导数与复数测试试题

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复数和导数基出测试(15个小题)含答案详解

8．D
【解析】
【分析】
先求函数的导函数，再利用导数的几何意义求切线的斜率，然后求切线方程即可.
【详解】
解：因为，
所以，
所以切线的斜率，
所以切线方程为，
即 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了导数的运算，重点考查了导数的几何意义，属基础题.
9．A
【解析】
【分析】
先求导数得切线斜率，再根据点斜式得切线方程，最后求切线与坐标轴交点，计算面积.
3．B
【解析】
【分析】
由复数的乘法运算法则化简复数 ,根据共轭复数的定义即可求解 .
【详解】
因为复数 ,
由复数的乘法运算法则可得, ,
利用共轭复数的定义可得, = ,
故选:B
【点睛】
本题考查复数的四则运算及共轭复数的定义;属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
因为，故，然后根据复数的几何意义判断即可.
C． D．
8．曲线在点处的切线方程为（）
A． B． C． D．
9．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角面积为（）
A．6B． C．3D．12
10．函数f（x）=2x2-4lnx的单调减区间为
A．（-1，1）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[-1，0）
11．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）
6．C
【解析】
【分析】
求出导函数，即可求解 .
【详解】
由题：函数 ,
所以
则 .
故选：C
【点睛】
此题考查求导函数，再求导数值，关键在于根据题意准确求出导函数.
7．C
【解析】
【分析】

导数复数试卷

导数与复数章节测试时间：120分钟. 总分：150分姓名一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若复数iia 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（）A ．－2B ．4C ．－6D ．6 2．设曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为（）A ．（3，9）B ．（－3，9）C ．（49,23） D ．（49,23-） 3．已知)32(33i z i -=-，那么复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．函数0)(x x x f =在处连续是0)(x x x f =在处可导的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件5．若（m +i ）3为实数，则正实数m 的值为（）A ．1+23B ．33 C ．3D ．23 6．已知两函数4334,y x a y x =+=，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为（）A ．0B ．12C ．0或12D ．4或17．设复数,|sin ||cos |i z θθ+=，则函数z z f ⋅=)(θ的性质适合（） A ．最小正周期为1,2π值域为]2,1[B ．最小正周期为π，值域为]2,1[C ．最小正周期为1,2π值域为2,0[]D ．最小正周期为π，值域为]2,0[8．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为t t t t s 873741234-+-=，那么速度为零的时刻是（）A ．1秒末B ．2秒末C ．2，4秒末D ．1，2，4秒末 9．复数111.i z i-+=-+在复平面内，z 所对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为（）A ．[a 1,0]B ．]21,0[aC ．|]2|,0[a bD ．|]21|,0[ab - 11．若二次函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间[－1，1]内至少存在一点C （c ，0），使0)(>c f ，则实数p 的取值范围是（）A ．233<<-pB ．3-≤pC 121<<-p ．D ．213-<<-p 或231<<p12．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是（） A ．21<<-a B ．63<<-a C ．21>-<a a 或 D ．63>-<a a 或二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 13．已知复数00032,3,z i z z z z z =++=+复数满足z =则复数 .14．如果曲线03223x x x y x y =-=+=在与处的切线互相垂直，则x 0的值为 . 15．函数y =x 2cos x 的导数为16．已知函数⎩⎨⎧≥+<+=)0(2sin )0(1)(x xb x e x f ax 在R 上可导（提示：可导必连续），则a = ，b= .三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分13分）已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.18．（本小题满分13分）设132<<a ，函数)11(23)(23≤≤-+-=x b ax x x f 的最大值为1，最小值为26-，求常数a 、b 的值.19．（本小题满分14分）已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，求a 、b 、c 的值.20．（本小题满分14分）圆柱形金属饮料罐的容积一定时（设为V ），它的高与底半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？21．（本小题满分16分）已知函数].1,0[,274)(2∈--=x xx x f （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和值域；（Ⅱ）设1≥a ，函数],1,0[],1,0[].1,0[,23)(0123∈∈∈--=x x x a x a x x g 总存在若对于任意使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围.高三数学同步测试⑶参考答案13．i 231-； 14．6363； 15．2x cos x －x 2sin x ； 16．a =2，b=2.三、解答题 17．解：.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(|)sin (cos cos sin 1|||2222221θθθθθθθθθθθ+=+=-++=-++=⋅i z z故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. …………12分18．解：)(333)(2a x x ax x x f -=-='(0)与f (1)的大小. …………6分∵0123)1()0(>-=--a f f ，∴f (x )的最大值为f (0)=b=1，0)2()1(21)23(21)()1(23<-+=--=--a a a a a f f ， ∴f (x )的最小值为f (－1).即2623123-=-=+--a b a ，∴36=a ，b=1. …………12分19．解：C 1为椭圆：.023:;2,;123322222=-+=+=+y x C y x C y x 为直线为圆设)sin 2,cos 3(),sin 2,cos 3(ββααB A 把A 、B 两点的坐标代入直线C 3的方程中，得 02sin 23cos 3=-⋅+αα① .02s i n 23c o s 3=-⋅+ββ② …………6分①—②得02sin 2cos 262sin 2sin 320)sin (sin 23)cos (cos 3=-++-+-=-+-βαβαβαβαβαβα即…………9分221tan 1652tancos().21671tan 2αβαβαβαβ+-+-∴+===-+++故有 …………12分 20．解：由曲线)(x f y =过（1，0）得01=+++c b a ①又ax x x f 23)(2+='+b 则0412)2(=+-=-'b a f ②323)1(-=++='b a f ③ ……9分.解①②③得6,8,1=-==c b a . ……12分.21．解：（1）b ax x x f ++='23)(2，由于)(x f 有极大值和极小值，α∴、0232=++b ax x 为β的两根，则=+++++++=+∴=-=+)()()()(,3,322323c b a c b a f f ba βββαααβααββα+-+++-+=++++++]2)[()](3)[(2)()()(232233αββαβααββαβαβαβαa c b ac ab a c a b b a a a b a c b 2322742)32()]3(2)32[()]32(33)32[(2)(323+-=+-+⋅--+-⋅⋅--=++βα…7分（2）设=++⋅++⋅++=+c b a f f B f A 2)2()2()2(),(,()),(,(33βαβαβαβαββαα由)]()([2131272)3()3()3(323βαf f c ab a c a b a a a +=+-=+-⋅+-⋅+- 知AB 的中点在)(x f y =上 …………12分22．解：（I ）对函数)(x f 求导，得222)2()72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-=' 令0)(='x f 解得.71==x x 或当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：所以，当)2,0(∈x 时，)(x f 是减函数；当)1,2(∈x 时，)(x f 是增函数.当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为[－4，－3]. （II ）对函数)(x g 求导，得).(3)(22a x x g -='因为1≥a ，当)1,0(∈x 时，.0)1(3)(2≤-<'a x g因此当)1,0(∈x 时，)(x g 为减函数，从而当]1,0[∈x 时有)].0(),1([)(g g x g ∈ 又,2)0(,321)1(2a g a a g -=--=即]1,0[∈x 时有].2,321[)(2a a a x g ---∈ 任给]1,0[1∈x ，]3,4[)(1--∈x f ，存在]1,0[0∈x 使得)()(10x f x g =，则].3,4[]2,321[2--⊃---a a 即⎩⎨⎧-≥--≤--.32,43212a a a解①式得 351-≤≥a a 或；解②式得.23≤a①②又1≥a ，故a 的取值范围为.231≤≤a。

专题03 导数与复数(原卷版)2021年高考数学复习必备之2015-2020年浙江省高考试题分项解析

10．（2020
届浙江省嘉兴市
3
月模拟）已知函数
f
x
ln
x
4
，
x 1
g x 2ab ex1 b x 1 ln x 2a 2b 2 ，其中 a R ，且 a 0 ．
（1）求 f x 在 x 0,1 上的最大值；
（2）若 g x 0 对任意的 b a, 及 x 0,1 恒成立，求实数 a 的取值范围．
x=
x e x 1
a
的两个零点记为
x1, x2
.
（1）求 a 的取值范围；
（2）证明： x1 x2 2 1 a .
2
3.（2020 届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知函数 f (x) x2 bx b ex (b R) .
（Ⅰ）若 b 1，求曲线 y f (x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程；
7．（2020 届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）已知实数 a 0 ，设函数 f x eax ；
（2）当 a 1 时，若对任意的 x 1, ，均有 f x a x2 1 ，求 a 的取值范围．
2
2
注： e 2.71828为自然对数的底数．
（Ⅱ）若 b 0 ，求证： f (x) x2 x3 ；
（Ⅲ）当 x 0 时，若关于 x 的不等式 f (x) k 的解集为 x1, x2 ，且 x1 x2 ， x1, x2 (, 2] ，求 k 的
取值范围（用 b 表示）.
4．（2020 届浙江省十校联盟高三下学期开学）已知函数 f (x) x 1 sin x m ln x 1， f (x) 是 f (x) 的导
（i 是虚数单位）则
______，ab=________。
三、解答题

复数及导数部分练习题

2014-3-17高二十一班数学作业咸焕1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的________和________．若________，则a ＋b i 为实数，若________，则a ＋b i 为虚数，若________________，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示____________．复数集C 和复平面内________组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．(5)复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作______或________，即|z |＝|a ＋b i|＝____________.2．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝______________；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝________________；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝________________；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝________________________(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝______________________.习题练习1，i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3等于( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i2，若z ＝1＋2i i，则复数z 等于( ) A ．－2－i B ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i3，复数2＋i 1－2i的共轭复数是( ) A ．－35i B.35i C ．－i D ．i4，已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－3i ，则复数i ＋z 2z 1的虚部为______． 5，设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．2＋2iD ．2－2i6，若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（）A.2b =，3c =B.2b =-，3c =C.2b =-，1c =-D.2b =1c =-（一），导数的基本公式（1）()f x C =（C 为常数），'()0f x =（2）()n f x x =（n 为有理数），1'()n f x n x -=⋅（3）()sin f x x =，'()cos f x x = （4）()cos f x x =，'()sin f x x =-（5）()x f x e =，'()x f x e = （ 6）()x f x a =，'()ln x f x a a =⋅（7）()ln f x x =，1'()f x x =（8）()log a f x x =，1'()log a f x e x= （二）设()f x ，()g x 均可导（1）和差的导数：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±（2）积的导数：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=+ （3）商的导数：2()'()()()'()[]'()[()]f x f x g x f x g x g x g x ⋅-⋅=（()0g x ≠）（三）习题 1. 过(1,0)点，曲线3y x =的切线方程为。

高三级数学选修导数与复数测试题

高三级数学选修导数与复数测试题时间：120分钟满分：150分姓名一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．函数y = (1－sinx)2的导数是（）A.y=2sin2x-cosxB. y=sin2x+2cosxC.y=2sin2x-2cosx D .y=sin2x-2cosx2．设20)2(,)2()(2='+=f a x x f ，则a 等于（）A .-1 B. 1 C . 0 D. 任意实数 3） A ．i B ．i - Ci Di4．函数()x f =2008x ，则12007'12008f ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=（） A . 0 B . 1 C.2006 D. 2007 5.（2008重庆卷4)已知函数y=M ,最小值为m ,则mM的值为 ( )A ．14 B.12C.26．曲线x x y 2212-=在点(1 ，23-)处切线的倾斜角为（）A.1-B.︒45C. ︒-45D.︒1357．2()f x ax bx c =++的图象开口向上，且顶点在第二象限，则()y f x '=的图象大概是（）8上的偶函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>，且(1)0f =，则不等式()0xf x >的解集为（） A ．（－1，0）∪（1，+∞） B ．（－1，0）∪（0，1） C ．（－∞，－1）∪（1，+∞） D ．（－∞，－1）∪（0，1） 9．对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（）A.f （0）＋f （2）<2f （1）B. f （0）＋f （2）≤2f （1）C. f （0）＋f （2）≥2f （1）D. f （0）＋f （2）>2f （1） 10．函数x x x f ln 2)(2-=的单调减区间是（）A ．]1,0(B ．),1[∞+C ．]1,(--∞及]1,0(D ．]1,0()0,1[及-11．已知11mni i=-+，m n i 其中，是实数，是虚数单位，m ni +=则（） A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2B C D12．已知f ＇（0）=2，则lim 0h →hh ）f （h ）3f （--=（）A ．4B ．－8C ．0D ．8二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分13．已知函数()f x 在R 上可导，函数()()()2244F x f x f x =-+-，则()'2F =14．f （x ）= 1+3sin x + 4cos x 取得最大值时tan x =15．设x 、y 为实数，且ii y i x 315211-=-+-，则x +y =_________ 16．（2008江苏卷14）()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a =三、解答题：本大题共6小题，共74分17．（12）已知()()2cos ln f x x =，求()'1f 的值。

精选高中数学复数多选题专项训练专题复习含答案(5)

一、复数多选题1．已知i 为虚数单位，复数322i z i +=-，则以下真命题的是（） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限答案：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，3z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.2．复数21i z i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限答案：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||2z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.3．以下命题正确的是（）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '= 答案：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z = 答案：AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．5．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（）A ．3||5z = B ．12i 5z +=- C ．复数z 的实部为1- D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限答案：BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=，所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确；复数z 的实部为15- ，故C 错误；复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.6．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z += 答案：ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．7．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根答案：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确；所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.8．已知复数1z =-(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z =，则下列结论正确的有（）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w答案：ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确；对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 的虚部为2,所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限答案：ADA 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈，则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+，所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--，所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.10．下列说法正确的是（）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件答案：AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.11．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（）．A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z = 答案：BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.12．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z ∈，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = 答案：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++，因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.13．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i - 答案：ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.14．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（）.A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1- 答案：AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩，所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．15．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 答案：BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈；当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-，所以，复数1z 的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC.16．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅= 答案：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD17．下列关于复数的说法，其中正确的是（）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称答案：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确；对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．18．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+答案：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为11131222244z z i ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z i ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122zz z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.19．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i - 答案：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+；选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-；选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.20．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z答案：AB求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误；对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．21．下列命题中，正确的是（）A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数答案：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．22．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方答案：CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>，所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误；因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。

导数及推理证明复数

同心中学高二数学期末联考试题一(理)一、选择题： 1、设a 是实数，且11aiR i+∈+，则实数=a （）A ．1-B ．1C ．2D ．2-2．i 为虚数单位，复数1+i i在复平面内对应的点到原点的距离为（） A ．21 B.22 C. 1D. 23．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（）A ．25B ．5C ．215D ．104．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（）A ．2B ． 3C ．5D ．7 5．下列命题为真命题的是( )A ．若ac bc >，则a b >B ．若22a b >，则a b >C ．若11a b>，则a b < D <a b < 6．条件甲：“00>>b a 且”,条件乙：“方程122=-by a x 表示双曲线”，那么甲是乙的（） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.曲线2sin y x =在点（0,0）处的切线与直线1x ay +=垂直，则实数a 的值为（）A ．2B ．2-C ．12 D ． 12- 8.4名同学分别报名参加数、理、化竞赛，每人限报其中的1科，不同的报名方法种数（） A ．24 B ．4 C ．34 D ．43 9. 下列说法：（1）命题“R x ∈∃，使得32>x ”的否定是“R x ∈∀，使得32≤x ”（2）命题“函数()x f 在0x x =处有极值，则()00='x f ”的否命题是真命题（3）()x f 是（∞-，0）∪（0，∞+）上的奇函数，0>x 时的解析式是()xx f 2=，则0<x的解析式为()x x f --=2其中正确的说法的个数是（）A ．0个B. 1个C. 2个D. 3个10. 直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为A ．1-B ．eC ．ln 2D ．111．设)(3cos )(R x x x f ∈=，则曲线()y f x =在4π=x 处的切线的斜率为A.B. 223-D.223 12.已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2011S 的值为（）20122011.20112010.20102009.20092008.D C B A二、填空题：13．曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是________．14.已知)(x f 为一次函数，且10()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f =______ .15、复数z=3412ii++，则z = ； 16．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为61，则=a _________ 。

复变函数的可导与解析练习题.ppt

课件
（3） f (z) x 2 iy
解 u( x, y) x 2 , v( x, y) y，而
ux 2x, uy 0, v x 0, v y 1 ux ,uy ,vx ,vy在复平面上处处连续，但仅在直线x 1 上满足C R条件
复变函数的导数与函数解析
一. 复数域与复数的表示法
复数集：C z x iy x, y R
x Re z, y Im z, i 1
复数集C中的四则运算满足：加法与乘法的交换律，分配律，且复数集中有零元(0)，单位元(1)及逆元(z 1 ),于是复数集C构成一个数域复数域C
v v x x v y y o( (x)2 (y)2 ) w u iv
z x iy
uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) i[vxx v yy o( (x)2 (y)2 )] x iy
课件
C
R条件
u
x
x
v
x
y
i（v
x
x
u
x
y)
o(
(x)2 (y)2 )
x iy
x y x y
x y x y
处处不可导。
以上得出函数在一点解析的必要条件是它满足 C-R方程，反过来？
例 3 证明：f (z) Re z Im z 在 z 0满足C R
条件，但不可导。
证：f (z) Re z Im z xy ,
u( x, y) xy , v( x, y) 0
课件
f z f 0
lim
不存在
z 0
z
f (z) 在 z 0 不可课件导。

2013-2014学年高二文科数学3月考试原创试题(导数与复数)

2013-2014学年度第二学期明德衡民中学3月份考试试题高二数学（文）时量：120分钟满分：150分命题人：尹伟云注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡相应位置.2．答题时，用签字笔把答案写在答题卡对应位置，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答卷交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）函数xy 1=的导数是（A ）'e xy = （B ）x y ln '= （C ）21'xy = （D ）2'--=x y （2）函数x x x f ln )(=在点1=x 处的导数为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （3）函数x x x x f 331)(23++-=的单调递增区间为（A ）)13(，- （B ）)31(，- （C ）)1(--∞，和)3(∞+，（D ）)3(--∞，和)1(∞+，（4）在复平面内，复数2i)2(+对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（5）下列命题中正确的是（A ）函数348x x y -=有两个极值点（B ）函数x x x y +-=23有两个极值点（C ）函数3x y =有且只有1个极值点（D ）函数e xy x =-无极值点（6）若复数i 1-=z ，则(1)z z +=（A ）i 3- （B ）i 3+ （C ）i 31+ （D ）3 （7）已知函数)(x f y =的图象如图1所示，则下列说法中错误．．的是（A ）)(x f 在区间)1(，-∞上单调递减（B ）)(x f 在区间)41(，上单调递增（C ）当74<<x 时，0)('>x f （D ）当1=x 时，0)('=x f （8）设函数x xx f ln 2)(+=，则（A ）21=x 为)(x f 的极大值点（B ）21=x 为)(x f 的极小值点（C ）2=x 为)(x f 的极大值点（D ）2=x 为)(x f 的极小值点（9）若复数z 满足i 1i +=z ，则z 等于（A ）i 1- （B ）i 1-- （C ）i 1+- （D ）i 1+ （10）已知复数i1i2+=z ，则=z （A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）4（11）设R ∈b a ，，且i i)i(-=+b a ，则=-b a（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）2-（12）已知函数1)(2-=x x x f ，则（A ）)(x f 有极大值4 （B ）)(x f 有极小值0 （C ）)(x f 有极小值4- （D ）)(x f 有极大值0第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中横线上.（13）已知函数283)(x x x f +-=，且4)('0-=x f ，则=0x .（14）计算：=2014i 1 .（15）曲线124++=ax x y 在点)21(+-a ，处的切线与y 轴垂直，则=a ________．（16）设2=x 和4-=x 是函数qx px x x f ++=23)(的两个极值点，则=+q p ________．xyO 1471图三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）设i 是虚数单位，复数i2i1-+=k z . （I ）若21=z ，求实数k 的值；（II ）若z 为纯虚数，求复数z ．（18）（本小题满分12分）求曲线3)(3+-=x x x f 在点))1(1(f ，处的切线方程．（19）（本小题满分12分）已知函数c bx x x f ++=23)(.若2-=x 时，)(x f 有极大值0，求实数c b ，的值．（20）（本小题满分12分）求函数)0(ln )(>=x xxx f 的单调区间．（21）（本小题满分12分）设函数)0(3)(3>+-=m n mx x x f 的极大值为6，极小值为2，求：（I ）实数n m ，的值；（II ）)(x f 在区间]30[，上的最大值和最小值.请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）求函数2()ex x f x =的极小值和极大值．（23）（本小题满分10分）若直线t y =与函数x x y 33-=的图象有三个公共点，求实数t 的取值范围．（24）（本小题满分10分）已知函数2()e ()4x f x ax b x x =+--，曲线)(x f y =在点))0(0(f ，处的切线方程为44+=x y ，求b a ，的值.2013-2014学年度第二学期明德衡民中学3月份考试答卷高二数学（文）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中横线上.（13）（14）（15）（16）三、解答题：本大题共8小题，其中第17～21题各12分，第22～24题各10 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）( 本小题满分12分)得分评卷人题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案得分评卷人得分评卷人年级班级姓名考号密封线内请不要答题（19）（本小题满分12分）得分评卷人（21）（本小题满分12分）得分评卷人请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.（本小题满分10分）得分评卷人2013-2014学年度第二学期明德衡民中学3月份考试答案高二数学（文）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中横线上.（13）2 （14）1- （15） 2- （16）21-三、解答题：本大题共8小题，其中第17～21题各12分，第22～24题各10 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）( 本小题满分12分)解：（I ）由21=z 得21i 2i 1=-+k ， ………………………………………2分从而2i1i)2(21i 1-=-=+k ， …………………………………………4分根据复数相等可知21-=k ． ……………………………………………6分（II ）i 51252i)2i)(2(i)2i)(1(i 2i 1++-=+-++=-+=k k k k z ， ……………………………8分若z 为纯虚数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+=-，，0512052k k……………………………………………10分解得2=k ，从而i =z . ……………………………………………12分（18）（本小题满分12分）解：由)(x f 得13)('2-=x x f ， ……………………………2分设所求切线的斜率为k ，则2113)1('2=-⨯==f k ， ……………………6分又3311)1(3=+-=f ，所以切点坐标为)31(，， ………………………8分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DCBAABCDABCD由点斜式得切线的方程为)1(23-=-x y ，即012=+-y x ． …………12分（19）（本小题满分12分）解：由)(x f 得bx x x f 23)('2+=， ……………………………………2分由题意可知(2)0'(2)0f f -=⎧⎨-=⎩，，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-⨯=+-⨯+-，，0)2(2)2(30)2()2(223b c b ………………8分解得⎩⎨⎧-==.43c b ，…………………………………………………12分（20）（本小题满分12分）解：由)(x f 得2221ln (ln )''ln 1ln '()x xx x x x xx f x x x x---===， …………4分令'()0f x =，即21ln 0xx -=，得1ln 0x -=，从而e x =，令'()0f x >，即21ln 0xx ->，得e x <，此时)(x f 为增函数，又0>x ，得增区间为(0e)，， …………………………8分令'()0f x <，即21ln 0xx-<，得e x >，此时)(x f 为减函数，减区间为(e )+∞，. …………………………12分（21）（本小题满分12分）解： (I) 由)(x f 得m x x f 33)('2-=， …………………………………2分令'()0f x =，即0332=-m x ，得m x ±=，当'()0f x >，即m x >，或m x -<时，)(x f 为增函数，当'()0f x <，即m x m -<<时，)(x f 为减函数，所以)(x f 有极大值)(m f -，有极小值)(m f ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-，，2)(6)(m f m f 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-，，2363n m m m m n m m m m …………4分解得⎩⎨⎧==.41n m ，………………………………………………………6分(II)由(I)知43)(3+-=x x x f ，从而44030)0(3=+⨯-=f ，224333)3(3=+⨯-=f ，24131)1(3=+⨯-=f ， ……………………………………10分高二数学（文）第 11 页（共 11 页）所以)(x f 有最小值2，有最大值22. ……………………………12分请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）解： (2)'()e xx x f x --=， ……………………………4分当)0(，-∞∈x 或)2(∞+∈，x 时，)(x f 为减函数；当)20(，∈x 时，)(x f 为增函数. ……………………………………7分故)(x f 有极小值0)0(=f ，有极大值24(2)e f =. ……………………10分（23）（本小题满分10分）解： )1)(1(333'2-+=-=x x x y ， ……………………………………2分当)1(--∞∈，x 或)1(∞+∈，x 时，函数x x y 33-=为增函数；当)11(，-∈x 时，x x y 33-=为减函数. ……………………………………4分故当1=x 时，x x y 33-=有极小值21313-=⨯-；当1-=x 时，x x y 33-=有极大值2)1(3)1(3=-⨯--. …………………………………6分由题意可得22<<-t . …………………………10分（24）（本小题满分10分）解： '()e ()24x f x ax a b x =++--， …………………………4分由切线方程知4)0('=f ，即44=-+b a ， …………………………6分且0=x 时4=y ，得4)0(==b f ， …………………………8分从而4=a . ………………………………………10分。

导数、复数练习题

导数、复数练习题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一、选择题1、下面有四个命题:①a b ，是两个相等的实数,则()()a b a b i -++是纯虚数;②任何两个复数不能比较大小;③若1z ,2z ∈C ,且22120z z +=,则120z z ==;④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的有( )Ａ.1个Ｂ.2个Ｃ.3个Ｄ.4个2、设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+,t ∈R ,则下列命题中正确的是( )Ａ.z 的对应点Z 在第一象限Ｂ.z 的对应点Z 在第四象限Ｃ.z 不是纯虚数Ｄ.z 是虚数3、2020(1i)(1i)+--的值是( )A.64B.32C.0D.4-4、已知33i (23i)z -=⋅-,那么复数z 在平面内对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限5、若13i 22ω=-+,则421ωω++等于( ) A.1 B.0 C.33i + D.13i -+6、复数22(2)(2)i z a a a a =-+--对应的点在虚轴上,则( ) Ａ.2a ≠或1a ≠ Ｂ.2a ≠且1a ≠ Ｃ.0a = Ｄ.2a =或0a =7、若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根,则方程的另一个根为( )Ａ.1i -- Ｂ.1i -+ Ｃ.1i - Ｄ.i8．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）9．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．[]10-， C ．[]01， D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 10．曲线ln(21)y x =-上的点到直线082=+-y x 的最短距离是A 5B ．25C ． 35D ． 0y x O y x O y x O y x O A ． B ． C ． D ．11．若函数2)(3-+=ax x x f 在区间),1(+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．),3(+∞B ． ),3[+∞-C ． ),3(+∞-D ．)3,(--∞12．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为（）A ． 1nB ． 11n +C ．1n n + D ． 1二、填空题13、若复数()2i bi ⋅+是纯虚数,则实数b= 。

高三级数学选修导数与复数测试题(最新整理)

高三级数学选修导数与复数测试题
时间：120 分钟满分：150 分姓名
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分
1．函数y = (1－sinx) 2 的导数是（） A.y=2sin2x-cosx B. y=sin2x+2cosx C.y=2sin2x-2cosx
2．设 f ( x) (2 x a)2 , f (2) 20 ，则 a 等于（）
为使对任意的
a [2, 2]，不等式
f
(x)
1在 [1,1] 上恒成立，当且仅当
f f
(1) 1
，即
(1) 1
b b
2 2
a a
，在
a
[2,
2]
上恒成立．
所以 b 4 ，因此满足条件的 b 的取值范围是 (, 4] ．
由(1)知 a n> a
an f an an1
故对任意正整数 n 都有 a n> a n+1。
∴当 x>1 时， 1 x 2 ln x 2 x3.
2
3
22．（Ⅰ）解： f (x) 4x3 3ax2 4x x(4x2 3ax 4) ．
当 a 10 时， f (x) x(4x2 10x 4) 2x(2x 1)(x 2) ． 3
令
f
( x)
0 ，解得
x1
0
，
x2
1 2
，
（Ⅰ）讨论函数 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）设函数
f
(x)
在区间
2 ， 3
1 3
内是减函数，求
a
的取值范围．
19．（12）已知函数 f x ax2 2 ln2 x,(aR),设曲线 y f x在点(1

复变函数期末考试题大全

____________________________________________________________________________________________________一、填空题〔每题2分〕1、复数i 212--的指数形式是2、函数w =z1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上的曲线是3、假设01=+z e ,那么z ＝4、()ii +1=5、积分()⎰+--+idz z 2222=6、积分⎰==1sin 21z dz zzi π 7、幂级数()∑∞=+01n n nz i 的收敛半径R=8、0=z 是函数ze z 111--的奇点 9、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单项选择题〔每题2分〕 1、设α为任意实数，那么α1=〔〕A 无意义B 等于1C 是复数其实部等于1D 是复数其模等于1 2、以下命题正确的选项是〔〕A i i 2<B 零的辐角是零C 仅存在一个数z,使得z z -=1D iz z i=13、以下命题正确的选项是〔〕 A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛D 如果v 是u 的共轭调和函数,那么u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是〔〕Ai 2321- B 223i - C 223i +- D i 2321+- 5、以下函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是〔〕A z1sin 1B z 1cosC zctg e 1D Lnz6、以下积分之值不等于0的是( )A ⎰=-123z z dzB ⎰=-121z z dzC⎰=++1242z z z dzD ⎰=1cos z z dz7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为〔〕A ()∑∞=+-02121n n nn z 〔z <1〕 B ()∑∞=+-01221n n n n z〔z <1〕C ()∑∞=++-012121n n nn z 〔z <1〕 D ()∑∞=-0221n n n n z〔z <1〕8、幂级数n n n z 201)1(∑∞=+-在1<z 内的和函数是〔〕A211z - B 211z + C 112-z D 211z+- 9、设a i ≠，C ：i z -=1，那么()=-⎰dz i a zz C2cos 〔〕A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是〔〕A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a za az e w i β____________________________________________________________________________________________________C )1(>--=a a z a z ew i βD )1(<--=a az az e w i β 三、判断题〔每题2分〕1、〔〕对任何复数z,22z z =成立2、〔〕假设a 是()z f 和()z g 的一个奇点,那么a 也是()()z g z f +的奇点3、〔〕方程01237=+-z z 的根全在圆环21<<z 内4、〔〕z=∞是函数()=z f ()251z z-的三阶极点5、〔〕解析函数的零点是孤立的四、计算题〔每题6分〕1、())(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在z S 上解析,求a,b,c,d 的值2、计算积分⎰=--22)1(25z dz z z z 3、将函数()11+-=z z z f 在1=z 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围4、计算实积分I=⎰∞+++0222)4)(1(dx x x x5、求211)(zz f +=在指定圆环+∞<-<i z 2内的洛朗展式 6、求将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =，使符合条件()0=i L ，()0>'i L五、证明题〔每题7分〕1、设〔1〕函数)(z f 在区域D 内解析〔2〕在某一点D z ∈0有0)(0)(=z fn ，〔 ,2,1=n 〕证明：)(z f 在D 内必为常数2、证明方程015=++n z z e 在单位圆1<z 内有n 个根一填空题〔每题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分〕 1 i eπ654-，2 21=u ， 3 (2k+1)i π,(k=0, 2,1±±)， 4 ⎪⎭⎫⎝⎛+-ππk i e e 242ln (k=0, 2,1±±)5 3i -,6 0 ,7 21 , 8 可去， 9 2e ， 10 z 1-二单项选择题〔每题2分，共20分〕1 D2 D3 A4 A5 B6 B7 C8 D9 A 10 A 三判断题〔每题2分，共10分〕1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ∨ 5 ⨯ 四计算题〔每题6分，共36分〕1解：22by axy x u ++=,22y dxy cx v ++= 3 分 y x v u = y dx ay x 22+=+x y v u -= dy cx by ax --=+22 …5分解得:1,2-====c b d a 6 分2 解：被积函数在圆周的2=z 内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1 2 分2)1(25)(Re 02-=--===z z z z z f s2225)(Re 1211=='⎪⎭⎫⎝⎛-====z z z z z z z f s 分5⎰=--22)1(25z dz z z z =π2i(-2+2)=0 6 分____________________________________________________________________________________________________3 解：()11+-=z z z f = ()nn nz z z 1211211111210-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=+-∑∞= …4分〔1-z <2〕 …6分 4 解: 被积函数为偶函数在上半z 平面有两个一阶极点i,2i …1分I=⎰∞+∞-++dx x x x )4)(1(21222…2分 =[])(Re )(Re 2212z sf z f s i iz i z ==+π …3分=]iz iz i z z z z i z z i 22222)2)(1()4)((==+++⎢⎣⎡++π …5分=6π…6分 5 解：))((1)(i z i z z f +-=…1分=iz i i z -+-211)(12…3分=∑∞=---02)()2()1()(1n nnni z i i z +∞<-<i z 2 …6分 6 解: w =L(i)=kiz iz +- 2 分 2)(2i z ikw +=' …3分0)(=>'='i L w i k =∴ …4分 iz iz iw +-= …6分五证明题〔每题7分，共14分〕1 证明:设)(:0D k R z z k ⊂<- )(z f 在0z 解析由泰勒定理 ∑∞=-=000)()(!)()(n n n z z n z fz f )(D k z ⊂∈ …2分由题设 0)(0)(=z fn ∴)()(0z f z f ≡ ，)(D k z ⊂∈ …4分由唯一性定理 )()(0z f z f ≡ )(D z ∈ …7分 2 证明：令n z z f 5)(= ，1)(+=z e z ϕ 2 分 (1〕()z f 及()z ϕ在1≤z 解析 (2〕1=z 上，()55==n z z f()1111+=+≤+≤+=e e e e z zz z ϕ<5 4 分故在1=z 上()()z z f ϕ>，由儒歇定理在1=z 内()()()n z z f N z z z f N ====+)1,()1,(ϕ …7分一、填空题〔每题2分〕1、()()323sin 3cos 5sin 5cos ϕϕϕϕi i -+的指数形式是 2、i i = 3、假设0<r<1，那么积分()⎰==+rz dz z 1ln4、假设v 是u 的共轭调和函数，那么v 的共轭调和函数是5、设0=z 为函数)(z f =33sin z z -的m 阶零点，那么m =6、设a z =为函数()z f 的n 阶极点，那么()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=z f z f s a z Re = 7、幂级数∑∞=0!n nn z 的收敛半径R=____________________________________________________________________________________________________8、0=z 是函数zz 1sin 5的奇点9、方程01237=+-z z 的根全在圆环内 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w二、单项选择题〔每题2分〕1、假设函数()z f 在区域D 内解析，那么函数()z f 在区域D 内〔〕A 在有限个点可导B 存在任意阶导数C 在无穷多个点可导D 存在有限个点不可导 2、使22z z =成立的复数是〔〕A 不存在B 唯一的C 纯虚数D 实数 3、⎰==-22)1(cos z dz z z〔〕A －i πsin1B i πsin1C －2i πsin1D 2i πsin1 4、根式3i 的值之一是〔〕A223i- B 223i -- C i D i - 5、π=z 是π-z zsin 的〔〕A 可去奇点B 一阶极点C 一阶零点D 本质奇点6、函数()()()411++=z z z z f ，在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个，那么m=( )A 1B 2C 3D 4 7、以下函数是解析函数的为〔〕A xyi y x 222--B xyi x +2C )2()1(222x x y i y x +-+-D 33iy x + 8、在以下函数中，()0Re 0==z f s z 的是〔〕A ()21z e z f z -=B ()zz z z f 1sin -=C ()z z z z f cos sin +=D ()ze zf z 111--= 9、设a i ≠，C ：i z -=1，那么()=-⎰dz i a zz C2cos 〔〕A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是〔〕A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a z a az e w i β C )1(>--=a a z a z e w i βD )1(<--=a az az e w i β三、判断题〔每题2分〕1、〔〕幂级数∑∞=0n n z 在z <1内一致收敛2、〔〕z=∞是函数2cos 1zz-的可去奇点 3、〔〕在柯西积分公式中，如果D a ∉，即a 在D 之外，其它条件不变，那么积分()=-⎰dz az z f i C π210，()D z ∈ 4、〔〕函数()=z f zctg e1在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数5、〔〕解析函数的零点是孤立的四、计算题〔每题6分〕1、计算积分()⎰+-Cdz ix y x 2，C ：i →1+i 的直线段____________________________________________________________________________________________________2、求函数()()()211+-=z z zz f 在所有孤立奇点〔包括∞〕处的留数3、将函数()iz i z z f --+=11在i z =的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域 4、计算积分()⎰+Cz z dz122 , C:1222+=+y y x ， 5、计算实积分I=⎰+πθθ20cos a d )1(>a6、求将单位圆1<z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =使符合条件021=⎪⎭⎫⎝⎛L ，()11-=L五、证明题〔每题7分〕1、设函数()z f 在区域D 内解析，证明：函数()z f i 也在D 内解析2、证明：在0=z 解析，且满足的nn f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛〔 2,1=n 〕的函数()z f 不存在一填空题〔每题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分〕 1 ϕ19i e ，2 ππk e22--(k=0,±…) ， 3 0， 4 u -， 5 96 n - ，7 ∞+ ，8 本质，9 21<<z ， 10 z 1-二单项选择题〔每题2分，共20分〕1 B2 D3 C4 D5 A6 C7 C8 D9 A 10 A 三判断题〔每题2分，共10分〕1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ⨯ 5 ⨯ 四计算题〔每题6分，共36分〕1解：C 的参数方程为： z=i+t, 01≤≤t dz=dt 3 分 ()⎰+-Cdz ix y x 2＝()⎰+-121dt it t =321i+-6 分 2解: 1=z 为()z f 一阶极点 1 分1-=z 为()z f 二阶极点 2 分()411Re 11-='⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=z z z z z f s 3 分()()411Re 121=+===z z z zz f s 5 分 ()0Re =∞=z f s z …6分3 解：()iz i z z f --+=11=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--i i z i i z 211211 …2分 = ()()()10211+∞=--+--∑n nn n i i z i z …5分〔0<i z -<2〕 …6分 4 解：在C 内()z f 有一个二阶极点z ＝0和一个一阶极点i z = …1分()011Re 020='⎪⎭⎫⎝⎛+===z z z z f s …3分()ii z z z f s iz iz 21)(1Re 2-=+=== …5分所以原式＝π2i π-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-i 210 …6分5 解：令θi e z =____________________________________________________________________________________________________iz dzz z a I z ⎰=-++=1121 …1分=[][]⎰=-----+--122)1()1(2z a a z a a z dzi …3分被积函数在1=z 内的有一个一阶极点12-+-=a a z121)(Re 212-=-+-=a z f sa a z …5分I=121212222-=-a a i iππ …6分6解：2212112121--=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=z z k z z kL w 2 分 ()121212111-=-=--=k kL 所以2=k 4 分于是所求变换 2122212--=--=z z z z w 6 分五证明题〔每题7分，共14分〕1 证明：设f(z)=u 〔x ，y 〕+iv 〔x ，y 〕)(z f = u 〔x ，y 〕-iv 〔x ，y 〕)(z f i = v 〔x ，y 〕-i u 〔x ，y 〕 2 分 f 〔z 〕在D 内解析，x y y x v u v u -==,)(z f i 四个偏导数为 v x ，v y ，-u x ，-u y 4 分比拟f 〔z 〕的C －R 方程 )(z f i 也满足C-R 方程且四个偏导数在D 内连续 ∴)(z f i 在D 内解析 7 分2 证明：假设在0=z 解析的函数()z f 存在且满足n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛〔 2,1=n 〕 2 分点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21=n 21以0=z 为聚点在点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21上,n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛由解析函数的唯一性定理在0=z 的邻域内()z f =z 5 分但在这个邻域内又有n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-矛盾 ∴在0=z 解析的函数()z f 不存在 7 分【复变函数论】试题库梅一A111【复变函数】考试试题〔一〕1、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.〔n 为自然数〕 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，那么)(z f 的孤立奇点有__________.____________________________________________________________________________________________________5.幂级数0nn nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.假设函数f(z)在整个平面上处处解析，那么称它是__________.7.假设ξ=∞→n n z lim ，那么=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.假设0z 是)(z f 的极点，那么___)(lim 0=→z f z z .三.计算题〔40分〕：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d zz f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.【复变函数】考试试题〔二〕二. 填空题. (20分) 1. 设i z-=，那么____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，那么=+→)(lim 1z f iz ________.3. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.〔n 为自然数〕 4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 假设z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，那么z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，那么)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为〔1〕单位圆〔1||=z 〕的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数根本定理.____________________________________________________________________________________________________【复变函数】考试试题〔三〕二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，那么f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 假设n n n i n n z )11(12++-+=，那么=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.〔n 为自然数〕 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，那么f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，那么___=z .9. 假设0z 是)(z f 的极点，那么___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算以下积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

1、集合、函数、导数、复数、三角函数、图像题

2π32高考考点热练1：（集合、函数、导数、复数、三角函数、图象）1、已知集合{}{}1,3,,1,,A m B m A B A ==⋃=,则m =（） A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或32、若集合M={y|y=2-x}，P={y|y=1-x }，则M ∩P 等于 ( ) A ．{y|y ＞1} B ．{y|y ≥1} C.{y|y>0} D ．{y|y ≥0} 3、z ＝i m m m m )2()23(22-+++-是纯虚数，实数m 的值是( ) (A )1 (B )2 (C )－2 (D )1和2 4、当m <1时，复数z m i =+-21()在复平面上对应的点位于( ) (A )第一象限 (B )第二象限 (C)第三象限(D)第四象限5、如果复数21bii-+(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，则b =( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )36、若函数f(x)=l 0g a (x 3- a x)(a ＞0且a ≠1)在区间(-21，0)内单调递增，则a 的取值范围是 ( )A.[41，1] B.[43，1] C.[49，+∞] D.(1，-49)7、若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在(-∞，0)上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)＜0的x 的范围是( ) A ．(-∞，2) B ．(2，+∞) C ．(-∞，-2)∪(2，+∞) D ．(-2，2)8、设在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f(x)的导函数，当[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π）且x ≠2π时，()()02x f x π'->，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为A .2B .4 C.5 D. 89、函数93)(23-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =( ) （A ）2（B ）3（C ）4 （D ）510、函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为（）A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2）11、设1()21(0),f x x x x=+-< 则()f x （） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 12、若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α= （） A. -34 B. 34 C. -43 D. 4313、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ， 3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为 A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 14、在△ABC 中，若60A ∠= ，45B ∠= ，32BC =，则AC = A. 43 B. 23 C.3 D. 15、函数y=1+cosx 的图象（A ）关于x 轴对称（B ）关于y 轴对称（C ）关于原点对称（D ）关于直线x= 对称16、已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭ 的最小正周期为π，则该函数的图象（）A ．关于点0π⎛⎫⎪3⎝⎭，对称B ．关于直线x π=4对称C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称 D ．关于直线x π=3对称 17、函数x xy sin 22-=的图像大致是····································（）18、已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致是·············（）19、把函数12cos +=x y 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是····················（）(A) (B)(C) (D)20、已知向量m=（sinx ，1）()(),02cos 2,cos 3,1,sin >⎪⎭⎫⎝⎛==A x A x A n x m 函数f （x ）=n m ∙的最大值为6. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()x f y =的图象像左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()x g y =的图象。

职高集合复数导数指数函数及对数函数综合习题及部分答案

试卷一、选择题1、设集合}312|{<+=x x A ，}23|{<<-=x x B ，则B A ⋂等于（）。

A 、}13|{<<-x xB 、}21|{<<x xC 、}3|{->x xD 、}1|{<x x2、设集合}21{，=A ，则满足3}2{1，，=⋃B A 的集合B 的个数是（） A 、1 B 、3 Ｃ、4 Ｄ、83、已知函数x x f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则N M ⋂＝（） A 、}1|{>x x B 、}1|{<x x C 、}11|{<<-x x D 、∅4、设1>a ，函数x x f a log )(=在区间[]a a 2,上的最大值与最小值之差为21，则a ＝（）A 、2B 、2C 、22D 、45、已知集合}1,1{-=M ，}4221|{1<<∈=+x Z x N ，则N M ⋂＝（）A 、}1,1{-B 、}1{-C 、}0{D 、}0,1{-6、若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为（） A 、-6 B 、13 C.32 D.13 7、定义运算bc ad d c ba -=,,，则合条件01121=+-+i i iz ，，的复数_z 对应的点在（） A ．第一象限； B ．第二象限； C ．第三象限； D ．第四象限；8、若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（符）A.－4；B.4；C.－1；D.1；9、复数i i ⋅--2123=（）A ．－IB ．IC ． 22－iD ．－22+i10、若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或11、已知复数z 满足2)1()1(i z i +=-，则z ＝（）(A) －1+ i (B) 1+i (C) 1－i (D) －1－i12、.函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 必要非充分条件13、已知点P(1,2)是曲线y=2x2上一点，则P 处的瞬时变化率为（）A ．2B ．4C ．6D ．2114、设函数()f x ＝x 3﹣x 2，则)1(f '的值为（）A ．－1B ．0C ．1D ．515、已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（）A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(-16、一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为43215243s t t t =-+，那么速度为零的时刻是（）A ．1秒末B ．0秒C ．4秒末D ．0,1,4秒末17、设3<2731<x ）（, 则（）正确–1<x<3; (B) x<-1或x>3; (C) –3<x<-1; (D) 1<x<3.二、填空题（共16分）1、若函数12)(22-=--a ax x x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围_________。

高考数学专题九复数与导数第74练函数的极值与最值

【步步高】（浙江专用）2017年高考数学专题九复数与导数第74练函数的极值与最值练习训练目标 (1)函数极值、最值的概念、求法；(2)函数极值、最值的应用. 训练题型 (1)求函数的极值；(2)求函数的最值；(3)恒成立的问题；(4)零点问题.解题策略 (1)f ′(x )＝0是函数f (x )存在极值点的必要条件，f (x )的极值可用列表法求解；(2)利用最值研究恒成立问题，可分离参数后构造函数，转化为函数的最值问题；(3)零点问题可借助于函数的图象解决.一、选择题1．“可导函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取得极值”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数y ＝ln x x的最大值为( )A.1e B ．e C ．e 2D.1033．设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)4．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．－239 D.335．(2015·宜昌模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( ) A.14 B.13 C.12D ．1 6．(2015·河北保定第一中学模拟)已知f (x )＝ax 3，g (x )＝9x 2＋3x －1，当x ∈[1,2]时，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．a ≥11B ．a ≤11C ．a ≥418D ．a ≤4187．(2015·唐山一模)直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( ) A ．3 B ．2 C.324D.328．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，12)C ．(0,1)D ．(0，＋∞)二、填空题9．已知直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________． 10．(2014·温州十校联考)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．11．已知f (x )＝x 2＋a ln x (a ∈R )．若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≤(a ＋2)x 成立，则实数a 的取值范围是______．12．定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界，已知函数f (x )＝1＋a ·(12)x＋(14)x，若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，则实数a 的取值范围是______．答案解析1．B [对于f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，不能推出f (x )在x ＝0处取极值，反之成立．故选B.]2．A [令y ′＝1－ln xx2＝0(x >0)，解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0<x <e 时，y ′>0，所以y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.]3．D [观察图象知，当x <－3时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )<0；当－3<x <0时，y ＝x ·f ′(x )<0，∴f ′(x )>0，∴f (x )的极小值为f (－3)．当0<x <3时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )>0；当x >3时，y ＝x ·f ′(x )<0， ∴f ′(x )<0.∴f (x )的极大值为f (3)．] 4．C [g (x )＝x 3－x ；g ′(x )＝3x 2－1，令g ′(x )＝0，即3x 2－1＝0，得x ＝33或x ＝－33(舍去)，又g (0)＝0，g (1)＝0，g (33)＝－239. 所以g (x )的最小值为－239.故选C.]5．D [由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f (1a)＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.]6．A [f (x )≥g (x )恒成立，即ax 3≥9x 2＋3x －1. ∵x ∈[1,2]，∴a ≥9x ＋3x 2－1x3.令1x ＝t ，则当t ∈[12，1]时，a ≥9t ＋3t 2－t 3. 令h (t )＝9t ＋3t 2－t 3，h ′(t )＝9＋6t －3t 2＝－3(t －1)2＋12.∴h ′(t )在[12，1]上是增函数．∴h ′(x )min ＝h ′(12)＝－34＋12>0.∴h (t )在[12，1]上是增函数．∴a ≥h (1)＝11，故选A.]7．D [令2(x ＋1)＝a ，解得x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t (x ≥0，t >0)，即t ＋ln t＝a ，则|AB |＝|t －a 2＋1|＝|t －t ＋ln t2＋1|＝|t 2－ln t 2＋1|.设g (t )＝t 2－ln t2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t ，令g ′(t )＝0，得t ＝1，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32.]8．B [函数f (x )＝x (ln x －ax )(x >0)，则f ′(x )＝ln x －ax ＋x (1x－a )＝ln x －2ax ＋1.令f ′(x )＝ln x －2ax ＋1＝0，得ln x ＝2ax －1.函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，等价于f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，等价于函数y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点．在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)．当a ＝12时，直线y ＝2ax －1与y ＝ln x 的图象相切，由图可知，当0<a <12时，y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点．则实数a 的取值范围是(0，12)．]9．－2<a <2解析 f ′(x )＝3x 2－3.令f ′(x )＝0可以得到x ＝1或x ＝－1， ∵f (1)＝－2，f (－1)＝2，∴－2<a <2. 10．(－∞，－1]解析转化为f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x ＋2)在[－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1，所以g (x )min ＝－1，则b 的取值范围是(－∞，－1]． 11．[－1，＋∞)解析不等式f (x )≤(a ＋2)x ，可化为a (x －ln x )≥x 2－2x .因为x ∈[1，e]，所以ln x ≤1≤x 且等号不能同时取到，所以ln x <x ，即x －ln x >0，因而a ≥x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])．令g (x )＝x 2－2xx －ln x(x ∈[1，e])，又g ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2，当x ∈[1，e]时，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而g ′(x )≥0(仅当x ＝1时取等号)，所以g (x )在[1，e]上为增函数，故g (x )的最小值为g (1)＝－1，所以a 的取值范围是[－1，＋∞)． 12．[－5,1]解析由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立，即－3≤f (x )≤3，所以－4·2x －(12)x ≤a ≤2·2x－(12)x 在[0，＋∞)上恒成立，所以[－4·2x －(12)x ]max ≤a ≤[2·2x－(12)x ]min .设2x＝t ，h (t )＝－4t －1t，p (t )＝2t －1t，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1.因为h ′(t )＝－4＋1t 2，p ′(t )＝2＋1t2.又由1t 2－4<0知t >12，故t ≥1时，h ′(t )<0，所以h (t )在[1，＋∞)上单调递减，又p (t )在[1，＋∞)上单调递增，故h (t )在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a的取值范围为[－5,1]．。