变的纯状态反馈控制使其稳定到一点。Lin[2] 和 Yamaguchi[6]采用时变状态反馈控制方法，通过平 均化方法分析了多机器人达到任意队形的充要条件。
i 视为一个障碍物，由于各个机器人的 ds 是相同的， 机器人 i 也被机器人 j 视为障碍物。这样机器人 i 的相
邻机器人障碍物的集合可以表示为
{ } Nbi = z j - zi ≤ ds 。[3]引入动态虚拟机器人 zk 来
描述与机器人相邻外界障碍物 Ok ， zk 是 Ok 边缘上的 一点，满足 zk = arg min xÎOk x - zi ，如图 1 所示。当
一致性问题原是计算机科学中的一个历史问题， 但最近它在多移动机器人的分布式控制中得到新的 深入的研究。Olfati-Saber 和 Murray[7]利用有向强连通 图解决了单积分器网络的平均一致问题。Ren[1]根据 有向图的邻接矩阵的特征值分析了二阶积分模型下 的多机器人位置一致性和速度一致性的问题。同时， 文章还指出在有向连通图的单积分网络模型下的多 机器人系统一致性的充分必要条件不一定能沿用到 二阶积分模型多机器人一致控制中。Tanner[4]利用连 通图和局部控制律使得非完整约束的机器人的速率 和方向渐进达到一致。
运动在同一平面的机器人间通信关系可用有向 图表示。视机器人为图中的节点，它们间队形控制的 信息流用有向边表示，则多机器人间的队形关系可以
表示为有向图 G = (V , E) ，其中V = {1,L, N} 为机器人
的集合，E 表示有向边的集合。如果在有向队形图中 节点 i 存在有向边到达节点 j ，这就意味着机器人 i 可 以接收机器人 j 的信息，机器人 j 是机器人 i 相邻节
s1 ( z) = z 1+ z2 。有限避障势能函数定义为
ò y b (z) =
z dss
fb
(s)ds
(5)
2.4 问题的描述 (Problem Statement)
根据机器人自己和相邻机器人以及外部环境设 计分布式编队控制律，使得多机器人能够在运动中实 现并保持队形，机器人与相邻的机器人之间不发生碰 撞，并能绕开外界的障碍物到达目的地。
多移动机器人的编队控制中，避障是一个非常关 键的问题。机器人的避障包括运动过程中机器人间的 躲避以及躲避外界环境中的障碍物。[1,2,9]的编队控 制中没有考虑避障问题。虽然[6]加入了避障控制，但 是避障控制是不连续的，避障效果如何也没有理论分 析。Tanner[4]利用位置势能函数实现了智能体间的避 障，但是避障势能不是有限的，这显然与实际不符。 为了克服这个缺陷，Olfati-Saber[3]和 Chang[5]分别利 用有限避障势能函数和有限避障作用力来设计多智 能体的避障控制。
外界障碍物 Ok 为机器人 i 一个相邻障碍物，机器人 i 相
{ } 邻外界障碍物集合可以表示为 Ngi = zk - zi ≤ ds 。
令 bi, j 描述机器人与障碍物的邻接关系，其中 i ÎV ，
j Î Nbi È Ng i 。由[3]，可以得到 bi, j 是关于 z j - zi s 的
连 续 函 数 ， 当 z j - zi s ≤ ds s 时 bi, j = 1 ， 其 中
Rk
球形障碍 (3)
其 中 m = Rk zi - yk ， ak = ( zi - yk ) zi - yk ，
P
=
I
-
a
ka
T k
。
类似[3]，避障作用力定义为
( ) fb (z) = bi, j s1 ( z - dss ) -1
(4)
其中 z 表示机器人与障碍物间的距离，
个对角矩阵，对角线上的元素为对应节点的出度。
过去的 20 年中，很多研究者在不考虑机器人本 身动力学的情况下对多机器人的编队控制问题作了 大量的工作，并已经取得了一些成果。Fax 和 Murray[9] 利用有向强连通图的 Laplacians 矩阵设计了多机器人
的编队控制器。Olfati-Saber[3]位置势能函数来实现多 智能体的群体控制。但是，实际中的机器人是一个含 有非完整约束的系统，如何利用上述控制方法来设计
Distributed Formation Control of Multiple Nonholonomic Mobile Robots
Chen Yangyang, Tian Yuping
School of Automatic control, Southeast University, Nanjing 210096, P. R. China E-mail: yptian@seu.edu.cn
对含有非完整约束的多移动机器人系统分布式
编队控制问题，只有运动过程中机器人间不发生碰撞
并能绕开外界障碍物，多机器人系统才能最终实现编 队控制。所以本文在控制过程中，将编队控制分成两
个子问题：队形控制问题和避障控制问题。由于移动
* 此 项 工 作得 到 国 家自 然 科 学基 金 资助, 项 目 批准 号:60425308, 60673058；863 项目，项目批准号:2006AA04Z263；江苏省自然科学基金， 项目批准号:BK2006097。
2.3 障碍描述和避障势能函数(Obstacles and Potential Function)
机器人在运动过程中的障碍物包括两类，一类是 相邻的机器人，一类是外界环境中的障碍物。令 ds 为 机器人检测障碍物的传感器的检测范围，当机器人 j 与机器人 i 的距离 z j - zi ≤ ds 时，机器人 j 被机器人
2.1 移动机器人模型 (Model of Mobile Robot)
在多机器人系统中，具有非完整约束的移动机器
人的动力学方程为：
ìx&i = vi cosqi
ïïïíqy&&ii
= vi sinqi = wi
(1)
ï ï
v&i
=
ai
ïîw&i = ti
动态虚拟机器人与机器人 i 的距离 zk - zi ≤ ds 时，
模型，则得到
å ( ) ai = -k1v + aij (z) z j - hj - zi + hi × ri + k2
jÎNai
( ) å aij (z) vj - vi
(6a)
jÎNai
ti = - sin(t)
(6b)
其中 k1, k2 > 0 的常数。
本文将目的地 zD 视为多机器人系统中的一个虚
图 1 外界障碍物
[3]还具体给出了动态虚拟机器人位置和速度的
具体形式。对于墙形障碍物，记障碍物表面上一点 yk
向的量单，位动法态向z虚量k =拟为P机azik 器+，(人Iri -的为P位机) y置器k ,人zvrkk和i =的速P运v度ir动i vrk方为向的单(位2)
其 物中 ，虚P 拟= I机z-k器a=k人amkTz的i。+位对(1置于- zm球k )和心yk速为, v度rkyk=vr半km为径Pv为iri
拟机器人，记为机器人 1，即 z1 = zD ，v1 = 0 ，h1 = 0 。
注意该机器人并不是中心控制器，既不能向其他所有
机器人广播信息也不能接收其他机器人的信息。
考虑到机器人只有在运动中不与障碍物发生碰 撞，才能保证机器人完成队形并且最终到达目的地， 所以，我们将分别设计队形控制律来完成多机器人系 统的队形控制和避障控制律来实现机器人即不与相 邻的机器人之间发生碰撞，也不与外界的障碍物发生 碰撞。
279
3 多移动机器人分布式编队控制律设计 (Controller Design)
3.1 队形控制律设计(Control Law for Formation)
考虑到移动机器人只能在垂直Biblioteka Baidu车轴方向上运
动，令 ri (t) = éëcos(qi (t)),sin (qi (t))ùûT 表示机器人 i 的运
动方向的单位向量。多机器人系统期望的几何队形为
h = [h1, h2 ,..., hn ]T 。将[2]的队形控制律推广到动力学
机器人是一个典型的非完整系统，机器人的控制采用 时变状态反馈控制的方法，与[2]和[6]所不同的是控
278
制的模型是机器人的动力学模型。此外，利用[3]中有 限势能函数的思想来设计避障控制律，实现运动过程 中机器人间不发生碰撞并能绕开外界障碍物。
2 模 型 及 问 题 描 述 (Model and Problem Statement)
z s
=
1 e
é êë
1+e
z2
-1ùúû (e > 0) 。
其中 zi = [xi , yi ]T 为机器人 i 重心在平面上的坐标， vi 为重心平移的线速度的大小，qi 为前进的方向，wi 是 机器人角速度的大小。 ai 和ti 分别是控制力矩和转 矩。
2.2 通信拓扑(Communication Topology)
Abstract: This paper deals with the distributed formation control problem of multiple nonholonomic mobile robots. By using smooth time-varying feedback control approach and graph theory, a distributed formation control law is designed, which can achieve formation of a system of multiple nonholonomic mobile robots. Based on potential function, a control law for obstacle collision avoidance is constructed. Simulation results prove the validity of the proposed control laws. Key Words: Multi-agent System, Distributed Formation Control, Nonholonomic Mobile Robots
Proceedings of the 26th Chinese Control Conference July 26-31, 2007, Zhangjiajie, Hunan, China
多移动机器人的分布式编队与避障控制*
陈杨杨，田玉平
东南大学自动化学院, 南京 210069 E-mail: yptian@seu.edu.cn
点，相邻节点集合可以用 Nai = {(i, j ) Î E} 表示。我们
假设 Nai 是时不变的，即信息流拓扑是静态的。如果 图中其他所有节点都可以通过有向路径到达节点 i ， 则节点 i 被称为全局可达节点。有向队形图的邻接矩
阵定义为 A = éëaij ùû ，满足 aii = 0 且 aij = 1当 (i, j ) Î E 。 Laplacian 矩阵定义为 L = D ( A) - A ，其中 D ( A) 是一