七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题讲课教案

七年级下册第24题压轴题平行线的拐角

问题

七下平行线，平面直角坐标系压轴题

二．解答题（共27小题）

14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；

请在下列解答中，填写相应的理由：

解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．

∵AB∥CD（已知），

∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

∴∠1=∠3，∠2=∠4（）

∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）

即∠HMF=∠1+∠2．

∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）

∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（）

∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．

（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；

（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．

14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；

请在下列解答中，填写相应的理由：

解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．

∵AB∥CD（已知），

∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

∴∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）

∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）

即∠HMF=∠1+∠2．

∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）

∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（角平分线定义）

∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．

（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；

（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．

【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；

（2）先根据HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根据（1）中结论即可得到∠HMF的度数；

（3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ．

【解答】解：（1）由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两直线平行，内错角相等；由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1=∠BHP，∠2=∠DFP，其依据为：角平分线定义．

故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义．

（2）如图2，∵HP⊥EF，

∴∠HPE=90°，

∴∠EHP+∠HEP=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）

又∵AB∥CD，

∴∠HEP=∠DFP．

∴∠EHP+∠DFP=90°．

由（1）得：∠HMF=（∠EHP+∠DFP）=×90°=45°．

（3）如图3，∵NQ⊥FM，

∴∠NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）．

∴∠NFQ=90°﹣∠FNQ．

∵FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，

又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=（∠HFE+∠EFD）=∠HFD，

∴∠HFD=2∠NFQ．

又∵AB∥CD，

∴∠EHF+∠HFD=180°，

∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣2∠NFQ=180°﹣2（90°﹣∠FNQ）=2∠FNQ，

即无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．

【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义以及平行公理的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．

15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．

（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；

（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；

（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）

【分析】（1）根据平行线的性质即可得到∠AEC=∠AFM，再根据∠AEC=∠BAC，可得∠AFM=∠BAC，根据∠BFA+∠AFM=180°，可得结论；

（2）根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到与∠CAF相等的角；

（3）过D作DH∥BF，过M作MG∥BF，根据平行线的性质，即可得到∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，再根据∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，可得∠CEM+∠FBM=（∠CED+∠FBD），进而得到∠M的度数．

【解答】解：（1）如图1，∵直线m∥n，

∴∠AEC=∠AFM，

∵∠AEC=∠BAC，

∴∠AFM=∠BAC，

又∵∠BFA+∠AFM=180°，

∴∠BFA+∠BAC=180°；

（2）与∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG．

证明：∵∠AEC=∠BAC，∠ACE=∠NCA，

∴∠CAE=∠ANC=∠BNG，

∵m∥n，

∴∠ABF=∠ANC，

∴与∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG；

（3）如图2，过D作DH∥BF，过M作MG∥BF，

∵BF∥CE，

∴DH∥BF∥CE，MG∥BF∥CE，

∴∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，

∴∠CED+∠FBD=∠EDB=180°﹣∠ADC=180°﹣α，

∵∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，