数学悖论和三次数学危机概述32页PPT
数学史上的三大危机
数学史上的三大危机无理数危机、无穷小是零危机和悖论危机无理数的发现－第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯的悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：宇宙间一切事物都可总结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。
这个悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时理解上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。
欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。
今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。
第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大的冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却能够由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。
危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！无穷小是零吗？－第二次数学危机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的实验过，绝大部分数学家对这个理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，茅头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。
数学悖论和三次数学危机
数学悖论与三次数学危机“……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。
”——N·布尔巴基什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。
悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。
由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。
如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。
在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。
按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。
希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。
因此，我们从勾股定理谈起。
勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。
天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。
它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。
在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。
不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。
一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。
在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。
因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。
并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。
因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
数学史三次危机简介
数学史三次危机简介
数学史上的三次危机，简要概括如下：
1. 第一次数学危机：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现无理数，挑战了当时“万物皆数”（指整数或整数之比）的信念。
这次危机通过实数理论的建立得到解决。
2. 第二次数学危机：17至18世纪，围绕无穷小量的问题，主要与微积分的发展有关。
微积分学在理论不完善的情况下被广泛应用，但其基础—无穷小的概念受到质疑。
最终，通过实数理论和极限理论的建立，这次危机得到了缓解。
3. 第三次数学危机：19世纪末，集合论悖论的出现，如著名的罗素悖论，暴露了自洽性问题。
这些悖论挑战了集合论作为数学基础的地位。
至今，尽管哥德尔的不完备定理对形式系统的局限性做了阐述，但第三次数学危机并没有完全解决。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机1 无理数的发现——第一次数学危机大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算数、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不可能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为1的直角三角形就是如此。
这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中，欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释和现代解释基本一致。
今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。
第一次数学危机对古希腊的数学家观点有极大冲击。
这表明，几何学的某些真理和算数无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。
危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的。
从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！2 无穷小量是零吗？——第二次数学危机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础——无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
他指出：“牛顿在求的导数时，采取了先给以增量0，应用二项式，从中减去以求得增量，并除以0以求出的增量与增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比。
这里牛顿做了违反矛盾律的手续——先设有增量，又令增量为零，也即假设没有增量。
数学悖论和三次数学危机概述
❖ 数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展
史，数学发展从来不是完全直线式的，他的体系不是永远和谐 的，而常常出现悖论。悖论是指在某一一定的理论体系的基础 上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者 是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的 等价式。数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事，因为 它直接导致了人们对于相应理论的怀疑，而如果一个悖论所涉 及的面十分广泛的话，甚至涉及到整个学科的基础时，这种怀 疑情绪又可能发展成为普遍的危机感，特别是一些重要悖论的 产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的 动摇。数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个 典型的数学悖论引起的。本讲回顾了历史上发生的三次数学危 机，重点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用。
第一次数学危机的影响
❖ 毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生 了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇 了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了 整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱， 历史上称之为第一次数学危机。 ❖ 第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动 了数学及其相关学科的发展。
第一次数学危机的影响
❖ 首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数 的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究 了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有 理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数 理论，为数学分析的发展奠定了基础。再者，第一次数学 危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠 的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公 理体系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在 这时候应运而生的。第一次数学危机极大地促进了几何学 的发展,使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数 学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。
《数学史上的三次危机》课件
Three crises in Mathematics
第一次危机 first
出现
1
希帕索斯发 现：两直角边都 为1的等腰直角三 角形，其斜边的 长度是上帝都不 知道的数。这是 人类数学史上发 现的第一个无理 数。
2 a ？ b
2 因为这一背
经离道的发现， 希帕索斯被扔 到海里淹死了。
4 毕达哥拉斯认定类似于“根号
2
第一个图形 反比例函数图形
第二个图形 双曲线的图形
Three crises in Mathematics
第二次危机 Second
背景 2、无穷小与0
3 中国庄周所著《庄子》
一书的《天下篇》中， 也记有“一尺之棰，日 取其半，万世不竭”。
5
而现在，我们高中生都 知道，无穷小不是一个实数， 而是一个以0为极限的变量。 无穷小不一定是0，但0是 无穷小，不仅如此，0还是 实数内唯一一个无穷小。
Three crises in Mathematics
第二次危机
Second
出现
2 无穷小量的概念对于
微积分理论乃至高等数学 的发展有着基石性的作用， 当时人们的认知是不严谨 和不完整的，牛顿和莱布 尼兹纷纷采用“先用了再 说”的方式进行研究，才 照成了第二次数学危机。
1
1734 年 ， 英 国 哲 学 家 、 大 主 教贝克莱把矛头指向微积分的基 础--无穷小的问题。他指出微积分 理论在推导过程中存在逻辑上的 自相矛盾：“无穷小量是一个幽 灵，说它是0吧，又可以做为分母， 不是0吧，又可以舍去。总之看起 来是0又不是0。与其相信无穷小 的灵魂，还不如相信上帝”。微 积分的合理性就这样遭到严重质 疑，险些要把整个微积分理论推 翻
4
三大数学危机
三大数学危机数学危机是数学公理在定义上的不完全或不够严谨，导致在理性推论下，将会得到错误的结论。
例如：在无理数还没被发现之前，在毕氏定理中出现腰长为1的等腰直角三角形的斜边长度，竟是无法写成有理数的数。
这是第一次数学危机。
第二次数学危机得解决微积分引入无穷小量而产生的极值问题（飞矢不动的悖论）。
第三次数学危机则是因罗素悖论而起，罗素悖论点出了数学集合论中的缺失。
飞矢不动悖论是古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea)提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论中的一个。
人们通常把这些悖论称为芝诺悖论。
芝诺提出，由于箭在其飞行过程中的任何瞬间都有一个暂时的位置，所以它在这个位置上和不动没有什么区别。
中国古代的名家惠施也提出过，“飞鸟之景，未尝动也”的类似说法。
芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的？”“那还用说，当然是动的。
”“确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。
可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？”“有的，老师。
”“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？”“有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。
”“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？”“不动的，老师”“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？”“也是不动的，老师”“所以，射出去的箭是不动的？”罗素悖论（Russell's paradox），也称为理发师悖论，是罗素于1901年提出的悖论，一个关于类的内涵问题。
罗素悖论当时的提出，造成了第三次数学危机。
理发师悖论”悖论内容一位理发师说：“我只给不给自己刮脸的人刮脸。
”那么他是否给自己刮脸呢？如果他给的话，但按照他的话，他就不该给自己刮脸；如果他不给的话，但按照他的话，他就该给自己刮脸。
于是矛盾出现了。
罗素悖论我们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有类可以组成一个类。
但这样的企图将导致悖论：罗素悖论：设性质P(x)表示“”，现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“”。
数学的三大危机和悖论
•
现 得 很 优 秀 ︒
数 学 体 系 ︐ 尽 管 很 多 方 面 表
机 ︐ 就 没 能 完 全 形 成 真 正 的
大 国 ︐ 因 为 没 有 这 次 数 学 危
向 不 同 的 路 ︐ 像 中 国 这 样 的
使 得 东 西 方 数 学 体 系 完 全 走
大 定 律 ︒ 正 是 因 为 这 次 危 机 ︐
• 下面我来跟大伙聊聊这三次有意思的事件。
第一次数学文化
第一次数学危机发生在公元前500年左右，我感觉跟 精确度有关，我们平时用到的数学知识，几乎都只要 精确到一定程序就可以了，所以古希腊毕达哥拉斯学 派认为，任何一个数都能用a/b的形式来表示，其中a 和b都是整数，这些数在数学上有个专有名词叫有理 数。但是有一天，有个叫希帕索斯的学者发现，好像 不是这么回事，他作了一个这样的假设，就是等腰直 角三角形，如果直边都为1，那么它的斜边(√2)就不 满足这个条件。这个证明起来其实很简单，但是对于 当时着了迷的毕达哥拉斯派学者来说，这完全不能接 受，就好像发现自己一直深爱的很纯洁的美女是绿茶 妹一样，这些气急败坏的学者们最后把希帕索斯扔到 海里面去了。这就是典型的学术迫害啊。
数学的三大危机和悖论
• 在数学的历史上，有过三次比较重大的危机。
• 第一次是关于无理数的，这次危机把毕达哥拉斯的数 学王朝推翻。 • 第二次数学危机是关于微积分的，是常识跟数学之间 的契合的问题。
• 第三次数学危机发生在二十世纪初，这次危机涉及到 了数学中最基础的大厦，差点把整个数学理论推翻重 来。
的 地 位 下 降 ︐ 几 何 学 的 地 位
第 一 次 数 学 危 机 使 得 纯 代 数
多 的 学 者 发 现
一 个 希 帕 索 斯 ︐ ︐ 自 然 会 ︐ 有 更 ︔ √2 √3 √5
数学思维——数学悖论与三次数学危机
产生悖论 和数学危 机
消除危机
&完善体 系
产生新的 悖论和数 学危机
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。微积分这一数学工具为 牛顿、莱布尼兹各自独立发现。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所 创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析 之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。
1734年，英国大主教贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本 书并在这本书中对牛顿的理论进行了攻击：由于无穷小量在牛顿的 理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷 小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的， 但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。
如果某一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更 为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍 危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学 危机”的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史 上迄今为止出现了三次这样的数学危机。
毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
1.产生
2.解决
贝克莱悖论与第二次数学危机
人们发现无理数，建立了完整的实 数理论，欧氏几何也应运而生并形
成了几何公理体系
直接导致了极限理论、实数理论和 集合论三大理论的产生和完善，使 微积分建立在稳固完美的基础之上
使集合论成为一个完整的集合论公理 体系（ZFC系统），促进了数学基础
研究及数理逻辑的现代性。
悖论：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”
“古往今来，Leabharlann 数众多的悖论为逻辑思想 的发展提供了食粮。”
——布尔巴基
什么是悖论？
悖论是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结 果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不
数学悖论与三次数学危机省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
柯西
第22页
到十九世纪，批判、系统化和严密论 证必要时期降临了。 使分析基础严密化 工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大 步。柯西于1821年开始出版了几本含有划 时代意义书与论文。其中给出了分析学一 系列基本概念严格定义。如他开始用不等 式来刻画极限，使无穷运算化为一系列不 等式推导。
欧多克
第11页
二百年后，大约在公元前370年，才华横溢欧 多克索斯建立起一套完整百分比论。他本人著作 已失传，他结果被保留在欧几里德《几何原本》 一书第五篇中。欧多克索斯巧妙方法能够避开无 理数这一“逻辑上丑闻”，并保留住与之相关一 些结论，从而处理了由无理数出现而引发数学危 机。但欧多克索斯处理方式，是借助几何方法， 经过防止直接出现无理数而实现。这就生硬地把 数和量肢解开来。在这种处理方案下，对无理数 使用只有在几何中是允许，正当，在代数中就是 非法，不合逻辑。或者说无理数只被看成是附在 几何量上单纯符号，而不被看成真正数。
第32页
如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论信后难 过地说：“一个科学家所碰到最不合心意事 莫过于是在他工作即将结束时，其基础瓦解 了。罗素先生一封信恰好把我置于这个境 地。”戴德金也所以推迟了他《什么是数本 质和作用》一文再版。能够说，这一悖论就 象在平静数学水面上投下了一块巨石，而它 所引发巨大反响则造成了第三次数学危机。
第12页
一直到18世纪，当数学家证实了基本常数如 圆周率是无理数时，拥护无理数存在人才多 起来。到十九世纪下半叶，现在意义上实数 理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清， 无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理 数在数学中正当地位确实立，首先使人类对 数认识从有理数拓展到实数，另首先也真正 彻底、圆满地处理了第一次数学危机。
三次数学危机
欢迎共阅数学悖论与三次数学危机“……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。
”——N·布尔巴基悖定理”。
并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。
因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。
宗理提出后，这一击。
这个断的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
合法的，而不第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。
这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。
许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。
但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。
两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。
因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。
其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的，得到2xΔx+ (Δx2)“依靠究竟是否为而言，针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼兹都曾试图通过完善自己的理论来解决，但都没有获得完全成功。
这使数学家们陷入了尴尬境地。
一方面微积分在应用中大获成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论。
这种情况下对微积分的取舍上到底何去何从呢？“向前进，向前进，你就会获得信念！”达朗贝尔吹起奋勇向前的号角，在此号角的鼓舞下，十八世纪的数学家们开始不顾基础的不严格，论证的不严密，而是更多依赖于直观去开创新的数学领地。
于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出来。