第3章常微分方程的边值和本征值问题讲义.
常微分方程第三章基本定理
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线性化定理
总结词
线性化定理是将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法，从而可以利用线性方程的解法来求解。
详细描述
线性化定理提供了一种将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法。通过适当的变换，可以将非线性问题 转化为线性问题，从而可以利用线性方程的解法来求解。这个定理在解决复杂的非线性问题时非常有用，因为它 简化了问题的求解过程。
02
CATALOGUE
常微分方程的稳定性
稳定性定义
稳定性的定义
01
如果一个常微分方程的解在初始条件的小扰动下变化不大，那
么这个解就是稳定的。
稳定性的分类
02
根据稳定性的不同表现，可以分为渐近稳定、指数稳定、一致
稳定等。
稳定性判别方法
03
可以通过观察法、线性化法、比较法等方法来判断常微分方程
的解是否稳定。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是常微分方程数值解法中一种更精确的 方法，它通过多步线性近似来逼近微分方程的解。
详细描述
龙格-库塔方法的基本思想是利用已知的初值和微分方 程，通过多步线性插值来逼近微分方程的解。具体来 说，龙格-库塔方法通过递推公式来计算微分方程的近 似解，公式如下：(y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) + frac{h^2}{2} f(t_{n-1}, y_{n-1}) - frac{h^2}{2} f(t_{n-2}, y_{n-2})) 其中 (h) 是步长，(t_n) 和 (y_n) 是已知的初值，(f) 是微分方程的右端函数。
存在唯一性定理表明，对于任意给定的初值问题，存在一个唯一的解，该解在某个区间内存在并连续 。这个定理是常微分方程理论的基础，为后续定理的证明提供了重要的依据。
数学物理方法常微分方程的本征值问题
dx
N
2 n
9
常微分方程的本征值问题
1
Nn
b a
yn2
x
dx
2
称为归一化因子。
y b 2 an
x
dx
N
2 n
b
yn
x
yn
x
dx
1
a Nn
Nn
令n x
yn x
Nn
则有
b
an
xm
x dx
δnm
1 0
b
a
f1 x
f2
xdx
0
，则称它们在区间
a, b 上正交
如果函数是复函数，则写为
b a
f1*
x
f2
x dx
0
2、归一化定义：
由正交定义，对一本征函数系 yn x
当
n
m
时，
b a
yn
x
ym
x
dx
0
当 n m 时，
y b 2
an
x
2、性质 ① 结论1：所有本征值都是实数，且非负，即 λn 0 ② 结论2：存在无穷多个实的本征值，成一递增数列 λ1 λ2 λn 对应有无穷多个本征函数 y1 , y2 , yn 称为本征函数系，同一本征值对应 的本征函数可能不止一个。
13
常微分方程的本征值问题
③ 结论3：对应于不同本征值的本征函数 yn、ym ，
两种情况下，求解S-L型本征值问题
常微分方程第三章
第三章 存在和唯一性定理一． [内容提要] 本章主要介绍解的存在和唯一性定理、接的延伸和解的最大存在区间等有关问题.解的存在和唯一性定理是微分方程中最常用的定理，学过这一定理之后，对于微分方程的通解概念，才由形式上的理解转为实质上的理解；另外在求近似解之前，都必须从理论上做解的存在唯一性判定.关于解的延伸定理，它把解的存在唯一性定理所得到的、具有局部性的结果，延伸到全局上去.这一定理无论在微分方程的理论研究和实际应用中，都是很有意义的.二． [关键词] 存在和唯一性，解的延伸，毕卡逐次逼近法三． [目的和要求]1． 熟练掌握毕卡逐次逼近法，并用它证明一阶常微分方程初值问题解的存在唯一性定理.2． 了解右端函数连续性保证初值问题解的存在性，李普希茨条件保证初值问题解的唯一性这些事实.3． 理解初值问题解的存在唯一性中解的存在区间的意义，会求其解的存在区间.4． 理解解的延伸概念，理解延伸定理的意义.四．[教学过程]在第二章中我们已经讨论了不少寻找微分方程的通解或通积分的方法，但是我们也看出，多数微分方程是不能通过初等积分法求解的，而很多重要的实际问题又需要用微分方程的解去刻画它.为解决这个矛盾，人们在分析了这些微分方程之后，发现在很多情况下，其实只要能够求出满足一定条件的特解就行了；在另外一些情况下，即使不去求特解和通解，但若能知道解族的某些性质，问题同样可以得到解决，例如第八章中将讨论的稳定性问题.但要求特解，首先必须证明满足某给定条件的解的存在性和唯一性.否则，若要求的解根本不存在，而去求解那显然是荒唐的.或者即使解存在但不唯一，那也不知取哪一个好.此外，解的存在唯一性问题如果不得到解决，要想研究整个解族的性质也会有很多的困难.这样解的存在唯一性问题就是一个十分基本的问题，不解决这个问题，对微分方程的进一步研究就无从谈起.关于初值问题，柯西第一个在很一般的条件下，建立了初值问题解的存在与唯一性定理.以后皮亚诺（Peano ）和毕卡（Picard ）等人又在更广泛的条件下，分别证明了解的存在性和解的唯一性.§1 毕卡存在和唯一性定理关于初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy )2.1()1.1( 的解的存在唯一性，我们将利用著名的Picard 逐次逼近法来证.此方法的主要思想是在所设条件下，构造一个连续函数列，它一致收敛的极限函数正好是所求始值问题的解.采用这个方法不仅证明了解的存在性，而且在证明解的存在唯一性的过程中，还提供了求近似解的构造性途径.定理1 假设：1）),(y x f 在矩形区域a x x R ≤-0:，b y y ≤-0 内连续，记),(max ),(y x f M Ry x ∈=，),min(M b a h =. 2） ),(y x f 对y 满足李普希茨条件（或简称李氏条件），即存在常数0>L ，使得2121),(),(y y L y x f y x f -≤- )3.1(其中R y x y x ∈),(),,(21，则方程)1.1(在区间h x x ≤-0上存在唯一的，满足初值条件)2.1(的解)(x y ϕ=.证明 证明步骤如下：（一） 求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程⎰+=x x dx y x f y y 0),(0 )4.1( 的连续解；（二） 在区间h x x ≤-0上构造一个连续函数序列{})(x y n ，称为毕卡序列；（三） 证明{})(x y n 在区间h x x ≤-0上一致收敛；（四） 证明{})(x y n 的极限函数)(x ϕ是积分方程)4.1(的解；（五）证明满足方程)1.1(和条件)2.1(的解必为)(x ϕ.（一） 求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程⎰+=x x dx y x f y y 0),(0 )4.1( 的连续解.事实上，设)(x y y =是方程)1.1(的解，故有00)()),(,()(y x y x y x f dx x dy =≡，两边从0x 到x 取定积分得到⎰≡-xx dx x y x f x y x y 0))(,()()(0， h x x ≤-0， 即 ⎰+≡xx dx x y x f y x y 0))(,()(0， h x x ≤-0，因此，)(x y y =是)4.1(的定义在h x x ≤-0的连续解.反之，若)(x y y =是)4.1(的的连续解，则有⎰+≡x x dx x y x f y x y 0))(,()(0， h x x ≤-0， )5.1( 微分之，得 ))(,()(x y x f dxx dy ≡. 又把0x x =代入)5.1(，得到00)(y x y =.故)(x y y =是方程)1.1(的定义在h x x ≤-0上，且满足初值条件)2.1(的解.因此，下面我们只需证明积分方程)4.1(在区间h x x ≤-0上有且仅有一个解. （二）在区间h x x ≤-0上，用逐次迭代法构造毕卡连续函数序列{})(x y n .取初值0y 为零次近似：00)(y x y =.利用)4.1(，用零次近似0y 代替积分号下的)(x y ，得到函数⎰+≡xx dx y x f y x y 0),()(001 )6.1(显然，)(1x y 在区间h x x ≤-0上是连续可微的，且由)6.1(推出b Mh x x M dx y x f y x y xx ≤≤-≤≤-⎰00010),()( )7.1(这表明函数)(1x y y =当h x x ≤-0时是连续的，且将位于矩形域R 上，我们称它为一次近似.再利用)4.1(，作出二次近似⎰+≡x x dx x y x f y x y 0))(,()(102， 同样地有b Mh x x M dx x y x f y x y xx ≤≤-≤≤-⎰01020))(,()(， 可以看出，当h x x ≤-0时，函数)(2x y y =也是连续的，且它也完全位于矩形域R 上.一般地，规定了1-n 次近似以后，就可以利用)4.1(式得出n 次近似：⎰-+≡xx n n dx x y x f y x y 0))(,()(10 )8.1(这样，我们就可以得到一个毕卡连续函数序列{})(x y n .用数学归纳法可证，每一个)(x y n 在区间h x x ≤-0上都是连续的.都满足00)(y x y n =，都位于矩形域R 上.（三） 下面证明按上述方法构造的函数序列{})(x y n 在区间h x x ≤-0上一致收敛.要证{})(x y n 在区间h x x ≤-0上一致收敛，只须证明级数+-++-++)]()([])([1010x y x y y x y y n n )9.1(一致收敛，因为)(x y n 是此级数的前1+n 项之和.现在我们对级数)9.1(的各项作估计，为此证明估计式101)!1()()(++-+≤-n nn n x x n ML x y x y ),2,1,0( =n )10.1( 在h x x ≤-0上成立.事实上，当0=n 时，由)7.1(可知)10.1(成立.假设当k n =时)10.1(成立，注意到),(y x f 对y 满足李普希茨条件及)8.1(式，便可推出⎰⎰-≤-+++x x x x k k k k dx x y x f dx x y x f x y x y 00))(,())(,()()(112 ⎰⎰-≤-≤++x x k k xx k k dx x y x y L dx x y x f x y x f 00)()())(,())(,(11⎰++-+≤xx k k dx x x k ML 0101)!1(201)!2(++-+≤k k x x k ML ，所以当当1+=k n 时)10.1(成立，故)10.1(得证. 由于h x x ≤-0，从而11)!1()()(+++≤-n nn n h n ML x y x y . 由此可见，级数)9.1(的每一项的绝对值都不大于收敛正项级数)1()!1(0010-+=++∑∞=+Lh n n ne L M y h n ML y 的对应项，（四） 证明{})(x y n 的极限函数)(x ϕ是积分方程)4.1(的解.现对)8.1(式⎰-+≡xx n n dx x y x f y x y 0))(,()(10 两端取极限，当∞→n 时，注意到收敛的一致性和),(y x f 的一致连续性，就得到⎰+≡xx dx x x f y x 0))(,()(0ϕϕ 这表明)(x ϕ是积分方程)4.1(的连续解，从而也是始值问题)1.1(，)2.1(的解，故存在性获证.（五）证明解的唯一性.设积分方程)4.1(还有另一个解)(x ψ，则由)4.1(推出⎰⎰-≤-xx x x dx x x f dx x x f x x 00))(,())(,()()(ψϕψϕ ⎰-≤xx dx x x L 0)()(ψϕ )11.1( 由于在h x x ≤-0上，)()(x x ψϕ-是连续有界的，故可取它的一个上界K ，则由)11.1(有 0)()(x x LK x x -≤-ψϕ，然后，把它代入)11.1(的右端，得到!2)()()(20x x L K x x -≤-ψϕ. 如此递推，在h x x ≤-0上，可用数学归纳法得到!)(!)()()(0n Lh K n x x L K x x n n≤-≤-ψϕ. 让∞→n ，则上述不等式的右端趋于零，故可推出)()(x x ψϕ=， h x x ≤-0.即积分方程)4.1(的解是唯一的，从而定理得证.[附注1] 由于李普希兹条件比较难于检验，常用),(y x f 在R 上有对y 的连续偏导数来代替.事实上，如果在R 上y f ∂∂存在且连续，则y f ∂∂在R 上有界，设在R 上，M yf ≤∂∂，此时 212112221)(,(),(),(y y M y y yy y y x f y x f y x f -≤-∂-+∂=-θ， 这里10,),(),,(21<<∈θR y x y x .但反过来满足李普希兹条件的函数),(y x f 不一定有偏导数存在.例如，函数y y x f =),(在任何区域都满足李普希兹条件，但它在0=y 处没有导数.[附注2] 设方程)1.1(是线性的，即方程为)()(x q y x p dxdy += )12.1( 那么易知，当)(),(x q x p 在区间],[b a 上为连续时，定理1的一切条件就能满足.[附注3] 在证明定理1中所采用的毕卡逼近法在实用上也是求方程近似解的一种方法.容易证明：第n 次近似解)(x y n 与精确解)(x ϕ在区间h x x ≤-0内的误差估计式为)!1()()(1+≤-+n h L M x x y n n n ϕ. 其中L 是李普希兹常数，M 是),(y x f 在a x x R ≤-0:，b y y ≤-0上的上界.[附注4] 李普希兹条件是初值问题解的唯一性的充分条件，容易举例说明.为了保证初值问题解的唯一性，并非一定要求满足李普希兹条件不可，即李普希兹条件不是初值问题解的唯一性的必要条件.例如，设当0=y 时，0),(=y x f ；当0≠y 时，y y y x f ln ),(=，试讨论初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(),(y y x f dx dy （*）解的唯一性.易知),(y x f 在全平面上连续，但在点)0,(0x 的任意小的矩形邻域U 内不满足李普希兹条件.事实上，设),(10y x 是U 内的任意一点，01≠y .考虑1111010ln 0ln )0,(),(y y y y x f y x f =-=-，于是有 11010ln )0,(),(y y x f y x f =-，当01→y 时，∞→1ln y ，所以不存在常数0>L ，使 1010)0,(),(y L x f y x f ≤-.但可通过具体求解，证明初值问题（*）的解仍唯一.事实上，0=y 显然是（*）的解.此外0≠y 时，用变量分离法求得0>y 和0<y 的区域内的通解为x Ce e y ±= （**）对于C 的任何有限值，曲线（**）都不与0=y 相遇，因此，对x 轴上的点)0,(0x ，仍只有唯一的积分曲线0=y 经过此点，即0=y 是（*）的唯一解.此例说明，对于Cauchy 问题解的存在性和唯一性，Lipschitz 条件不是必要的.关于初值问题解的唯一性条件的探讨，迄今仍是数学工作者的研究课题之一.下面我们介绍一个由美国数学家Osgood 用较弱的条件来代替李普希兹条件给出的有关解的一个唯一性定理.设函数),(y x f 在区域G 内连续，且满足不等式)(),(),(2121y y F y x f y x f -≤-，其中0)(>r F 是0>r 的连续函数，且瑕积分∞=⎰10)(r r F dr （常数01>r ） 则称),(y x f 在区域G 内对y 满Osgood 条件.显然，李普希兹条件条件是Osgood 条件的特例，因为Lr r F =)(满足上述要求.定理2 （Osgood ） 设),(y x f 在区域G 内对y 满Osgood 条件，则方程),(y x f dx dy =过G 内每点至多有一个解.证明 用反证法.若G 内可以找到一点),(00y x ，使得方程),(y x f dxdy =过点),(00y x 有两个解)(1x y y =和)(2x y y =，且至少有一个01x x ≠，使得)()(1211x y x y ≠，不妨设01x x >，且)()(1211x y x y >.令{})()(],[sup 2110x y x y x x x x =∈=， 则显然有10x x x <≤，且 0)()()(21>-=x y x y x r ， 当1x x x ≤<；0)(=x r .因此))(,())(,()()()(21'2'1'x y x f x y x f x y x y x r -=-=))(())()((21x r F x y x y F =-≤，即 dx x r F x dr ≤))(()(， （1x x x ≤<） 从1x x 到积分上式得x x r F dr r -≤⎰101)(， 其中0)(11>=x r r ，但这不等式左端为∞，右端是一个有限的数，因此矛盾.故定理2得证.再把条件减弱，只要求),(y x f 连续，就未必再有唯一性的结论了. 例如：31y dxdy =，31y 在),(y x 平面上连续，但在包含点)0,(0x 的任何区域上不满足李普希兹条件.这个方程有通解23)(32)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+±=C x x y ， 其中C 为任意常数.还有一个平凡解0)(=x y ，积分曲线如图 所示，从左向右看，每个点)0,(0x 上有三分叉的三条积分曲线，一条是0=y ，还有与0=y 相且的上下两条曲线形积分曲线；事实上，过A 点沿x 轴及①，②，③，④，⑤，⑥，…等曲线的每一条吻合成一条曲线，故过A 点的积分曲线有无穷之多.最后，给出一个不加证明的Peano 存在性定理.证明请参看§2.定理3 设),(y x f 在矩形区域R 内连续，则方程)1.3(在区间h x x ≤-0上至少存在一个满足条件)2.3(的解)(x y y =.这里矩形区域R 和正数h M ,定义同定理1.。
第三章 常微分方程的边值和本征值问题
因此比 较明智的做法是，在每一个试验本征值上，由 xmax
出发向后直接积分产生另一个数值解 Ѱ>。 为了判断 这个试验本征值是不是一个能量本征值,可以在一
个接合点 xm上比较 Ѱ<和 Ѱ>，其中接合点 xm要这样选择， 使得两个积分都是准确的。这里接合点 xm 的一个方便的选 择是左转折点或右转折点。
问题转化为求下面方程的根
Φk (1)= 0
3.3 一维薛定谔方程的定态解
一维位势 V(x) 中一个质量为 m 的粒子的 量子力学定态
在 x = xmin 和 x = xmax 处两点位势变为无穷大，也就是说在这 两点上有刚壁，在 这两点之间则是一个势阱。
定解问题
其中
求使这个问题有非零解的能量本征值 E 及其相应的波函数
Ѱ<和 Ѱ>的归一化总是可以这样选择，使得两个函数值在
xm 上相等。这时如果 它们的微商在 xm上也相等，那么就可 以断言这个试验本征值就是能量本征值.
数学表达式为
这里的
提供了一个方便的标尺
打靶法的基本思想是将边值问题当作一个含可调参数 δ 的
初始问们就可以通过积分这个初始问
题得到 yδ (b) ．
一般来说，由于可调参数 δ 的随意选择， yδ(b) 和 yb 很难相等。
打靶法就是通过使用一个搜索算法去调整参数 δ ，使得 yδ (b) 和 yb 在误差容忍范围内相等，从而达到数值求解边 值问题的目的． 问题转化为求下面方程的根
3.2 打靶法求解本征值问题
考虑一根密度均匀的绷紧的弦的振动，分离变量后，空间
部分满足的方程和边界条件可以写成
φ 是弦的横向位移， k 是波数 解析解为
相比边值问题，本征值问题多了一个待定参数 策略：我们先猜测一个试验本征值 k，同时任取一个非零数 δ ， 把微分方程变化为一个初始值问题
常微分方程边值问题
常微分方程边值问题求常微分方程满足给定边界条件的解的问题。
亦即，设常微分方程为：对区间I上的点α1，α2，…,αk及值y(αi)，y┡(αi),…,y(n-1)(αi)(i=1,2,…,k,k>1)，给定了一些条件,求此方程在I上的满足这些条件的解的问题。
这些条件称为边界条件，诸αi及y(αi)、y┡(αi)、…、y(n-1)(αi) 称为边值或边界值。
当k=2，α1、α2是区间I的端点时,称为两点边值问题。
边值问题的提出和发展，与流体力学、材料力学、波动力学以及核物理学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。
因为常微分方程可以解析求解的类型甚少，所以求边值问题的解也是困难的。
为了适应实际问题的需求，不得不采用近似解法，这样，首先需要回答：边值问题的解是否存在？是否惟一？这就是边值问题的基本论题。
在有限区间上的边值问题两点边值问题以二阶常微分方程为例。
求二阶常微分方程(1)满足边界条件的解。
式中α、b为区间的端点,ƒ:【α,b】×R2→R是连续函数，R＝(-,)；αs,α▂,βs,β▂及γs(s=1,2)是给定的常数。
特别当γs=0 (s=1，2)时，(2)称为齐次边界条件。
(2)的特例有：方程(1)与(2┡)、(1)与(2″)及(1)与(2冺),所构成的边值问题分别称为第一边值问题、第二边值问题和第三边值问题。
例如,悬链线（图1）之形状是由第一边值问题所确定。
式中ρ为悬链线密度，g 为重力加速度，T为悬链线最低点张力。
又如，一端固定的细长悬梁（图2）弯曲的倾斜角φ（s）是由第二边值问题Bφ″(s)-P cosφ (s) = 0，φ(0)=0,φ┡（l）=0，所确定。
其中B为梁的刚性系数，P为自由端的铅直负载。
关于边值问题解的存在和惟一性问题，对线性方程，在理论上是容易解决的。
考虑第一边值问题(3)与(2┡)，其中p、q及r是【α,b】上的连续函数,设⑶的通解(4)式中y1、y2是(3)对应的齐次方程的基本解组；Y是(3)的特解；c1、c2是任意常数、为求边值问题(3)与(2┡)的解,只要将(4)代入(2┡)来确定c1、c2。
常微分方程边值问题解法
常微分方程边值问题解法
常微分方程边值问题解法：
常微分方程边值问题是指在一定区间内，给定一个微分方程的初始条件和边界条件，求解微分方程的解在这个区间内满足这些条件的问题。
常见的边值问题有两种类型：Dirichlet边界条件和Neumann边界条件。
解决常微分方程边值问题的方法有很多种，下面介绍其中两种常用的方法：
1. 有限差分法：
有限差分法是利用差分近似替代微分，将微分方程转化为一组代数方程。
首先将区间离散化，将连续的函数转化为离散的数值，然后利用中心差分、前向差分或后向差分的方法，将微分方程变为代数方程组，最后利用线性代数的方法求解这个方程组。
2. 有限元法：
有限元法是将区间划分为若干个小的子区间，将微分方程转化为一组局部的代数方程组，然后将这些方程组组合成整个问题的全局方程组。
有限元法可以适用于更加复杂的边值问题，但是需要更多的计算量和更高的数学水平。
总之，常微分方程边值问题的解法有很多种，需要根据具体情况选择不同的方法。
常微分方程的边值问题
本科科研训练论文常微分方程的边值问题学生姓名：郭骏学号：**********专业：数学及其应用数学年级：08级学院：理学院【摘要】边值问题是微分方程问题的一个类型。
在求解微分方程时，除了给出方程本身，往往还需给出一定的定解条件。
最常见的是初值问题，即给出的定解条件为初始条件；但也有一些情况，定解条件要考虑所讨论区域的边界，如在一个区间讨论时，定解条件在区间的两个端点给出，这种定解条件称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。
边值问题的提出和发展，与流体力学，材料力学，波动力学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。
【关键词】常微分方程边值问题研究目录第一章引言1.1常微分方程的起源和发展1.2常微分方程的内容1.3常微分方程的应用1.4 常微分方程的实例第二章常微分方程边值问题的研究2.1 边值问题的提出2.2 二阶线性常微分方程边值问题的可解性2.3 特征值问题参考文献第一章引言1.1 常微分方程的起源微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。
I.牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y┡=ƒ(x)的求解问题。
当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。
20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。
70年代随着数学向化学和生物学的渗透，又出现了大量的反应扩散方程。
常微分方程在我国的发展中华人民共和国建立后，微分方程得到了重视和发展。
培养了许多优秀的微分方程的工作者，在常微分方程稳定性、极限环、结构稳定性等方面做出了很多有水平的结果；在偏微分方程混合型刻画渗流问题的拟线性退缩抛物型、椭圆组和拟线性双曲组的间断解等方面做出了很多有水平的结果。
1.2 常微分方程的内容定义1 凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元方程的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.定义式如下：F(x, y, y¢, ...., y(n)) = 0 。
计算物理实验报告 常微分方程
常微分方程的边值问题和本征值问题一、问题描述利用搜索法和弦割法，得到该常微分方程的本征值，再利用打靶法计算多个本征值。
二、解决方法（一）搜索法1.先随便猜测k的一个试验值,程序中令k=12.由Numerov算法根据本题的条件，kn+1=kn=kn-1=k,s=0,得到yn+2,yn+1,yn间的迭代公式令con=(k*h)^2/12yn+2=2*(1-5*con)*yn+1/(1+con)-yn3自己给定φ的初始条件，然后利用公式得到边界值φ(1)4.然后以小的步长dk增加k值，这里令dk=1,每当φ(1)改变符号时，就将步长减半后倒退回来重复5.当步长小于所要求的容许误差时终止程序，此时的k值即为所求。
（二）弦割法1.随便猜测两个k值，这里令k0=1,k1=22.自己给定φ的初始条件，对两个k值分别利用上述公式进行迭代，得到边界值y1(1)和y2(1)。
3.比较y1(1)和y2(1)的绝对值大小。
若绝对值大，说明对应的k值距离本征值距离较远。
4.将（k0+k1）/2赋给k2,边界值绝对值小的对应的k值保持不变，边界值绝对值大的对应k值重新定位k2的值。
5.重复进行实验，当y1(1)和y(2)的差的绝对值小于容许误差时终止程序。
此时k1的值即为所求。
当搜索法和弦割法大致求出了一个本征值后，利用打靶法，调整k值再度进行搜索，得到多个本征值，绘出其中一个本征值对应的函数图像，观察其性质。
三、程序实现1.搜索法subroutine add(t,y0,y1) !利用子程序表示函数值的迭代implicit nonereal(8)::t,h,con,y0,y1,y2integer::i,nn=10000h=1.0/ncon=(t*h)**2/12do i=1,n-1y2=2*(1-5*con)*y1/(1+con)-y0 !利用Numerov算法，得到迭代公式y0=y1 !向前迭代y1=y2end doreturnend subroutine addprogram zy3implicit nonereal(8)::diffk,dk,yold,k,b0,b1integer::sb0=0.01 !取初始值，根据题目条件，令y0=y1,来保证x=0的位置导数为0b1=0.01s=1k=s !给定一个猜测的k值,此为搜索的初值dk=1 !给定步长diffk=0.0000001 !给定步长最后达到的误差范围call add(k,b0,b1)yold=b1 !通过运行子程序，得到由初始值积到x=1时的不为0的函数值do while(abs(dk)>diffk) !开始搜索k=k+dk !在k中走一步b0=0.01b1=0.01call add(k,b0,b1)if(yold*b1<0)then!若果y1变号k=k-dk !后退dk=dk/2.0 !步长减半end ifend dowrite(*,*)k !写出求得的本征值end2.弦割法subroutine add(t,b) !利用子程序表示函数值的迭代implicit nonereal(8)::t,h,con,y0,y1,y2,binteger::i,nb=0y0=0.01y1=0.01n=10000h=1.0/ncon=(t*h)**2/12do i=1,n-1y2=2*(1-5*con)*y1/(1+con)-y0 !利用Numerov算法，得到迭代公式y0=y1 !向前迭代y1=y2end dob=abs(y1) !得到x=1处函数值的绝对值，为确定k2点的位置做准备returnend subroutine addprogram zy3real(8)::a,k0,k1,k2,dk,m1,m2,dminteger::i,nk0=1 !给两个启动值k1=2k2=0dm=0.00000001 !表示k0和k1对应的函数值相等时允许的误差 m1=0 !此值表示k值取k0时，x=1处函数值的绝对值 m2=0 !此值表示k值取k1时，x=1处函数值的绝对值do while (.true.)call add(k0,m1)call add(k1,m2) !运行子程序，分别得到两个k值对应的x=1处的函数值的绝对值if(abs(m1-m2)<dm)exit!当k0k1对应的绝对值近似相等时退出循环if(m1>m2)then!如果k0对应的函数值绝对值较大k2=(k1+k0)/2.0 !k2点取在k1和k0的平均值k0=k2 !当k0对应的函数值绝对值较大时，表示其离本征值较远，而将其舍弃不用，赋k2值k1=k1 !此时k1距离本征值较近，不用变elsek2=(k1+k0)/2.0 !反之，舍去k1，k0不变k0=k0k1=k2end ifend dowrite(*,*)k2 !得到本征值kend program zy33.打靶法得多个本征值subroutine add(t,y0,y1) !利用子程序表示函数值的迭代implicit nonereal(8)::t,h,con,y0,y1,y2integer::i,nn=10000h=1.0/ncon=(t*h)**2/12do i=1,n-1y2=2*(1-5*con)*y1/(1+con)-y0 !利用Numerov算法，得到迭代公式y0=y1 !向前积分y1=y2end doreturnend subroutine addprogram zy3implicit nonereal(8)::diffk,dk,yold,k,b0,b1integer::sb0=0.01 !取初始值，根据题目条件，令y0=y1,来保证x=0的位置导数为0b1=0.01do s=1,100,2 !改变k的初值k=sdk=1 !给定步长diffk=0.0000001 !给定步长最后达到的误差范围call add(k,b0,b1)yold=b1 !通过运行子程序，得到由初始值积到x=1时的不为0的函数值do while(abs(dk)>diffk) !开始搜索k=k+dk !在k中走一步b0=0.01b1=0.01call add(k,b0,b1)if(yold*b1<0)then!若果y1变号k=k-dk !后退dk=dk/2.0 !步长减半end ifend dowrite(*,*)k !写出求得的本征值end doend4.选取一个本征值，看函数图像（k=1.5708）program zy3implicit nonereal(8)::diffk,dk,yold,k,y0,y1,y2,h,coninteger::i,nk=1.5708y0=0.001y1=0.001open(unit=10,file='p.txt')n=1000h=10.0/ncon=(k*h)**2/12do i=1,n-1write(10,*)y1,i*hy2=2*(1-5*con)*y1/(1+con)-y0 y0=y1y1=y2end doclose(10)end四、程序结果1.搜索法2.弦割法3.打靶法4.k=1.5708时的函数五、实验中出现的问题在利用打靶法找本征值的过程中，如果步长太小，会出现如下情况而当笔者将3代入k值用搜索法的时候，得到笔者认为出线该情况的可能是循环程序彼此间出现了问题，而当调整了步长之后，冲突减小，得到比较正常的特征值。
常微分方程讲义全文
6、恰当方程
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
判定：全微分 ⇔ ∂M ≡ ∂N ∂y ∂x
x
y
∫ ∫ 解法： M (x, y)dx + x0
y0 N (x0 , y)dy = C
初值问题: C = 0
例 2xydx + (x2 − y2 )dy = 0
解： ∂M ∂y
≡ ∂N ∂x
uz′ = −(z −1)(z − 2) /(z + 1)
z = 1, z = 2 ⇔ v = u, v = 2u ⇔ y = x + 1, y = 2x
⎛ ⎝⎜
z
3 −
2
−
z
2 −
1
⎞ ⎠⎟
dz
= − du u
⇒
(z − 2)3 (z −1)2
= C /u
( y − 2x)3 = C( y − x −1)2
一阶 线性 二阶 线性 一阶 非线性
齐方程、非齐次方程
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐方程。 自由项不为零的方程，称为非齐方程。
d x = x2 dt
一阶齐线性方程
d2 y d x2
+
b
d d
y x
+
cy
=
sin
x
二阶非齐线性方程
⎜⎛ d x ⎞⎟2 − x2 = t3 ⎝ dt ⎠
一阶非齐非线性方程
微分方程的一般表示形式
n 阶微分方程的一般形式 为 F (x, y′, y′′,L, y(n) ) = 0 。
F
(x,
y′,
y′′)
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结1. 常微分方程的定义：常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为：dy/dx=f(x,y)。
其中，y为未知函数，x为自变量，f为已知函数。
2.常微分方程的分类：常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程包含未知函数的一阶导数，高阶常微分方程则包含未知函数的高阶导数。
3.一阶常微分方程的解法：一阶常微分方程的解法有几种常见的方法。
一种是分离变量法，即将方程两边进行变量分离，然后进行积分。
另一种是齐次方程法，将方程进行变量替换后化为齐次方程，然后进行求解。
还有一种是线性方程法，将方程化为线性方程，然后进行求解。
4.高阶常微分方程的解法：对于高阶常微分方程，常用的方法是特征根法。
通过求解其特征方程得到特征根，然后根据特征根的个数和重数，确定齐次线性微分方程的通解形式。
再根据待定系数法确定非齐次线性微分方程的一个特解，进而得到非齐次线性微分方程的通解。
5.常微分方程的初值问题：常微分方程的初值问题指的是给定一个初始条件，求解满足该条件的函数。
在求解过程中，需要将初始条件代入方程，得到特定的常数，从而确定唯一的解。
6.常微分方程的数值解法：对于一些难以求解的常微分方程，可以采用数值解法进行求解。
常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、亚当斯法等。
这些方法通过将微分方程转化为差分方程，然后进行迭代计算，逼近微分方程的解。
7.常微分方程的稳定性分析：稳定性分析是研究常微分方程解的长期行为。
可以通过线性化理论、相图等方法进行稳定性分析。
线性化理论通过线性化方程，判断非线性常微分方程解的稳定性。
相图是一种可视化的方法，通过绘制解的轨迹图，观察解的长期行为。
8.常微分方程的应用：常微分方程在各个领域都有广泛的应用。
在物理学中，常微分方程可以描述运动学问题、电路问题等。
在工程学中，可以应用于控制系统、电力系统等。
在生物学中，可以用于建立生物模型、研究生物过程等。
总结起来，常微分方程是数学中的一门重要学科，研究的是包含未知函数及其导数的方程。
常微分方程的基本概念和解法
常微分方程的基本概念和解法常微分方程是一种应用广泛的数学工具，常常出现在物理学、化学、生物学等研究领域中，用于描述物体、化学物质、生物体等随时间变化的状态。
本文将介绍常微分方程的基本概念和解法，为读者开启一扇通往数学世界的大门。
1. 基本概念常微分方程是一个包含未知函数的导数、自变量和已知函数的方程，通常写作 y'=f(x,y)，其中 y 表示未知函数，x 表示自变量，f(x,y) 表示已知函数。
例如，y'=2xy 表示 y 的导数等于 2xy。
在这个方程中，y 是未知函数，x 是自变量，f(x,y)=2xy 是已知函数。
这个方程的意义是，求出一种关于 x 的函数 y(x)，使得 y(x) 满足 y'(x)=f(x,y(x))。
这就是所谓的常微分方程的解，它描述了函数y(x) 随着 x 的变化所呈现的状态。
2. 解的分类常微分方程的解可分为一次、二次和高次解。
一次解是形如y(x)=ax+b 的解，其中 a 和 b 是常量，二次解是形如y(x)=ax^2+bx+c 的解，其中 a、b、c 是常量，高次解则是形如y(x)=a1y1(x)+a2y2(x)+...+anyn(x) 的解，其中 a1、a2、...、an 是常量，y1(x)、y2(x)、...、yn(x) 是线性独立的解。
此外，常微分方程的解还可分为通解和特解。
通解是指包含所有的解的通式，而特解是指满足条件的一个确定解。
3. 解法常微分方程的解法分为初值问题和边界值问题。
初值问题是指已知 y(x0)=y0，问 y(x) 的值如何求解的问题。
在这种情况下，我们可以使用欧拉法、龙格-库塔法等数值解法来求解。
边界值问题是指已知 y(a)=y1，y(b)=y2，问 y(x) 的值如何求解的问题。
在这种情况下，我们可以使用变分法、射线法等方法来求解。
除了这两种基本解法外，还有一些特殊的解法，如分离变量法、恰当性法、常数变法等。
数学物理方法_第3章 二阶线性常微分方程的幂级数解法本征值问题
y ( x) 2 1a2 3 2a3 x (k 2)( k 1)ak 2 x k
把以上结果代入方程，比较系 数得 2 2
2 1a2 a0 0, 3 2a3 a1 0, 4 3a4 2 a2 0, 5 4a5 2 a3 0,
(2k 1)!
a1.
于是方程的级数解为
1 1 1 y( x) a0 1 ( x)2 ( x) 4 (1) k ( x) 2 k 4! (2k )! 2! 2 k 1 a1 1 1 3 5 k ( x) x ( x) ( x) (1) 3! 5! (2k 1)! a a0 cos x 1 sin x.
n 1
n 1
cn1 (n 1)( x x0 )n ,
n 0
可将式（3.1.4）写成
c
n 0 n n
n ( n 2)( n 1)( x x ) [ ( k 1) a c ]( x x ) n2 0 n k k 1 0 n n 0 k 0
y( x) an x n
n 0
(3.3.2)
于是
y( x) nan x
n 1 n 1
(k 1)ak 1 x k ,
k 0
y( x) n(n 1)an x
n2
2 k 0
n2
(k 2)(k 1)ak 2 x k ,
(1 l )(l 2) 3 (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) 5 y1 ( x) x x x 3! 5! (2k 1 l )(2k 3 l ) (1 l )(l 2)(l 4) (l 2k ) 2k 1 x (2k 1)!
常微分方程讲义(三)
常微分方程讲义（三）常微分方程的初等积分解法：1、可分离变量方程⎰⎰=⇒=dx x g dy y h y h x g dx dy )()(1)()( 2、齐次方程（一般含有xy yx 或的项）),(y x f dxdy=，令ux y =，可消去右边的x 则)(),(u f ux x f u dxdux ==+例：xyxtg y xy =-'例：344322xy x y y x dx dy --=例：222y x xy dx dy +=例：1)0(,3222=-=y y x xy dx dy 例：22y x y dxdyx -+=3、一阶线性非齐次方程⇒+=)()(x b y x a dxdy常数变易法或])([)()(⎰+⎰⎰=-C dx e x b e y dxx a dxx a例：e y e y dxdyxx ==-+)1(,0 例：1)1()1(++=-+n x x e ny dx dyx例：211'xxyy --=例：21222sin 22sin 1x e y x dxdyyx ++=+4、贝努利方程n y x b y x a dxdy)()(+= 令n y z -=1，则dxdy y n dx dz n --=)1(，代入得：)()1()()1()()(1x b n z x a n dxdz x b y x a dx dy y n n +++=⇒+=-- 可将伯努力方程化成一阶线性非齐次例：)1(22y x xy dxdy+= 例：xyy x dx dy -=sin 12例：0)]ln 1([3=++-dx x xy y xdy 例：0)sin (cos 4=+-dx y x y xdy 例：211y y x dx dy -+-= 当)(x b 为常数时，可直接运用常数变易法，该贝努利方程已变为一种一阶线性非齐次的特例 5、全微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M第一种情况：若xNy M ∂∂=∂∂则⎰⎰+=yy xx d x N d y M y x u 0),(),(),(0ηηξξ或⎰⎰+=yy xxd x N d y M y x u 0),(),(),(0ηηξξ方程解为C y x u =),(，其中),(00y x 在定义域内任取 例：0=+xdy ydx 、0=±ydy xdx 例：022=+-y x ydxxdy例：0)1()1(=-++dy yx e dx e yx yx例：0112222=+-+-xdx dy y x xdx y x y 例：dx y x dy y x dx y x )()()(22+=++- 例：0)()(5445=-+-dy y x x dx y x y 例：0)22()522(32=++++dy x x dx y y x 第二种情况：若xNy M ∂∂≠∂∂则找积分因子1、只存在与x 有关的积分因子的充要条件是)()(1x xNy M N φ=∂∂-∂∂，积分因子⎰=dxx e x )()(φμ2、只存在与y 有关的积分因子的充要条件是)()(1y yMx N M ψ=∂∂-∂∂，积分因子⎰=dyy e y )()(ψμ例：0)12(4322=-+dy y x dx y x 例：0)(344=-+dy xy dx y x 例：0)52()34(324=+++dy xy x dx y xy＊ 微分方程解法的不确定性与灵活性：xydx dy =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧方程“凑”的思路：全微分贝努力方程一阶线性非齐次方程齐次方程可分离变量方程“分”的思路：6、可降阶的二阶微分方程第一类：)(22x f dxyd =例：1)0(',1)0(,1'')1(2-===+y y y x第二类：),(22dx dy x f dxy d =，令dx dpdx y d p dx dy ==22,则例：xy y xy 'ln '''= 例：01)'('')1(22=+++y y x 例：x e y y =-'''第三类：),(22dx dyy f dx y d =，令dy dp p dxy d p dx dy ==22,则例：1)0(',0)0(,0''2===-y y e y y 例：2)0(',0)0(,0'''===-y y e y y y例：求方程0''2)'(2=+yy y 的在点)1,1(与直线x y =相切的积分曲线 可降阶微分方程解法的灵活性：例：0)'('''3=++y y y ，令dy dpp dxy d p dx dy ==22,则例：0)'(1''2=-+y y ，令dx dydxy d p dx dy ==22,则微分方程的近似解：Picca 序列给定微分方程⎪⎩⎪⎨⎧===00|),(y y y x f dx dyx x ，则有在),(00y x 处的第1次近似：⎰+=xx dx y x f y y 0),(001在),(00y x 处的第2次近似：⎰+=xx dx y x f y y 0),(102…………在),(00y x 处的第n 次近似：⎰-+=xx n n dx y x f y y 0),(10例：求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==1)1(y x ydx dy ，当2=x 时，y=？精确方法Picca 近似：精度与误差例：求微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2)1()ln(sin πy y dxdy的Picca 逼近数列微分方程的初值问题解的存在唯一性：⎪⎩⎪⎨⎧==00),(y y y x f dx dyx定理1：设函数),(y x f 在矩形区域},:),{(:00b y y a x x y x R ≤-≤-上连续；且对R 上任意两点),(),,(21y x y x ，满足Lipschitz 条件：2121),(),(y y L y x f y x f -≤-。
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注意 Numerov 算法与前面所讲算法的区别 前面的算法都是首先
而Numerov算法则是
3.2 边值问题的直接积分
电荷密度分布为
求解泊松方程
这个方程存在解析解
应用Numerov算法，递推关系为
其中
启动递推关系还需
的值
为了求得
，直接对方程积分
计算结果发现，当 r 增大时， 的误差变大
首先，写出本问题的 Numerov 算法递推关系
而 y1 是未知的，需要一个一步迭代格式来产生 y1 ，例如可选 择 Euler 方法或 Taylor 级数展开，并利用初始条件 来确定 y1 。 这里我们采用 Taylor级数展开，并取
它可以保证有 O(h3)的精度．
当然我们可以将 y1 展开到 O(h6)，使它有与 Numerov 算
其中 S(x) 为驱动项。 K2(x)是一个实函数，自变量 x 通常表
示空间位置．
边值问题的例子——泊松方程
例如泊松方程
对于这个方程，我们通常关心的是在 r= 0 和 r=+∞ 上 满足某种约束条件的解，这个问题就是一个边值问题． 球对称形式为
作变换
为标准形式
本征值问题的例子——薛定谔方程
量子力学中，中心势场 V(r) 中运动的粒子波函数满足定态 薛定谔方程
在球坐标系下可写为
在分离变量之后可得径向波函数 R(r) 满足的方程为
对于该方程，我们感兴趣的是对哪些能量本征值E， 能够导 出满足适当边界条件的物理上可以接受的非零解， 这个问题
就是一个本征值问题
3.1 Numerov 算法
Numerov 算法是处理下面的方程的一个高精度的算法
代入递推关系
对 yn+1 或者 yn-1 解这个线性方程，就提供了一个对 x 向前或者向
为什么直接积分会不稳定？
r很大时，方程的渐进形式为
这个渐进方程有两个线性独立的解
ϕ~r
ϕ ~ 常数
（Φ ~ 常数）
（Φ ~ r−1）
这个齐次方程有两个线性独立的解其通解可以写成这两个
函数的线性组合，组合的系数由边条件来决定。
当 r 很大时，位势 Φ→ r -1，因而 ϕ ~ 1 。
而计算 ϕ’(0) 的误差或向前积分过程中的任何误差都会导致
混入第一个解 ϕ ~ r ，这个解最终将在 r 大时占支配地位．
例如 ϕ →1 + 0.0001 r
解决这一困难的办法是，对数值解进行修正——从数值结果 中去掉 “坏”的、非物理的成分．具体地说， 就是从数值解 中减去随 r 作线性变化的部分， 以保证解的物理行为．
已知 ϕ → 1+ br, b 为未知常数，需要从解中减去 br 。
n = 600
b = (phi (n) – phi (n - 100)) / (100 * h)
for k = 1 : n phi(k) = phi(k) - b * k * h; end
线性修正后得到的解
对于本例，我们也可以采用向后积分的迭代格式来实施直接
积分， 即从 r 很大处（例如 r=20 ）出发，取 ϕn+1=ϕn=1 ， 然后向后积分。
题得到 yδ (b) ．
一般来说，由于可调参数 δ 的随意选择， yδ(b) 和 yb 很难相等。
打靶法就是通过使用一个搜索算法去调整参数 δ ，使得 yδ (b) 和 yb 在误差容忍范围内相等，从而达到数值求解边 值问题的目的． 问题转化为求下面方程的根
yδ (b)= yb
可以使用二分法、弦割法来解这个方程
程的解就能唯一的确定，这类问题称为边值问题。
例如
存在唯一的解
本征值问题
在区间的两个端点上对待求函数各施加一个约束。方程存 在一个待定参数，只有当待定参数取特定值的时候，方程 才存在非零解，这类问题称为本征值问题。 例如
本征解和本征函数为
物理学中边值问题和本征值问题的一般形式
物理学中许多重要的微分方程具有如下形式
第三章 常微分方程的边值问题 和本征值问题
本章要研究的物理问题：薛定谔方程的定态解
本章内容
1 2 3 4 5 4 Numerov 算法 边值问题的直接积分 打靶法求边值问题
打靶法求本征值问题
一维薛定谔方程的定态解
3.0 边值Байду номын сангаас题与本征值问题
边值问题
在区间的两个端点上对待求函数各施加一个约束，这样方
3.4 打靶法求解本征值问题
考虑一根密度均匀的绷紧的弦的振动，分离变量后，空间
部分满足的方程和边界条件可以写成
φ 是弦的横向位移， k 是波数 解析解为
相比边值问题，本征值问题多了一个待定参数 策略：我们先猜测一个试验本征值 k，同时任取一个非零数 δ ， 把微分方程变化为一个初始值问题
然后从 x = 0 向前积分产生一个数值解。如果该数值解在 x
3.3 打靶法求边值问题
考虑下面的边值问题
与常微分方程问题不同，边值问题的定解条件分散在两个 端点上，无法直接启动递推关系进行计算，因此需要一些 辅助的处理手段。
打靶法的基本思想是将边值问题当作一个含可调参数 δ 的
初始问题来处理，即考虑如下初始问题
这样对于给定的参数 δ ，我们就可以通过积分这个初始问
= 1 处的值与边条件 ϕ(1) = 0 在误差范围内不相等，就改 变试验本征值的值，再度积分。重复这个过程，直到最终 找到本征值和对应的本征函数。
注意：试验本征值 k 是一个可调参数，而参数 δ 只是一
个任意选定的辅助参数，它的任意性是由于解 的不唯一 性引起的，并不影响本征值的求解，一般来说它可以由本 征函数的归一化来确定。
后积分的递推关系，其局部误差为 O(h6).
注意这个算法比四阶Runge-Kutta算法高一个精度，而且
Numerov算法更有效率，因为每一步只需要在一个格点上
计算 k2 和 S。
必须强调的是 Numerov 算法只适用于本章给出的微分方程， 对其它类型的微分方程是不适用的．
例子——利用Numerov算法解初值问题
例子
利用打靶法求解常微分方程边值问题
其中解析解为
对边值问题的其它类型的边值条件也可以用同样的方法来 考虑。
对于边值条件 y’(0)=a, y(1)=b ，如何利
用打靶法来求解？
对于边值条件 y’(0)=a, y(1)=b ，我们可以选择 y(0) 的 值为可调参数 δ ，即 y(0) = δ ，这样就构成了一个含参 数的初始问题，然后通过使用一个搜索算法去调整参数 δ ， 使数值解在误差范围内等于 y(1) 。