第3章常微分方程的边值和本征值问题讲义.

首先，写出本问题的 Numerov 算法递推关系
而 y1 是未知的，需要一个一步迭代格式来产生 y1 ，例如可选 择 Euler 方法或 Taylor 级数展开，并利用初始条件 来确定 y1 。 这里我们采用 Taylor级数展开，并取
它可以保证有 O(h3)的精度．
当然我们可以将 y1 展开到 O(h6)，使它有与 Numerov 算
后积分的递推关系，其局部误差为 O(h6).
注意这个算法比四阶Runge-Kutta算法高一个精度，而且
Numerov算法更有效率，因为每一步只需要在一个格点上
计算 k2 和 S。
必须强调的是 Numerov 算法只适用于本章给出的微分方程， 对其它类型的微分方程是不适用的．
例子——利用Numerov算法解初值问题
在球坐标系下可写为
在分离变量之后可得径向波函数 R(r) 满足的方程为
对于该方程，我们感兴趣的是对哪些能量本征值E， 能够导 出满足适当边界条件的物理上可以接受的非零解， 这个问题
就是一个本征值问题
3.1 Numerov 算法
Numerov 算法是处理下面的方程的一个高精度的算法
代入递推关系
对 yn+1 或者 yn-1 解这个线性方程，就提供了一个对 x 向前或者向
第三章 常微分方程的边值问题 和本征值问题
本章要研究的物理问题：薛定谔方程的定态解
本章内容
1 2 3 4 5 4 Numerov 算法 边值问题的直接积分 打靶法求边值问题
打靶法求本征值问题
一维薛定谔方程的定态解
3.0 边值问题与本征值问题
边值问题
在区间的两个端点上对待求函数各施加一个约束，这样方
混入第一个解 ϕ ~ r ，这个解最终将在 r 大时占支配地位．
例如 ϕ →1 + 0.0001 r
解决这一困难的办法是，对数值解进行修正——从数值结果 中去掉 “坏”的、非物理的成分．具体地说， 就是从数值解 中减去随 r 作线性变化的部分， 以保证解的物理行为．
已知 ϕ → 1+ br, b 为未知常数，需要从解中减去 br 。
= 1 处的值与边条件 ϕ(1) = 0 在误差范围内不相等，就改 变试验本征值的值，再度积分。重复这个过程，直到最终 找到本征值和对应的本征函数。
注意：试验本征值 k 是一个可调参数，而参数 δ 只是一
个任意选定的辅助参数，它的任意性是由于解 的不唯一 性引起的，并不影响本征值的求解，一般来说它可以由本 征函数的归一化来确定。
其中 S(x) 为驱动项。 K2(x)是一个实函数，自变量 x 通常表
示空间位置．
边值问题的例子——泊松方程
例如泊松方程
对于这个方程，我们通常关心的是在 r= 0 和 r=+∞ 上 满足某种约束条件的解，这个问题就是一个边值问题． 球对称形式为
作变换
为标准形式
本征值问题的例子——薛定谔方程
量子力学中，中心势场 V(r) 中运动的粒子波函数满足定态 薛定谔方程
法同样的精度．
注意 Numerov 算法与前面所讲算法的区别 前面的算法都是首先
而Numerov算法则是
3.2 边值问题的直接积分
电荷密度分布为
求解泊松方程
这个方程存在解析解
应用Numerov算法，递推关系为
其中
启动递推关系还需
的值
为了求得
，直接对方程积分
计算结果发现，当 r 增大时， 的误差变大
3.4 打靶法求解本征值问题
考虑一根密度均匀的绷紧的弦的振动，分离变量后，空间
部分满足的方程和边界条件可以写成
φ 是弦的横向位移， k 是波数 解析解为
相比边值问题，本征值问题多了一个待定参数 策略：我们先猜测一个试验本征值 k，同时任取一个非零数 δ ， 把微分方程变化为一个初始值问题
然后从 x = 0 向前积分产生一个数值解。如果该数值解在 x
为什么直接积分会不稳定？
r很大时，方程的渐进形式为
这个渐进方程有两个线性独立的解
Fra Baidu bibliotek
ϕ~r
ϕ ~ 常数
（Φ ~ 常数）
（Φ ~ r−1）
这个齐次方程有两个线性独立的解其通解可以写成这两个
函数的线性组合，组合的系数由边条件来决定。
当 r 很大时，位势 Φ→ r -1，因而 ϕ ~ 1 。
而计算 ϕ’(0) 的误差或向前积分过程中的任何误差都会导致
n = 600
b = (phi (n) – phi (n - 100)) / (100 * h)
for k = 1 : n phi(k) = phi(k) - b * k * h; end
线性修正后得到的解
对于本例，我们也可以采用向后积分的迭代格式来实施直接
积分， 即从 r 很大处（例如 r=20 ）出发，取 ϕn+1=ϕn=1 ， 然后向后积分。
程的解就能唯一的确定，这类问题称为边值问题。
例如
存在唯一的解
本征值问题
在区间的两个端点上对待求函数各施加一个约束。方程存 在一个待定参数，只有当待定参数取特定值的时候，方程 才存在非零解，这类问题称为本征值问题。 例如
本征解和本征函数为
物理学中边值问题和本征值问题的一般形式
物理学中许多重要的微分方程具有如下形式
题得到 yδ (b) ．
一般来说，由于可调参数 δ 的随意选择， yδ(b) 和 yb 很难相等。
打靶法就是通过使用一个搜索算法去调整参数 δ ，使得 yδ (b) 和 yb 在误差容忍范围内相等，从而达到数值求解边 值问题的目的． 问题转化为求下面方程的根
yδ (b)= yb
可以使用二分法、弦割法来解这个方程
例子
利用打靶法求解常微分方程边值问题
其中解析解为
对边值问题的其它类型的边值条件也可以用同样的方法来 考虑。
对于边值条件 y’(0)=a, y(1)=b ，如何利
用打靶法来求解？
对于边值条件 y’(0)=a, y(1)=b ，我们可以选择 y(0) 的 值为可调参数 δ ，即 y(0) = δ ，这样就构成了一个含参 数的初始问题，然后通过使用一个搜索算法去调整参数 δ ， 使数值解在误差范围内等于 y(1) 。
3.3 打靶法求边值问题
考虑下面的边值问题
与常微分方程问题不同，边值问题的定解条件分散在两个 端点上，无法直接启动递推关系进行计算，因此需要一些 辅助的处理手段。
打靶法的基本思想是将边值问题当作一个含可调参数 δ 的
初始问题来处理，即考虑如下初始问题
这样对于给定的参数 δ ，我们就可以通过积分这个初始问