近30年数学考研真题线代第三章向量部分
线性代数历年考研题库
线性代数历年考研题库线性代数历年考研题库线性代数是数学中的一门重要学科，它研究向量空间、线性映射和线性方程组等内容。
在考研数学中，线性代数是一个重要的考点，因此熟悉历年考研题库是非常必要的。
本文将介绍一些线性代数历年考研题库中的经典题目，帮助考生更好地备考。
一、向量空间1. 设V是数域F上的线性空间，U是V的非空子集，证明U是V的子空间的充要条件是：对于V中任意两个向量α和β，如果α和β都属于U，则α+β也属于U，且对于任意标量k，有kα属于U。
2. 设V是数域F上的线性空间，U是V的非空子空间，证明V/U也是一个线性空间。
二、线性映射1. 设V和W是数域F上的线性空间，T：V→W是一个线性映射。
证明：如果T 是单射，则T的核空间只包含零向量。
2. 设V和W是数域F上的线性空间，T：V→W是一个线性映射。
证明：如果T 是满射，则T的像空间等于W。
三、线性方程组1. 设A是一个m×n的矩阵，b是一个m维向量。
证明：如果线性方程组Ax=b 有解，则对于任意标量k，线性方程组A(kx)=kb也有解。
2. 设A是一个n×n的矩阵，如果存在非零向量x使得Ax=0，证明A不是满秩矩阵。
四、特征值与特征向量1. 设A是一个n×n的矩阵，λ是A的一个特征值，x是对应于λ的特征向量。
证明：对于任意标量k，kλ也是A的特征值，kx是对应于kλ的特征向量。
2. 设A是一个n×n的矩阵，λ是A的一个特征值，x是对应于λ的特征向量。
证明：如果A是可逆矩阵，则1/λ是A的逆矩阵的特征值，x是对应于1/λ的特征向量。
五、内积空间1. 设V是一个实内积空间，证明：对于任意向量x和y，有||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2(||x||^2 + ||y||^2)。
2. 设V是一个实内积空间，证明：对于任意向量x和y，有||x+y||^2 ≤ ||x||^2 + 2||x||·||y|| + ||y||^2。
线性代数课后习题解答第三章习题解答
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
考研线代方程组向量
1，定义
2.三种情况表示（大大有）
3.经过初等变换矩阵的秩不不变（注意方方程组（与极大大无无关组）只能进行行行行行行变换，而而矩阵行行行／列列均 可）
Note：1.矩阵的等价——经初等变换
2.矩阵等价充要条件是AB秩相等（注意是同型）
3（向量量组等价与矩阵等价的关系）.若两个向量量组向量量个数相同（同型）且等价则对应的矩阵等价
5.线性无无关的证明题
无无关的定义：只有k1，k2…均等于0，则称线性无无关
方方法：! 用用定义法来证
步骤：1，设k1a1+….ksas=0；
2.利利用用恒等变形（有两种——重组（去括号合并），乘）
Note：对于乘，利利用用什什么乘，最好乘处0来（化简式子子，将式子子变短），若实在看不不出来，则利利用用题 干干的已知条件，先乘，再观察，加加减减，凑出0来，将式子子变短
定理理3：子子集合的秩小小于等于整体的秩
定理理4：若s个向量量无无关，互推极大大无无关组就是其本身，互推极大大无无关组有s个，互推其向量量组秩为s
4.求向量量组的秩，极大大无无关组，用用极大大无无关组来表示其余向量量
具体看强化笔记（只能行行行变换）求极大大无无关组就是求基础解系
化成行行行阶梯型，化简后观察数据得到线性表出的数据
三线性表出
1.定义：
! 线性组合
" 线性表出
Note：线性表出中的k1，k2…没有任何要求，与相关的那个k相区别
2.定理理（四个等价）
等价1：存在k使得k1a1+…=b；等价2：矩阵形式；等价3：非非⻬齐次方方程组有解；等价4；秩的关系
Note：
1.等价3做计算题；等价4做选择，证明题
近年考研数学三线性代数部分题目整合
线性代数-考研题第一章 行列式一．选择题1． （95）若21321,,,,ββααα都是四维列向量，且四阶行列式m =|,,,|1321βααα，n =|,,,|3221αβαα，则四阶行列式|)(,,,|21321ββααα+等于（ ） （A ）n m +． （B ）)(n m +−．（C ）m n −．（D ）n m −．二．填空题：1． （96）五阶行列式=−−−−−−−−−=aa a aa aa aaD 110001100011000110001 ． 2． （97）设n 阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0111110111110111110111110L L L L L L L L L L L A ，则=||A ． 3． （99）设随机变量)2;,,2,1,(≥=n n j i X ijL 独立同分布，2)(=ij X E ，则行列式 nnn n n n X X X X X X X X X Y L LLL L L L 212222111211=的数学期望=)(Y E ．4． （01）设行列式2235007022220403−−=D ，则第四行各元素余子式之和的值为 ．5． （05）设321,,ααα均为三维列向量，记三阶矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ．如果1||=A ，那么=||B ．6． （06）已知21,αα为2维列向量，矩阵),2(2121αααα−+=A ，),(21αα=B ．若行列式6||=A ，则=||B ．第二章 矩阵一．选择题：1． （96）设n 阶矩阵A 非奇异)2(≥n ，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则（ ）（A ）A A A n 1||*)*(−=． （B ）A A A n 1||*)*(+=． （C ）A A A n 2||*)*(−=．（D ）A A A n 2||*)*(+=．2． （97）设B A ,为同阶可逆矩阵，则（ ）（A ）BA AB =．（B ）存在可逆矩阵P ，使B AP P =−1． （C ）存在可逆矩阵C ，使B AC C T =． （D ）存在可逆矩阵P 和Q ，使B PAQ =． 3． （98）设)3(≥n n阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111L L L L L L L L L a a a a a a a a a a a a A ， 若矩阵A 的秩为1−n ，则a 必为（ ） （A ）1．（B ）n−11． （C ）1−． （D ）11−n ． 4． （01）设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a A ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=41424344313233342122232411121314a a a a a a a a a a a a a a a a B ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=00010100001010001P ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=10000010010000012P ，其中A 可逆，则1−B 等于（ ） （A ）211P P A −．（B ）211P A P −．（C ）121−A P P ．（D ）112P A P −．5． （02）设B A ,为n 阶矩阵，**,B A 分别为B A ,对应的伴随矩阵，分块矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B O O A C ，则C 的伴随矩阵=*C （ ）（A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||B B O O A A ． （B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||A A O O B B ． （C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||A B O O B A ． （D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||B A O O A B ． 6． （03）设三阶矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有（ ）（A ）b a =或02=+b a ．（B ）b a =或02≠+b a ． （C ）b a ≠且02=+b a ． （D ）b a ≠且02≠+b a ． 7． （04）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ）（A ）当)0(||≠=a a A 时，a B =||．（B ）当)0(||≠=a a A 时，a B −=||．（C ）当0||≠A 时，0||=B ． （D ）当0||=A 时，0||=B ．8． （05）设矩阵33)(×=ij a A 满足T A A =*，其中*A 为A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵，若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为（ ）（A ）33． （B ）3． （C ）31． （D ）3．9． （05）设C B A ,,均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若AB E B +=，CA A C +=，则C B −为（ ） （A ）E ． （B ）E −． （C ）A ． （D ）A −．10．（06）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的−1倍加到第2列得C ，记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100010011P ，则（ ）（A ）AP P C 1−=． （B ）1−=PAP C ． （C ）AP P C T =． （D ）T PAP C =．11．（08）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若O A =3，则（ ）（A ）A E −不可逆，A E +不可逆． （B ）A E −不可逆，A E +可逆． （C ）A E −可逆，A E +可逆． （D ）A E −可逆，A E +不可逆． 12．（09）设B A ,均为2阶矩阵，**,B A 分别为B A ,的伴随矩阵，若3||,2||==B A ，则分块矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O B A O 的伴随矩阵为（ ） （A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O A B O *2*3． （B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O A B O *3*2． （C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O B A O *2*3． （D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O B A O *3*2． 13．（09）设P A ,均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=200010001AP P T ，若),,(321ααα=P ，),,(3221αααα+=Q ，则AQ Q T 为（ ） （A ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200011012．（B ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200021011．（C ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200010002．（D ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200020001．14．（11）设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000110011P ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=010*******P ，则=A （ ）（A ）21P P ．（B ）211P P −．（C ）12P P ．（D ）112−P P ．15．（12）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−2111AP P ，),,(321ααα=P ，),,(3221αααα+=Q ，则=−AQ Q 1（ ） （A ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛121． （B ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛211． （C ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛212． （D ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛122． 二．填空题：1． （95）设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为 ．2． （98）设矩阵B A ,满足E BA BA A 82*−=，其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=100020001A ，E 为单位矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，则=B ．3． （98）设B A ,均为n 阶矩阵，3||,2||−==B A ，则=−|*2|1B A ．4． （99）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101020101A ，而2≥n 为正整数，则=−−12n n A A ．5． （99）已知A B AB =−，其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200012021B ，则=A ．6． （00）设T )1,0,1(−=α，矩阵T A αα=，n 为正整数，则=−||n A aE ．7． （01）设矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=k k k kA 111111111111，且3)(=A 秩，则=k ．8． （02）设矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=3211A ，E A A B 232+−=，则=−1B ．9． （03）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T L α，T E A αα−=，T aE B αα1+=，E 是n 阶单位矩阵，其中A 的逆矩阵为B ，则=a ．10．（03）设B A ,均为三阶矩阵，E 三阶单位矩阵，已知B A AB +=2，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=202040202B ，则=−−1)(E A ．11．（04）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=100001010A ，AP P B 1−=，其中P 为三阶可逆矩阵，则=−220042A B ．12．（06）设矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA 2+=，则=B ．13．（07）设矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0000100001000010A ，则3A 的秩为 ．14．（10）设B A ,为3阶矩阵，且2||,2||,3||1=+==−B A B A ，则=+−||1B A ．15．（12）设A 为3阶矩阵，3||=A ，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则=|*|BA ． 三．解答题：1． （95）已知三阶矩阵A 的逆矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−3111211111A ，试求伴随矩阵*A 的逆矩阵．2． （97）设A 为n 阶非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=A A IP T *0α，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=b A Q T αα，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵，I 为n 阶单位矩阵． （1）计算并化简PQ ；（2）证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是b A T ≠−αα1．第三章 线性方程组一．选择题：1． （96）设有任意两个n 维向量组α1, …, αm 和β1, …, βm ，若存在两组不全为零的数λ1, …, λm 和k 1, …, k m ，使 (λ1 + k 1)α1 + … + (λ m + k m )α m + (λ1 − k 1)β1 + … + (λ m − k m )β m = 0，则（ ） （A ）α1, …, α m 和β1, …, β m 都线性相关． （B ）α1, …, α m 和β1, …, β m 线性无关． （C ）α1 + β1 , … , α m + β m , α1 − β1 , … , α m − β m 线性无关． （D ）α1 + β1 , … , α m + β m , α1 − β1 , … , α m − β m 线性相关．2． （97）设向量组α 1, α 2, α 3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）（A ）α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 − α 1． （B ）α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 1 + 2α 2 + α 3．（C ）α 1 + 2α 2 , 2α 2 + 3α 3 , 3α 3 + α 1． （D ）α 1 + α 2 + α 3 , 2α 1 − 3α 2 + 22α 3 , 3α 1 + 5α 2 − 5α 3 ． 3． （97）非齐次线性方程组AX = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则（ ）（A ）r = m 时，方程组AX = b 有解． （B ）r = n 时，方程组AX = b 有唯一解． （C ）m = n 时，方程组AX = b 有唯一解． （D ）r < n 时，方程组AX = b 有无穷多解． 4． （98）齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,03213213221x x x x x x x x x λλλλ 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵B ≠ O 使得AB = O ，则（ ）（A ）λ = −2且 | B | = 0． （B ）λ = −2且 | B | ≠ 0． （C ）λ = 1且 | B | = 0． （D ）λ = 1且 | B | ≠ 0． 5． （98）若向量组α, β, γ 线性无关，α, β, δ 线性相关，则（ ）（A ）α必可由β, γ, δ线性表示． （B ）β必不可由α, γ, δ线性表示．（C ）δ必可由α, β, γ线性表示． （D ）δ必不可由α, β, γ线性表示． 6． （99）设向量β可由向量组α 1 , α 2 , …, α m 线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：α 1 , α 2 , …, α m −1线性表示，记向量组（Ⅱ）：α 1 , α 2 , …, α m −1 , β ，则（ ） （A ）α m 不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示． （B ）α m 不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示． （C ）α m 可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示． （D ）α m 可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示．7． （00）设α 1, α 2, α 3是四元非齐次线性方程组AX = b 的三个解向量，且秩(A ) = 3 ，α 1 = (1, 2, 3, 4)T ，α 2 + α 3 = (0, 1, 2, 3)T ，c 表示任意常数，则线性方程组AX = b 的通解X =（ ）（A ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛11114321c ．（B ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛32104321c ．（C ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛54324321c ．（D ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛65434321c ．8． （01）设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，若秩=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0TααA秩(A )，则线性方程组（ ） （A ）AX = α必有无穷多解．（B ）AX = α必有唯一解．（C ）00T=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛y X Aαα仅有零解． （D ）00T=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛y X Aαα必有非零解． 9． （02）设A 是m × n 矩阵，B 是n × m 矩阵，则线性方程组 (AB ) X = θ（ ）（A ）当n > m 时仅有零解． （B ）当n > m 时必有非零解． （C ）当m > n 时仅有零解． （D ）当m > n 时必有非零解． 10．（03）设α 1 , α 2 , …, α s 均为n 维向量，下列结论不正确的是（ ）（A ）若对于任意一组不全为零的数k 1 , k 2 , …, k s ，都有k 1α 1 + k 2α 2 + … + k s α s ≠ θ ，则α 1 , α 2 , …, αs线性无关．（B ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k 1 , k 2 , …, k s ，都有k 1α 1 + k 2α 2 + … +k s α s = θ ．（C ）α 1 , α 2 , …, α s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ．（D ）α 1 , α 2 , …, α s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 11．（04）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵A * ≠ O ，若ξ 1, ξ 2, ξ 3, ξ 4是非齐次线性方程组Ax = b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax = θ 的基础解系（ ） （A ）不存在． （B ）仅含一个非零解向量． （C ）含两个线性无关的解向量． （D ）含三个线性无关的解向量．12．（06）设α 1 , α 2 , …, α s 均为n 维列向量，A 是m × n 矩阵，下列选项正确的是（ ）（A ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性相关，则A α 1 , A α 2 , …, A α s 线性相关． （B ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性相关，则A α 1 , A α 2 , …, A α s 线性无关． （C ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性无关，则A α 1 , A α 2 , …, A α s 线性相关． （D ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性无关，则A α 1 , A α 2 , …, A α s 线性无关．13．（07）设向量组α 1 , α 2 , α 3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ）α 1 − α 2 , α 2 − α 3, α 3 − α 1． （B ）α 1 + α 2 , α 2 + α 3, α 3 + α 1． （C ）α 1 − 2α 2 , α 2 − 2α 3, α 3 − 2α 1． （D ）α 1 + 2α 2 , α 2 + 2α 3, α 3 + 2α 1． 14．（10）设向量组I ：r ααα,,,21L 可由向量组II ：s βββ,,,21L 线性表示，下列命题正确的是（ ）（A ）若向量组I 线性无关，则s r ≤．（B ）若向量组I 线性无关，则s r >．（C ）若向量组II 线性无关，则s r ≤． （D ）若向量组II 线性无关，则s r <．15．（11）设A 为34×矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组β=Ax 的3个线性无关的解，21,k k 为任意常数，则β=Ax 的通解为（ ）（A ）)(212132ηηηη−++k ．（B ）)(212232ηηηη−+−k ． （C ）)()(212213132ηηηηηη−+−++k k ．（D ）)()(213312232ηηηηηη−+−+−k k ．16．（12）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=4433221111,11,10,00c c c c αααα，其中4321,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A ）321,,ααα．（B ）421,,ααα．（C ）431,,ααα．（D ）432,,ααα．二．填空题：1． （02）设向量组α 1 = (a , 0, c ) , α 2 = (b , c , 0) , α 3 = (0, a , b )线性无关，则a , b , c 必满足关系式 ．2． （02）设三阶矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=403212221A ，三维列向量⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11a α．已知A α 与α 线性相关，则a = ．3． （05）设行向量组 (2, 1, 1, 1), (2, 1, a , a ), (3, 2, 1, a ), (4, 3, 2, 1) 线性相关，且a ≠ 1，则a = ．三．解答题：1． （95）设A 是m × n 矩阵，B 是n × m 矩阵，E 是n 阶单位矩阵（m > n ），已知BA = E ，试判断A 的列向量组是否线性相关？为什么？ 2． （95）k 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=++−=++42,,43212321321x x x k x kx x kx x x 有唯一解、无解、有无穷多组解？在有解的情况下，求出其全部解．3． （96）已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−−−−=+++−=+−+=+−+,6,1723,1462,0324321432143214321t x x x x x px x x x x x x x x x x 讨论参数p , t 取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解．4． （98）设已知下列非齐次线性方程组（I ），（II ），（I ）⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−−−−=−+,33,14,623214321421x x x x x x x x x x （II ）⎪⎩⎪⎨⎧+−=−−=−−=−−+.12,112,434324321t x x x x nx s x x mx x（1）求解方程组（I ），用其导出组的基础解系表示通解；（2）当方程组（II ）中的参数m , n , s , t 为何值时，方程组（I ）与（II ）同解． 5． （99）已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0,0322212321321x c x b x a cx bx ax x x x （1）a , b , c 满足何种关系时，方程组仅有零解？（2）a , b , c 满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解．6． （00）设向量组α 1 = (a , 2, 10)T , α 2 = (−2, 1, 5)T , α 3 = (−1, 1, 4)T , β = (1, b , c )T ．试问：满足什么条件时，（1）β 可由α 1, α 2, α 3线性表出，且表示唯一？ （2）β 不能由α 1, α 2, α 3线性表出？（3）β 可由α 1, α 2, α 3线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式． 7． （02）设四元齐次线性方程组（I ）为⎩⎨⎧=−++=−+,02,0324321321x x x x x x x 且已知另一四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为 α 1 = (2, −1, a +2, 1)T , α 2 = (−1, 2, 4, a +8)T ，（1）求方程组（I ）的一个基础解系；（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解． 8． （02）设齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++,0,0,0321321321nn n ax bx bx bx bx bx ax bx bx bx bx ax L L L L L L L L L L 其中a ≠ 0, b ≠ 0, n ≥ 2．试讨论a , b 为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解． 9． （03）设向量组（I ）：α 1 = (1, 0, 2)T , α 2 = (1, 1, 3)T , α 3 = (1, −1, a +2)T 和向量组（II ）：β 1 = (1, 2, a +3)T ,β 2 = (2, 1, a +6)T , β 3 = (2, 1, a +4)T ．问：a 为何值时，向量组（I ）与向量组（II ）等价；a 为何值时，向量组（I ）与向量组（II ）不等价． 10．（03）已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211n n n n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 其中01≠∑=ni i a ，试讨论a 1 , a 2 , …, a n 和b 满足何种关系时，（1）方程组仅有零解；（2）方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．11．（04）设α1 = (1, 2, 0)T ，α 2 = (1, a + 2, −3a )T ，α 3 = (−1, −b − 2, a + 2b )T ，β = (1, 3, −3)T ，试讨论a , b 为何值时，（1）β 不能由α1 , α 2 , α 3线性表示；（2）β 可由α1 , α 2 , α 3唯一地线性表示，并求出表达式；（3）β 可由α1 , α 2 , α 3线性表示，但表达式不唯一，并求出表达式．12．（04）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++.14)4()2(3,022,0432143214321x x x x x x x x x x x x µλµλ 已知 (1, −1, 1, −1)T 是该方程组的一个解，试求（1）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； （2）该方程组满足x 2 = x 3的全部解． 13．（05）已知齐次线性方程组（i ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0532,032321321321ax x x x x x x x x 和 （ii ）⎩⎨⎧=+++=++0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a , b , c 的值．14．（06）设4维向量组α 1 = (1 + a , 1, 1, 1)T , α 2 = (2, 2 + a , 2, 2)T , α 3 = (3, 3, 3 + a , 3)T , α 4 = (4, 4, 4, 4 + a )T ，问a 为何值时α 1 , α 2 , α 3 , α 4线性相关？当α 1 , α 2 , α 3 , α 4线性相关时，求一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．15．（07）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++04,02,03221321321x a x x ax x x x x x ①与方程x 1 + 2x 2 + x 3 = a − 1 ②有公共解，求a 的值及所有公共解．16．（08）设n 元线性方程组AX = b ，其中nn a a a aa A ×⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2121222O O O ，X = (x 1, …, x n)T ，b = (1, 0, …, 0)T， （1）证明行列式 | A | = (n + 1)a n ；（2）a 为何值，方程组有唯一解，求x 1； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，求通解．17．（09）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=240111111A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=2111ξ， （1）求满足12ξξ=A ，132ξξ=A 的所有向量32,ξξ； （2）对（1）中任一向量32,ξξ，证明321,,ξξξ线性无关．18．（10）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=λλλ1101011A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11a b ．已知线性方程组b Ax =存在两个不同的解，（1）求a ,λ；（2）求方程组b Ax =的通解．19．（11）T T T )5,3,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321===ααα不能由T T T a )5,3,1(,)3,2,1(,)1,,1(321===βββ线性表出．（1）求a ；（2）将321,,βββ由321,,ααα线性表出．20．（12）设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=100100010001a a a a A ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=0011b ， （1）求||A ；（2）已知线性方程组b Ax =有无穷多解，求a ，并求b Ax =的通解．第四章 向量空间一．选择题：1． （00）设A 为n 阶实矩阵，A T 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）：AX = O 和（Ⅱ）：A T AX = O ，必有（ ） （A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解． （B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解． （C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解． （D ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解． 二．填空题：1． （04）设A = (a i j ) 3×3是实正交矩阵，且a ii = 1, b = (1, 0, 0)T ，则线性方程组AX = b 的解是 ． 三．解答题：1． （01）设α i = (a i 1 , a i 2 , …, a in )T (i = 1, 2, …, r , r < n ) 是n 维实向量，且α 1, α 2, …, α r 线性无关．已知β = (b 1, b 2, …, b n )T 是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n rn r r nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L L L L L L L L L L 的非零解向量．试判断向量组α 1, α 2, …, α r , β的线性相关性．第五章 特征值与特征向量一．选择题：1． （95）n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）（A ）充分必要条件．（B ）充分而非必要条件．（C ）必要而非充分条件．（D ）既非充分也非必要条件．2． （95）设λ = 2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1231−⎟⎠⎞⎜⎝⎛A 有一特征值等于（ ）（A ）34．（B ）43．（C ）31．（D ）41．3． （99）设A , B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）（A ）λE − A = λE − B ．（B ）A 与B 有相同的特征值和特征向量． （C ）A 与B 都相似于同一个对角矩阵． （D ）对任意常数t ，tE − A 与tE − B 相似．4． （02）设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵．已知n 维列向量α 是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P −1AP )T 属于特征值λ 的特征向量是（ ）（A ）P −1α ． （B ）P T α ． （C ）P α ． （D ）(P −1)T α ．5． （03）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=001010100B ，已知矩阵A 相似于B ，则秩（A − 2E ）与秩（A − E ）之和等于（ ）（A ）2． （B ）3． （C ）4． （D ）5．6． （05）设λ1 , λ 2是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α 1 , α 2 ，则α1 , A (α 1 + α 2)线性无关的充分必要条件是（ ）（A ）λ1 = 0． （B ）λ 2 = 0． （C ）λ1 ≠ 0． （D ）λ 2 ≠ 0．7． （10）设A 为4阶实对称矩阵，且O A A =+2，若A 的秩为3，则A 相似于（ ）（A ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛0111． （B ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−0111． （C ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−0111． （D ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−0111． 二．填空题： 1． （00）若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为51,41,31,21，则行列式 | B −1 − E | = ． 2． （00）四阶矩阵A 相似于B ，A 的特征值为2, 3, 4, 5．E 为四阶单位矩阵，则 | B − E | = ．3． （08）设3阶矩阵A 的特征值1, 2, 2，则 | 4A −1 − E | = ．4． （08）设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式 | A | = 0，则A 的秩为 ．5． （09）设T T k ),0,1(,)1,1,1(==βα，若矩阵T αβ相似于⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛000000003，则=k ．三．解答题：1． （96）设有4阶方阵A 满足条件 | 3I + A | = 0 , AA T = 2B , | A | < 0 , | B | = 1，其中I 是4阶单位阵，求方阵A 的伴随矩阵A *的一个特征值．2． （97）设三阶实对称矩阵A 特征值是1, 2, 3；矩阵A 属于特征值1, 2的特征向量分别是α 1 = (−1, −1, 1)T ,α 2 = (1, −2, −1)T ，（1）求A 的属于特征值3的特征向量；（2）求矩阵A ．3． （97）设矩阵A 与B 相似，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=a A 33242111， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=b B 00020002， （1）求a , b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使P −1AP = B ．4． （98）设向量α = (a 1, a 2, …, a n )T , β = (b 1, b 2, …, b n )T 是非零向量且满足条件αT β = 0，记n 阶矩阵A =αβ T ，求：（1）A 2；（2）矩阵A 的特征值和特征向量．5． （99）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=3241223k k A ．问当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得P −1AP = B 为对角阵？并求出P 和相应的对角矩阵．6． （99）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=a c b c a A 01351，且 | A | = −1，又设A 的伴随矩阵A *有特征值λ 0，属于λ 0的特征向量为α = (−1, −1, 1)T ，求a , b , c 及λ 0的值．7． （00）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=5334111y x A ，已知A 有三个线性无关的特征向量，λ = 2是A 的二重特征值．试求可逆矩阵P ，使得P −1AP 为对角形矩阵．8． （01）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111111a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=211β． 已知线性方程组AX = β 有解但不唯一，试求： （1）a 的值，（2）正交矩阵Q ，使Q T AQ 为对角矩阵．9． （02）设实对称阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=a a a A 111111，求可逆矩阵P ，使P −1AP 为对角形矩阵，并计算行列式 | A − E |的值．10．（03）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=a A 11121112可逆，向量⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11b α是矩阵A *的一个特征向量，λ 是α 对应的特征值，其中A *是矩阵A 的伴随矩阵．试求a , b 和λ 的值．11．（04）设三阶实对称矩阵A 的秩为2，λ1 = λ2 = 6是A 的二重特征值．若α1 = (1, 1, 0)T , α 2 = (2, 1, 1)T , α 3 = (−1, 2, −3)T 都是A 的属于特征值6的特征向量．（1）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵A ．12．（04）设n 阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111L L L L L L L b b b b b b A ． （1）求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P ，使得P −1AP 为对角矩阵．13．（05）设A 为三阶矩阵，α 1 , α 2 , α 3是线性无关的三维列向量，且满足A α 1 = α 1 + α 2 + α 3 , A α 2 = 2α 2 + α 3 , A α 2 = 2α 2 + 3α 3 ，（1）求矩阵B ，使得A (α 1 , α 2 , α 3) = (α 1 , α 2 , α 3)B ；（2）求矩阵A 的特征值；（3）求可逆矩阵P ，使得P −1AP 为对角矩阵．14．（06）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量α 1 = (−1, 2, −1)T , α 2 = (0, −1, 1)T 是线性方程组AX = θ 的两个解．（1）求A 的特征值与特征向量；（2）求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ，使得Q T AQ = Λ；（3）求A 及6)23(E A −，其中E 为3阶单位矩阵． 15．（07）设3阶实对称矩阵A 的特征值 λ1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = −2，α1 = (1, −1, 1)T 是A 的属于λ1的一个特征向量．记B = A 5 − 4A 3 + E ，其中E 为3阶单位矩阵．（1）验证α1是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（2）求矩阵B ．16．（08）设A 为3阶矩阵，α 1, α 2为A 的分别属于特征值−1, 1的特征向量，向量α 3满足A α 3 = α 2 + α 3，（1）证明α 1, α 2, α 3线性无关；（2）令P = (α 1, α 2, α 3)，求P −1AP ． 17．（10）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=0431410a a A ，正交矩阵Q 使得AQ Q T 为对角矩阵，若Q 的第1列为T )1,2,1(61，求Q a ,．18．（11）A 为三阶实对称矩阵，2)(=A R ，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−110011110011A ．（1）求A 的特征值与特征向量；（2）求A ．第六章 二次型一．选择题：1． （07）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=211121112A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000010001B ，则A 与B （ ）（A ）合同，且相似．（B ）合同，但不相似．（C ）不合同，但相似．（D ）既不合同，也不相似．2． （08）设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1221A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） （A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−2112．（B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−2112．（C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2112．（D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−1221．二．填空题：1． （97）若二次型f (x 1, x 2, x 3) = 2x 12 + x 22 + x 32 + 2x 1x 2 + tx 2x 3是正定的，则t 的取值范围是 ．2． （04）二次型f (x 1, x 2, x 3) = (x 1 + x 2)2 + (x 2 − x 3)2 + (x 3 + x 1)2的秩为 ．3． （11）设二次型Ax x x x x f T =),,(321的秩为1，A 中行元素之和为3，则f 在正交变换Qy x =下的标准型为 ．三．解答题：1． （95）设二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 22 + x 32 + 2α x 1x 2 + 2β x 2x 3 + 2x 1x 3，经正交变换X = PY 化成f = y 22 +2y 32，其中X = (x 1, x 2, x 3)T 和Y = (y 1, y 2, y 3)T 是三维列向量，P 是3阶正交矩阵，试求常数α, β．2． （98）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101020101A ，矩阵B = (kE + A )2，其中k 为实数，E 为单位矩阵，求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵．3． （99）设A 为m × n 实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵B = λE + A T A ，试证：当λ > 0时，B 为正定矩阵．4． （00）设有n 元实二次型f (x 1, x 2, …, x n ) = (x 1 + a 1x 2 ) 2 + (x 2 + a 2x 3 ) 2 + … + (x n −1 + a n −1x n ) 2 + (x n + a n x 1 ) 2，其中a i (i = 1, 2, …, n )为实数．试问：当a 1, a 2, …, a n 满足何种条件时，二次型f (x 1, x 2, …, x n )为正定二次型．5． （01）设A 为n 阶实对称矩阵，秩(A ) = n ，A ij 是A = (a ij )n ×n 中元素a ij 的代数余子式（i , j = 1, 2, …, n ）， 二次型j i n i n j ijn x x A A x x x f ∑∑===1121),,,(L ．（1）记X = (x 1, x 2, …, x n )T ，把f (x 1, x 2, …, x n )写成矩阵形式，并证明二次型f (X )的矩阵为A −1；（2）二次型g (X ) = X T AX 与f (X )的规范形是否相同？说明理由．6． （02）设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件A 2 +2A = O ，已知A 的秩r (A ) = 2．（1）求A 的全部特征值；（2）当k 为何值时，矩阵A + kE 为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵．7． （03）设二次型)0(222),,(312322211321>+−+==b x bx x x x a AX X x x x f T 中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12−．（1）求b a ,的值；（2）利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用正交变换和对应的正交矩阵．8． （05）设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B C C A D T 为正定矩阵，其中B A ,分别为m 阶、n 阶对称矩阵，C 为n m ×矩阵， （1）计算DP P T ，其中⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−n m E O C A E P 1； （2）利用（1）的结果判断矩阵C A C B T 1−−是否为正定矩阵，并证明你的结论．9． （09）设二次型323123222132122)1(),,(x x x x x a ax ax x x x f −+−++=， （1）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（2）若二次型),,(321x x x f 的规范型为2221y y +，求a 的值． 10．（12）已知矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=1001110101a a A ，T A 为矩阵A 的转置，二次型x A A x x x x f T T )(),,(321=的秩为2．（1）求实数a的值；x=将二次型f化为标准型．（2）求正交变换Qy。
《线性代数》第3章习题解答(rr)
1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解:∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4T T=-----=-∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]TTTαα+=-+-=2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα==3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α解:∵ 1236325αααα=+-[6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24],T T TT=+--=∴ [1,2,3,4].T α=3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ==== 时， 11220m m k k k ααα+++= 成立， 则向量组12,,m ααα 线性相关解：不正确.如：[][]121,2,3,4T Tαα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。
(2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k 使11220,m m k k k ααα+++≠ 则向量组12,,,m ααα 线性无关。
解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,TTk αα====存在k 使121220,,.αααα+≠但显然线性相关(3) 如果向量组12,,,m ααα 线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解： 正确。
（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m ααα 线性相关，与题没矛盾。
(4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。
解：不正确。
例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,TTTααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。
线性代数历年考研真题
−1 (B)P1 P2
(C)P2 P1
−1 (D)P2 P1
21.【11数三】设A为4 × 3矩阵, η1 , η2 , η3 是非齐次线性方程组Ax = β 的三个线性无关的解, k1 , k2 为任意实数, 则Ax = β 的通解为(
η3 (A) η2 + + k1 (η2 − η1 ) 2 η3 (C) η2 + + k1 (η3 − η1 ) + k2 (η2 − η1 ) 2
(B)仅含一个非零解向量 (D)含有三个线性无关的解向量
9.【05数一/二/三】设λ1 , λ2 是矩阵A的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为α1 , α2 , 则α1 , A(α1 + α2 )线性无关的充要条件是( (A)λ1 ̸= 0 (B)λ2 ̸= 0 (C)λ1 = 0 ). (D)λ2 = 0
12.【07数一/二/三/四】设向量组α1 , α2 , α3 线性无关, 则下列向量组中线性无关的是( (A)α1 − α2 , α2 − α3 , α3 − α1 (C)α1 − 2α2 , α2 − 2α3 , α3 − 2α1 (B)α1 + α2 , α2 + α3 , α3 + α1
(D)α1 + 2α2 , α2 + 2 α3 , α 3 + 2 α1 2 −1 −1 1 0 0 13.【07数一/二/三/四】设矩阵A = −1 2 −1 , B = 0 1 0 , 则A与B ( −1 −1 2 0 0 0 (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)既不合同也不相似 14.【08数一/二/三/四】设A为n阶非零矩阵, 且A3 = O, 则( (A)E − A不可逆, E + A不可逆 (C)E − A可逆, E + A可逆 ).
线性代数课本第三章习题详细答案
第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。
线性代数第3章习题解答
Cauchy 中值定理
F(x)x
洛必达法则
型
f g1g1 f 1g1 f
0型 0 型
00,1,0型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
Lagrange f(a)f(b)
中值定理
Rolle 定理
n0
Taylor 中值定理
泰勒公式
导数的应用
,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
几何解释： 曲线 y = f (x) 至少有一条切线平行于
连接曲线端点的弦。
.
线性代数第3章习题解答
柯西中值定理：
若 f(x若 )和 F 1f((x x)):: (1)在 闭 区[a间 ,b]上 连 续 ；
(2在 ) 开区 (a,间 b)内可导；
(F 3 (x ) 0 x ( a ,b ).
.
则 至 少 存在 (一 a,b)， 点使 得
定 理2 如 果 f(x)在 (x0,x0)内 存 在 二 阶 导 数,则点x0,f(x0)是拐点的必要条件是
f"(x0)0.
线性代数第3章习题解答
方法1: 设函f数 (x)在x0的邻域内二, 阶可导 且f(x0)0, (1 )x 0 两f近 (x )变 ,点 旁 (x 号 0 ,f(x 0 )即 ) 为 ; (2 )x 0 两f( 近 x ) 不 旁 ,点 变 (x 0 ,f(x 0 ) 号 不 ) .是
线性代数第3章习题解答
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
定理(必要条件) 设 f(x )在 点 x 0 处 具 有 导 数 ,且 在 x 0 处 取 得 极 值 ,那 末 必 定 f'(x 0 ) 0 .
线性代数2001-2009年考研真题
线性代数2001-2009年考研真题线性代数作为高等数学的重要分支，在考研数学中占据着举足轻重的地位。
通过对 2001 2009 年线性代数考研真题的研究，我们能够发现一些具有规律性和代表性的考点与题型，这对于备考的同学来说具有重要的指导意义。
在这九年的真题中，向量组的线性相关性是一个频繁出现的考点。
向量组的线性相关性是理解线性空间结构的基础，经常以证明题或者计算题的形式出现。
例如，给定一组向量，判断它们是否线性相关，或者根据已知的线性相关性条件求解某些参数的值。
要解决这类问题，关键是要掌握线性相关和线性无关的定义及判定定理，熟练运用矩阵的秩、行列式等工具进行计算和推理。
矩阵的特征值和特征向量也是一个重点。
真题中常常要求求出给定矩阵的特征值和特征向量，或者利用特征值和特征向量的性质来解决相关问题。
在求解特征值时，需要正确计算矩阵的特征多项式，并求解其根。
而对于特征向量，则需要将特征值代入方程组中求解。
线性方程组的求解一直是线性代数中的核心内容。
在考研真题中，既有单纯求解线性方程组的题目，也有将线性方程组与其他知识点综合起来考查的情况。
对于齐次线性方程组，要理解其有非零解的条件以及基础解系的概念；对于非齐次线性方程组，则要掌握其解的结构和求解方法。
矩阵的运算和变换也是常见的考点。
包括矩阵的乘法、逆矩阵的求解、矩阵的初等变换等。
这些运算和变换不仅在单独的题目中出现，还经常在其他题型中作为解题的工具和手段。
另外，二次型也是一个不容忽视的部分。
真题中可能要求将二次型化为标准形，或者利用二次型的正定性质来判断参数的取值范围等。
这需要掌握二次型的矩阵表示，以及通过正交变换或配方法将其化为标准形的方法。
通过对 2001 2009 年真题的分析，我们可以发现，线性代数的知识点之间相互关联，综合性较强。
因此，在备考过程中，不能孤立地学习各个知识点，而要注重它们之间的联系和综合运用。
在解题时，要养成良好的解题习惯。
2004-2015年考研线代试题整理(数三)(学生复印)
c1， c2， c3 ， c4为任意常数，则下列向量组线性相关的是（
（A） 1 ， 2， 3 （C） 1 ， 3， 4 （B） 1 ， 2， 4 （D） 2， 3， 4
2010 年每小题 4 分(5) 设向量组Ⅰ： 1， 2， 下列命题正确的是 （A）若向量组Ⅰ线性无关，则 r s （C）若向量组Ⅱ线性无关，则 r s
2 1 0 (A) 1 1 0 . 0 0 2 2 0 0 (C) 0 1 0 . 0 0 2
1 1 0 (B) 1 2 0 . 0 0 2 1 0 0 (D) 0 2 0 . 0 0 2
*
O A | A | 2,| B | 3 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为 B O
(A)
O 2A O 2B
* *
3B* . O 3 A* . O
2
(B)
O 3A O 3B
* *
2 B* . O 2 A* . O
(A) a , d
)
(B) a , d
(C) a , d (D) a , d
1 2 3 4 2014 年（20） （本题满分 11 分）设 A 0 1 1 1 ， E 为 3 阶单位矩阵。 1 2 0 3
4.3 向量组的秩 4.4 线性方程组的解的结构
1 1 1 1 2015 年每小题 4 分(5)设矩阵 A 1 2 a , b d .若集合 1, 2 ，则线性方程组 1 4 a 2 d2
Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 (
1 （A） 2 1 2 （C） 1 2
考研数学三线性代数(向量)-试卷1
考研数学三线性代数（向量）-试卷1(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，都有k 1α1 +k 2α2+…+k sαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关．B.若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，都有k 1α1 +k 2α2+…+k sαs =0．√C.α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为sD.α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关解析：解析：选项A的条件即齐次线性方程组x 1a 1+x 2a 2+…+x s a s=0 只有零解，故α1，α2，…，αs线性无关，A选项正确．对于选项B，由α1，α2，…，αs线性相关知，齐次线性方程组 x 1α1 +x 2α2+…+x sαs =0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项B是错误的．选项C是教材中的定理．由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项D也是正确的．综上可知，应选B．3.设A是m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是( )（分数：2.00）A.A的列向量线性无关．√B.A的列向量线性相关．C.A的行向量线性无关．D.A的行向量线性相关．解析：解析：齐次线性方程组Ax=0的向量形式为x 1α1+x 2α2+…+x nαn=0，其中α1，α2，…，αn为A的x个m维的列向量．由Ax=0只有零解α1，α2，…，αn线性无关．可知选项A 正确．对于选项C、D，只要m＜n，不管A的行向量线性相关性如何，该齐次线性方程组都必有非零解，故C、D均不正确．所以应选A．4.设则三条直线a 1 x+b 1 y+c 1 =0，a 2 x+b 2 y+c 1 =0，a 3 x+b 3 y+c 3 =0(其中i=1，2，3)交于一点的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.α1，α2，α3线性相关B.α1，α2，α3线性无关C.r(α1，α2，α3 )=r(α1，α2 )．D.α1，α2，α3线性相关，α1，α2线性无关．√解析：解析：三直线交于一点的充分必要条件是以下线性方程组或 xα1 +yα2 +α3， (2) 有唯一解．由(2)式可得α3 =-xα1 -yα2而方程组(2)(或(1))有唯一解α3可由α1，α2线性表示，且表示式唯一．α1，α2，α3线性相关，α1，α2线性无关．所以应选D．5.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（分数：2.00）A.α1 -α2，α2 -α3，α3 -α1√B.α1 +α2，α2 +α3，α3 +α1C.α1 -2α2，α2 -2α3，α3 -2α1D.α1 +2α2，α2 +2α3，α3 +2α1解析：解析：利用向量组线性相关的定义，令 x 1 (α1 -α2 )+x 2 (α2 -α3 )+x 3 (α3 -α1 )=0，(x 1，x 2，x 3为不全为零的实数) 可得(x 1 -x 3 )α1 +(-x 1 +x 2 )α2 +(-x 2 +x 3 )α3 =0 又已知α1，α2，α3线性无关，则则齐次线性方程组(母)有非零解，故α1 -α2，α2 -α3，α3 -α1线性相关．故应选A．6.若α1，α2线性无关，β是另外一个向量，则α1 +β与α2 +β( )（分数：2.00）A.线性无关．B.线性相关．C.即线性相关又线性无关．D.不确定．√解析：解析：例如，令α1=(1，1)，α2=(0，2)，β=(-1，-1)，则α1，α2线性无关，而α1+β=(0，0) 与α2 +β=(-1，1)线性相关．如果设β=(0，0)，那么α1 +β与α2 +β却是线性无关的．故选D7.已知向量组α1，α2，α3，α4，α5的一个极大无关组为( )（分数：2.00）A.α1，α3B.α1，α2C.α1，α2，α5D.α1，α3，α5√解析：解析：对以α1，α2，α3，α4，α5为列向量的矩阵作初等行变换，有α1，α3，α5是一个极大无关组，且α2 =α1 +3α5，α4 =α1 +α3 +α58.设α1 =(1，2，3，1) T，α2 =(3，4，7，-1) T，α3 =(2，6，0，6) T，α4 =(0，1，3，a) T，那么a=8是α1，α2，α3，α4线性相关的( )（分数：2.00）A.充分必要条件．B.充分而非必要条件．√C.必要而非充分条件．D.既不充分也非必要条件解析：解析：n个n维向量线性相关性一般用行列式｜α1，α1，…αn｜是否为零去判断．因为｜α1，α1，…，α4｜因此，当a=8时，行列式｜α1，α2，…，α4｜=0，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，但a=2时仍有行列式｜α1，α2，…，α4｜=0，所以a=8是向量组α1，α2，α3，α4线性相关的充分而非必要条件．9.设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则( )（分数：2.00）A.αm不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．B.αm不能由(Ⅰ)线性表示，但可以由(Ⅱ)线性表示．√C.αm可以由(Ⅰ)线性表示，也可以由(Ⅱ)线性表示．D.αm可以由(Ⅰ)线性表示，但不能由(Ⅱ)线性表示．解析：解析：按题意，存在组实数k 1，k 2，…，k m使得 k 1α1 +k 2α2+…+k mαm =β (*) 且必有k m≠0．否则与β不能由α1，α2，…，αm-1线性表示相矛盾，从而即αm可由向量组(Ⅱ)线性表示，排除选项A、D．若αm可以由(Ⅰ)线性表示，即存在实数l 1，l 2，…，l m-1，使得αm =l 1α1 +l 2α2+…+l m-1αm-1，将其代入(*)中，整理得β=(k 1 +k m l 1 )α1 +(k 2 +k m l 2 )α2+…+(k m-1 +k m l m-1 )αm-1，这与题设条件矛盾．因而αm不能由向量组(Ⅰ)线性表示，排除选项C.10.已知四维向量组α1，α2，α3，α4线性无关，且向量β1 =α1 +α3 +α4，β2 =α2 -α4，β3 =α3 +α4，β4 =α2 +α3，β5 =2α1 +α2 +α3．则r(β1，β2，β3，β4，β5 )=( )（分数：2.00）A.1．B.2．C.3．√D.4．解析：解析：将表示关系合并成矩阵形式有 (β1，β2，β3，β4，β5 )=(α1，α2，α3，α4) 因4个四维向量α1，α2，α3，α4线性无关，故｜α1，α2，α3，α4｜≠0．A=(α1，α2，α3，α4)是可逆矩阵，A左乘C，即对C作若干次初等行变换，故有r(C)=r(AC)=r(AC)=r(β1，β2，β3，β4，β5故知r(β1，β2，β3，β4，β5 )=r(C)=3，因此应选C.11.设A是n阶方阵，且｜A｜=0，则A中( )（分数：2.00）A.必有一列元素全为0．B.必有两列元素对应成比例．C.必有一列向量是其余列向量的线性组合．√D.任一列向量是其余列向量的线性组合．解析：解析：对于方阵A(列)向量组的秩小于n，所以A的列向量组必然线性相关，再由向量组线性相关的充分必要条件可知，其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选C．选项A、B仅是｜A｜=0的充分条件，故均不正确．由向量组线性相关的充分必要条件之“至少存在一个向量可用其余向量线性表示”可知，D也不正确．二、填空题(总题数：7，分数：14.00)12.如果β=(1，2，t) T可以由α1 =(2，1，1) T，α2 =(-1，2，7) T，α3 =(1，-1，-4) T线性表示，则t的值是 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：β可以由向量组α1，α2，α3线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组x 1α1+x 2α2 +x 3α3 =β有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此t-5=0，即t=5．13.设x为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E—xx T的秩为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由题设知，矩阵xx T的特征值为0，0，1，故E-xx T的特征值为1，1，0．又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即r(E-xx T )=2．14.向量组α1 =(1，0，0)，α2 =(1，1，0)，α3 =(-5，2，0)的秩是 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：对向量组构成的矩阵进行初等变换，变为阶梯形矩阵，其不全为0的行向量的个数就是向量，因此秩是2．15.已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=r，r(α1，α2，…，αs，γ)=r+1，则r(α1，α2，…，αs，β，γ)= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：r+1）解析：解析：已知r(α1，α2，…，αs )=r(α1，α2，…，αs，β)=r，表明向量β可以由向量组α1，α2，…，αs线性表示，但是r(α1，α2，…，αs，γ)=r+1，则表明向量γ不能由向量组α1，α2，…，αs线性表示，因此通过对向量组α1，α2，…，αs，β，γ作初等列变换，可得 (α1，α2，…，αs，β，γ)=(α1，α2，…，αs，0，γ)，因此可得r(α1，α2，…，αs，β，γ)=r+1．16.设α1 =(1，2，1) T，α2 =(2，3，a) T，α3 =(1，a+2，-2) T，若β1 =(1，3，4) T可以由α1，α2，α3线性表示，但是β2 =(0，1，2) T不可以由α1，α2，α3线性表示，则a= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：根据题意，β1 =(1，3，4) T可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x 1α1 +x 2α2 +x 3α3 =β1有解，β2 =(0，1，2) T不可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x 1α1 +x 2α2 +x 3α3 =β无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起做矩阵的初等变换，即因此可知，当a=-1时，满足方程组x 1α1 +x 2α2 +x 3α3 =β有解，方程组x 1α1 +x 2α2 +x 3α3 =β2无解的条件，故a=-1．17.已知α1 =(1，4，2) T，α2 =(2，7，3) T，α3 =(0，1，a) T可以表示任意一个三维向量，则a 的取值是 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：a≠1）解析：解析：α1，α2，α3可以表示任一个3维向量，因此向量α1，α2，α3与ε1 =(1，0，0) T，ε2 =(0，1，0) T，ε=(0，0，1) T是等价向量，因此α1，α2，α3的秩为3，即｜α1，α2，α3｜≠0，于是因此a≠1．18.与α1 =(1，2，3，-1) T，α2 =(0，1，1，2) T，α3 =(2，1，3，0) T都正交的单位向量是 1 （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：已知，若向量α，β正交，则内积αTβ=0，设β=(x 1，x 2，x 3，x 4 ) T与α1，α2，α3均正交，那么对以上齐次方程组的系数矩阵作初等行变换，有得到基础解系是(-1，-1，1，0) T，将这个向量单位化得，即为所求向量．三、解答题(总题数：7，分数：20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研线性代数历年真题详解
第一章 行列式1．（95，九题，6分）设A 是n 阶矩阵，满足T AA E =（E 是n 阶单位阵，T A 是A 的转置矩阵，|A |<0，求|A +E |。
【分析】由矩阵等式T AA E =求抽象矩阵A +E 的行列式，联想到利用此等式条件，则有两种方法：①将T E AA =直接代入要计算的行列式中。
②“凑”出可利用已知矩阵等式中左端的形式T AA ，再将T AA E =代入计算。
像这种矩阵运算与行列式计算结合考查的题型，应注意. 【详解】 根据T AA E =有|||||()|||||||||,||||0.||0,||0T T A E A AA A E A A E A A A E A A E A A E +=+=+=+=++=>+=于是(1-)因为1-故2．（96，选（5）题，3分）四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值等于(A) 12341234a a a a b b b b - (B) 12341234a a a a b b b b + (C) 12123434()()a a b b a a b b -- (D) 23231414()()a a b b a a b b --【 】 【答】应选（D ） 【分析】本题是根据行列式展开定理按照第一行展开计算求解的，也可以按照拉普拉斯展开定理进行计算分析，解答本题有一定的技巧性 【详解】按第一行展开，原式＝22222222133133141433334400000000a b a b a b a b a b a b b a a a b b b a b a a b ⋅-⋅=-23231414()()a a b b a a b b =--故正确选项为（D ）3．（99，选（4）题，3分）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（A ）当m>n 时，必有行列式|||0AB ≠. （B ）当m>n 时，必有行列式|||0AB =. （C ）当n>m 时，必有行列式|||0AB ≠. （D ）当n>m 时，必有行列式|||0AB =. 【 】 【答】应选（B ） 【分析】四个选项在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，所以最终只要判断AB 是否满秩即可。
线性代数第三章习题及解答
− 20 83
5 83
− 17 83
0 1 0
0 0 1
−2
0
−7 2 − 21 4
−1 2
ξ = (2, 14, −21, 4)
10. 求下列非齐次线性方程组的一般解 2x + 7x2 + 3x3 + x4 =6 1 (1) 3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4 9x + 4x + x + 7x =2 1 2 3 4 2 7 3 1 6 2 7 解 3 5 2 2 4 −→ 1 −2 1 9 4 −2 1 7 5 −10 2 1 −1 2 0 11 0 −22 −1 1
性表示为
(β1 , β2 , . . . , βr ) = (α1 , α2 , . . . , αs )K,
其中 K 为 s × r 矩阵，且 A 向量组线性无关，证明：向量组 B 线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩为 r 证明： (=⇒) 因为向量组 B 线性无关， 于是 R(β1 , . . . , βr ) = r, 注 意到 r = R(B ) ≤ R(K ) ≤ r 那么 R(K ) = r
一个向量 αk (2 ≤ k ≤ m) 使得 αk 能由 α1 , α2 , . . . , αk−1 线性表示. 证明：反证若 ∀αk 都不能被 α1 , α2 , . . . , αk−1 线性表示，于是对 于 k1 α1 + k2 α2 + · · · + km αm = 0，则 km = 0, 若否 αm 可以被前面
43
3 5 5
线性代数考研习题归类汇总-向量
如果存在实数$k_1, k_2, ldots, k_n$使得$mathbf{b} = k_1mathbf{a}_1 + k_2mathbf{a}_2 + ldots + k_nmathbf{a}_n$， 则称$mathbf{b}$可由向量$mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ldots, mathbf{a}_n$线性表示。
向量的混合积是指三个向量的乘积， 结果为一个标量。
02
向量的线性运算
向量的加法与数乘
向量的加法
设$mathbf{a} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$，$mathbf{b} = (b_1, b_2, ldots, b_n)$，则$mathbf{a} + mathbf{b} = (a_1+b_1, a_2+b_2, ldots, a_n+b_n)$。
向量组的线性相关性
线性相关
如果存在不全为零的实数$k_1, k_2, ldots, k_n$使得$k_1mathbf{a}_1 + k_2mathbf{a}_2 + ldots + k_nmathbf{a}_n = mathbf{0}$，则称向量组$mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ldots, mathbf{a}_n$线性相 关。
03
线性方程组解的结构 与判别式的关系
判别式是用于确定线性方程组解的个 数的工具，而线性方程组解的结构则 是方程组解的具体表现形式，两者之 间存在密切联系。
04
向量的内积与外积
向量的点积与向量的叉积
向量的点积
点积定义为两个向量的对应分量相乘后求和，即 $a·b=a_1b_1+a_2b_2+cdots+a_nb_n$。点积的结果是一个标量。
线代第三章答案1-3
综合练习题三（A）
1． 填空题： （1） 如 果 向 量 α ＝（1,1,2） ， α ＝ 3, t, 1 , α ＝（0，2，
t＝（5 或 2）
t） 线 性 相 关 ， 那 么
解：以α , α , α 为列作矩阵A α , α , α
13 0 1t 2 21 t
当|A|
13 0
10 0
1 t 2C C 1 t 3 2
0 11
10 1 01 1 0 0 11
kk 0 故k k 0
kk 0
kβ kβ kβ
有非零解 即存在不全为零的k ，k ，k 使得 0 故向量组β ，β ，β 线性相关。
习题 3.3
1． 求下列向量组的秩和一个极大无关组： （1） α ＝（1，1，0），α ＝（0，2，0），α ＝（0，0，3）；
3． 设向量组α α α 线性相关，α α α 线性无关，证明：
（1） α 能由α α 线性表示；
（2） α 不能由α α α 线性表示；
证明：（1）Q α α α 线性相关 ∴ 存在一组不全为零的k ，k ，k 使得k α ＋k α ＋k α ＝0
假设k 0，则α α 线性相关，从而α α α 线性相关，这与已知矛盾，故k 0
1) 当t 为何值时，向量组α , α , α 线性无关？
2) 当t 为何值时，向量组α , α , α 线性相关？
3） 当向量组α , α , α 线性相关时，将α 表示为α , α 的线性组合
解：以α α α 为列作矩阵 A，再作初等行变换
证明： Q α , α ， … , α 的秩为r
∴设 αi1 ,αi1 ,...αir 为 α , α ， … , α 的一个极大无关组。
线性代数2001-2009年考研真题
线性代数2001-2009年考研真题咱今天就来唠唠线性代数 2001 2009 年的考研真题。
这可真是个让人又爱又恨的东西啊！记得我当年考研复习线性代数的时候，那叫一个焦头烂额。
每天对着那些密密麻麻的数字和符号，感觉自己的脑袋都要炸了。
有一次，我做一道2005 年的真题，那是一道关于矩阵特征值和特征向量的问题。
题目给了一个三阶矩阵，让求它的特征值和对应的特征向量。
我当时一看，心里就犯嘀咕，这可咋整啊？硬着头皮开始算，吭哧吭哧写了好几页草稿纸，结果还是算错了。
那时候我就想，这线性代数咋就这么难呢？但没办法，还得继续啃啊！我重新拿起教材，把相关的知识点又仔细过了一遍，然后再去看那道错题，突然就发现了自己的问题所在。
原来是在计算行列式的时候，粗心大意算错了一个符号。
其实啊，咱们回过头来看看这些年的线性代数考研真题，会发现还是有规律可循的。
比如说，向量组的线性相关性、线性方程组的求解、矩阵的相似对角化等知识点，那是年年必考。
而且，出题的形式也都大同小异。
就拿 2001 年的一道真题来说，考的是线性方程组解的结构。
题目给出了一个含参数的线性方程组，让判断参数在不同取值下方程组解的情况。
这种类型的题目，关键就是要把方程组化成阶梯形，然后根据秩的情况来判断。
再看看 2003 年的真题，有一道是关于二次型的。
要求通过正交变换把二次型化成标准形，这就需要我们熟练掌握求特征值和特征向量的方法，然后进行正交化和单位化。
2007 年的真题里，有一道矩阵的运算题，看起来很复杂，但只要我们掌握了矩阵的基本运算规则，一步一步来，也能迎刃而解。
2009 年的真题中，有关于向量空间的问题。
这部分内容相对来说比较抽象，但只要我们理解了向量空间的定义和性质，结合具体的题目进行分析，也不是那么难。
总之，这些年的线性代数考研真题虽然各有各的特点，但核心知识点是不变的。
我们在复习的时候，一定要把基础打牢，多做真题，总结规律，这样才能在考场上应对自如。
考研数学历年真题线性代数的考点总结
考研数学历年真题线性代数的考点总结线代部分对很多备考的学子来说，最深刻感觉就是，抽象、概念多、定理多、性质多、关系多。
为大家精心准备了考研数学历年真题线性代数的要点，欢迎大家前来阅读。
?线性代数章节总结第一章行列式本章的考试重点是行列式的计算，考查形式有两种：一是数值型行列式的计算，二是抽象型行列式的计算.另外数值型行列式的计算不会单独的考大题，考选择填空题较多，有时出现在大题当中的一问或者是在大题的处理问题需要计算行列式，题目难度不是很大。
主要方法是利用行列式的性质或者展开定理即可。
而抽象型行列式的计算主要：利用行列式的性质、利用矩阵乘法、利用特征值、直接利用公式、利用单位阵进展变形、利用相似关系。
06、08、10、12年、13年的填空题均是抽象型的行列式计算问题，14年选择考了一个数值型的矩阵行列式，15、16年的数一、三的填空题考查的是一个n行列式的计算，今年数一、数二、数三这块都没有涉及。
第二章矩阵本章的概念和运算较多，而且结论比较多，但是主要以填空题、选择题为主，另外也会结合其他章节的知识点考大题。
本章的重点较多，有矩阵的乘法、矩阵的秩、逆矩阵、伴随矩阵、初等变换以及初等矩阵等。
其中06、09、11、12年均考查的是初等变换与矩阵乘法之间的相互转化，10年考查的是矩阵的秩，08年考的那么是抽象矩阵求逆的问题，这几年考查的形式为小题，而13年的两道大题均考查到了本章的知识点，第一道题目涉及到矩阵的运算，第二道大题那么用到了矩阵的秩的相关性质。
14的第一道大题的第二问延续了13年第一道大题的思路，考查的仍然是矩阵乘法与线性方程组结合的知识，但是除了这些还涉及到了矩阵的分块。
16年只有数二了矩阵等价的判断确定参数。
第三章向量本章是线代里面的重点也是难点，抽象、概念与性质结论比较多。
重要的概念有向量的线性表出、向量组等价、线性相关与线性无关、极大线性无关组等。
复习的时候要注意构造和从不同角度理解。