2020版 第2章 第1节 函数及其表示

2020年高考数学一轮复习

第2章函数、导数及其应用

第一节函数及其表示

[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．

1．函数与映射的概念

函数映射

两集合

A，B

设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合

对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使

对于集合A中的任意一个数x，在

集合B中都有唯一确定的数f(x)和

它对应

如果按某一个确定的对应关系f，使

对于集合A中的任意一个元素x，在

集合B中都有唯一确定的元素y与

之对应

名称称f：A→B为从集合A到集合B的

一个函数

称f：A→B为从集合A到集合B的

一个映射

记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B

(1)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

[常用结论]

求函数定义域的依据 (1)整式函数的定义域为R ； (2)分式的分母不为零；

(3)偶次根式的被开方数不小于零； (4)对数函数的真数必须大于零； (5)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

x ≠k π＋π

2，k ∈Z

； (6)x 0中x ≠0；

(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．

( )

(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数． ( )

(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点． ( ) (4)分段函数是两个或多个函数． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1

x －3

的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫

32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)

C [由题意知⎩⎨⎧

2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥3

2且x ≠3.]

3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x 2＋1，x ≤1，2

x ，x ＞1，则f (f (3))等于( ) A.1

5 B ．3

C.23

D.139

D [f (3)＝23，f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232

＋1＝139，故选D.] 4．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3

x 3＋1 C ．y ＝x 2

x

＋1

D ．y ＝x 2＋1

B [y ＝3

x 3＋1＝x ＋1，且函数定义域为R ，故选B.]

5．已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________． 12 [由f (a )＝5得2a ＋1＝5，解得a ＝12.]

求函数的定义域

【例1】 (1)(2019·黄山模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2

的定义域为( )

A ．(－2,1)

B ．[－2,1]

C ．(0,1)

D ．(0,1]

(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝

f (2x )

x －1

的定义域是________． (3)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．

(1)C (2)[0,1) (3)[－1,2]

[(1)由题意得⎩⎨⎧

－x 2－x ＋2≥0

ln x ≠0

x ＞0

，解得0＜x ＜1，故

选C.

(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)． (3)由函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]得 －1≤x 2－1≤2，即函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．] [规律方法] 常见函数定义域的类型及求解策略

(1)已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. (3)抽象函数：

①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；

②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域；

③已知f [φ(x )]定义域为[m ，n ]，求f [h (x )]定义域，先求φ(x )值域[a ，b ]，令a ≤h (x )≤b ，解出x 即可.

易错警示：求定义域时，对解析式不要化简，求出定义域后一定要将其写成集合或区间形式.

(1)函数f (x )＝3x 2

1－x

＋lg(3x ＋1)的定义域是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫

－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫

－13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－∞，－13 (2)已知函数f (2x )的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________． (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤

12，2 [(1)由题意可知⎩⎨⎧

1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＜1，x ＞－13，∴－1

3＜x ＜1，

故选A.

(2)∵f (2x )的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x

≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.]