否命题与命题的否定和反证法
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方法一：直接法，从命题的条件p出发，经 推理直接得出结论p，证明其为真命题；
方法二：等价法，证明命题（若p，则q） 的等价命题——逆否命题（若┐q，则┐q） 为真，则原命题也为真；
方法三：反证法，证明命题的否定（若p， 则┐q）为假命题，从而间接地证明了命题 （若p，则q）为真命题。
例1： 证明：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2.
则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1
∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4 看能否推出原命题
∴p+q ≤2，
条件的反面成立
这与命题的条件p＋q＞2相矛盾， ∴假设不成立，即p2＋q2≠2，
尝试成功
故原命题为真命题。
得证
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假 反设 设结论的反面成立；
原词语 否定词 原词语
否定词
等于 不等于 任意的
某个
是
不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个
小于 大于或等于 至多有n个
对所有x, 存在某x， 对任何x，
பைடு நூலகம்成立 不成立
不成立
至多有（n-1)个
至少有（n+1)个 存在某x， 成立
所有的 某些
证明命题的方法
作业：辅导资料
否命题与命题的否定 关于反证法
紐绅中学
否命题与命题的否定
否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。 命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结
论不否定条件。 对于原命题: 若 p , 则 q 有
否命题: 若┐p , 则┐q 。 命题的否定: 若 p ，则┐q 。
例.命题：△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角.命
• 证明一：要证“若p＋q＞2，则p2＋q2≠2”
只需证它的逆否命题“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”成立。
∵p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1
∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4
∴p+q ≤2 ∴逆否命题为真命题，
故原命题也为真命题。
等价法
证明二：假设p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1
所以假设不成立,
从而____x__≠_a_且__x__≠_b_________.
例 2 用反证法证明: 如果a b 0, 那么 a b.
证明: 假设 a不大于 b,则或者 a b,
或者 a b
因为a 0, b 0,所以 a b a a b a与 a b b b a b
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现:从命 题结论的反面出发, 引出矛盾(如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
例1： 证明：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2.
证明二（反证法）：假设p2＋q2=2，
假设原命题结 论的反面成立
则OP是等腰△AOB, △COD的底边上的中线， 所以，OP⊥AB, OP⊥CD 但AB和CD都经过点P,且与OP 垂直，这是不可能的， 所以假设不成立， 故弦AB、CD不被P平分， 命题得证。
课堂小结
1.否命题与命题的否定： （1）否命题：条件和结论都得否定； （2）命题的否定：条件不否定，只否定结论； 2.证明命题的三种方法：直接法、等价法、反证法； 3.反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯 定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。
3、反证法的使用范围：
（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题； （2）唯一性命题； （3）“至多”或“至少”性命题； （4）否定性或肯定性命题。
反馈练习
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. 证明 ： 假设___x_=_a____ 或 ____x_=_b___,
由于_____x_=__a____时,__(_x_-_a_)_(x__-b_)_=_0_____, 与 (x-a)(x-b)≠0矛盾, 又____x_=_b___时,___(x_-_a_)_(_x_-b__)=_0_____, 与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
题的否命题是（ B），命题的否定是（ D）
(A)△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角 (B)△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角 (C)△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角 (D) △ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B不都是锐角
下面是一些常见词语的否定
或 a bab
这些都同已知条件a b 0矛盾,所以 a b
例3：求证：圆的两条不是直径的相交弦不能平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不 是直径.
求证：弦AB、CD不被P平分. 证明：假设AB、CD被P平分，连结OA,OB,OC,OD及OP,
推理过程中一定要用到才行
(2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾；
归谬
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
(3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。
结论
使用反证法几点注意：
1、反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。
2、导出矛盾有四种可能：
（1）与原命题的条件（题设）矛盾； （2）与定义、公理、定理等矛盾； （3）与结论的反面（反设）成立矛盾。 （4）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4
∴p+q ≤2，这与命题的条件p＋q＞2相矛盾，
∴假设不成立，即p2＋q2≠2，
故原命题为真命题。
反证法
（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）
关于反证法
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
方法二：等价法，证明命题（若p，则q） 的等价命题——逆否命题（若┐q，则┐q） 为真，则原命题也为真；
方法三：反证法，证明命题的否定（若p， 则┐q）为假命题，从而间接地证明了命题 （若p，则q）为真命题。
例1： 证明：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2.
则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1
∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4 看能否推出原命题
∴p+q ≤2，
条件的反面成立
这与命题的条件p＋q＞2相矛盾， ∴假设不成立，即p2＋q2≠2，
尝试成功
故原命题为真命题。
得证
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假 反设 设结论的反面成立；
原词语 否定词 原词语
否定词
等于 不等于 任意的
某个
是
不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个
小于 大于或等于 至多有n个
对所有x, 存在某x， 对任何x，
பைடு நூலகம்成立 不成立
不成立
至多有（n-1)个
至少有（n+1)个 存在某x， 成立
所有的 某些
证明命题的方法
作业：辅导资料
否命题与命题的否定 关于反证法
紐绅中学
否命题与命题的否定
否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。 命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结
论不否定条件。 对于原命题: 若 p , 则 q 有
否命题: 若┐p , 则┐q 。 命题的否定: 若 p ，则┐q 。
例.命题：△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角.命
• 证明一：要证“若p＋q＞2，则p2＋q2≠2”
只需证它的逆否命题“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”成立。
∵p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1
∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4
∴p+q ≤2 ∴逆否命题为真命题，
故原命题也为真命题。
等价法
证明二：假设p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1
所以假设不成立,
从而____x__≠_a_且__x__≠_b_________.
例 2 用反证法证明: 如果a b 0, 那么 a b.
证明: 假设 a不大于 b,则或者 a b,
或者 a b
因为a 0, b 0,所以 a b a a b a与 a b b b a b
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现:从命 题结论的反面出发, 引出矛盾(如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
例1： 证明：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2.
证明二（反证法）：假设p2＋q2=2，
假设原命题结 论的反面成立
则OP是等腰△AOB, △COD的底边上的中线， 所以，OP⊥AB, OP⊥CD 但AB和CD都经过点P,且与OP 垂直，这是不可能的， 所以假设不成立， 故弦AB、CD不被P平分， 命题得证。
课堂小结
1.否命题与命题的否定： （1）否命题：条件和结论都得否定； （2）命题的否定：条件不否定，只否定结论； 2.证明命题的三种方法：直接法、等价法、反证法； 3.反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯 定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。
3、反证法的使用范围：
（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题； （2）唯一性命题； （3）“至多”或“至少”性命题； （4）否定性或肯定性命题。
反馈练习
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. 证明 ： 假设___x_=_a____ 或 ____x_=_b___,
由于_____x_=__a____时,__(_x_-_a_)_(x__-b_)_=_0_____, 与 (x-a)(x-b)≠0矛盾, 又____x_=_b___时,___(x_-_a_)_(_x_-b__)=_0_____, 与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
题的否命题是（ B），命题的否定是（ D）
(A)△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角 (B)△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角 (C)△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角 (D) △ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B不都是锐角
下面是一些常见词语的否定
或 a bab
这些都同已知条件a b 0矛盾,所以 a b
例3：求证：圆的两条不是直径的相交弦不能平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不 是直径.
求证：弦AB、CD不被P平分. 证明：假设AB、CD被P平分，连结OA,OB,OC,OD及OP,
推理过程中一定要用到才行
(2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾；
归谬
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
(3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。
结论
使用反证法几点注意：
1、反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。
2、导出矛盾有四种可能：
（1）与原命题的条件（题设）矛盾； （2）与定义、公理、定理等矛盾； （3）与结论的反面（反设）成立矛盾。 （4）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4
∴p+q ≤2，这与命题的条件p＋q＞2相矛盾，
∴假设不成立，即p2＋q2≠2，
故原命题为真命题。
反证法
（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）
关于反证法
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.