统计学例题-抽样估计

例：（不重复抽样的情况）
某高校为了了解0.8万名学生英语四级考试的 平均成绩和通过率情况，根据以往的经验，平 均成绩的标准差在150分~200分之间，通过率 在40 %~60 %之间。现用不重复抽样的方法， 要求在95 %（t =1.96）的可靠性程度保证下 ，平均分数的误差范围不超过25分，通过率的 误差范围不超过5 %，求样本必要容量。
对某型号的电子元件进行耐用性能检查， 抽查100件，测得平均耐用时数为1055.5小 时，标准差为52.2小时，要求耐用时数的 允许误差范围为10.5小时（ x 10.5 ），试 估计该批电子元件耐用时数区间范围及不 超过允许误差范围的可靠程度。
计算：
总体平均耐用时间的
上 限 x x 1055.5 10.5 1066小 时 下 限 x x 1055.5 10.5 1045小 时 t x 10.5 2

1.962 0.92 0.0813752 13752 0.0472 1.962 0.92 0.08

127
取两者之中较大者，即169个。
简单随机抽样平均误差计算
例1：平均数的抽样平均误差
根据抽样调查方案，从某地区10 000户居民中抽 取100户进行调查，得知：100户居民的月均收入 2500元，标准差为300元，试求居民月平均收入 的抽样平均误差。
例1：切比雪夫定理
对1154个成年人进行调查显示，每人每天平均 睡眠6.9小时。假定标准差为1.2小时，试问：
1、睡眠时间4.5~9.3小时之间的人数百分比？ 2、睡眠时间3.9~9.9小时之间的人数百分比？ 3、假定是正态分布，则睡眠时间4.5~9.3小时之间
的人数百分比又是多少？
例2：正态分布
平均学位获得率：
p
pf f

42 0.9048 66 0.9545 93.52% 108
s
2 p


p(1
f
p) f
0.9048 0.0952 42 0.9545 0.0455 66 0.06 108
计算：
μp
S
2 p
1
n


n N
试以90%（t =1.64）的概率对该批零件的合格率 进行区间估计。
零件质量统计表：
直径（cm）
假设IQ分数具有正态分布，其平均数为100，标 准差为15。试问：
1、IQ分数在85~115之间的人士占多大百分比？ 2、IQ分数在70~130之间的人士占多大百分比？ 3、IQ分数超过130之间的人士占多大百分比？ 4、IQ分数超过145的人被视为天才。你认为这样
的说法是否合理？ 5、思考一下： 85~130之间的人士占多大百分比？
计算：
重复抽样时：
μp
P(1 P) n
p(1 p) n
0.98 0.02 1.0%或0.01 200
不重复抽样时：
μp
P(1 P) N n n N 1
p(1 p) 1 n n N
0.98 0.02 (1 200 ) 0.98%
以95%的概率保证程度（t =1.96），对该城市居 民每年的家庭旅游支出进行区间估计。
统计表：
行政区
东城区 西城区 南城区 北城区 合计
家庭数 （家）
320 680 200 400
1600
平均支出 （万元）
1.2 2.0 0.8 1.5
-
标准差 （万元）
0.05 0.08 0.04 0.06
例：成数的区间估计
某高校对男女毕业生分别抽取6%的学生进行调 查，统计结果如下表所示：
按性别 分组
男生 女生
样本人数 （人） f
42 66
学位获得率% p
90.48 95.45
合计
108
-
要求：以90%（t = 1. 64）的可靠性程度，对该 高校毕业生的平均学位获得率进行区间估计。
计算：
计算：
原则： 取最大者。
先要确定标准差：
平均成绩的标准差取：200分（取大者）
通过率取：P = 50%
当P = 0.5时， P(1-P)最大。
nx

t 2σ2N N2x t 2σ 2

1.962 2002 8000 8000 252 1.962 2002
244
计算：
np

t 2P(1 P)N N2p t 2 P(1 P)

1.962 0.5 0.5 8000 8000 0.052 1.962 0.5
0.5

367
取两者之中较大者，即367人。
例：（不重复抽样的情况）
某机械加工厂对一批零件进行抽检，零件 数量为13752个，根据历史资料，这种零 件标准长度的标准差在12~20（mm）之间 ，一等品率在92%~96%之间。用不重复 抽样的方法，要求在95 %（t =1.96）的可 靠性程度保证下，零件标准长度的误差范 围不超过3（mm）一等品率的误差范围不 超过4.7 %，求样本必要容量。
试对该批零件的合格率进行点估计。
零件质量统计表：
直径（cm）
9.97—9.98 9.98—9.99 9.99—1.00 1.00—10.01 10.01—10.02 10.02—10.03
合计
零件数（件）
2 26 64 42 31 1 165
备注
不合格 合格 合格 合格 合格
不合格
-
计算：
样本合格率：
例3：用五数概括法进行数据汇总
对轿车保险索赔系数进行评分，平均分为100分， 评分越低意味着越好，越安全。下面是两种车型的 评分数据。
中型轿车：81 91 93 127 68 60 51 58 75 100 103 119 82 128 76 68 81 91 82
小型轿车：73 100 127 100 124 103 119 108 109 113 108 118 103 120 102 122 96 133 80 140
0.00430
计算：
不重复抽样的平均误差：
μx
S 2 1 n n N
0.00432 (1 3%) 0.0016 1600
置信度为95%的区间估计：
x t μx 1.96 0.0016 0.0031
即： 1.565± 0.0031万元
r 1
抽样平均误差：
抽样平均误差：
μx
δx 2 R r r R1
11.78 144010 1.08（2 公斤） 10 14401
μp
δp2 R r r R1
0.00476 1440 10 2.17% 10 14401
0.06 (1 6% ) 2.29% 108
来自百度文库
p t μp 1.64 2.29% 3.76%
上 限 p p 93.52% 3.76% 97.28% 下 限 p p 93.52% 3.76% 89.76%
例1：根据给定的抽样极限误差求概率 保证程度
均合格率进行区间估计。
水泥生产情况表：
样本编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
合计
各群每袋平均重量 x 一 等品率 p（%）
98
75
102
80
104
87
106
95
100
90
98
88
100
85
96
96
100
95
106
92
1 010
-
计算1：
每分钟为一群，总体被分为： R = 24×60 = 1 440 群，r = 1 440÷144 = 10 样本平均数：
p = 162÷165 = 98.18% 总体合格率估计：
Pˆ p 98.18%
例1：区间估计（大样本情形）
某机械制造企业有一批零件的公差为 （即 1000..0022 合格品直径范围为9.98cm—10.02cm），为了检 验零件质量，现随机抽取了10%的零件组成一个 样本，得统计资料如下表：
计算：
重复抽样时：
μx
σ n
s n
300 30(元) 100
不重复抽样时：
μx
σ 2 N n n N 1
s2 1 n n N
2
300 (1 100 ) 29.85(元) 100 10000
例2：成数的抽样平均误差
对某企业电子产品的合格率进行检测，从 5 000个成品中随机抽取200个进行检测， 测得合格品为196件，试求产品合格率的 抽样平均误差。
置信度为95%的区间估计：
x t μx 1.961.082 2.10 p t μp 1.96 2.17% 4.25%
估计区间： 平均袋重：101±2.10 一等品率： 88.3%± 4.25%
例：分层抽样区间估计
对某某城市居民每年的家庭旅游支出进行抽样调 查。在不同的行政区域，随机抽取3%的家庭进 行调查，得统计结果如下表所示：
上 限 p p 91% 5% 96%
下 限 p p 91% 5% 86%
t p
5%
2.86
μp 0.91 0.09
100
查表得：F（2.86）= 0.9958，即合格率在86% ～96%之间，其可靠程度为99.58%。
样本容量推算：
μx 52.2 100
查表得：F（2）= 0.9545，即平均耐用时数在 1045～1066小时之间，其可靠程度为95.45%。
例2：
上例中，同时又测得电子元件的合格 率为91%，要求合格率的估计误差范 围（ Δ p ）为5%，试估计该批电子元 件的合格率及可靠程度。
计算：
总的平均销售利润率及组内方差平均数：
分别对两种车型进行五数（最小值、Q1、Q2、Q3、最大值） 概括，画出箱形图，判断是否有异常值。
例：整群抽样区间估计
某水泥厂大量连续生产100公斤装水泥，一昼夜 产量为14 400袋。现每隔144分钟抽取1分钟的产 量（10袋为一群），共10群，全部检验。相关数 据如下表。
对水泥的平均袋重和一等品率进行点估计。 以95%的概率保证程度（t =1.96），对水泥的平
200
5000
例：简单随机抽样平均误差计算
根据抽样调查方案，从某地区10 000户居 民中抽取100户进行调查，得知：100户居 民的月均收入2500元，标准差为300元， 试求抽样平均误差。
计算：
重复抽样时：
μx
σ n
s n
300 30(元) 100
不重复抽样时：
μx
计算：
长度的标准差取20（mm）
一等品率取92 %
比P = 96%的标 准差要大。
nx

t 2σ2N N2x t 2σ 2

1.962 202 13752 13752 32 1.962 202
169
计算：
np

t 2 P(1 P)N N2p t 2 P(1 P)
x x 1010 10（1 公斤）
r 10
p p 883 88.3%
r 10
水泥的平均袋重： 101公斤。平均一等品率 88.3%。
计算2 ：
组间方差计算：
δx 2
(x x)2
106
11.78
r 1 10 1
δp2
( p p)2 0.00476
σ 2 N n n N 1
s2 1 n n N
2
300 (1 100 ) 29.85(元) 100 10000
参数估计
某机械制造企业有一批零件的公差为 （即 1000..0022 合格品直径范围为9.98cm-10.02cm），为了检验 零件质量，现随机随机不重复抽取了6%的零件 组成一个样本，得统计资料如下表：
-
计算：
总的平均销售利润率及组内方差平均数：
x

xf f
1.2320 2.0 680 0.8 200 1.5 400 1.565万 1600
Sx2
S2 f f
0.052 320 0.082 680 0.042 200 0.062 400 1600