(完整版)人教版八年级数学上分式教案

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人教版数学八年级上册15.3分式方程的解法(教案)

三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解分式方程的定义：重点强调分式方程的形式特点，即方程中包含有分母，且分母不为零，让学生充分理解这一核心内容。
举例：如方程2/x = 3/(x+1)，其中x≠0。
（2）掌握分式方程的解法：包括消元法、代入法、加减法等，特别是消元法在求解分式方程中的应用。
举例：消元法求解方程2/x = 3/(x+1)：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是指含有分母的方程，它是代数方程的一种特殊形式。分式方程在解决实际问题时具有重要作用，能够帮助我们处理比例、速率、百分比等问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小明和小红的糖果总数为10个，要平均分给两人，我们可以建立分式方程x/2 = 10，其中x表示每人应得的糖果数。通过解这个方程，我们可以得到答案。
2.提升学生的数学建模素养：使学生能够将实际问题抽象为分式方程模型，并运用所学方法求解，从而提高解决实际问题的能力；
3.增强学生的数学运算能力：让学生熟练掌握分式方程的消元、代入、加减等解法，培养他们准确、迅速地进行数学运算的能力。
这些核心素养目标与新教材的要求相符，旨在帮助学生形成系统的数学知识体系，提高数学思维品质和解决问题的综合能力。
难点解析：代入法中，学生可能会遇到以下困难：
-不清楚应该将哪个表达式代入另一个表达式中；
-在代入过程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，容易忽视方程中的限制条件（如分母不为零）；
-计算过程中可能因粗心导致错误。
（3）分式方程在实际问题中的应用：学生需要学会将实际问题抽象为分式方程，并正确求解。
难点解析：实际问题抽象为分式方程时，学生可能会遇到以下问题：

2022年人教版八年级数学上册第十五章分式教案分式方程(第1课时)

第十五章分式15.3 分式方程第1课时一、教学目标【知识与技能】1.理解分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用；2.知道分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程.3. 了解分式方程产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法.【过程与方法】经历“实际问题—分式方程模型”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识.【情感、态度与价值观】1.在探索活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值.2. 通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。

四、教学重难点【教学重点】1. 正确、完整地解可化为一元一次方程的分式方程.2.探索如何将分式方程转化为整式方程并掌握解分式方程的一般步骤.【教学难点】产生增根的原因.五、课前准备教师:课件、直尺等。

学生:三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。

六、教学过程（一）导入新课一艘轮船在静水中的最大航速为20 km/h，它沿江以最大航速顺流航行100 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少? （出示课件2）解:设江水的流速为v km/h，根据题意，得100 20+v =60 20−v这样的方程与以前学过的方程一样吗？（二）探索新知1.创设情境，探究分式方程的概念教师问1:为要解决导入中的问题，我们得到了方程10020+v =6020−v，仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？（出示课件4）教师问2:方程与上面的方程有什么共同特征？教师问3:上面所得到的方程是我们以前学过的方程吗？学生回答:不是.教师问4:以前我们学过什么方程？试举例说明.学生回答:以前学过一元一次方程和二元一次方程，如x－1＝3，x＋y＝7等.教师问5:仔细观察这两个方程，未知数的位置有什么特点？学生回答:分母中都含有未知数．教师问6:像这种，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.，你能再写出几个分式方程吗？学生思考后，找学生回答。

人教版八年级数学第十五章《分式》全章教案[1]

人教版八年级数学第十五章《分式》全章教案[1]-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第三章分式3.1 分式的基本性质（1）教学目标1．了解分式的基本性质，体会类比的思想方法．2．掌握分式的约分，了解最简分式的概念．教学重、难点分式的基本性质和分式的约分教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1下列分数是否相等？追问这些分数相等的依据是什么？问题2你能叙述分数的基本性质吗？分数的基本性质：一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变．问题3 你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？问题4 类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．追问1 如何用式子表示分式的基本性质？二、知识应用，巩固提高追问2 应用分式的基本性质时需要注意什么？（1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；（2）所乘（或除以）的必须是同一个整式；（3）所乘（或除以）的整式应该不等于零.例2 填空：问题5 观察上例中（1）中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化类比分数的相应变形，你联想到什么像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．例3 约分:追问1 由上例你能归纳出在分式中，找分子和分母的公因式的方法是什么吗追问2 如果分式的分子或分母是多项式，那么该如何思考呢？三、应用提高、拓展创新教科书132页练习1四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容（2）运用分式的基本性质时应注意什么（3）分式约分的关键是什么如何找公因式（4）探究分式的基本性质和分式的约分的过程，你认为体现了哪些数学思想方法？五、布置作业：教科书习题15.1第4、6题.教后反思：3.1 分式的基本性质（2）教学目标1．了解最简公分母的概念，会确定最简公分母.2．通过类比分数的通分来探索分式的通分，能进行分式的通分，体会数式通性和类比的思想.教学重、难点准确确定分式的最简公分母教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 通分：追问1 分数通分的依据是什么？追问2 如何确定异分母分数的最小公分母？问题2 填空：像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.追问1 你认为分式通分的关键是什么？分式通分的关键是找出分式各分母的公分母.追问2 上面问题中的两个分式的公分母是什么？为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.追问3 两个分式的最简公分母是如何确定的？最简公分母的确定方法：取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积．分母是多项式时，最简公分母的确定方法是：先因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母．二、知识应用，巩固提高例通分：三、应用提高、拓展创新教科书132页练习1四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容（2）分式通分的关键是什么？（3）分式通分时，确定最简公分母的方法是什么？五、布置作业：教科书习题15.1第7题教后反思：3.3 分式的乘除（1）教学目标1．理解分式的乘除法法则，体会类比的思想.2．会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理教学重、难点分式的乘除法法则的运用教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为m时，水面的高度为多少？b，当容器内的水占容积的n（1）这个长方体容器的高怎么表示？（2）容器内水面的高与容器内的水所占容积间有何关系？容器内水面的高与容器高的比和容器内的水所占容积的比相等.问题2 大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？（1）本题中出现的“工作效率”的含义是什么？（2）大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？观察上述两个问题中所列出的式子中，其中涉及到分式的有哪些运算你能用学过的运算法则求出结果吗问题3 计算：在计算的过程中，你运用了分数的什么法则你能叙述这个法则吗如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？二、知识应用，巩固提高分式的乘除法法则如何用文字语言来描述？乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积为积的分母.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.例1 计算：三、应用提高、拓展创新教科书138页练习2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）分式的乘除法运算与分数的乘除法运算有什么区别和联系？五、布置作业：教材第144页第1题；第145页第10、11题．教后反思：3.3分式的乘除（2）教学目标1．能运用分式的乘除法法则进行复杂计算．2．能运用分式的乘除法解决一些简单的实际问题.教学重、难点用分式的乘除法法则进行计算，并解决一些实际问题．教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 约分:分子与分母分别是多项式的分式如何约分？问题2 计算:分子与分母都是单项式的两个分式如何乘除？二、知识应用，巩固提高例1 计算：分子或分母是多项式的两个分式如何乘除呢？解题策略：对于分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘除法法则，再根据分式的基本性质进行约分，将最后的结果化成最简分式．而对于分子或分母中含有多项式的两个分式相乘，为了使算式简洁，也便于找出分子与分母中的公因式，需要先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，然后利用分式的乘除法法则进行运算，利用分式的基本性质进行约分，并把最后的结果化成最简分式．例2 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a＞1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg．（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？思考以下问题：①你能说出小麦的“单位产量”的含义吗？②如何表示这两块试验田的单位产量③怎样确定哪种小麦的单位产量高？④你能列式表示（2）的问题吗？归纳解题步骤：（1）先根据题意分别列出表示两个量的代数式；（2）再根据题意列出相应的算式；（3）最后通过计算解决问题．三、应用提高、拓展创新教科书138页练习3四、归纳小结运用分式的乘除法法则计算分子或分母含有多项式的分式主要步骤是什么？五、布置作业：教材第144页第2题．教后反思：3.3 分式的乘方（3）教学目标1.理解分式乘方的运算法则，能根据法则进行乘方运算，体会数式通性.2.能根据混合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算.教学重、难点分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算教学过程设计一、创设问题，激发兴趣例1 计算： 2235353259.-+-x xxx x ÷⋅练习1 计算:2222222222222551334216423282816--+----++++m n p q mnp q pq mnm n n m m n m m n m n a a a a a a a ⋅÷⋅÷÷⋅（）；（）（）；（）（）．思考你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？ 2310===a a a b b b （）？（）？（）？猜想：n 为正整数时=⎪⎭⎫ ⎝⎛n b a你能写出推导过程吗？试试看．你能用文字语言叙述得到的结论吗？分式的乘方法则：一般地，当n 是正整数时，这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方．二、知识应用，巩固提高例2 计算：例3 计算：分式的乘除、乘方混合运算与分数的乘除、乘方混合运算有什么联系和区别吗？练习2 计算：三、应用提高、拓展创新教科书139页练习2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）运用分式乘方法则计算的步骤是什么它与整式的乘方运算有什么区别和联系（3）分式的乘方与乘除混合运算的运算顺序是什么？五、布置作业：教科书习题15.2第3（3）（4）题．教后反思：3.5分式的加减教学目标1．理解分式的加减法法则，体会类比思想．2．会运用法则进行分式的加减运算，体会化归思想．教学重、难点分式的加减法法则教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 甲工程队完成一项工程需n 天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？（2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？（3）甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？问题2 2009年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？（1）什么是增长率？（2）2010年、2011年的森林面积增长率分别是多少（3）2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．二、知识应用，巩固提高例计算： 1122323++-p q p q （）．三、应用提高、拓展创新课本141页练习1、练习2练习：你能应用本节课所学知识解决“问题1”和“问题2”吗？四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是怎么引出分式加减法法则的？（3）在进行分式的加减运算时要注意哪些问题？五、布置作业：教科书习题15.2第4、5题．教后反思：3.5分式的混合运算教学目标1．理解分式混合运算的顺序．2．会正确进行分式的混合运算．3．体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值．教学重、难点分式的混合运算．教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题数的混合运算的顺序是什么你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗分式的混合运算顺序：“从高到低、从左到右、括号从小到大”．例1 计算：这道题的运算顺序是怎样的？通过对例1的解答，同学们有何收获？对于不带括号的分式混合运算：（1）运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；（2）计算结果要化为最简分式．二、知识应用，巩固提高例2 计算：2252412232142244-++--+-----+m m m m x x x x x x x x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫÷ ⎪⎝⎭（）　；（）　．通过对例2的解答，同学们有何收获？对于带括号的分式混合运算：（1）将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算；（2）注意处理好每一步运算中遇到的符号；（3）计算结果要化为最简分式．三、应用提高、拓展创新练习1 计算：四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）分式混合运算的顺序是什么我们是怎么得到它的（3）在进行分式混合运算时要注意哪些问题？五、布置作业：教科书习题15.2第6题．教后反思：3.7 分式方程（1）教学目标1．了解分式方程的概念．2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．3．了解解分式方程根需要进行检验的原因．教学重、难点利用去分母的方法解分式方程教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 为了解决引言中的问题，我们得到了方程v v -=+30603090．仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？追问1 方程13321;251051;32212++=+-=-+=x x x x x x x x 与上面的方程有什么共同特征？分母中含有未知数．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．追问2 你能再写出几个分式方程吗？注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．问题2 你能试着解分式方程vv -=+30603090吗问题3 这些解法有什么共同特点？总结：这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．思考：（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？（4）这样做的依据是什么？总结：（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．（2）利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．追问你得到的解6=v 是分式方程vv -=+30603090的解吗二、知识应用，巩固提高问题4 解分式方程： 2110525=.--x x追问1 你得到的解5=x 是分式方程 2510512-=-x x 的解吗该如何验证呢5=x 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．追问2 上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程90306030-=+v v （）（）的解6=v 是分式方程v v -=+30603090的解，而整式方程510+=x 的解5=x 却不是分式方程2510512-=-x x 的解？原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．显然，第2种方法比较简便！问题5你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗解分式方程应该注意什么基本思路将分式方程化为整式方程一般步骤：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．三、应用提高、拓展创新例解下列方程：四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）解分式方程的基本思路和一般步骤是什么解分式方程应该注意什么五、布置作业：教科书习题15.3第1（1）～（4）题．教后反思：3.7 分式方程（2）教学目标1．会解较复杂的分式方程和较简单的含有字母系数的分式方程．2．能够列分式方程解决简单的实际问题．3．通过学习分式方程的解法，体会转化的数学思想．教学重、难点分式方程的解法教学过程设计一、创设问题，激发兴趣例1 解方程31112-=.--+x x x x （）（）解分式方程的步骤：（1）去分母，将分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）检验．用框图的方式总结为：二、知识应用，巩固提高例2 解关于x 的方程11+=.-a b b x a （）例3 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？三、应用提高、拓展创新某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组工作效率高25％，因此甲组加工2 000个零件所用的时间比乙组加工1 800个零件所用的时间少半小时，问甲、乙两组每小时各加工多少个零件？四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）解分式方程的一般步骤有哪些关键是什么解方程的过程中要注意的问题有哪些（3）列分式方程解应用题的步骤是什么与列整式方程解应用题的过程有什么区别和联系五、布置作业：教科书习题15.3第1（2）（4）（6）（8）、4、5题．教后反思：3.7 分式方程（3）教学目标列分式方程解决实际问题．教学重、难点列分式方程解实际问题．教学过程设计一、创设问题，激发兴趣例1 某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销，他用8 000元购进一批衬衫，很快销售一空．再进货时，他发现这种衬衫的单价比上一次贵了4 元/件，他用 17 600元购进2 倍于第一次进货量的这种衬衫．问第一次购进多少件衬衫？分析：二、知识应用，巩固提高例2 某次列车平均提速v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？思考：（1）这个问题中的已知量有哪些未知量是什么（2）你想怎样解决这个问题关键是什么表达问题时，用字母不仅可以表示未知数（量），也可以表示已知数（量）.上面例题中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现．例2中列出的方程是以x 为未知数的分式方程，其中v，s 是已知常数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数．三、应用提高、拓展创新练习1 商场用50 000元从外地采购回一批T恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多两倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元．求第一次购进多少件T恤衫．练习2 八年级学生去距学校s km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了t min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是学生骑车速度的2倍，求学生骑车的速度．四、归纳小结（1）借助分式方程解决实际问题时，应把握哪些主要问题？（2）本节课的分式方程的应用方面应注意些什么？举例说明．五、布置作业：教科书习题15.3第6、7、8题．教后反思：。

2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第15章分式整数指数幂(第2课时)教案.

第十五章分式15.2分式的运算15.2.3整数指数幂第2课时一、教学目标【知识与技能】1.会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数.2.经历探索用10的负整数次幂来表示绝对值较小的数的过程，完善科学记数法，培养正向、逆向思维能力.【过程与方法】经历探索用科学记数法表示数的过程,理解科学记数法.【情感、态度与价值观】用科学记数法的形式渗透数学的简洁之美，通过完善科学记数法，培养对数学完美形式的追求.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。

四、教学重难点【教学重点】用科学记数法表示绝对值较小的数.【教学难点】含负指数的整数指数幂的运算，尤其是混合运算以及科学记数法中10的指数与小数点的关系.五、课前准备教师：课件、直尺、科学记数结构图等。

学生：三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。

六、教学过程（一）导入新课通过上节课的学习，大家明确了整数指数幂具有正整数指数幂的运算性质，这节课我们来学习运用其性质进行有关计算及负整数指数幂在科学记数法中的运用.（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究用科学记数法表示绝对值较小的数教师问1：口答：(1)(3－2)2；(2)[(－4)－3]0；(3)5－3×52；(4)(－0.5)－2；(5)222332--⎛⎫⎛⎫⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(6)4.7×10－4.注：前三个小题计算比较直接，可快速抢答，并陈述所用法则；后三个小题允许学生笔算后再口答，并陈述计算时的注意点，尤其是第(5)小题，有正向、逆向两个思路，注意方法的选择.而(6)为学习科学记数法表示绝对值较小的数作了铺垫.学生回答：（1）3-4=181；（2）1；（3）5-1=15；（4）（-12）-2=（-2）2=4；（5）（23×32）-2=1-2=1；（6）0.00047教师问2：由前面的练习可知4.7×10－4＝0.00047，反过来就是，0.00047＝4.7×10－4，由这个形式同学们能想到什么？学生回答：科学记数法.教师问3：那现在我们就一起研究怎样把绝对值较小的数用科学记数法表示出来.请同学们首先完成以下练习：填空：(用科学记数法表示一些绝对值较大的数)(1)4000000000＝________；(2)－369000＝________；学生回答：(1)4×109(2)－3.69×105教师问4：对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢？（出示课件4）先完成下面的题目：（出示课件5）填空：（1）0.1=______=______;（2）0.01=______=_______;（3）0.001=______=______;（4）0.0001=_______=______;（5）0.00001=_______=________.学生讨论后回答：（1）110=10-1；（2）1100=10-2；（3）11000=10-3；（4）110000=10-4；（5）1100000=10-5.教师问5：你发现用10的负整数指数幂表示0.0000…001这样较小的数有什么规律吗？请你把总结的规律和你的同伴交流.学生交流后，师生达成共识：表达成10的负整数指数幂的形式时，其指数恰好是第一个非零数前面所有“0”的个数的相反数.教师问6：你能归纳出数学式子吗？学生讨论后回答：教师问7：你能利用10的负整数指数幂，将绝对值较小的数表示成类似形式吗？0.00001＝________；0.0000000257＝2.57×0.00000001＝2.57×________.学生回答：10-5；10-8教师问8：如何用科学记数法表示0.0035和0.0000982呢？（出示课件6）学生回答：0.0035=3.5×0.001=3.5×10-3；0.0000982=9.82×0.00001=9.82×10-5教师问9：观察这两个等式，你能发现10的指数与什么有关呢？师生共同讨论后解答如下：对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．教师问10：归纳：请说一说你对科学记数法的认识.师生共同讨论后解答如下：绝对值较大的数用科学记数法能表示为a×10n的形式，其中，n等于数的整数位数减1，a的取值为1≤|a|<10；绝对值较小的数用科学记数法能表示为a×10－n的形式，其中，a的取值一样为1≤|a|<10，但n的取值为小数中第一个不为零的数字前面所有的零的个数.教师讲解：这样，任何一个数根据需要都可以记成科学记数法的形式. a×10n的形式，其中，n为整数，a的取值为1≤|a|<10；例1：用科学记数法表示下列各数：（出示课件7-9）(1)0.005师生共同解答如下：(2)0.0204师生共同解答如下：(3)0.00036师生共同解答如下：例2：计算下列各题：（出示课件11）(1)(－4×10-6)÷(2×103)(2)(1.6×10-4)×(5×10-2)师生共同解答如下：解：(1)(－4×10-6)÷(2×103)=(-4÷2)(10-6÷103)=-2×10-9(2)(1.6×10-4)×(5×10-2)=(1.6×5)×(10-4×10-2)=8×10-6总结点拨：科学记数法的有关计算，分别把前边的数进行运算，10的幂进行运算，再把所得结果相乘.例3：纳米(nm)是非常小的长度单位，1nm=10–9m，把1nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体？(物体之间间隙忽略不计)师生共同解答如下：（出示课件13）解：1mm=10－3m，1nm=10－9m.(10－3)3÷(10－9)3=10－9÷10－27=1018，1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体.（三）课堂练习（出示课件16-20）1.斑叶兰被列为国家二级保护植物,它的一粒种子重约0.0000005克将0.0000005用科学记数法表示为()A.5×107B.5×10-7C.0.5×10-6D.5×10-62.用科学记数法表示下列各数：(1)0.001=________________；(2)-0.000001=_______________；(3)0.001357=____________________；(4)-0.000504=________________________.3.下列是用科学记数法表示的数，试写出它的原数.(1)4.5×10-8=________________；(2)-3.14×10-6=________________；(3)3.05×10-3=___________________.4.计算(结果用科学记数法表示).(1)(6×10-3)×(1.8×10-4)；(2)(1.8×103)÷(3×10-4).5.一根约为1米长、直径为80毫米的光纤预制棒，可拉成至少400公里长的光纤.试问：1平方厘米是这种光纤的横截面积的多少倍？(用科学记数法表示且保留一位小数)参考答案：1.B2.（1）10-3；（2）-10-6；（3）1.357×10-3；（4）-5.04×10-43.（1）0.000000045；（2）-0.00000314；（3）-0.00305.4.（1）解：原式=1.08×10-6；（2）解：原式=0.6×107=6×1065.解：这种光纤的横截面积为1÷(1.256×10-4)≈8.0×103答：1平方厘米是这种光纤的横截面的8.0×103倍.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:用科学记数法表示绝对值小于1的数绝对值小于1的数用科学记数法表示为a×10-n的形式，1≤│a│<10，n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面那个0).（五）课前预习预习下节课（15.3）149页到151页的相关内容。

人教版八年级数学上册：15.3分式方程(教案)

-对本节课所学内容进行总结，巩固知识点
-鼓励学生在日常生活中发现并解决分式方程问题，提高数学素养
7.课后作业（课后自主完成）
-针对本节课所学内容，布置课后习题，巩固所学知识
-鼓励学生自主探索、拓展学习，提高解题能力
五、教学反思
在本次分式方程的教学中，我发现学生们对于分式方程的概念和求解方法的理解总体上是不错的。他们能够跟随我的讲解，逐步掌握去分母、移项等基本操作。然而，我也注意到，部分学生在面对高次分式方程或者分式方程组时，会感到困惑，这成为了他们学习的难点。
举例：重点讲解分式方程2/(x-3) = 1/(x+2)，突出求解过程中每一步的关键操作，如交叉相乘去分母，合并同类项等。
2.教学难点
-分式方程去分母的技巧：对于复杂的分式方程，如何选择合适的去分母方法，避免出现计算错误。
-高次分式方程的求解：涉及高次方程的求解，如何运用降次或其他数学方法简化问题。
人教版八年级数学上册：15.3分式方程（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学上册：15.3分式方程
1.分式方程的定义与特点
2.分式方程的求解方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
3.应用题：利用分式方程解决实际生活中的问题
4.分式方程的常见类型及解题技巧
a.简单分式方程
b.复杂分式方程
c.高次分式方程
三、教学难点与重点
1.教学重点
-分式方程的定义及其基本性质：理解分式方程中分子、分母的关系，掌握分式方程的基本形式。
-分式方程的求解方法：重点讲解去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，强调每一步的运算规则。
-分式方程的验根方法：教会学生如何检验求得的解是否满足原方程，确保解的正确性。

人教版八年级上册数学《分式方程》(优质教案)

人教版八年级上册数学《分式方程》（优质教案）一. 教材分析人教版八年级上册数学《分式方程》这一章节是在学生已经掌握了分式的基础知识，如分式的概念、分式的运算等基础上进行讲解的。

本章主要内容是让学生了解分式方程的定义、解法以及应用。

通过本章的学习，学生应能理解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本方法，并能够将分式方程应用于解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了分式的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。

但学生在解分式方程时，可能会遇到理解上的困难，如分式方程的转化、求解过程中的运算等。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。

三. 教学目标1.了解分式方程的定义，理解分式方程与一般方程的区别。

2.掌握解分式方程的基本方法，能够熟练地求解分式方程。

3.能够将分式方程应用于解决实际问题，提高解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.分式方程的定义及其与一般方程的区别。

2.分式方程的解法及其应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生思考和探索，从而掌握分式方程的知识；通过案例分析，让学生了解分式方程在实际问题中的应用；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作有关分式方程的PPT，内容包括：分式方程的定义、解法及应用。

2.案例材料：收集一些实际问题，用于教学过程中的案例分析。

3.练习题：准备一些分式方程的练习题，用于课堂练习和课后作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示分式方程的定义，引导学生思考：什么是分式方程？分式方程与一般方程有什么区别？2.呈现（15分钟）通过PPT呈现分式方程的解法，主要包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、化简等步骤。

同时，结合实际问题，让学生了解分式方程在生活中的应用。

3.操练（15分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。

人教版初中数学八年级上册上册第十五章《分式》第一节《分式》教案

-分式的概念理解：学生容易混淆分式与整式的区别，需要通过实例和直观图形帮助学生理解。
-约分与通分的技巧：学生在约分和通分时，往往不能找到最简公分母，需要教授寻找公分母的技巧和方法。
-分式的混合运算：学生在面对分式的混合运算时，难以掌握运算顺序和法则，需要通过典型例题和练习逐步突破。
-分式在实际问题中的应用：学生可能不知道如何将实际问题转化为分式问题，需要通过案例分析，引导学生建立数学模型。
举例：难点在于分式的混合运算，教师应通过以下步骤帮助学生克服难点：
a.通过对比整式的运算顺序，引导学生理解分式混合运算的顺序。
b.通过具体例题，展示分式混合运算的步骤和技巧。
c.设计不同难度的练习题，让学生逐步适应并掌握分式混合运算。
d.在解题过程中，强调分式约分与通分的应用，使运算过程简化。
四、教学流程
五、教学反思
在本次教学活动中，我教授了人教版初中数学八年级上册第十五章《分式》的第一节《分式》。回顾整个教学过程，我认为有几个地方值得反思和改进。
首先，关于导入新课环节，我通过提出与分式相关的生活中的问题来激发学生的兴趣，这是一个较好的切入点。但在实际操作中，我发现部分学生可能并没有完全理解问题的实质，导致后续学习过程中对分式的理解不够深入。因此，在以后的教学中，我需要更加关注学生的反应，适时调整问题的难度，确保学生们能够更好地进入学习状态。
本节课的核心素养目标主要包括：
1.培养学生的数学抽象能力，通过引入分式的概念，让学生理解数学表达形式的简洁性与严谨性；
2.提高学生的逻辑推理能力，在学习分式的性质与运算法则中，使学生掌握逻辑推理方法，形成严密的数学思维；
3.培养学生的数学建模素养，让学生在实际问题中运用分式知识建立数学模型，提高解决实际问题的能力；

人教版八年级数学上册第十五章《分式》教案

第十五章分式15.1 分式15.1.1 从分数到分式1.理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围或字母之间的相互关系.2.在经历探索、思考、类比的过程中，体会分式的意义，感受分式是刻画现实问题中数量关系的一种模型.3.进一步增强从特殊到一般的认知过程，发展学生的数学思维能力.【教学重点】理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围的判别方法.【教学难点】在分式有意义的条件下，分式值为0的字母的取值情况.一、情境导入，初步认识问题一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？【教学说明】章前画面和上述问题可用多媒体展示，让学生感受生活，感受数学.对所提出的问题让学生相互交流，探索解决问题的过程、方法，教师巡视，适时参与学生的讨论，最后选取学生代表展示成果，教师及时提出新问题.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知问题1刚才大家通过探讨，获得到100602020v v+-，这样的式子，它们是整式吗？如果不是，区别在哪里？思考1（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm，宽为；若长方形的面积为S，长为a，则宽应为；（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱的容器中，水面高度为cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度应为.思考2 式子S/a、V/S与10/7，200/33有什么区别？它们与10060 2020v v+-，有什么共同点？谈谈你的看法.【教学说明】教师应引导学生对上述三个问题进行积极思考，感受整式与分式、分式与分数之间的联系和区别，初步形成对分式的概念的理解.教师在学生交流过程中，巡视全场，引导学生关注所给式子的分子，分母的特征，此时可类比分数分子、分母进行描述.分式：一般地如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB 叫做分式.问题2（1）使分式11x-有意义，则x的取值有什么要求？（2）使分式A/B有意义，所需要的条件是什么？【教学说明】让学生自主探究，获得结论，然后相互交流，教师再予以总结.【归纳结论】使分式A/B有意义时，必有B≠0.三、典例精析，掌握新知例1指出下列各式中的整式与分式：【教学说明】教师总结判断分式的依据：看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.然后让学生自主探索，获得结论，这里要注意：π不是字母，是常数，所以x/π是整式.例2填空：（1）当x时，分式23x有意义？（2）当b时，分式153b-有意义？（3）当x ，y 满足关系时，分式x y x y +-有意义？（4）当x 时，分式231x x + 有意义？解：（1）由题意有：3x ≠0，故x ≠0，所以当x ≠0时，分式23x 有意义；（2）由题意有：5-3b ≠0，故b ≠5/3,所以当b ≠5/3时，分式153b -有意义；（3）由题意有x-y ≠0，故x ≠y ，所以当x ≠y 时，分式x y x y+-有意义；（4）由题意有x 2+1≠0，因为x 2≥0，x 2+1≥1，故x 为任何数时，分式231x x +有意义. 【教学说明】让学生自主探索，获得结论，选取一、两名同学汇报自己的结论，师生共同评论.评析时，教师应注意引导学生对（3）、（4）小题进行反思，巩固对分式有意义的条件和认识.例3什么条件下，下列分式的值为0？（1）1x x - ；（2）23m n m n-+ ；（3）()236x x x x --- . 解：（1）由题意有：x-1=0，∴x=1.当x=1时，分母x ≠0，所以当x=1时，分式1x x-的值为0；（2）由题意有：2m-3n=0，∴m=32n ，∴m+n=52n ，又m+n ≠0，即52n ≠0，∴n ≠0，从而在m=32n ≠0时，分式23m n m n-+的值为0；（3）由题意有：x(x-3)=0，∴x=0或x=3，当x=0时，分母x 2-x-6=-6≠0，当x=3时，x 2-x-6=9-3-6=0，故使分式()236x x x x ---的值为0时，x 的值为x=0. 【教学说明】教学时，教师应讲清楚使分式=0时所必须的条件是：分子=0且分母≠0，这样让学生自己通过探讨三个问题的结论时，感知分式有意义是确定分式的值的前提条件，然后给一定时间让学生自己尝试解决所提出的问题，再由老师给予完整解答，让学生在比较、分析与反思中巩固所学知识.在完成上述例题后，教师可引导学生做教材P4练习，以巩固知识.四、师生互动，课堂小结1.这节课你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你还有哪些疑问？与同伴交流.【教学说明】问题都可由学生自己总结，选取代表发表自己的看法，从而系统地对本节知识进行回顾与思考，针对学生的疑问，可当堂予以解释，帮助学生掌握所学的知识.1.布置作业：从教材“习题15.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.这节课的内容较少，比较贴近实际生活，要求学生知道什么是分式，能区分整式与分式，对保证分式有意义、分子分母要同时满足什么条件能很准确地指出来.此外，分式的值为0时分子分母也要满足一定的条件.教学中可以多出具一些实例，让学生在实际问题中去感知.15.1.2分式的基本性质1.掌握分式的基本性质，能依据分式的性质进行约分和通分运算.2.通过归纳、类比等方法得出分式的基本性质，通过观察、实验、推理等活动，发现并总结出运用分式基本性质进行分式的约分和通分.3.进一步增强学生的创新思维能力.【教学重点】理解并掌握分式的基本性质，能用分式的性质进行分式的约分和通分.【教学难点】在分式通分时找几个分母的公分母是关键，在分式的约分时应注意将分子、分母中的多项式进行分解因式.一、情境导入，初步认识分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分数的值不变.思考下列从左到右的变形成立吗？为什么？【教学说明】教师应引导学生用类比分数的基本性质来解决上述问题，加深对分式性质的初步认识.教学时，让学生相互交流，感受新知.二、思考探究，获取新知（一）分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.即··A A C A A CB BC B B C÷==÷，（A、B、C均为整式，且C≠0）试一试【教学说明】让学生自主探究，教师巡视，针对学生可能出现的问题及时给予指导，最后师生共同分析，完善答案.教学重点在于让学生明白通过分子（或分母）的变化特征，来获得分母（或分子）的变化思路，为后面的分式约分和通分作好铺垫.2.不改变分式的值，使下列分式的分子或分母都不含有“-”号：3.不改变分式的值，将下列分式中分子或分母的系数化为整数：【教学说明】2、3两道小题均由学生自主完成，相互交流.教师在学生处理第2题时应引导学生运用分数除法法则得到商的符号来完成分式中分子（或分母）的符号的处理办法，第3题应引导学生运用分式性质在分子、分母同乘以一个合适倍数来达到目的，边巡视，边指导，让学生在练习过程中加深对性质的理解和运用.（二）分式的约分分式的约分：把分式的分子、分母中的公因式约去的过程叫做分式的约分，如由2122x x x x =--，就是分式的约分. 最简分式：分子与分母中没有公因式的分式叫做最简分式.分式的约分，一般要约去分子和分母中所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式.【教学说明】上述定义或结论，在教学时，教师可结合分数的约分和前面的1（1）小题进行说明，让学生通过感性认识获得理性思考，体验由特殊到一般的辨证思维方法.试一试4.约分：【教学说明】在学生自主探究，探索问题结论过程中，教师应关注学生以下几个方面：（1）找分式的分子、分母中的公因式是否彻底，是否考虑了分子、分母中各项的系数；（2）是否注意到分式的符号的变化；（3）约分是否彻底等，对所出现的问题一定要做好个别指导，最后师生共同讨论，给出正确答案，让学生对比自己的解答，进行必要的反思.（三）分式的通分思考：联想分数的约分，如何进行分式的通分呢？试一试5.将下列分式通分：【分析】（1）把分式化成分母相同的分式的过程叫做分式的通分；（2）通分的关键是确定几个分式的最简公分母，而确定最简公分母通常按以下三个步骤进行：①取各分母系数的最小公倍数作为公分母系数；②各个分母中所有不同的因式均作为公分母中的一个因式；③所有因式的指数以它的最高次幂作为公因式中该因式的指数.【教学说明】教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对分式通分的认识.三、师生互动，课堂小结1.通过本节课的学习，你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你觉得有哪些知识是难以把握的？你有何想法？【教学说明】通过对问题的思考，让学生回顾本节学过的知识点有哪些，怎样利用分式的性质来化简分式中分子（或分母）的符号，怎样将分子、分母中的系数化成整数，如何进行分式的约分和通分，在约分和通分时最关键的问题有哪些，如何解决等等，进一步深化对本节知识的理解.在这里，教师可引导学生做教材P8练习以及习题14.1中的题，以帮助学生进一步掌握.1.布置作业：从教材“习题15.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.“分式的基本性质”在分式教学中占有重要的地位，它是约分、通分的依据.这部分知识比较容易理解，教师在设计这节课时，可利用“猜想和验证”的方法，留给学生足够的探索时间和广阔的思维空间，让学生得到的不仅是数学知识，更主要的是数学学习的方法，从而激励学生进一步地主动学习，产生我会学的成就感.教师应注重提高在验证、交流环节中学生的参与率，尤其是一些后进生可能普遍会感觉无从下手，在交流时不主动，从而停留在一知半解的状态.在巩固练习环节上，教师要注意学生的练习密度，最好给每位学生准备一份练习纸，这样能确保达到一定的练习量.15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除第1课时分式的乘除1.掌握分式的乘除法运算法则，能进行分式的乘除法运算.2.在经历探索、类比、归纳的过程中，理解并掌握分式的乘除法运算法则.3.在类比分数乘除法运算法则获得分式乘除法法则中，让学生体验由数到式的数学发展过程，激发学生学习兴趣，增强求知欲.【教学重点】理解并掌握分式乘除法运算法则，能用它来进行分式乘除法运算.【教学难点】运用分式乘除法运算法则解决一些实际应用问题，进一步增强数学应用能力.一、情境导入，初步认识观察下列算式：由上述算式，我们知道，分数的乘法法则是；分数的除法法则是.思考类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？【教学说明】让学生直接由分数的乘除法运算法则感知分式的乘除法法则，可激发学生的学习兴趣，增强求知欲.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知类比分数的乘除法运算，可以发现分式的乘除法也有相同的运算法则.乘法法则：分式乘分式，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子可表示为：···a d a db c b c=.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子可表示为：···a d a c a cb c b d b d÷==.【教学说明】分式的乘除法则可由学生类比分数得到结论，让学生在合作交流中感受新知；教师不必直接给出结论.在教学时，教师可进一步地展示下面的一些问题，帮助学生加深理解.问题【教学说明】在教学时，上述三个问题教师可延时展示给学生，让学生逐一思考，获得结论.教师巡视，对有困难的学生适时给予指导，同时分别选派2～3名学生上黑板演示，师生共同评析.在问题1中，着重于除式是整式情形，这时应引导学生先将整式看作分母为1的式子来参与计算；问题中侧重于运算结果应予以约分化简，必须是最简分式时才算运算结束；问题3侧重于分式的分母、分子是多项式情形，此时应注重于分解因式，以便于约分化简，整个过程都应是学生自主探究，合作交流来完成的.三、典例精析，掌握新知【分析】本题是分式乘除法，分子、分母是多项式的应先把多项式分解因式再运用法则，而分式乘除法实质就是约分.【教学说明】本例仍由学生自主探究，抽学生回答，教师适时点拨，师生共同寻求解题方法，完成解题过程.在完成之后，教师可引导学生做P138练习第2、3题，在这个过程中，仍可让学生举手回答，教师予以点评.四、运用新知，深化理解1.一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的m、n时，水面的高为多少？2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？【教学说明】这两个题可由学生自主探究，获得结论，教师应关注学生将实际问题转化成分式模型的能力及是否能正确运用分式乘除法法则来完成解答.【答案】可参见教材P135问题1、问题2的解答.五、师生互动，课堂小结运用分式乘除法法则解决具体问题时有哪些需要注意的问题？谈谈你的看法，与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.分式的乘除不是特别难上的课，主要是要让学生掌握方法.拿乘法来说，其方法有两种：一种是先约分再乘；另一种是先乘再约分.一般应这样处理：如果分子分母全是单项式，就用先乘后约分的方法；如果分子分母含有可分解因式的多项式，就先约分后相乘.当然两种方法并不一定非得有固定的模式，你觉得哪种容易接受就选择哪种.并且在约分时应教给学生一个不容易错的方法，就是约分后把每个约好的式子写在原来的上（分子）下（分母）方，不约的照抄，最后就看写着结果再相乘，既不容易漏乘，也不容易多乘.分式除法可转变为分式乘法后再按上述方法进行.在教学方法上，教师应努力结合现实的问题情境，引导学生理解分式乘除的意义.由于练习计算是比较单调和枯燥的，为了避免单纯的机械计算，将计算学习与解决问题有机结合，创设学生喜欢的实际情境，引导学生根据实际问题的数量关系，列出算式.第2课时分式的乘除混合运算与分式的乘方1.掌握分式的乘除法法则，能用它们进行分式的乘除混合运算.2.理解分式乘方的意义，能进行有关分式乘方的运算.3.通过对具体问题的探究思考，感受分式乘除混合运算、分式乘方运算方法，进一步增强类比的数学思想方法的理解.4.进一步增强学生的数学计算能力，发展严密的数学思维能力，增强数学学习兴趣.【教学重点】分式乘除、乘方混合运算能力.【教学难点】分式乘方法则的理解和运用.一、情境导入，初步认识问题分式乘除法运算法则是什么？如何进行分式乘除法混合运算呢？试一试参见教材P138例4.想一想小明同学在计算xy÷yx·xy时，其过程如下：原式=xy÷1=xy，你认为他的计算正确吗？说说你的理由，与同伴交流.【教学说明】教师延时展示上述三个问题，让学生自主探究，加深对分式乘除法法则的理解，体会分式乘除法混合运算方法.教师对学生的结论给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考参见教材P138“思考”.【归纳结论】参见教材P138最后一段.【教学说明】教师提出问题，由学生自主探究，发现规律，形成认知，从而感受分式乘方的意义.试一试计算：【教学说明】选派两名同学上黑板计算，其余同学在座位上自主探究.教师巡视，最后全班同学一道对两位同学的演示结果进行评析，教师应对学生的解答进行详细讲解，帮助学生完善认知.【归纳结论】分式的乘方，就是把分式的分子、分母各自乘方.三、典例精析，掌握新知例计算：（1）参见教材P139例5第（2）小题；（2）参见教材P139练习第2题第（2）小题.【分析】分式的乘除、乘方混合运算，应先算乘方，再算乘除，能约分的一定要约分.【教学说明】教学时，教师应对一些学生易出现错误的地方予以强调，如（-c2d）2=-c4d2或c2d2，(-3c)3=-9c3等错误，引起学生注意.四、运用新知，深化理解1.参见教材P139“练习”第1题.2.计算：（1）参见教材P139“练习”第2题第（1）小题；（2）参见教材P146第3题第（4）小题.【教学说明】学生独立完成这些小题，然后相互交流，有时间的话，教师予以评价，让学生查漏补缺，巩固新知.五、师生互动，课堂小结本节课所学习的主要知识是什么？有哪些需要特别注意的地方？谈谈你的看法，并与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.由于前面学生已对分式的乘除法有一定的了解，所以本课时的教学可采用类比的方法进行，一方面类比整式的乘除混合运算，另一方面类比前面分式的乘除.教学时，教师要起引导作用，引导学生自主发现和解决问题.15.2.2 分式的加减第1课时分式的加减1.理解并掌握分式的加减法法则，能用它进行简单的分式加减.2.经历探究实际问题中数量关系的过程，感受分式的加减法也是实际需要，进而掌握分式的加减方法.3.进一步增强用类比的思想方法解决数学问题的能力，锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.【教学重点】分式的加减法运算方法.【教学难点】异分母分式的加减法即化异分母分式为同分母分式的方法.一、情境导入，初步认识问题1参见教材P139“问题3”.问题2参见教材P139“问题4”.【教学说明】让学生对上述两个问题的思考，得出算式分别为11)3(n n ++ 和322121()s s s s s s --- ，教师巡视，对不能尽快得出算式的学生给予个别指导，让学生能自主分析问题，并探寻解决问题的方法.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考参见教材P140“思考”.【归纳结论】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再加减.【教学说明】在师生共同探讨获得分式加减法法则后，教师应强调以下两个问题：①分式加减的最后结果能约分的一定要约分，化为最简分式；②异分母分式加减时，一定要先确定各分式的最简公分母，化为同分母分式后再进行加减法运算.三、典例精析，掌握新知例参见教材P140例6.解：参见教材P140例6“解”部分.四、运用新知，深化理解参见教材P141“练习”.【教学说明】第1题只须与学生核对答案即可，而第2题建议选三名中等成绩同学上黑板演示，其它同学独立探究，然后师生共同评析三位同学的演算过程，在评讲过程中教师应有针对性地强调一些需注意的问题：如（1）中的最简公分母；（2）中化为同分母分式后分子应适时添加括号，（3）中应先将22a a b- 化为()()a a b a b +- ，再通分等.五、师生互动，课堂小结1.在进行异分母分式的加减法运算时，应关注哪些问题？2.通过这节课的学习，你还有哪些疑惑，与同伴交流.【教学说明】用问题形式对本节知识进行归纳总结，让学生对知识进行梳理，形成知识体系.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.这节课教师可采用探究与自主学习相结合的模式来完成.探究的目的是让学生经历类比分数加减运算的过程，通过将分式中的字母赋值，从而把分数的加减运算法则推及到分式的加减运算.整个过程中既有从特殊到一般的归纳，也有从一般到特殊的演绎.此外还可以通过把例题的再加工，使学生把错误暴露出来，引起他们的共鸣，而这些课堂内学生的差错会成为学生自己可贵的复习资料.接着可出些不同类型的题，让学生再次经历分式的加减运算过程，强化技能，以达到熟练的程度.第2课时分式的混合运算1.进一步掌握分式的加减法运算方法，能用它解决实际问题.2.能进行分式的乘除、加减、乘方混合运算.3.在具体问题情境的探索思考过程中，进一步增强学生的数学应用意识，锻炼分析问题、解决问题的能力.4.进一步培养学生严密的科学态度和良好的学习习惯.【教学重点】掌握分式乘除、加减、乘方混合运算.【教学难点】运用分式乘除、加减、乘方等解决实际问题.一、情境导入，初步认识问题1异分母分式的加减法的一般步骤有哪些？在运算过程中有哪些需要注意的问题？问题2在进行分式的乘除、加减，乘方混合运算时，你认为应该怎样做？谈谈你的想法.【教学说明】问题1的设置在于巩固上节课学过知识，并能用它解决本节问题，起承上启下作用；问题2则是让学生联想到分式乘除、分式加减法则是类比分数而得到的，因而可类比得到分式混合运算法则.在教学时，可让学生自主探究，相互交流，在探讨中形成认知.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知【教学说明】上述两个例题都应先让学生独立完成试试，然后教师再予以评讲，例1的（1）题侧重于展示分式的混合运算方法；先算乘方，再算乘除，最后算加减；而第（2）题进一步强调混合运算中的运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号应先做括号内的运算，再算括号外的运算”.三、典例精析，掌握新知【教学说明】教学时，可让学生自主探索，获得结论，教师再行讲解.例1中计算（x2+xy+y2）（x-y）时，若已掌握公式（a2+ab+b2）（a-b）＝a3-b3，可直接写出结果x3-y3，如果不知道此公式，可利用多项式乘多项式的法则计算.例2中含有一个开放性问题，这里教师应该强调：选择一个值代入时，一定要使原代数式有意义，即不能选x为0，1这两个值.四、运用新知，深化理解2.在一块a公顷的稻田上插秧，如果10个人插秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，需比10个人插秧提前3天完成.一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍？【教学说明】学生独立探究，教师巡视时，对有困难同学给予指导，最后予以评讲，让学生在自查中反思，积累解题经验和方法.五、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你有哪些收获？2.你还有哪些疑问？与同伴交流.【教学说明】让学生对照上述两个问题自我反思，既系统回顾本节所学知识，又查找问题所在，在与同伴交流中加深认识.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时要求学生理解并掌握分式的乘除、加减和乘方混合运算，为达到教学目标，本课时通过问题的提出，让学生类比前面不含乘方的混合运算.例题的讲解旨在引导学生把实际问题数学化.当然，无论是例题的分析还是练习题的落实，都以学生为中心，给予充分的时间让学生去演算并暴露问题，再指出问题所在，为后面的教学提供较好的对比分析材料.此外，教师还应引导学生发现并总结多。

初中数学分式方程教案

初中数学分式方程教案教案内容：一、教学内容：本节课的教学内容选自人教版初中数学八年级上册第四章第一节《分式方程》。

本节课的主要内容有：分式方程的定义、分式方程的解法以及分式方程的应用。

二、教学目标：1. 理解分式方程的定义，掌握分式方程的解法。

2. 能够运用分式方程解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

三、教学难点与重点：重点：分式方程的定义，分式方程的解法。

难点：分式方程的解法，分式方程的应用。

四、教具与学具准备：教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

学具：课本、练习本、铅笔、橡皮。

五、教学过程：1. 实践情景引入：教师可以通过展示一些实际问题，引导学生发现这些问题可以用分式方程来表示。

例如，某商品的原价是100元，商店进行了一次8折优惠活动，请问优惠后的价格是多少？2. 例题讲解：教师可以通过讲解一些典型的分式方程题目，引导学生掌握分式方程的解法。

例如，解方程：$$\frac{x2}{3}= \frac{4x}{2}$$3. 随堂练习：教师可以布置一些随堂练习题，让学生独立完成，以巩固所学知识。

例如，解方程：$$\frac{2x+1}{5}= \frac{3x}{4}$$4. 分式方程的应用：教师可以通过讲解一些分式方程在实际问题中的应用，让学生体会分式方程的重要性。

例如，某工厂生产A、B两种产品，生产A产品需要2小时，生产B产品需要3小时，如果每天工作8小时，那么一天可以生产A、B产品各多少件？六、板书设计：板书内容主要包括分式方程的定义、解法以及应用。

例如：分式方程：$$\frac{x2}{3}= \frac{4x}{2}$$解法：去分母，得：2(x2)=3(4x)去括号，得：2x4=123x移项，得：2x+3x=12+4合并同类项，得：5x=16系数化为1，得：x=$$ \frac {16}{5}$$七、作业设计：1. 解方程：$$\frac{3x1}{4}= \frac{52x}{3}$$答案：x=$$ \frac {13}{18}$$2. 某商店进行了一次8折优惠活动，原价是100元的商品，优惠后的价格是80元，请问原价是多少？答案：原价是100元。

八年级数学上册第15章《分式》全章教案(人教版)

15．1 分式15．1.1 从分数到分式1．了解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，会求分式的值．(重点)2．理解当分母不为零时分式才有意义；在分式有意义的条件下，会求分式的分母中所含字母的取值范围；会确定分式的值为零的条件．(难点)一、情境导入多媒体展示，学生欣赏一组图片(长江三峡)．长江三峡自古以来就是四川通往中原的重要水路，也是秀美壮丽、享誉中外的世界旅游胜地．早在1500多年前的魏晋时期，地理学家郦道元就在他的著作《水经注》中留下一段生动的描述：“有时朝发白帝城，暮至江陵，期间千二里，虽乘龙御风，不以疾也．”多媒体出示以下问题：(1)如果客船早6时从白帝城启航，顺水而下，傍晚6时到达江陵，航程600千米，客船航行的平均速度约为多少千米/小时？(2)如果客船8小时航行了s 千米，该船航行的平均速度是多少？(3)如果客船在静水中的航行速度为v 千米/小时，江水流动的平均速度为20千米/小时．那么客船顺水而下，航行600千米需多少时间？如果客船逆水航行s 千米，需要多少时间？你能解答情境导入中的问题吗？与同学交流．二、合作探究探究点一：分式的概念【类型一】判断代数式是否为分式在式子1a 、2xy π、3a 2b 3c 4、56＋x 、x 7＋y 8、9x ＋10y 中，分式的个数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：1a 、56＋x 、9x ＋10y这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．其他式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选B.方法总结：分母中含有字母的式子就是分式，注意π不是字母，是常数．【类型二】探究分式的规律观察下面一列分式：x 3y ，－x 5y 2，x 7y 3，－x 9y4，…(其中x ≠0)．(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；(2)根据你发现的规律，试写出第n (n 为正整数)个分式，并简单说明理由．解析：(1)根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系得出答案；(2)利用(1)中数据的变化规律得出答案．解：(1)观察各分式的规律可得：第6个分式为－x 13y 6；(2)由已知可得：第n (n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1yn ，理由：∵分母的底数为y ，次数是连续的正整数，分子底数是x ，次数是连续的奇数，且偶数个为负，∴第n (n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1yn .方法总结：此题主要考查了分式的定义以及数字变化规律，得出分子与分母的变化规律是解题关键．【类型三】根据实际问题列分式每千克m 元的糖果x 千克与每千克n 元的糖果y 千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为( )A.nx ＋my x ＋y 元B.mx ＋nyx ＋y 元 C.m ＋n x ＋y 元 D.12(x m ＋y n)元解析：由题意可得杂拌糖每千克的价格为mx ＋ny x ＋y元．故选B.方法总结：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，列出代数式．探究点二：分式有意义或无意义的条件【类型一】分式有意义的条件分式x －1（x －1）（x －2）有意义，则x 应满足的条件是( )A ．x ≠1B ．x ≠2C ．x ≠1且x ≠2D ．以上结果都不对解析：∵分式有意义，∴(x －1)(x －2)≠0，∴x －1≠0且x －2≠0，∴x ≠1且x ≠2.故选C.方法总结：分式有意义的条件是分母不等于零．【类型二】分式无意义的条件使分式x3x －1无意义的x 的值是( )A ．x ＝0B ．x ≠0C ．x ＝13D ．x ≠13解析：由分式有意义的条件得3x －1≠0，解得x ≠13.则分式无意义的条件是x ＝13，故选C.方法总结：分式无意义的条件是分母等于0. 探究点三：分式的值为零、为正或为负的条件若使分式x 2－1x ＋1的值为零，则x 的值为( )A ．－1B ．1或－1C ．1D ．以上都不对解析：由题意得x 2－1＝0且x ＋1≠0，解得x ＝1，故选C.方法总结：分式的值为零的条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．三、板书设计从分数到分式1．分式的概念：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式．2．分式A B 有无意义的条件：当B ≠0时，分式有意义；当B ＝0时，分式无意义． 3．分式A B值为0的条件：当A ＝0，B ≠0时，分式的值为0.本节采取的教学方法是引导学生独立思考、小组合作，完成对分式概念及意义的自主探索；通过“课后练习应用拓展”这一环节发展了学生思维，巩固了课堂知识，增强了学生实践应用能力．提出问题让学生解决，问题由易到难，层层深入，既复习了旧知识又在类比过程中获得了解决新知识的途径．在这一环节提问应注意循序性，先易后难、由简到繁、层层递进，台阶式的提问使问题解决水到渠成．15．1.2 分式的基本性质1．通过类比分数的基本性质，说出分式的基本性质，并能用字母表示．(重点) 2．理解并掌握分式的基本性质和符号法则．(难点)3．理解分式的约分、通分的意义，明确分式约分、通分的理论依据．(重点)4．能正确、熟练地运用分式的基本性质，对分式进行约分和通分．(难点)一、情境导入中国古代的数学论著中就有对“约分”的记载，如《九章算术》中就曾记载“约分术”，并给出了详细的约分方法，这节课我们就来学习分式化简的相关知识，下面先来探索分式的基本性质．二、合作探究探究点一：分式的基本性质【类型一】利用分式的基本性质对分式进行变形下列式子从左到右的变形一定正确的是( )A.a ＋3b ＋3＝a b B.a b ＝acbcC.3a 3b ＝a bD.a b ＝a 2b2 解析：A 中在分式的分子与分母上同时加上3不符合分式的基本性质，故A 错误；B 中当c ＝0时不成立，故B 错误；C 中分式的分子与分母同时除以3，分式的值不变，故C 正确；D 中分式的分子与分母分别乘方，不符合分式的基本性质，故D 错误；故选C.方法总结：考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．【类型二】不改变分式的值，将分式的分子、分母中各项系数化为整数不改变分式0.2x ＋12＋0.5x的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为( )A.2x ＋12＋5xB.x ＋54＋x C.2x ＋1020＋5x D.2x ＋12＋x解析：利用分式的基本性质，把0.2x ＋12＋0.5x 的分子、分母都乘以10得2x ＋1020＋5x .故选C.方法总结：观察分式的分子和分母，要使分子与分母中各项系数都化为整数，只需根据分式的基本性质让分子和分母同乘以某一个数即可．【类型三】分式的符号法则不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号． (1)－3b 2a ；(2)5y －7x 2；(3)－a －2b 2a ＋b.解析：在分子的符号，分母的符号，分式本身的符号三者当中同时改变其中的两个，分式的值不变．解：(1)原式＝－3b 2a ；(2)原式＝－5y 7x 2；(3)原式＝－a ＋2b2a ＋b.方法总结：这类题目容易出现的错误是把分子的符号，分母的项的符号，特别是首项的符号当成分子或分母的符号．探究点二：最简分式、分式的约分和通分【类型一】判定分式是否是最简分式下列分式是最简分式的是( )A.2a 2＋a ab B.6xy 3aC.x 2－1x ＋1D.x 2＋1x ＋1解析：A 中该分式的分子、分母含有公因式a ，则它不是最简分式．错误；B 中该分式的分子、分母含有公因数3，则它不是最简分式．错误；C 中分子为(x ＋1)(x －1)，所以该分式的分子、分母含有公因式(x ＋1)，则它不是最简分式．错误；D 中该分式符合最简分式的定义．正确．故选D.方法总结：最简分式的标准是分子，分母中不含公因式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．【类型二】分式的约分约分：(1)－5a 5bc 325a 3bc 4；(2)x 2－2xyx 3－4x 2y ＋4xy 2. 解析：先找分子、分母的公因式，然后根据分式的基本性质把公因式约去．解：(1)－5a 5bc 325a 3bc 4＝5a 3bc 3（－a 2）5a 3bc 3·5c ＝－a25c； (2)x 2－2xy x 3－4x 2y ＋4xy 2＝x （x －2y ）x （x －2y ）2＝1x －2y. 方法总结：约分的步骤：(1)找公因式．当分子、分母是多项式时应先分解因式；(2)约去分子、分母的公因式．【类型三】分式的通分通分：(1)b 3a 2c 2，c －2ab ，a5cb 3； (2)1a 2－2a ，a a ＋2，1a 2－4. 解析：确定最简公分母再通分．解：(1)最简公分母为30a 2b 2c 2，b 3a 2c 2＝10b 430a 2b 3c 2，c －2ab ＝－15ab 3c 330a 2b 3c 2，a 5cb 3＝6a 3c30a 2b 3c2；(2)最简公分母为a (a ＋2)(a －2)，1a 2－2a ＝a 2＋2a a （a ＋2）（a －2），aa ＋2＝a 3－2a 2a （a ＋2）（a －2），1a 2－4＝aa （a ＋2）（a －2）.方法总结：通分的一般步骤：(1)确定分母的最简公分母．(2)用最简公分母分别除以各分母求商．(3)用所得到的商分别乘以分式的分子、分母，化成同分母的分式．三、板书设计分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．2．符号法则：分式的分子、分母及分式本身，任意改变其中两个符号，分式的值不变；若只改变其中一个的符号或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．本节课的流程比较顺畅，先探究分式的基本性质，然后顺势探究分式变号法则．在每个活动中，都设计了具有启发性的问题，对各个知识点进行分析、归纳总结、例题示范、方法指导和变式练习．一步一步的来完成既定目标．整个学习过程轻松、愉快、和谐、高效．15．2 分式的运算15．2.1 分式的乘除第1课时分式的乘除1．经历探索分式的乘除法运算法则，通过类比分数的乘除法法则，提高联想能力和推理能力．(重点)2．熟练地进行分式的乘除运算，并能利用它解决实际问题．(难点)一、情境导入观察下列运算： 23×45＝2×43×5 57×29＝5×27×9，23÷45＝23×54＝2×53×4 57÷29＝57×92＝5×97×2. 以上是以前学习的分数的乘法与除法，分数乘法与除法的运算法则分别是什么？今天我们仿照分数的乘除来研究分式的乘除．二、合作探究探究点一：分式的乘法计算：(1)ab 22c 2·4cd －3a 2b 2； (2)x 2＋3x x 2－9·3－x x ＋2.解析：找出公因式，然后进行约分，约分时能分解因式的先分解因式．解：(1)ab 22c 2·4cd －3a 2b 2＝－ab 2·4cd 2c 2·3a 2b 2＝－4ab 2cd 6a 2b 2c 2＝－2d3ac； (2)x 2＋3x x 2－9·3－x x ＋2＝x （x ＋3）（x ＋3）（x －3）·3－x x ＋2＝x x －3·－（x －3）x ＋2＝－xx ＋2.方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分．探究点二：分式的除法【类型一】利用分式的除法法则进行计算计算：(1)－3xy ÷2y23x ；(2)(xy －x 2)÷x －yxy. 解析：先将除法变为乘法，再利用分式的乘法法则进行运算，做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，再约分．解：(1)－3xy ÷2y 23x ＝－3xy ·3x 2y 2＝－9x22y ；(2)(xy －x 2)÷x －y xy ＝(xy －x 2)·xy x －y ＝－x (x －y )·xy x －y＝－x 2y . 方法总结：确定商的符号，再把除式的分子、分母的位置颠倒与被除式相乘．【类型二】分式的化简求值先化简，再求值： (1)3x ＋3y 2x 2y ·4xy 2x 2－y 2，其中x ＝12，y ＝13；(2)x 2－x x ＋1÷x x ＋1，其中x ＝3＋1.解析：(1)利用分式的乘法法则进行计算化简．(2)将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．解：(1)原式＝3（x ＋y ）2xy ·x ·2xy ·2y （x ＋y ）（x －y ）＝6y x （x －y ），当x ＝12，y ＝13时，原式＝24；(2)原式＝x 2－x x ＋1·x ＋1x ＝x （x －1）x ＋1·x ＋1x＝x －1，当x ＝3＋1时，原式＝ 3.方法总结：根据分式乘除法法则将代数式进行计算化简，再代入求值．【类型三】根据分式的除法，判断分式中字母的取值范围若式子x ＋1x ＋2÷x ＋3x ＋4有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠－2，x ≠－4 B ．x ≠－2C ．x ≠－2，x ≠－3，x ≠－4D ．x ≠－2，x ≠－3 解析：∵x ＋3x ＋4≠0，x ＋2≠0，∴x ＋3≠0且x ＋4≠0，解得x ≠－2，x ≠－3，x ≠－4，故选C.方法总结：在分式的除法中，求字母的取值范围时要使被除式的分母不为0，同时还要使除式的分子、分母不为0.【类型四】分式乘除法的应用老王家种植两块正方形土地，边长分别为a 米和b 米(a ≠b )，老李家种植一块长方形土地，长为2a 米，宽为b 米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？解析：不妨设花生的总产量是1，老王家种植的总面积为(a 2＋b 2)平方米，老李家种植的总面积为2ab 平方米，分别求出单位面积产量，再相除即可．解：设花生的总产量是1，1a 2＋b 2÷12ab ＝2aba 2＋b 2(倍)．答：老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的2aba 2＋b 2倍．方法总结：此题考查分式乘除运算的运用，注意理清题意，正确列式计算即可．三、板书设计分式的乘除1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除．本节是从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法则．这种温故而知新的做法不仅有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．在学生得出分式的乘除法则时，要求他们分别用文字和式子两种形式进行表述，这样不仅加深了学生对法则的理解，而且锻炼了他们的数学表达能力．为了进一步加深学生对基本法则的理解和运用，又由浅到深设计了一些练习题，这样学生就会把所学的知识融会贯通．第2课时分式的乘方1．理解并记住分式乘方的法则．(重点)2．能运用乘方法则熟练地进行分式乘方运算．(重点)3．能分清乘方、乘除的运算顺序，进行分式的乘除、乘方混合运算．(难点)一、情境导入复习乘方的意义：a m＝a ×a ×a ×a ×…×a,\s \do 4(m 个)) (m 为正整数)，指出底数a 可以代表一个数，一个整式或代数式，也可以是一个分式，当底数为分式，m 为正整数时，(b a)m表示分式的乘方．那么，分式的乘方怎么计算呢？二、合作探究探究点一：分式的乘除混合运算计算：a －1a ＋2·a 2－4a 2－2a ＋1÷1a 2－1.解析：先将除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则进行运算．解：原式＝a －1a ＋2·（a ＋2）（a －2）（a －1）2·（a ＋1）（a －1）1＝(a －2)(a ＋1)＝a 2－a －2. 方法总结：分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；(2)进行约分，计算出结果．特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式．探究点二：分式的乘方【类型一】分式的乘方运算下列运算结果不正确的是( )A ．(8a 2bx 26ab 2x )2＝(4ax 3b )2＝16a 2x 29b2B ．[－(x 32y )2]3＝－(x 32y )6＝－x 1864y 6C ．[y －x （x －y ）2]3＝(1y －x )3＝1（y －x ）3D ．(－x n y 2n )n ＝x 2ny3n解析：A、B、C计算都正确；D中(－x ny2n )n＝(－1)nxn2y2n2，原题计算错误．故选D.方法总结：分式的乘方就是分子、分母分别乘方，最后化为最简分式．【类型二】分式的乘除、乘方混合运算计算：(1)(－x2y)2·(－y2x)3·(－1x)4；(2)（2－x）（4－x）x2－16÷(x－24－3x)2·x2＋2x－8（x－3）（3x－4）.解析：(1)先算乘方，然后约分化简，注意符号；(2)先算乘方，再将除法转换为乘法，把分子、分母分解因式，再进行约分化简．解：(1)原式＝x4y2·(－y6x3)·1x4＝－y4x3；(2)原式＝（x－2）（x－4）（x＋4）（x－4）·（3x－4）2（x－2）2·（x－2）（x＋4）（x－3）（3x－4）＝3x－4x－3.方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式．【类型三】分式乘方的应用通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V＝43πR3(其中R为球的半径)，求：(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？解析：(1)根据体积公式求出即可；(2)根据(1)中的结果得出即可；(3)求出两体积的比即可．解：(1)西瓜瓤的体积是43π(R－d)3；整个西瓜的体积是43πR3；(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是43π（R－d）343πR3＝（R－d）3R3.方法总结：本题能够根据球的体积，得到两个物体的体积比即为它们的半径的立方比是解此题的关键．【类型四】分式的化简求值化简求值：(2xy2x＋y)3÷(xy3x2－y2)2·[12（x－y）]2，其中x＝－12，y＝23.解析：按分式混合运算的顺序化简，再代入数值计算即可．解：原式＝8x 3y 6（x ＋y ）3·（x ＋y ）2（x －y ）2x 2y 6·14（x －y ）2＝2x x ＋y .将x ＝－12，y ＝23代入，得原式＝－6.方法总结：先算乘方再算乘除，将原式化为最简形式，是解决此类问题的常用方法．三、板书设计分式的乘方1．分式乘方的法则：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方． 2．分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减．在分式乘方的教学中，通过回忆乘方的定义，让学生利用乘方的定义和分式的乘除法则进行一些具体的计算，进而归纳出分式的乘方法则，再通过一组练习加深对乘方法则的理解和应用．本节课知识点较多，对运算法则的推理过程占了相当多的时间，因此，对基本法则的理解和熟练程度还有待在后续的练习中予以加强．15．2.2 分式的加减第1课时分式的加减1．理解并掌握分式加减法法则．(重点)2．会利用分式加减法法则熟练地进行异分母分式加减法计算．(难点)一、情境导入 1．请同学们说出12x 2y3，13x 4y2，19xy2的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？2．你能举例说明分数的加减法法则吗？仿照分数加法与减法的法则，你会做以下题目吗？(1)1x ＋3x ；(2)2xy ＋4xy －5xy.分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则吗？今天我们就学习分式加减法．二、合作探究探究点一：同分母分式的加减法计算：(1)a 2＋1a ＋b －b 2＋1a ＋b ；(2)2x －1＋x －11－x.解析：按照同分母分式相加减的方法进行运算．解：(1)a 2＋1a ＋b －b 2＋1a ＋b ＝a 2＋1－（b 2＋1）a ＋b ＝a 2＋1－b 2－1a ＋b ＝a 2－b 2a ＋b ＝（a ＋b ）（a －b ）a ＋b ＝a －b ；(2)2x －1＋x －11－x ＝2x －1－x －1x －1＝2－（x －1）x －1＝3－x x －1. 方法总结：(1)当分子是多项式，把分子相减时，千万不要忘记加括号；(2)分式加减运算的结果，必须要化成最简分式或整式；(3)当两个分式的分母互为相反数时可变形为同分母的分式．探究点二：异分母分式的加减【类型一】异分母分式的加减运算计算：(1)x 2x －1－x －1；(2)x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4. 解析：(1)先将整式－x －1变形为分母为x －1的分式，再根据同分母分式加减法法则计算即可；(2)先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．解：(1)x 2x －1－x －1＝x 2x －1－x 2－1x －1＝1x －1；(2)x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4＝（x ＋2）（x －2）x （x －2）2－x （x －1）x （x －2）2＝x 2－4－x 2＋x x （x －2）2＝x －4x 3－4x 2＋4x. 方法总结：在分式的加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．【类型二】分式的化简求值先化简，再求值：3x －3－18x 2－9，其中x ＝2016. 解析：先通分并利用同分母分式的减法法则计算，后约分化简，最后代入求值．解：原式＝3x －3－18（x ＋3）（x －3）＝3（x ＋3）－18（x ＋3）（x －3）＝3（x －3）（x ＋3）（x －3）＝3x ＋3，当x ＝2016时，原式＝32019.方法总结：在解题的过程中要注意通分和化简．【类型三】分式的简便运算已知下面一列等式： 1×12＝1－12；12×13＝12－13； 13×14＝13－14；14×15＝14－15；… (1)请你从左边这些等式的结构特征写出它的一般性等式； (2)验证一下你写出的等式是否成立；(3)利用等式计算：1x （x ＋1）＋1（x ＋1）（x ＋2）＋1（x ＋2）（x ＋3）＋1（x ＋3）（x ＋4）.解析：(1)观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可写出一般性等式；(2)根据分式的运算法则即可验证；(3)根据(1)中的结论求解．解：(1)1n ·1n ＋1＝1n －1n ＋1；(2)∵1n －1n ＋1＝n ＋1n （n ＋1）－n n （n ＋1）＝1n （n ＋1）＝1n ·1n ＋1，∴1n ·1n ＋1＝1n －1n ＋1；(3)原式＝(1x －1x ＋1)＋(1x ＋1－1x ＋2)＋(1x ＋2－1x ＋3)＋(1x ＋3－1x ＋4)＝1x －1x ＋4＝4x 2＋4x. 方法总结：本题是寻找规律的题型，考查了学生分析问题、归纳问题及解决问题的能力．总结规律要从整体和部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论．【类型四】关于分式的实际应用在下图的电路中，已测定CAD 支路的电阻是R 1，又知CBD 支路的电阻R 2比R 1大50欧姆，根据电学有关定律可知总电阻R 与R 1、R 2满足关系式1R ＝1R 1＋1R 2，试用含有R 1的式子表示总电阻R .解析：由题意知R 2＝R 1＋50，代入1R ＝1R 1＋1R 2，然后整理成用R 1表示R 的形式．解：由题意得R 2＝R 1＋50，代入1R＝1R 1＋1R 2得1R ＝1R 1＋1R 1＋50，则R ＝11R 1＋1R 1＋50＝12R 1＋50R 1（R 1＋50）＝R 1（R 1＋50）2R 1＋50.方法总结：此题属于物理知识与数学知识的综合，熟练掌握分式运算法则是解本题的关键．三、板书设计分式的加法与减法1．同分母分式的加减法：分母不变，把分子相加减，用式子表示为a c ±b c ＝a ±bc.2．异分母分式的加减法：先通分，变为同分母的分式，再加减，用式子表示为a b ±c d ＝adbd±bc bd ＝ad ±bcbd.从分数加减法引入，类比得出分式的加减法，最关键的是法则的探究，重点是法则的运用，易错点是分母互为相反数，要化成同分母分式，在这个过程中要注意变号．学生在教师的指导下，先独立进行自学，自己解决不了的问题在小组内讨论交流进行解决．第2课时分式的混合运算1．掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算．(重点) 2．能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题．(难点)一、情境导入提出问题：1．说出有理数混合运算的顺序．2．类比有理数混合运算的顺序，同学们能说出分式的混合运算顺序吗？今天我们共同探究分式的混合运算．二、合作探究探究点：分式的混合运算【类型一】分式的化简计算： (1)(3a a －3－a a ＋3)·a 2－9a ；(2)(x ＋xx 2－1)÷(2＋1x －1－1x ＋1)．解析：(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解：(1)原式＝3a 2＋9a －a 2＋3a （a ＋3）（a －3）·（a ＋3）（a －3）a＝2a ＋12；(2)原式＝x 3（x ＋1）（x －1）÷2x 2－2＋x ＋1－x ＋1（x ＋1）（x －1）＝x 3（x ＋1）（x －1）·（x ＋1）（x －1）2x 2＝x2. 方法总结：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【类型二】分式的化简求值先化简代数式x 2－2x ＋1x 2－1÷(1－3x ＋1)，再从－4＜x ＜4的范围内选取一个合适的整数x 代入求值．解析：先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后从x 的取值范围内选取一数值代入即可．解：原式＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）÷(x ＋1x ＋1－3x ＋1)＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）×x ＋1x －2＝x －1x －2，令x＝0(x ≠±1且x ≠2)，得原式＝12.方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.【类型三】利用公式变形对分式进行化简已知a ＋1a＝5，求a 2a 4＋a 2＋1的值．解析：本题若先求出a 的值，再代入求值，显然现在解不出a 的值，如果将a 2a 4＋a 2＋1的分子、分母颠倒过来，即求a 4＋a 2＋1a 2＝a 2＋1＋1a 2的值，再利用公式变形求值就简单多了．解：因为a ＋1a ＝5，所以(a ＋1a )2＝25，即a 2＋1a 2＝23，所以a 4＋a 2＋1a 2＝a 2＋1＋1a2＝23＋1＝24.所以a 2a 4＋a 2＋1＝124.方法总结：利用x 和1x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．【类型四】分式混合运算的应用甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果．两次水果的价格分别为a 元/千克和b 元/千克(a 、b 为正整数且a ≠b )．(1)甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少？ (2)谁的购买方式更合算？请说明理由．解析：(1)用总钱数除以总质量即可表示出各自的平均价格；(2)利用作差法求出甲平均价格减去乙平均价格得到差大于0，可得出乙更合算．解：(1)甲的平均价格为20a ＋20b 20＋20＝a ＋b 2；乙的平均价格为20＋2020a ＋20b＝2aba ＋b；(2)甲的平均价格－乙的平均价格为a ＋b2－2ab a ＋b ＝（a ＋b ）22（a ＋b ）－4ab 2（a ＋b ）＝（a －b ）22（a ＋b ），∵a ≠b ，∴（a －b ）22（a ＋b ）＞0，∴甲的平均价格＞乙的平均价格，则乙的购买方式更合算．方法总结：灵活运用作差法判断两个式子的大小，要掌握分式的加减混合运算．三、板书设计分式的混合运算分式混合运算的顺序：先乘方，再乘除，然后加减，遇到括号要先算括号内的．在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号变化复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上增加难度．关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的错误率．15．2.3 整数指数幂1．理解负整数指数幂．(重点)2．掌握整数指数幂的运算性质．(难点)3．会用科学记数法表示小于1的正数．(重点)一、情境导入同底数幂的除法公式为a m ÷a n ＝a m －n，有一个附加条件：m ＞n ，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m ＝n 或m ＜n 时，情况怎样呢？二、合作探究探究点一：负整数指数幂的计算下列式子中正确的是( ) A ．3－2＝－6 B ．3－2＝0.03 C ．3－2＝－19 D ．3－2＝19解析：根据负整数指数幂的运算法则可知3－2＝132＝19.故选D.方法总结：负整数指数幂等于对应的正整数指数幂的倒数．探究点二：整数指数幂的运算【类型一】整数指数幂的化简计算：(1)(x 3y －2)2；(2)x 2y －2·(x －2y )3； (3)(3x 2y －2)2÷(x －2y )3；(4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.解析：先进行幂的乘方，再进行幂的乘除，最后将整数指数幂化成正整数指数幂．解：(1)原式＝x 6y －4＝x 6y4；(2)原式＝x 2y －2·x －6y 3＝x －4y ＝y x4；(3)原式＝9x 4y －4÷x －6y 3＝9x 4y －4·x 6y －3＝9x 10y －7＝9x10y7；(4)原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3＝31000.方法总结：正整数指数幂的运算性质推广到整数范围后，计算的最后结果常化为正整数指数幂．【类型二】比较数的大小若a ＝(－23)－2，b ＝(－1)－1，c ＝(－32)0，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＝cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：∵a ＝(－23)－2＝(－32)2＝94，b ＝(－1)－1＝－1，c ＝(－32)0＝1，∴a ＞c ＞b ，故选B.方法总结：关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．【类型三】 0指数幂与负整指数幂中底数的取值范围若(x －3)－2(3x －6)有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ＞3B ．x ≠3且x ≠2C ．x ≠3或x ≠2D ．x ＜2解析：根据题意，若(x －3)0有意义，则x －3≠0，即x ≠3.(3x －6)－2有意义，则3x －6≠0，即x ≠2，所以x ≠3且x ≠2.故选B.方法总结：任意非0数的0指数幂为1，底数不能为0. 【类型四】含整数指数幂、0指数幂与绝对值的混合运算计算：－22＋(－12)－2＋(2016－π)0－|2－3|.解析：分别根据有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，。

人教版八年级上册数学教案15.2 分式的运算(5课时)

15．2 分式的运算 15.2.1 分式的乘除第1课时分式的乘除一、基本目标【知识与技能】理解分式乘除法的运算法则，并能正确进行计算．【过程与方法】经历分析、对比的过程，类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则，利用分式的乘除法法则进行计算，增强对法则的理解与掌握．【情感态度与价值观】通过探索分式的乘除法法则的过程，提高对比、归纳的能力，培养从已学知识中推导新知识的习惯．二、重难点目标【教学重点】分式的乘除法法则．【教学难点】运用分式的乘除法法则进行计算并解决实际问题．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P135～P137的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为a b ·c d ＝a ·c b ·d.2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·db ·c.3．分式的乘除法运算，运算结果应化为最简分式.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)c 2ab ·a 2b 2c ； (2)y 7x ÷⎝⎛⎭⎫－2x . 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘除法法则进行计算时，需要注意什么？【解答】(1)原式＝a 2b 2c 2abc ＝abc .(2)原式＝y 7x ·⎝⎛⎭⎫－x 2＝－xy 14x ＝－y 14. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用分式乘除法法则进行计算，运算结果应化为最简分式．活动2 巩固练习(学生独学)1．计算a 2－1(a ＋1)2÷a －1a ，结果正确的是( D )A.12 B ．a ＋1a ＋2C ．a ＋1aD ．a a ＋12．计算： (1)x 2y x 3·⎝⎛⎭⎫－1y ； (2)a 2－4b 23ab 2·ab a －2b ；(3)x 2－x x －1÷(4－x )； (4)42(x 2－y 2)x ·－x 235(y －x )3.解：(1)原式＝－x 2y x 3y ＝－1x.(2)原式＝(a ＋2b )(a －2b )3ab 2·ab a －2b ＝a ＋2b3b .(3)原式＝x (x －1)x －1·14－x ＝x4－x.(4)原式＝42(x ＋y )(x －y )x ·x 235(x －y )3＝6x (x ＋y )5(x －y )2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知(a ＋b －2)2＋||1－a ＝0，求4a 2－ab 16a 2－8ab ＋b 2·2a的值．【互动探索】利用已知等式求出a 、b 的值→计算分式的乘法，化简所求式子→代入a 、b 值进行计算．【解答】∵(a ＋b －2)2＋||1－a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，1－a ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.4a 2－ab16a 2－8ab ＋b 2·2a ＝a (4a －b )(4a －b )2·2a ＝24a －b. 将a ＝1，b ＝1代入上式，得原式＝24a －b ＝24－1＝23.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据非负数的性质求出a 、b 的值后，要代入化简后的式子进行计算．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第2课时分式的乘方及乘除混合运算一、基本目标【知识与技能】理解分式的乘方法则，掌握分式乘方与乘除混合运算的运算顺序．【过程与方法】经历计算、思考、归纳的过程，归纳出分式的乘法法则，通过分式的乘除混合运算和乘方运算，加深对分式乘除法法则和乘方法则的记忆，并了解乘方与乘除法混合运算的运算顺序．【情感态度与价值观】通过归纳分式乘方法则的过程，养成归纳意识，通过运用分式的乘除法法则和乘方法则进行混合运算，提高计算能力．二、重难点目标【教学重点】分式的乘方法则和混合运算顺序．【教学难点】运用分式的乘除法法则和乘方法则正确计算．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P138～P139的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．教材第138页“思考”：⎝⎛⎭⎫a b 2＝a 2b 2；⎝⎛⎭⎫a b 3＝a 3b 3；⎝⎛⎭⎫a b 10＝a10b 10.2．分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．用字母表示：⎝⎛⎭⎫a b n ＝a nb n . 3．分式的乘除法和乘方的混合运算，先算乘方，再算乘除法．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：2x －64－4x ＋x 2÷(x ＋3)·(x ＋3)(x －2)3－x. 【互动探索】(引发学生思考)类比整式的乘除混合运算顺序进行分式混合运算．【解答】原式＝2x －64－4x ＋x 2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)3－x ＝2(x －3)(2－x )2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)3－x ＝2(x －3)(x －2)2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)－(x －3)＝－2x －2【互动总结】(学生总结，老师点评)计算分式的乘除混合运算时，先统一为乘法运算，再依次进行计算．【例2】计算：(1)⎝⎛⎭⎫－2b 2a 33； (2)⎝⎛⎭⎫c 3a 2b 2÷⎝⎛⎭⎫c 4a 3b 2·⎝⎛⎭⎫c a 4. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘方法则进行计算时应该注意什么？当式子里同时有乘除法和乘方时，运算顺序是怎样的？【解答】(1)原式＝(－2b 2)3(a 3)3＝－8b 6a 9.(2)原式＝c 6a 4b 2÷c 8a 6b 2·c 4a 4＝c 6a 4b 2·a 6b 2c 8·c 4a 4 ＝c 2a2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)分式乘方时，注意分子、分母分别乘方，式子中有乘除法与乘方时，先算乘方，再算乘除法．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知⎝⎛⎭⎫x 3y 22÷⎝⎛⎭⎫－x y 32＝6，则x 4y 2的值是( A ) A ．6 B ．36 C ．12 D ．32．计算：(1)3ab 22x 3y ·⎝⎛⎭⎫－8xy 9a 2b ÷3x (－4b )； (2)3(x －y )2(y －x )3·(x －y )4÷9y －x ； (3)⎝⎛⎭⎫c 3a 2b 2÷⎝⎛⎭⎫c 4a 3b 2÷⎝⎛⎭⎫a c 4； (4)⎝⎛⎭⎫a －b ab 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b －a 3·(a 2－b 2)．解：(1)16b 29ax 3.(2)(x －y )43.(3)c 2a 2. (4)a (a ＋b )b 2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】许老师讲完了分式的乘除一节后，给同学们出了这样一道题，若x ＝－2018，求代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1x ＋2的值．小明通过计算，发现题目中的x ＝－2018是多余的．你认为小明的发现是否正确？【互动探索】先计算分式乘除运算的值→验证分式乘除运算的结果与x 的关系．【解答】x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2xx 3＋x 2＋x ·1x ＋2＝(x ＋2)(x －2)x 2＋x ＋1·x (x 2＋x ＋1)x (x －2)·1x ＋2＝1.∴代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2xx 3＋x 2＋x ·1x ＋2的值是一个定值，与x 的取值无关．故小明的发现是正确的．【互动总结】(学生总结，老师点评)将代数式化简后，如果结果是一个常数，那么该代数式的值与其中字母的取值无关．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！15．2.2 分式的加减第3课时分式的加减一、基本目标【知识与技能】1．理解分式的加减法法则，并能正确计算分式加减法． 2．掌握异分母分式加减法的计算步骤，并能正确计算．【过程与方法】经历思考、类比、归纳的过程，理解分式的加减法法则，在掌握分式通分的基础上，掌握异分母分式加减法的计算方法．【情感态度与价值观】类比分数的加减法法则理解分式的加减法法则，养成类比思考的习惯，通过运用分式的加减法法则进行加减法运算，提高运算能力．二、重难点目标【教学重点】分式的加减法法则．【教学难点】异分母分式的加减法的计算步骤．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P139～P140的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】 1．观察填空： (1)15＋25＝35； (2)15－25＝－15； (3)12＋13＝36＋26＝56； (4)12－13＝36－26＝16. 同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减. 异分母分数相加减，先通分，再把分子相加减． 2．类比分数的加减，你能说出分式的加减法则吗？ (1)同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用字母表示为a c ±b c ＝a ±bc.(2)异分母分式相加减，先先通分，变为同分母的分式，再加减. 用字母表示为a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bcbd .环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)x ＋3y x 2－y 2－x ＋2yx 2－y 2； (2)1a ＋3＋6a 2－9； (3)m ＋2n n －m －n m －n ＋2m n －m ； (4)1x －3＋1－x 6＋2x －6x 2－9. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的加减法法则进行计算，异分母分式相加减时，应该注意什么？【解答】(1)原式＝x ＋3y －(x ＋2y )x 2－y 2＝5yx 2－y 2. (2)原式＝a －3(a ＋3)(a －3)＋6(a ＋3)(a －3)＝a ＋3(a ＋3)(a －3)＝1a －3. (3)原式＝m ＋2n n －m ＋n n －m ＋2mn －m＝3m ＋3n n －m.(4)原式＝2(x ＋3)2(x ＋3)(x －3)＋(1－x )(x －3)2(x ＋3)(x －3)－122(x ＋3)(x －3)＝－(x 2－6x ＋9)2(x ＋3)(x －3)＝－x －32x ＋6.【互动总结】(学生总结，老师点评)异分母分式相加减时，首先要通分，变为同分母分式再加减．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列运算中正确的是( C ) A.a a －b －b b －a＝1 B ．m a －n b ＝m －n a －bC.a 2a －b －b 2a －b ＝a ＋b D ．b a －b ＋1a ＝1a3．计算： (1)3a ＋2b 5a 2b ＋a ＋b 5a 2b ；(2)b 2a －b ＋a 2b －a； (3)3b －a a 2－b 2－a ＋2b a 2－b 2－3a －4b b 2－a 2； (4)x x －y ＋x x ＋y －x 2x 2－y 2. 解：(1)4a ＋3b5a 2b .(2)－a －b .(3)a －3ba 2－b 2. (4)x 2(x ＋y )(x －y ). 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知3x ＋4x 2－x －2＝A x －2－B x ＋1，其中A 、B 为常数，求4A －B 的值．【互动探索】要求4A －B 的值，需要先求出A 与B 的值．通过化简等式右边，再对比可求出A 、B 的值．【解答】Ax －2－Bx ＋1＝A (x ＋1)(x ＋1)(x －2)－B (x －2)(x ＋1)(x －2)＝(A －B )x ＋(A ＋2B )(x ＋1)(x －2).因为3x ＋4x 2－x －2＝Ax －2－Bx ＋1＝(A －B )x ＋(A ＋2B )(x ＋1)(x －2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧A －B ＝3，A ＋2B ＝4.解得⎩⎨⎧A ＝103，B ＝13.故4A －B ＝4×103－13＝13.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对比等式中等号两边的分式，得出关于A 、B 的二元一次方程，求出A 、B 的值，从而求解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第4课时分式的混合运算一、基本目标【知识与技能】1．明确分式混合运算的运算顺序．2．运用分式的运算法则正确计算分式的混合运算．【过程与方法】经历计算、对比、归纳的过程，明确分式混合运算的运算顺序，在明确运算顺序的基础上，正确计算分数的混合运算．【情感态度与价值观】类比分数的混合运算的运算顺序得出分式的混合运算顺序，养成类比思考的习惯，通过运用分式的运算法则进行混合运算，提高运算能力．二、重难点目标【教学重点】分式混合运算的运算顺序．【教学难点】正确计算分式的混合运算．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P141～P142的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．2．分式运算与分数运算一样，结果必须化为最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式．活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)x x －y ·y 2x ＋y －x 4y x 4－y 4÷x 2x 2＋y 2； (2)⎝⎛⎭⎫2a b 2·1a －b －a b ÷b 4； (3)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4÷4－x x. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的混合运算运算顺序计算．【解答】(1)原式＝xx －y ·y 2x ＋y －x 4y(x 2＋y 2)(x 2－y 2)·x 2＋y 2x2＝xy 2(x －y )(x ＋y )·－x 2yx 2－y 2＝xy (y －x )(x －y )(x ＋y )＝－xy x ＋y .(2)原式＝4a 2b 2·1a －b －a b ÷b 4＝4a 2b 2(a －b )－4a b2＝4a 2－4a (a －b )b 2(a －b ) ＝4abb 2(a －b )＝4ab (a －b ).(3)原式＝[x ＋2x (x －2)－x －1(x －2)2]·x －(x －4) ＝[(x ＋2)(x －2)x (x －2)2－x (x －1)x (x －2)2]·x －(x －4)＝x 2－4－x 2＋x x (x －2)2·x －(x －4)＝－1x 2－4x ＋4.【互动总结】(学生总结，老师点评)分式混合运算，先乘方，再乘除，最后加减，注意结果化成最简分式或整式．活动2 巩固练习(学生独学)1．若代数式⎝⎛⎭⎫A －3a －1·2a －2a ＋2的化简结果为2a －4，则整式A ＝( A ) A ．a ＋1 B ．a －1 C ．－a －1 D ．－a ＋12．计算：(1)⎝⎛⎭⎫x 2x －2＋42－x ÷x ＋22x ； (2)⎝⎛⎭⎫a a －b －b b －a ÷⎝⎛⎭⎫1a －1b ； (3)⎝⎛⎭⎫1＋y x －y ⎝⎛⎭⎫1－xx ＋y ；(4)⎝⎛⎭⎫x 2y 2·y 2x －x y 2·2y 2x.解：(1)2x . (2)－ab (a ＋b )(a －b )2. (3)xy x 2－y 2. (4)x －16y 8y.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】先化简⎝⎛⎭⎫1－1x －1÷x 2－4x ＋4x 2－1，再从不等式2x －1<6的正整数解中选择一个适当的数代入求值．【互动探索】先化简代数式→解一元一次不等式→从解集中选择一个数代入求值．【解答】原式＝x －2x －1÷(x －2)2(x ＋1)(x －1)＝x ＋1x －2.由2x －1<6，得x <72.故不等式的正整数解为1,2,3.当x ＝3时，原式＝x ＋1x －2＝3＋13－2＝4.【互动总结】(学生总结，老师点评)选择x 的值时，要使每个分式都有意义．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！15．2.3 整数指数幂(第5课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质．2．掌握利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数．【过程与方法】经历思考、计算、对比的过程，理解负整数指数幂的意义，在此基础上，将正整数指数幂的性质推广到任意整数，从而掌握整数指数幂的性质．【情感态度与价值观】类比正整数幂的性质，结合负整数指数幂的意义，推导出整数指数幂的性质，养成类比思考的习惯，通过运用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数，提高运用所学知识的能力．二、重难点目标【教学重点】负整数指数幂的意义，整数指数幂的运算性质．【教学难点】用科学记数法表示一些小于1的正数．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P142～P145的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】一、负整数指数幂1．正整数指数幂的运算有：(a ≠0，m 、n 为正整数) (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ； (3)(ab )n ＝a n b n ； (4)a m ÷a n ＝a m －n ； (5)⎝⎛⎭⎫a b n ＝a nb n ； (6)a 0＝1.2．负整数幂：一般地，当n 是正整数时，a －n ＝1a n(a ≠0)，这就是说，a －n (a ≠0)是a n 的倒数．二、科学记数法1．绝对值大于10的数记成a ×10n 的形式，其中1≤︱a ︱<10，n 是正整数．n 等于原数的整数数位减去1.(2)用科学记数法表示：100＝102；2000＝2.0×103；33000＝3.3×104.2．类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值小于1的数，即将它们表示成a ×10－n 的形式．(其中n 是正整数，1≤|a |＜10)3．用科学记数法表示：0.01＝1×10－2；0.001＝1×10－3；0.0033＝3.3×10－3. 环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)x 2y －3(x －1y )3；(2)(2ab 2c －3)－2÷(a －2b )3；(3)3a －2b ·(2ab －2)－2；(4)4xy 2z ÷(－2x －2yz －1)．【互动探索】(引发学生思考)利用整数指数幂的运算性质进行计算时应该注意些什么？【解答】(1)原式＝x 2y －3x －3y 3＝x －1y 0＝1x .(2)原式＝14a －2b －4c 6÷(a －6b 3)＝14a 4b －7c 6＝a 4c 64b 7.(3)原式＝3a －2b ·14a －2b 4＝34a －4b 5＝3b 54a4.(4)原式＝－2x 3yz 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用整数指数幂的运算性质进行计算，结果负整数指数幂写成分数的形式．【例2】用科学记数法表示下列各数： (1)0.0000001； (2)0.00024； (3)0.0000000035.【互动探索】(引发学生思考)用科学记数法表示小于1的正数，一般形式是怎样的？【解答】(1)0.0000001＝1×10－7. (2)0.00024＝2.4×10－4. (3)0.0000000035＝3.5×10－9.【互动总结】(学生总结，老师点评)小于1的正数可以用科学记数法表示为a ×10－n 的形式，其中1≤a <10，n 是正整数．【例3】计算：(1)(2×10－6)2·(3×10－4)；(2)(3×10－5)3÷(10－3)－2.【互动探索】(学生总结，老师点评)用科学记数法表示的数的有关计算应该注意些什么？【解答】(1)(2×10－6)2·(3×10－4)＝(4×10－12)·(3×10－4)＝12×10－16＝1.2×10－15. (2)(3×10－5)3÷(10－3)－2＝(27×10－15)÷106＝27×10－21＝2.7×10－20.【互动总结】(学生总结，老师点评)用科学记数法表示的数的有关计算，结果应符合科学记数法．活动2 巩固练习(学生独学)1．计算(－π )0÷⎝⎛⎭⎫－13－2的结果是( D ) A ．－16B ．0C ．6D ．192．计算：(1)(m 3n )－2·(2m －2n －3)－2；(2)(2xy －1)2·xy ÷(－2x －2y )；(3)⎝⎛⎭⎫b a －2·⎝⎛⎭⎫a b 2； (4)(2m 2n －1)2÷3m 3n －5.解：(1)n 44m 2.(2)－2x 5y 2.(3)a 4b 4.(4)43mn 3.3．用科学记数法表示下列各数：(1)0.000021； (2)0.00000034； (3)0.00102. 解：(1)2.1×10－5. (2)3.4×10－7. (3)1.02×10－3.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！。

人教版八年级数学上分式教案

15．1分式第1课时从分数到分式教学目标1．了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系．2．了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件．3．理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件．教学重点分式的意义．教学难点准确理解分式的意义，明确分母不得为零．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标一艘轮船在静水中的最大航速是20km/h，它沿江以最大船速顺流航行100km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等．江水的流速是多少？提示：顺流速度＝水速＋静水中的速度；逆流速度＝静水中的速度－水速．●自主学习指向目标1．自学教材第127至128页．2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分．三、合作探究，达成目标探究点一分式的概念S V10060活动一：阅读教材思考问题：式子，以及式子和有什么共同特点？它们与a S20＋v20－v分数有什么相同点和不同点？展示点评：如果A，B表示两个________(整式)，并且B中含有________(字母)，那么式A子叫做分式．B小组讨论：如何判断一个式子是否为分式？分式与整式有什么区别？反思小结：判断一个式子是否为分式，可根据：①具有分数的形式；②分子、分母都是整式；③分母中含有字母，分式与整式的区别在于：分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含字母．针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二分式有意义的条件2活动二：(1)当x ≠0时，分式有意义；3xx (2)当x ≠1时，分式有意义；x －151(3)当b ≠时，分式有意义；35－3bx ＋y (4)x ，y 满足__x≠y __时，分式有意义．x －y展示点评：教师示范解答的一般步骤，强调分母不为零．小组讨论：归纳分式有意义的条件．反思小结：对于任何分式，分母均不能为零，即当分母不为零时，分式有意义；反之，分母为零时，分式无意义．针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标1．知识小结——(1)学习了分式，知道了分式与分数的区别．(2)知道了分式有意义和值为零的条件．2．思想方法小结——类比、转化等数学思想．五、达标检测，反思目标2x ＋y 1x 1．下列各式①，②，③，④中，是分式的有(C )x 52－a π－1A ．①②B ．③④C ．①③D ．①②③④2．当x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是(C )A.x －1x ＋1x －1x －1 C.2 D.2B.2x x －1x ＋1x ＋23．某食堂有煤m t ，原计划每天烧煤a t ，现每天节约用煤b(b<a) t ，则这批煤可比原计划多烧__mb __天．a （a －b ）|x|－14．如果分式2的值为0，那么x 的值是__－1__．x ＋x －25．当x 取何值时，下列分式有意义？3x －65x (1)；(2)2.2x ＋5x －9解：(1)2x ＋5≠0∴x≠－(2)x －9≠0∴x≠±3x ＋816．求分式2的值，其中x ＝－.2x －12252（－＋8）21解：当x ＝－原式＝＝－15212×－114●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业课本第133页1－3.2．课后作业见《学生用书》．第2课时分式的基本性质(一)教学目标1．理解并掌握分式的基本性质，并能运用这些性质对分式进行变形．2．体会类比转化的数学思想方法．教学重点理解并掌握分式的基本性质．教学难点运用分式的基本性质进行分式化简．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标分数的基本性质是什么？你能用字母来表示分数的基本性质吗？二、自主学习，指向目标1．自学教材第129页．2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分．三、合作探究，达成目标探究点一分式的基本性质活动一：类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？x （）3x ＋3xy x ＋y 例1(1)＝；＝2xy y 6x （）1（）2a －b （）(2)＝；2＝22ab a b a a b展示点评：学生说出填空的思考过程．小组讨论：运用分式的基本性质应注意什么问题？分数的基本性质与分式的基本性质有什么区别？反思小结：运用分式的基本性质应注意：(1)分子、分母必须是同乘以或除以同一个整式．(2)分子、分母同乘(或除以)的式子不能为零．它们的区别在于：分数的分子、分母同乘(或除)一个不为零的数，而分式的分子、分母同乘(或除)一个不为零的整式，体现了由数到式的深化．针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二分式基本性质的应用活动二：不改变分式的值，把下列各式中分子、分母各项系数化为整数．11a ＋b a －0.2b 22(1)(2)31a －b 0.5b －a 444a ＋2b 10a －4b 展示点评：(1)；(2).3a －4b 10b －5a32小组讨论：把分式中的分子、分母各项系数化成整数的依据是什么？反思小结：要根据分子和分母中的数字系数特点，运用分式的基本性质变形．针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标1．知识小结——(1)理解并掌握分式的基本性质，并能运用这些性质对分式进行变形．2．思想方法小结——类比、转化等数学思想．五、达标检测，反思目标2x 1．把分式中的x 和y 都扩大5倍，那么这个分式的值(B )2x －3yA ．扩大为原来的5倍B ．不变15C ．缩小到原来的 D ．扩大为原来的倍5212．对于分式的变形一定成立的是(C )x ＋1A.C.121x －1＝B.＝2x ＋1x ＋2x ＋1x －11x ＋11－1＝＝2 D.x ＋1（x ＋1）x ＋1x －13．不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含负号：－5x 5x ①－＝____；2y2y －a a ②－＝__－__．－3b3b 2x －1（2x －1）k 24．当＝时，k 代表的代数式是__xy __．23xy x y 5．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数：111x －y 0.2x －y 322①②111x ＋y x ＋634解：①2x －3y 12x －30y②6x ＋y 20x ＋156．不改变分式的值，使分式的分子．分母中的首项的系数都不含“－”号：－2x －x ＋2x －1①②－3y x －22x 2－2x ＋12x 解：①②－3y x －2●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业课本第133页第5题．2．课后作业见《学生用书》．第3课时分式的基本性质(二)教学目标1．理解并掌握分式的基本性质，运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．2．通过分式的约分和通分体会类比的思想．教学重点分式的基本性质．教学难点运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标8想一想对分数怎样化简？12a 1n n 你认为分式与相等吗？与呢？2a 2mn m二、自主学习，指向目标1．自学教材第130至第132页．2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分．三、合作探究，达成目标探究点一约分活动一：1.阅读教材思考问题：类比分数的约分，思考什么叫分式约分？什么叫最简分式？2．例1约分：－25a bc (1)215ab c5ac 解：－3bx －9(2)2x ＋6x ＋9x －3解：x ＋36x －12xy ＋6y (3)3x －3y解：2x －2y展示点评：分式的约分类似于分数的约分，结果都是最简分式．小组讨论：分式约分的一般步骤是什么？反思小结：若分式的分子和分母是单项式，约分时先确定公因式，再约分；若分子，分母是多项式，约分时先对分子分母分解因式，再约分成最简分式．针对训练：见《学生用书》相应部分2222232探究点二通分活动二：1.阅读教材思考问题：类比分数的通分，思考如何对分式进行通分？什么叫最简公分母？例2通分3a －b 2x 3x (1)2与2(2)与2a b ab c x －5x ＋533bc a －b 2a －2ab 展示点评：(1)2＝222＝222a b 2a b c ab c 2a b c2x 2x ＋10x 3x 3x －15x (2)＝＝x －5（x ＋5）（x －5）x ＋5（x －5）（x ＋5）小组讨论：分式通分的关键是什么？反思小结：通分的关键是找准最简公分母．若各项是多项式，应先分解因式，再确定最简公分母．针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标1．知识小结——(1)约分的步骤及最简分式；(2)通分的步骤及最简公分母．2．思想方法小结——渗透类比转化的数学思想方法．五、达标检测，反思目标12b c 5（x ＋y ）a ＋b 4a －b a －b 1．下列分式、、、、中，最简分式的个数是(A )4a y ＋x 3（a ＋b ）2a －b b －aA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个m －3m 2．化简2的结果是(B )9－mA.C.m m B ．－m ＋3m ＋3m m D.m －33－m2222222222y y 3．分式2和5的最简公分母是(C )5x 2xA ．10xB ．7xC ．10xD ．7x 114．分式的最简公分母是(B )2和2（x ＋5）（5－x ）（5＋x ）（x －5）A ．(x ＋5)(5－x)B ．(x ＋5)(x －5)3223C ．(x ＋5)(x －5)D ．(x ＋5)(x －5)5．通分：y 54c (1)2，2，；2x 6xy z 3xy332271057y 3y 3z 解：2＝222x 6x y z55x2＝6xy z 6x 2y 2z4c 4c·2xyz 8xyzc ＝＝3xy 3xy·2xyz6x 2y 2z14x 2(2)，2，.x ＋2x －42－xx －2解：＝x ＋2（x ＋2）（x －2）14x 2x －4（x ＋2）（x －2）2＝4x 2（x ＋2）2x ＋4＝－＝－2－x （x －2）（x ＋2）（x ＋2）（x －2）6．约分：2322(1)－36xy z 2x y －2xy 6yz 2(2)x 2－2xy ＋y 2解：(1)原式＝－6xyz(2)原式＝2xy （x －y ）2xy （x －y ）2＝x －y ●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业课本第133页第6、7题．2．课后作业见《学生用书》．。

人教版八年级数学上册教案-15.1.2分式的基本性质分式通分

五、教学反思
在本次教学活动中，我注意到学生在学习分式的基本性质与通分这一章节时，存在一些理解和掌握上的难点。首先，我发现学生在理解分式基本性质时，对于为何乘除同一个数（除数不为0）不会改变分式的值这一点上存在困惑。在今后的教学中，我需要更加形象、具体地解释这一性质的数学原理，以便学生能够更好地理解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分式基本性质和通分方法这两个重点。对于难点部分，如选取公倍数和分解因式，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式通分相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示分式通分的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式通分的基本概念。通分是指将分母不相同的分式通过乘以适当的整式，使分母相同，以便进行加减运算。它是分式运算中的重要环节，帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将$\frac{1}{x}$和$\frac{2}{x+1}$通分，以及通分在简化分式运算中的作用。
在授课过程中，我也注意到学生在解决实际问题时构建分式模型的能力较弱。为了提高学生的这一能力，我将在下一节课中增加一些关于建模的讲解和练习，帮助学生学会如何从实际问题中抽象出分式模型。
此外，教学流程的设计方面，导入新课环节的问题设置可能还不够吸引学生的兴趣，今后我需要在这个环节下更多功夫，设计更具趣味性和启发性的问题，激发学生的学习兴趣和好奇心。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《分式的基本性质与通分》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将不同单位的量进行换算的情况？”比如，将米和厘米的长度进行加减。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索分式通分的奥秘。

人教版八年级数学上册第15章《分式》教学设计(共12课时)

人教版八年级数学上册第15章《分式》教学设计（共12课时）一. 教材分析人教版八年级数学上册第15章《分式》是学生在学习了实数、代数式、方程等知识后，进一步拓展数学知识的一个章节。

分式作为数学中的一个重要概念，不仅在初中数学中占有重要地位，而且在高中乃至大学的数学学习中也会经常用到。

本章主要内容有分式的概念、分式的运算、分式的性质等。

通过本章的学习，使学生能理解分式的概念，掌握分式的运算方法，了解分式的性质，为后续学习函数、不等式等知识打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对实数、代数式、方程等知识有了初步的认识。

但是，学生对分式的理解还比较模糊，分式的运算和性质对于他们来说是一个新的挑战。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出分式的概念，通过对比、归纳等方法，让学生自己发现并总结分式的性质，从而提高他们的学习兴趣和自主学习能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解分式的概念，掌握分式的基本运算方法，了解分式的性质。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等方法，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习分式的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：分式的概念、分式的运算、分式的性质。

2.难点：分式的运算规律、分式的性质的推导和应用。

五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导、讨论等方式，激发学生的思维，培养他们的抽象思维能力。

2.自主学习：鼓励学生自主探究，发现问题、解决问题，提高他们的自主学习能力。

3.合作交流：引导学生进行小组讨论，分享学习心得，互相帮助，共同提高。

六. 教学准备1.教学PPT：制作清晰、简洁的教学PPT，便于学生理解和记忆。

2.教学素材：准备一些与分式相关的实际问题，用于引导学生从实际问题中抽象出分式的概念。

3.练习题：准备一些分式的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出分式的概念。

初中人教版分式教案

教案：分式教学目标：1. 理解分式的概念，掌握分式的基本性质。

2. 能够进行分式的约分和通分。

3. 能够解决实际问题，运用分式进行简化运算。

教学重点：1. 分式的概念和基本性质。

2. 分式的约分和通分方法。

教学难点：1. 分式的约分和通分。

教学准备：1. 投影仪。

2. 自制投影胶片。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入分数的概念，复习分数的基本性质。

2. 提问：分数可以表示两个量之间的关系，那么分式可以表示什么样的关系呢？二、新课（20分钟）1. 介绍分式的概念，解释分式的组成和意义。

2. 讲解分式的基本性质，通过示例进行说明。

3. 引导学生观察分式的基本性质，让学生自己总结出分式的约分和通分方法。

4. 分组讨论，让学生互相交流自己的理解和方法。

三、练习（15分钟）1. 出示练习题，让学生独立完成。

2. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。

四、应用（10分钟）1. 出示实际问题，让学生运用分式进行简化运算。

2. 分组讨论，让学生互相交流解题过程和答案。

五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结分式的概念和基本性质。

2. 强调分式的约分和通分方法的重要性和应用价值。

教学延伸：1. 进一步学习分式的运算规则和性质。

2. 应用分式解决更复杂的实际问题。

教学反思：本节课通过引入分数的概念，引导学生学习分式的概念和基本性质。

通过示例和练习，让学生掌握分式的约分和通分方法。

在教学过程中，要注意引导学生主动观察和思考，培养学生的逻辑思维能力。

同时，结合实际问题，让学生体验分式在实际中的应用价值，提高学生的学习兴趣和积极性。

人教版八年级数学上册《分式(第1课时)》示范教学设计

分式（第1课时）教学目标1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系．2．掌握分式有意义的条件，并能进行计算．3．掌握分式取特殊值的条件，并能进行计算．教学重点分式的概念，分式有意义或无意义的条件．教学难点熟练地求出分式有意义的条件、分式取特殊值的条件．教学过程新知探究一、新课导入【例】1．一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？【师生活动】学生先独立思考，教师提出问题引导学生列出代数式．【问题1】顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？【答案】顺流航行的速度＝轮船在静水中的速度＋水流速度；逆流航行的速度＝轮船在静水中的速度－水流速度．【问题2】这个问题的等量关系是什么？【答案】顺流航行90 km所用时间＝逆流航行60 km所用时间．【问题3】如果设江水流速为v km/h，如何列出方程？【答案】9060 3030v v=+-【设计意图】本章引例从实际问题引出代数式，体会分式的实际需要．【例】2．长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为_____cm；长方形的面积为S cm2，长为a cm，宽为_____cm．3．把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，水面高度为_____cm；把体积为V cm3的水倒入底面积为S cm2的圆柱形容器中，水面高度为_____cm．【答案】107 S a 20033 V S【设计意图】通过具体的实际问题列出式子，形成对比，自然过渡到分式的探索和分式学习的必要性，让学生进一步经历探索实际问题中的数量关系的过程．二、新知精讲【思考】式子S a ，V S ，9030v+，6030v -有什么相同点？它们与分数有什么相同点和不同点？【师生活动】学生通过观察、类比、归纳，得出这些式子的共同点，以及与分数的区别．教师对学生的回答进行点拨，引导学生观察和归纳分式的特点，从而形成分式的概念．【答案】相同点：都是AB（即A ÷B ）的形式．不同点：分数的分子A 与分母B 都是整数；而这些式子中的A 与B 都是整式，并且分母B 中含有字母．【新知】定义：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式．分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母．【设计意图】培养学生观察的能力，渗透由特殊到一般的研究方法，体会类比的数学思想，进一步提高分析解决问题的能力．【练习】下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？（1）3x ；（2）136b +；（3）m nm n -+；（4）22xx y +；（5）4a a；（6）5πy -．【师生活动】学生独立完成，教师巡视批改，及时辅导学困生．【答案】整式：（1）（6）；分式：（2）（3）（4）（5）．【归纳】1．分式满足AB的形式，且B 中一定要有字母． 2．π是圆周率，它代表的是一个常数而不是字母．【设计意图】通过简单的练习题让学生热身，熟悉刚刚学过的分式的概念，增强他们的自信心．【思考】我们知道要使分数有意义，分数中的分母不能为0．那么要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？【师生活动】学生总结分式有意义的条件，教师给予指导．【答案】∵分式的分母表示除数， ∴分母不能为0，即B 不能为0， ∴当B ≠0时，分式AB才有意义．【设计意图】通过类比分数的分母不能为0，得出分式有意义的条件．三、典例精讲【例1】下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？（1）23x ；（2）1xx -；（3）153b-；（4）x y x y+-．【答案】解：（1）要使分式23x有意义，则分母3x ≠0，即x ≠0；（2）要使分式1xx -有意义，则分母x －1≠0，即x ≠1；（3）要使分式153b-有意义，则分母5－3b ≠0，即b ≠53；（4）要使分式x yx y+-有意义，则分母x －y ≠0，即x ≠y ．【设计意图】通过例题，培养学生解决问题的能力，掌握分式有意义的条件．【例2】当x 取何值时，分式211x x --的值为0？【答案】解：由分子x 2－1＝0，得x ＝1或x ＝－1，当x ＝1时，分母x －1＝1－1＝0；当x ＝－1时，分母x －1＝－1－1＝－2；故当x ＝－1时，原分式的值为0．【例3】（1）当x 取何值时，分式1xx -的值为正？（2）当b 取何值时，分式5bb-的值为负？【答案】解：（1）当分子x ＞0，分母x －1＞0，即x ＞1时，1xx -的值为正；当分子x ＜0，分母x －1＜0，即x ＜0时，1xx -的值为正．（2）当分子b ＞0，分母5－b ＜0，即b ＞5时，5bb-的值为负；当分子b ＜0时，分母5－b ＞0，即b ＜0时，5bb-的值为负．【归纳】分式取特殊值的条件分式的值为0：分子为0，且分母不为0；分式的值为正：分子、分母符号相同；分式的值为负：分子、分母符号不同．注意：必须在分式有意义的前提下才能讨论分式的值等于或者不等于0的条件．【设计意图】通过例2和例3，在分式有意义的基础上，归纳出分式值为0、为正、为负等特殊情况的条件，培养学生解决问题的能力．课堂小结板书设计一、分式的概念二、分式有意义的条件三、分式取特殊值的条件课后任务完成教材第128页练习1～3题．。

人教版八年级上册第15章《分式》全章教案(21页,含反思)

第十五章分式15．1分式15． 1.1从分数到分式1．以描绘实质问题中的数目关系为背景抽象出分式的观点，成立数学模型，并理解分式的观点．2．能够经过分式的定义理解和掌握分式存心义的条件．要点理解分式存心义的条件及分式的值为零的条件．难点能娴熟地求出分式存心义的条件及分式的值为零的条件．一、复习引入1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？2．判断以下各式中，哪些是整式？哪些不是整式？① 8m ＋ n ；② 1＋ x ＋ y 2；③ a 2 b ＋ab 2a ＋b 2；⑥3；⑦3x 2－ 43 ；④ ；⑤ a 2＋ b 2 .32x 2＋ 2x ＋12x二、研究新知1．分式的定义(1) 学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 千米 /时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用的时间相等，江水的流速为多少？剖析：设江水的流速为 v 千米 / 时．轮船顺流航行 90 千米所用的时间为90小时，逆流航行 60 千米所用时间为60小时，30＋ v 30－ v所以 90 ＝ 60.30＋ v 30－ v(2) 学生达成教材第 127 页“思虑”中的题．察看：以上的式子 9060S V30＋ v ，30－v ， a ， s ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？能够发现，这些式子都像分数相同都是AB (即 A ÷B) 的形式．分数的分子 A 与分母 B 都是整数，而这些式子中的 A ， B 都是整式，并且 B 中都含有字母．A归纳：一般地，假如 A ，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 B 叫做分式．稳固练习：教材第 129 页练习第 2 题．2．自学教材第 128 页思虑：要使分式存心义，分式中的分母应知足什么条件？分式的分母表示除数，因为除数不可以为 0，所以分式的分母不可以为 0，即当 B ≠ 0 时，分式 A才存心义．B学生自学例 1.例 1以下分式中的字母知足什么条件时分式存心义？2 ；(2) x； (3) 1 ； (4)x ＋y (1) 3xx － 1 5－ 3bx － y.解： (1)要使分式 3x 2存心义，则分母 3x ≠ 0，即 x ≠ 0；(2) 要使分式x存心义，则分母x － 11(3) 要使分式存心义，则分母 5－ 3bx ＋ y(4) 要使分式 x － y 存心义，则分母x － 1≠ 0，即 x ≠ 1；55－ 3b ≠ 0，即 b ≠ ；x － y ≠ 0，即 x ≠ y.思虑：假如题目为：当x 为何值时，分式无心义．你知道怎么解题吗？稳固练习：教材第 129 页练习第 3 题． 3．增补例题：当 m 为何值时，分式的值为 0?m ；(2) m － 2； (3) m 2－ 1(1) m － 1 m ＋ 3 m ＋ 1 .思虑：当分式为 0 时，分式的分子、分母各知足什么条件？剖析：分式的值为 0 时，一定同时知足两个条件： (1) 分母不可以为零；(2)分子为零．答案： (1)m ＝ 0； (2)m ＝ 2； (3)m ＝ 1. 三、归纳总结 1．分式的观点．2．分式的分母不为 0 时，分式存心义；分式的分母为 0 时，分式无心义．3．分式的值为零的条件： (1)分母不可以为零； (2) 分子为零．四、部署作业教材第 133 页习题 15.1 第 2， 3 题．在引入分式这个观点从前先复习分数的观点，经过类比来自主研究分式的观点，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培育学生利用类比转变的数学思想方法解决问题的能力．15． 1.2 分式的基天性质 (2 课时 )第 1 课时分式的基天性质1．认识分式的基天性质，灵巧运用分式的基天性质进行分式的变形．2．会用分式的基天性质求分式变形中的符号法例．要点理解并掌握分式的基天性质．难点灵巧运用分式的基天性质进行分式变形．一、类比引新 1．计算：(1) 5 2 4 8× 15 ； (2) ÷ .6 5 15 思虑：在运算过程中运用了什么性质？教师出示问题．学生独立计算后回答：运用了分数的基天性质． 2．你能说出分数的基天性质吗？分数的分子与分母都乘 (或除以 )同一个不为零的数，分数的值不变．3．试试用字母表示分数的基天性质：小组议论沟通如何用字母表示分数的基天性质，而后写出分数的基天性质的字母表达式．a ＝ a ·c a ＝ a ÷cb b ·c ， b b ÷c .( 此中 a ， b ，c 是实数，且 c ≠ 0) 二、研究新知1．分式与分数也有近似的性质，你能说出分式的基天性质吗？分式的基天性质：分式的分子与分母乘 (或除以 )同一个不为零的整式，分式的值不变．你能用式子表示这个性质吗？ AA ·C A A ÷CB ＝ B ·C ， B ＝ B ÷C .(此中 A ， B ，C 是整式，且 C ≠ 0)如 x ＝ 1， b ＝ab2，你还可以举几个例子吗？2x 2 a a回首分数的基天性质，让学生类比写出分式的基天性质，这是从详细到抽象的过程．学生试试着用式子表示分式的性质，增强对学生的抽象表达能力的培育．2．想想以下等式成立吗？为何？－ a a ；－ a a a＝＝＝－ . － b b b － b b教师出示问题．学生小组议论、沟通、总结．例 1 不改变分式的值，使以下分式的分子与分母都不含“－”号：－ 2a－ 3x－ x 2(1) － 3a ； (2) 2y ； (3)－ y.例 2不改变分式的值，使以下分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：x ＋ 1 2－ x － x － 1(1) － 2x － 1； (2)－ x 2＋ 3；(3) x ＋ 1 .指引学生在达成习题的基础长进行归纳，使学生掌握分式的变号法例．例 3填空：x 3（） 3x 2＋ 3xy＝x ＋ y；＝ y，（）(1) xy6x 2（），2a －2 （） .(b ≠ 0)(2)1＝2b ＝ 2aba b a a bx 3解： (1)因为 xy 的分母 xy 除以 x 才能化为 y ，为保证分式的值不变，依据分式的基天性质，分子也需除以 x ，即x 3＝ x 3 ÷x ＝x 2. xy xy ÷ x y相同地，因为 3x 2＋ 3xy的分子 3x 2＋3xy 除以 3x 才能化为 x ＋ y ，所以分母也需除以 3x ，6x 2即3x 2＋ 3xy（3x 2＋ 3xy ） ÷（ 3x ） x ＋ y6x 2＝6x 2 ÷（＝2x.3x ）所以，括号中应分别填入 x 2和 2x.(2) 因为 ab1的分母 ab 乘 a 才能化为 a 2b ，为保证分式的值不变，依据分式的基天性质，分子也需乘 a ，即1 ＝ 1·a ＝ a2 . ab ab ·a a b2a － b相同地，因为a2 的分母 a 2乘 b 才能化为 a 2b ，所以分子也需乘 b ，即2a － b （ 2a －b ） ·b 2ab －b 22 ＝＝ 2.a a 2 ·b a b所以，括号中应分别填 a 和 2ab － b 2.在解决例题 1， 2 的第 (2)小题时，教师能够指引学生察看等式两边的分母发生的变化，再思虑分式的分子如何变化；在解决例2 的第 (1)小题时，教师指引学生察看等式两边的分子发生的变化，再思虑分式的分母随之应当如何变化．三、讲堂小结1．分式的基天性质是什么？ 2．分式的变号法例是什么？3．如何利用分式的基天性质进行分式的变形？学生在教师的指引下整理知识、理顺思想．四、部署作业教材第 133 页习题 15.1 第 4， 5 题．经过算数中分数的基天性质，用类比的方法给出分式的基天性质，学生接受起来其实不感觉困难，但要要点重申分子分母同乘 (或除 )的整式不可以为零，让学生养成谨慎的态度和习惯．第 2 课时分式的约分、通分1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的观点．2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．要点运用分式的基天性质正确地进行分式的约分与通分．难点通分时最简分分母确实定；运用通分法例将分式进行变形．一、类比引新1．在计算56×152时，我们采纳了“约分”的方法，分数的约分约去的是什么？分式a＋ b相等吗？为何？aba2＋ab利用分式的基天性质，分式a2b约去分子与分母的公因式a，其实不改变分式的值a＋ b获得. a2＋ ab a2b，，能够教师点拨：分式a2＋ ab能够化为a＋ b__分式的约分 __．a2b ab ，我们把这样的分式变形叫做4 64 62．如何计算 5＋ 7？如何把 5，7通分？近似的，你能把分式 a， c变为同分母的分式吗？b d利用分式的基天性质，把几个异分母的分式分别化成与本来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分 __．二、研究新知－ 25a 2bc 3；(2) x 2－ 9； 1．约分： (1) 15ab 2c x 2＋ 6x ＋9 6x 2－ 12xy ＋ 6y 2 (3) 3x －3y .剖析：为约分，要先找出分子和分母的公因式．2322解： (1) － 25a bc ＝－ 5abc ·5ac ＝－5ac ；15ab 2c5abc · 3b 3bx 2－ 9 （ x ＋ 3）（ x － 3） x － 3(2)x2＋＝（x ＋ 3） 2 ＝；6x ＋9x ＋ 36x 2－ 12xy ＋ 6y 2 6（ x － y ）2(3)3x －3y＝＝2(x － y)．3（x － y ）若分子和分母都是多项式，则常常需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式 ) ，然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为 __最简分式 __．( 不能再化简的分式 )2．练习：约分：2ax 2y ；－ 2a （ a ＋b ）（ a － x ） 2 2－ 4 ； m 2－ 3m 2－13b （ a ＋b ）；； x ； 99.3axy 2 （ x －a ） 3 xy ＋ 2y9－ m 298学生先独立达成，再小组沟通，集体校正．3．议论：分式1 ， 114的最简公分母是什么？3 22 3， 6xy2x y z 4x y提出最简公分母观点．一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．学生议论、小组沟通、总结得出求最简公分母的步骤：(1) 系数取各分式的分母中系数最小公倍数； (2) 各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3) 相同字母 (或因式 )的幂取指数最大的；(4) 所得的系数的最小公倍数与各字母 (或因式 )的最高次幂的积 (此中系数都取正数 ) 即为最简公分母．4．通分： (1) 32 与a －2 b； (2) 2x 与 3x .2a b ab c x － 5 x ＋ 5 剖析：为通分，要先确立各分式的公分母．解： (1)最简公分母是 2a 2b 2c.33·bc 3bc2a 2b ＝ 2a 2b · bc ＝2a 2b 2 c ， a － b （ a －b ） ·2a 2a 2 －2abab 2c ＝ab 2c · 2a ＝ 2a 2b 2c .(2) 最简公分母是 (x － 5)(x ＋ 5) ．2x＝2x（ x＋ 5）＝2x2＋ 10xx－ 5 （ x－ 5）（ x＋ 5）x2－ 25，3x ＝3x（ x－ 5）＝ 3x2－ 15x x＋ 5 （ x＋ 5）（ x－ 5）x2－ 25. 5．练习：通分： (1) 12与 5 ； (2) 21与 2 1 ； (3) 12与2x.3x 12xy x ＋ x x － x （2－ x）x － 4教师指引：通分的要点是先确立最简公分母；假如分式的分母是多项式则应先将分母分解因式，再按上述的方法确立分式的最简公分母．学生板演并互批实时纠错．6．思虑：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的依据是什么？教师让学生议论、沟通，师生共同作以小结．三、讲堂小结1．什么是分式的约分？如何进行分式的约分？什么是最简分式？2．什么是分式的通分？如何进行分式的通分？什么是最简公分母？3．本节课你还有哪些迷惑？四、部署作业教材第 133 页习题 15.1 第 6， 7 题．本节课是在学习了分式的基天性质后学的，要点是运用分式的基天性质正确的约分和通分，约分时要注意必定要约成最简分式，娴熟运用因式分解；通分时要将分式变形后再确立最简公分母．15． 2分式的运算15． 2.1分式的乘除(2课时)第 1 课时分式的乘除法1．理解并掌握分式的乘除法例．2．运用法例进行运算，能解决一些与分式相关的实质问题．要点掌握分式的乘除运算．难点分子、分母为多项式的分式乘除法运算．一、复习导入1．分数的乘除法的法例是什么？2．计算： 3 × 15 ； 3 155 12 ÷ .5 2由分数的运算法例知3 15 ＝ 3× 15 315 3 × 2 ＝ 3× 2× 12 5× 12 ； ÷ ＝ 15 .5 5 2 5 5× 153．什么是倒数？我们在小学学习了分数的乘除法，关于分式如何进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容．二、研究新知问题 1：一个水平搁置的长方体容器，其容积为 V ，底面的长为 a ，宽为 b 时，当容器的水占容积的 m时，水面的高度是多少？n问题 2：大拖沓机 m 天耕地 a hm 2，小拖沓机 n 天耕地 b hm 2，大拖沓机的工作效率是小拖沓机的工作效率的多少倍？问题 1 求容积的高 V m，问题 2 求大拖沓机的工作效率是小拖沓机的工作效率的 a b ·÷ 倍．ab nm n依据上边的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法例是什么？分式的乘法法例：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．分式的除法法例：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒地点后，与被除式相乘．a ca ·c a c a d a ·d·＝； ÷ ＝ ·＝.b d b ·d b d bc b ·c 三、举例剖析例 1 计算：4x y ab 3 － 5a 2b 2(1) 3y ·2x 3； (2)2c 2÷4cd.剖析：这道例题就是直策应用分式的乘除法法例进行运算．应当注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算相同，先判断运算符号，再计算结果．解： (1)4xy ＝ 4xy ＝ 2 ；3y ·36x 3y 3x 22x(2) ab 3－ 5a 2b 2 ab 34cd 4ab 3cd 2bd2c 2÷ ＝ 2· 2 2＝－ 2 2 2＝－ .4cd 2c － 5a b 10a b c 5ac 例 2 计算：a 2－ 4a ＋4 a － 1(1) a 2－ 2a ＋1·a 2－ 4；1 1(2) 49－m 2÷ m 2－ 7m . 剖析：这两题是分子与分母是多项式的状况，第一要因式分解，而后运用法例．（ a －2） 2 a － 1 a － 2解： (1)原式（ a －1） 2· （ a ＋ 2）（ a － 2）＝（ a －1）（ a ＋ 2）；(2) 原式 1 1÷（ 7－ m ）（ 7＋ m ） m （ m － 7）＝ 1 m （ m － 7）＝－ m7＋m ） · 1 .（ 7－ m ）（ m ＋ 7例 3 “丰产 1 号”小麦试验田边长为 a 米 (a ＞ 1)的正方形去掉一个边长为 1 米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰产 2 号”小麦的试验田是边长为 (a － 1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 千克．(1) 哪一种小麦的单位面积产量高？(2) 高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？剖析：此题的实质是分式的乘除法的运用．解： (1)略．500500 500 a 2－ 1 a ＋ 1 (2) （ a －1） 2÷ a 2－ 1＝（ a － 1） 2· 500 ＝a － 1.“丰产 2 号”小麦的单位面积产量是“丰产1 号”小麦的单位面积产量的a ＋ 1倍．a － 1四、随堂练习1．计算： (1) c 2 · a 2b 2 (2)－ n 2 · 4m 2 y 2； 2m 5n 3；(3) ÷(－ )；ab c 7x x 2ya 2－ 4 a 2－ 1 (4) － 8xy ÷ ； (5)－ 2 ·2 4a ＋ 4 ；5x a －2a ＋ 1 a ＋y 2－ 6y ＋ 9(6)÷(3－ y)．y ＋ 2答案： (1)abc ； (2)－ 2m； (3)－ y； (4)－ 20x 2；(5) （ a ＋ 1）（ a － 2）；(6) 3－ y 5n 14－（ a － 1）（ a ＋ 2） y ＋ 2 . 2．教材第 137 页练习 1， 2，3 题．五、讲堂小结(1) 分式的乘除法法例； (2) 运用法例时注意符号的变化；(3) 因式分解在分式乘除法中的应用；(4) 步骤要完好，结果要最简．最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式，也能够写成一个多项式，如（ a － 1） 2 a 2－ 2a ＋ 1或 a .a六、部署作业教材第 146 页习题 15.2 第 1， 2 题．本节课从两个拥有实质背景的问题出发，使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实质需要产生的，从而激发他们学习的兴趣，接着，从分数的乘除法例的角度指引学生经过察看、研究、归纳总结出分式的乘法法例．有益于学生接受新知识，并且能表现由数到式的发展过程．第 2课时分式的乘方及乘方与乘除的混淆运算1．进一步娴熟分式的乘除法法例，会进行分式的乘、除法的混淆运算．2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算．要点分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混淆运算．难点分式的乘除法、乘方混淆运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号确实定．一、复习引入1．分式的乘除法法例．分式的乘法法例：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母．分式的除法法例：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒地点后，与被除式相乘．2．乘方的意义：a n＝ a·a·a· ·a(n 为正整数 )．二、研究新知例 1(教材例 4) 计算2x 3 x÷·.5x－ 3 25x 2－ 9 5x ＋ 3解：2x 3·x÷＋ 3 5x－3 25x 2－ 9 5x25x 2－ 9x (先把除法一致成乘法运算 )＝ 2x ·3 · 5x － 3 5x＋3 2x 2 ＝3 .( 约分到最简公式 ) 分式乘除运算的一般步骤：(1) 先把除法一致成乘法运算；(2) 分子、分母中能分解因式的多项式分解因式； (3) 确立分式的符号，而后约分；(4) 结果应是最简分式．1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特别到一般地指引学生进行归纳．2(1)( a )2＝a a＝ a2；bb ·b b↑↑由乘方的意义由分式的乘法法例(2) 同理：a 3 a a aa 3( )＝ ··＝ 3；b b b b ba n a a aa · a · · an 个a n( ) ＝ ·· ·n个＝＝ n .b b b bb · b · · bn 个 b2．分式乘方法例：n分式： (a b )n ＝ ab n .(n 为正整数 )文字表达：分式乘方是把分子、分母分别乘方． 3．当前为止，正整数指数幂的运算法例都有什么？(1)a n · a n ＝ a m ＋n ； (2)a m ÷ a n ＝ a m －n ；(3)(a m ) n ＝a mn ；(4)(ab) n ＝ a n b n ；a a n(5)( b )n＝ b n . 三、举例剖析例2计算：－ 2a 2b(1)( 3c )2；2a b3÷2a· (c2(3)( － x 2 y 2 )3÷ y )4；y )2· (－ x (－x a 2－ b 2 a － b(4) 22÷ () 2.a ＋ ba ＋ b22 4 2（－ 2a b ）＝4a b 2 ；解： (1)原式＝（ 3c ） 29ca 6b 3 d 3c 2a 3b 3 (2) 原式＝－c 3d 9· 2a ·4a 2＝－ 8cd 6；46 4(3) 原式＝x · (－ y x ＝－ x 5； y 2x 3)·4y(4) 原式＝（ a ＋ b ）（ a － b ）（ a ＋ b ） 2 （ a ＋ b ） 32 2· （ a － b ） 2＝22 .a ＋b （ a － b ）（ a ＋ b ）学生板演、纠错并实时总结做题方法及应注意的地方： ①关于乘、除和乘方的混淆运算，应注意运算次序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；②做乘方运算要先确立符号．例3 计算：b3n －1c2a2n －1(1) a 2n＋1·b 3n－2；x 2－2xy ＋ y 2x － y(2)(xy － x 2) ÷ · x 2 ；xy (3)( a 2－ b 2 a －b )2.ab )2÷ (a解： (1)原式＝ b 3n －2· b · c 2 a 2n － 1bc 2 a2n －1· a 2·b 3n －2＝a 2；x （ x － y ） xy2· x － y(2) 原式＝－1 ·x 2 ＝－ y ；（ x － y ）（ a ＋ b ）2（ a － b ） 2 a 2 a 2＋ 2ab ＋b 2 (3) 原式＝ a 2b 2· （a －b ） 2＝b 2. 本例题是本节课运算题目的拓展，关于 (1)指数为字母，可是方法不变； (2)(3) 是较复杂的乘除乘方混淆运算，要进一步让学生熟习运算次序，注意做题步骤．四、稳固练习教材第 139 页练习第 1， 2 题．五、讲堂小结 1．分式的乘方法例． 2．运算中的注意事项．六、部署作业教材第 146 页习题 15.2 第 3 题．分式的乘方运算这一课的教课先让学生回想从前学过的分数的乘方的运算方法用类比的方法让学生得出分式的乘方法例．在解说例题和练习时充分调换学生的踊跃性大家都参加进来，提升学习效率．，而后采，使15． 2.2分式的加减(2 课时)第 1 课时分式的加减理解并掌握分式的加减法例，并会运用它们进行分式的加减运算．要点运用分式的加减运算法例进行运算．难点异分母分式的加减运算．一、复习发问 1．什么叫通分？ 2．通分的要点是什么？ 3．什么叫最简公分母？4．通分的作用是什么？ (引出新课 ) 二、研究新知1．出示教材第 139 页问题 3 和问题 4. 教材第 140 页“思虑”．1 分式的加减法与分数的加减法近似，它们的实质相同．察看以下分数加减运算的式子：5＋2＝31－ 2＝－ 11＋1＝ 3＋2＝5 1－ 1＝ 3－ 2＝1，得出分式的加减法5 5，5 55， 2 3666， 2 3 6 6 6.你能将它们推行法例吗？教师提出问题，让学生列出算式，获得分式的加减法法例．学生议论：组内沟通，教师点拨． 2．同分母的分式加减法．a b a ±b公式： ±＝c .c c文字表达：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．3．异分母的分式加减法．分式： a c ad bc ad ±bc± ＝ ± ＝ bd .b d bd bd文字表达：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，而后再加减．三、典型例题例 1(教材例 6) 计算：5x ＋3y－ 2x2； (2)1 ＋ 1(1) 2－ y 2 2.xx － y2p ＋ 3q 2p － 3q解： (1)5x ＋ 3y － 2xx 2－ y2 x 2－ y 25x ＋ 3y － 2x 3x ＋ 3y 3 ＝ 2 2 ＝ 2 － y 2 ＝；x － y x x －y(2) 1 ＋ 12p ＋3q2p － 3q＝2p － 3q ＋2p ＋ 3q （ 2p ＋ 3q ）（ 2p － 3q ）（ 2p ＋ 3q ）（ 2p － 3q ）＝ 2p － 3q ＋ 2p ＋ 3q＝4p（ 2p ＋ 3q ）（ 2p － 3q ） 4p 2－ 9q 2.小结：(1) 注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号．(2) 把分子相加减后，假如所得结果不是最简分式，要约分．例2 计算：m ＋ 2n ＋ n － 2m . n － m m － n n － m剖析： (1)分母能否相同？ (2)如何把分母化为相同的？(3)注意符号问题．解：原式＝ m ＋ 2n － n － 2mn － m n －m n － m＝ m ＋ 2n － n － 2mn －m＝n － mn － m＝ 1. 四、讲堂练习1．教材第 141 页练习 1， 2 题．5232．计算： (1)－＋；12 2(2) m 2－ 9＋3－ m ；(3)a ＋ 2－ 4；2－ aa 2－b 2 ab － b 2(4) ab －ab －ab 2.五、讲堂小结1．同分母分式相加减，分母不变，只要将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要合时添上括号．2．关于整式和分式之间的加减运算，则把整式当作一个整体，即当作是分母为 1 的分式，以便通分．3．异分母分式的加减运算，第一察看每个公式能否为最简分式，能约分的先约分，使分式简化，而后再通分，这样可使运算简化．4．作为最后结果，假如是分式则应当是最简分式．六、部署作业教材第 146 页习题 15.2 第 4， 5 题．从直观的分数加减运算开始，先介绍同分母分式的加减运算的详细方法，经过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律，表现了数学知识间详细与抽象、从特别到一般的内在联系．尔后，利用相同的类比方法，安排学习异分母的分式加减运算，这样由简到繁、由易到难，切合学生认知的发展规律，有助于知识的层层落实与掌握．第 2 课时分式的混淆运算1．明确分式混淆运算的次序，娴熟地进行分式的混淆运算．2．能灵巧运用运算律简易运算．要点娴熟地进行分式的混淆运算．难点娴熟地进行分式的混淆运算．一、复习引入回想：我们已经学习了分式的哪些运算？1．分式的乘除运算主假如经过( )进行的，分式的加减运算主假如经过( ) 进行的．2．分数的混淆运算法例是再算 ()，最后算 ( ( ) ，近似的，分式的混淆运算法例是先算 ) ，有括号的先算 ( )里面的．( )，二、研究新知1．典型例题例1计算：( x＋2 ＋ 4 ) ÷x .x－2 x2－ 4x＋ 4 x－ 2 剖析：应先算括号里的．例 2计算：4y 24x 2yx ＋ 2y ＋ x － 2y － x 2－ 4y2. 剖析： (1)此题应采纳逐渐通分的方法挨次进行； (2)x ＋ 2y 能够看作 x ＋ 2y.1 例 31 －2x 计算：1x ＋ yx ＋ y ·( 2x －x －y)．剖析：此题可用分派律简易计算．例 4 [ 1 2－1 2] ÷( 1 － 1 )．（ a ＋ b ）（ a － b ） a ＋b a － b 剖析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分．例 5(教材例 7)2a 21a b计算 ()·－ ÷ .b a － b b 4解： 2a1－ ab( )2· b ÷b a －b 4＝ 4a 2 1 － a 4 b 2 · ·a －b b b4a 24a4a 2 4a （ a －b ）＝ b 2（ a － b ）－ b 2＝ b 2（ a － b ）－ b 2（ a － b ）4a 2－ 4a 2＋ 4ab 4ab＝ b 2（ a － b ）＝b 2（ a － b ）＝ 4a ab － b 2.点拨：式与数有相同的混淆运算次序：先乘方，再乘除，而后加减．例 6(教材例 8)计算： (1)(m ＋ 2＋ 52m － 4) · ；2－ m 3－ mx ＋ 2 － x － 1x －4 (2)( x 2－ 2x x 2－ 4x ＋ 4) ÷ x .解： (1)(m ＋ 2＋ 5 2m － 4) ·2－ m 3－ m ＝（ m ＋ 2）（ 2－ m ）＋ 5 2m － 42－m ·3－ m＝ 9－ m 2 2（ m － 2） 2－ m · 3－ m＝（ 3－ m ）（ 3＋ m ）－ 2（ 2－ m ） 2－ m · 3－ m＝－ 2(m ＋ 3)；(2)( x ＋ 2－ x － 1x －4x 2 x 2) ÷ x － 2x － 4x ＋ 4＝ [ x ＋ 2 －x － 1 x （ x － 2） 2] ·x （ x － 2）x － 4＝（ x ＋ 2）（ x － 2）－（ x －1） x ·x x （ x － 2） 2x － 4 ＝ x 2－ 4－ x 2＋ x（ x － 2） 2（ x － 4）1＝（ x － 2） 2. 分式的加、减、乘、除混淆运算要注意以下几点：(1) 一般按分式的运算次序法例进行计算，但合适地使用运算律会使运算简易．(2) 要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时用，可防止运算烦琐．(3) 注意括号的“添”或“去”、“变大”与“变小”．(4) 结果要化为最简分式．增强练习，指引学生实时纠正在例题中出现的错误，进一步提升运算能力．三、稳固练习x 21． (1)x － 1－ x － 1；(2)(1 － 2)2÷x － 1；x ＋1 x ＋ 12ab2bc(3)（ a －b ）（ a － c ）＋（ a － b ）（ c － a ）；(4)( 1 ＋ 1 ) ÷2 xy2 .x － y x ＋ y x － y 2．教材第 142 页第 1， 2 题．四、讲堂小结1．分式的混淆运算法例是先算 ( )，再算 () ，最后算 ()，有括号先算 ()里的．2．一些题应用运算律、公式能简易运算．五、部署作业1．教材第 146 页习题 15.2 第 6 题．1 － 1 x 2－ 2x ＋ 1，此中 x ＝ 2－1.2．先化简再求值 x ＋ 1 x 2－ 1· x ＋ 1分式的混淆运算是分式这一章的要点和难点，波及到因式分解和通分这两个较难的知识点，可依据学生的详细状况，合适增添例题、习题，让学生娴熟掌握分式的运算法例并提升运算能力．15． 2.3整数指数幂1．知道负整数指数幂a－n＝1n.(a≠ 0， n 是正整数 ) a2．掌握整数指数幂的运算性质．3．会用科学记数法表示绝对值小于 1 的数．要点掌握整数指数幂的运算性质，会有科学记数法表示绝对值小于1 的数．难点负整数指数幂的性质的理解和应用．一、复习引入1．回想正整数指数幂的运算性质：(1) 同底数的幂的乘法： a m · a n ＝ a m ＋n (m ， n 是正整数 ) ；(2) 幂的乘方： (a m )n ＝ a mn (m ， n 是正整数 )； (3) 积的乘方： (ab)n ＝ a n b n (n 是正整数 )；(4) 同底数的幂的除法： a m ÷ a n ＝a m －n (a ≠ 0， m ， n 是正整数， m ＞n) ；a n a n(5) 分式的乘方： ( ) ＝n (n 是正整数 )．bb2．回想 0 指数幂的规定，即当 a ≠ 0 时， a 0＝ 1. 二、研究新知3 312，再假定正整数指数幂的运算性质am÷ a n( 一)1.计算当 a ≠ 0 时， a 3÷ a 5＝ a5＝a ＝aa 3· a 2 a－－－2.于是＝ a m n (a ≠ 0， m ， n 是正整数， m ＞ n)中的 m ＞ n 这个条件去掉，那么 a 3÷ a 5＝ a 3 5＝ a － 2 1获得 a ＝2(a ≠ 0)．a总结：负整数指数幂的运算性质：一般的，我们规定：当 n 是正整数时，a －n＝ 1n (a ≠ 0)．a 2．练习稳固：填空：(1) － 22＝ ________， (2)( － 2)2＝ ________， (3)( － 2)0＝ ________，(4)20＝ ________，－3－3 ＝________． (5)2 ＝ ________， (5)( － 2) 3．例 1 (教材例 9) 计算：－2 5 b 3－ 2； (1)a÷ a ； (2)( 2)a(3)(a －1 b 2 )3； (4)a － 2b 2· (a 2b － 2)－3.解： (1)a －2÷ a 5＝ a －2－ 5＝a －7＝ a 17；b 3－6a 4 －b －(2)( 2) 2＝－ 4＝ a 4b 6 ＝ 6； a ab 6(3)(a －1 b2 )3＝ a －3b6＝ba 3；－－－－－－b 8 (4)a 2b 2· (a 2b 2) 3＝ a 2b 2· a 6 b 6＝ a 8b 8＝ 8.a[剖析 ] 本例题是应用推行后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算相同，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式．4．练习：计算： (1)(x 3y － 2)2； (2)x 2y － 2· (x －2y)3；(3)(3x 2y －2 2 － 23) ÷ (x y) . 5．例 2 判断以下等式能否正确？(1)a m÷ a n＝ a m·a －n； (2)(ab)n ＝ a n b －n .[ 剖析 ] 类比负数的引入使减法转变为加法，获得负指数幂的引入能够使除法转变为幂的乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算一致同来，而后再判断等式能否正确．( 二)1.用科学记数法表示值较小的数因为 0.1＝ 1 ＝ 10 － 110 ； 0.01＝________＝ ________；0． 001＝ ________＝________所以 0.000 025＝ 2.5× 0.000 01＝ 2.5×10－5.我们能够利用 10 的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，马上它们表示成 a ×10－n 的形式，此中 n 是正整数，1≤ |a|＜ 10.2．例 3(教材例 10) 纳米是特别小的长度单位， 1 纳米＝ 10－9米，把 1 纳米的物体放到乒乓球上，就好像把乒乓球放到地球上 .1 立方毫米的空间能够放多少个1 立方纳米的物体？(物体之间的空隙忽视不计 )[ 剖析 ]这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学记数法表示小于 1 的数．3．用科学记数法表示以下各数：0． 00 04，－ 0.034，0.000 000 45， 0.003 009.4．计算：－8 3 －3 2 －3 3.(1)(3 × 10 )× (4× 10 )； (2)(2 ×10 ) ÷(10 )三、讲堂小结1．引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍旧成立．2．科学记数法不单能够表示一个值大于10 的数，也能够表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意 a 一定知足1≤ |a|＜ 10，此中 n 是正整数．四、部署作业教材第 147 页习题 15.2 第 7， 8， 9 题．本节课教课的主要内容是整数指数幂学设计上，教师要点发掘学生的潜伏能力，将从前所学的相关知识进行了扩大．在本节的教，让学生在讲堂上经过察看、考证、研究等活动，加深对新知识的理解．15．3分式方程(2课时)第 1 课时分式方程的解法1．理解分式方程的意义．2．理解解分式方程的基本思路和解法．3．理解解分式方程时可能无解的原由，并掌握解分式方程的验根方法．要点解分式方程的基本思路和解法．难点理解解分式方程时可能无解的原由．一、复习引入问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h ，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？90＝60[ 剖析 ] 设江水的流速为 x 千米 /时，依据题意，得 30＋ v 30－ v .①方程①有何特色？[ 归纳 ] 方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程．发问：你还可以举出一个分式方程的例子吗？辨析：判断以下各式哪个是分式方程．x ＋ 2＝ 2y － z ； (3)1； (4)y＝0； (5)1＋ 2x ＝ 5.(1)x ＋ y ＝ 5； (2) 5 3 x x ＋ 5 x依据定义可得： (1)(2) 是整式方程， (3) 是分式， (4)(5) 是分式方程．二、研究新知1．思虑：如何解分式方程呢？为认识决本问题，请同学们先思虑并回答以下问题：(1) 回首一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中可否获得一点启迪？(2) 有没有方法能够去掉分式方程的分母把它转变为整式方程呢？ [ 可先松手让学生自主研究，合作学习并进行总结]方程①能够解答以下：方程两边同乘以 (30＋ v)(30 －v)，约去分母，得 90(30－ v)＝ 60(30 ＋ v)．解这个整式方程，得 v ＝ 6. 所以江水的流度为 6 千米 /时．[ 归纳 ]上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转变为整式方程来解．所乘的整式往常取方程中出现的各分式的最简公分母．2．例 1 解方程：1 ＝ 210.②x － 5 x － 25解：方程两边同乘 (x 2－ 25)，约去分母，得 x ＋ 5＝ 10.解这个整式方程，得 x ＝ 5.事实上，当 x ＝ 5 时，原分式方程左侧和右侧的分母 (x － 5)与 (x 2－ 25)都是 0，方程中出现的两个分式都没存心义，所以，x ＝ 5 不是分式方程的根，应当舍去，所以原分式方程无解．解分式方程的步骤：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不合适原分式方程的解 (或根 ) ，这类根往常称为增根．所以，在解分式方程时一定进行查验．3．那么，可能产生“增根”的原由在哪里呢？解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母 )．方程①两边乘 (30＋ v)(30 － v)，获得整式方程，它的解 v＝6.当 v＝ 6 时， (30＋ v)(30 － v)≠ 0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为 0 的式子，所以所得整式方程的解与①的解相同．方程②两边乘(x－ 5)(x ＋ 5)，获得整式方程，它的解 x＝ 5.当 x＝ 5 时，(x －5)(x ＋ 5)＝ 0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0 的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为 0 的现象，所以这样的解不是②的解．4．验根的方法：解分式方程进行查验的要点是看所求得的整式方程的根能否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简易起见，也可将它代入所乘的整式 (即最简公分母 )，看它的值能否为零．假如为零，即为增根．如例 1 中的 x＝ 5，代入 x2－ 25＝0，可知 x＝ 5 是原分式方程的增根．三、举例剖析例 2(教材例 1) 解方程 2 ＝3.x－ 3 x解：方程两边乘x(x －3) ，得 2x ＝ 3x－ 9.解得 x＝ 9.查验：当x＝ 9 时， x(x － 3)≠ 0.所以，原分式方程的解为x＝9.例 3(教材例 2) 解方程x － 1＝ 3.x－ 1 （x－ 1）（ x＋ 2）解：方程两边乘 (x－ 1)(x ＋2)，得x(x ＋ 2)－ (x－ 1)(x ＋ 2)＝ 3.解得 x＝ 1.查验：当x＝ 1 时， (x－1)(x ＋ 2)＝ 0，所以 x＝ 1 不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解．四、讲堂小结1．分式方程：分母中含有未知数的方程．2．解分式方程的一般步骤以下：。