立体几何公开课课件

范围
求法
考点二
求直线与平面所成的角
如图所示，设直线 l 的方向向量为 e ， 平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成
的角为 φ ， 两向量 e 与 n 的夹角为 θ ， 则有
|e· n| sinφ＝|cos . θ |＝ |e||n|
考点三
求二面角
对易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角 的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来 求． 如图所示，二面角αlβ，平面α的法向量为n1，平 面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角αlβ的大 小为θ或π－θ.
3 3
例1 、如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， z 且OS=OC=BC=1，OA=2。 S 求：(3)二面角B－AS－O的余弦值
解：由(2)知平面SAB的一个法向量为n (11 ， ，， 2)
又由OC 平面SAO知OC是平面SAO的法向量
O
第4讲 │作业
1．如图 14－1，在底面是矩形的四棱锥中 P－ABCD 中，PA⊥底 面 ABCD，E，F 分别是 PC，PD 的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. (1)求证：EF∥平面 PAB； (2)求证：平面 PAD⊥平面 PDC； (3)求二面角 A－PD－B 的余弦值．
图 14－1
│ 要点热点探究 例1、如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2。 求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值 (2)OS与面SAB所成角的余弦值 (3)二面角B－AS－O的余弦值
S
O C A B
例1 、如图，已知：直角梯形OABC中， z S OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2。 求：(1)异面直线SA和OB所成的 O 角的余弦值
A B
C
y
x
(1)解：以OAOC ， ， OS为正交基底建立空间直角坐标系如图。
则O(0， 0，， 0) S (0， 0，， 1) A(2， 0，， 0) B(11 ， ， 0)
SA (2， 0， 1)， OB (11 ， ， 0)
200 10 cos SAOB ， 5 5 2
例1 、如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， z 且OS=OC=BC=1，OA=2。 S 求：(2)OS与面SAB所成角的余弦值
(2)解： SA (2， 0， 1)， SB (11 ， ， 1)
设平面SAB的一个法向量为n ( x，y，z)
设平面 BMC 的一个法向量 n1＝(x1，y1，z1)． 平面 APC 的一个法向量 n2＝(x2，y2，z2)， →· BM n1＝0， －4x1－2＋3λy1＋4－4λz1＝0， 由 得 → －8x1＝0， n 1＝ 0 ， BC· x ＝0， 1 2 ＋3 λ 即 z ＝ y， 1 4 －4 λ 1 可取
→ ＝λPA → ，λ≠1，则PM → ＝λ(0，－3，－4)． (2)设PM → ＝BP → ＋PM → ＝BP → ＋λPA → ＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4) BM ＝(－4，－2－3λ，4－4λ)， → ＝(－4,5,0)，BC → ＝(－8,0,0)． AC
第14讲 │ 要点热点探究
C
B
y
且OC (01 ， ， 0)
cos n， OC 0 1 0 6 6 6 1
A
x
6 所以二面角B－AS－O的余弦值为 6
│ 要点热点探究
[2011· 天津卷] 如图 14－3 所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，H 是正方形 AA1B1B 的中心，AA1＝2 2，C1H⊥平面 AA1B1B，且 C1H＝ 5. (1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值； (2)求二面角 A－A1C1－B1 的正弦值；
对数学高考成绩的好坏至关重要,这几年有逐渐加难的趋势。
考点一
求异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2 的方向向量，则
l1与l2所成的角θ π 0<θ≤ 2 cosθ＝|cos〈a，b〉| |a· b| ＝|a||b| a与b的夹角〈a，b〉 0<〈a，b〉<π
a· b cos〈a，b〉＝ |a||b|
2＋3λ n1＝0，1， . 4－4λ
x ＝5y ， →· 2 4 2 AP n 2＝ 0 ， 3y2＋4z2＝0， 由 即 得 → － 4 x ＋ 5 y ＝ 0 ， 2 2 n 2＝ 0 ， AC· z2＝－3y2， 4
2 ＋3 λ 可取 n2＝(5,4，－3)．由 n1· n2＝0，得 4－3· ＝0， 4 －4 λ 2 解得 λ＝ ，故 AM＝3， 5 综上所述，存在点 M 符合题意，AM＝3，
图 14－3
第4讲 │ 要点热点探究
例 2 [2011· 浙江卷] 如图 14－2，在三棱锥 P－ABC 中，AB ＝AC，D 为 BC 的中点，PO⊥平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上，已知 BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC； (2)在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A－MC－B 为 直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由．
欢迎各位专家,领导莅临指导
温州大学拜城实验高中 邓世环
数学教研组
第4讲 空间向量在立体几何中的应用
—— 求空间角
关于立体几何部分的命题有如下几个显著特点:
1.高考题型:立体几何的试题一般是二小题一大题.在数学高考试卷中,小题 为一个选择题(三视图）,一个填空题（距离）,而立体几何解答题, 是处在 解答题中档题的位置，以角的计算为重点。 2.难易程度:立体几何的解答题一般都为中档题,处在区分度的位置.这道题
O C A B
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 x z 0 取x 1，则y 1，z 2 x y z 0 002 6 cos n， OS 3 1 6
所以OS与面SAB所成角的余弦值为
x
故平面SAB的一个法向量为n (11 ， ，，又 2) OS (0， 01) ，
图 14－2
第4讲 │ 要点热点探究
【解答】(1)证明：如图，以 O 为原点，以射线 OP 为 z 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系 O－xyz. → ＝(0,3,4)， 则 O(0,0,0)， A(0， －3,0)， B(4,2,0)， C(－4,2,0)， P(0,0,4)， AP → ＝(－8,0,0)，由此可得AP →· → ＝0，所以AP → ⊥BC → ，即 AP⊥BC. BC BC