空间两点间距离公式含详解
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人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
已知空间三点A(1,2,4)、B(2,4,8)、C(3,6,12)，求证A、
B、C三点在同一条直线上．
人 教
B
版
[解析]
d(A，B)＝ (2－1)2＋(4－2)2＋(8－4)2＝ 21，
数 学
d(B，C)＝ (3－2)2＋(6－4)2＋(12－8)2＝ 21，
例．
第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
[例1] 证明以A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)为顶点的
△ABC是等腰三角形．
人 教
B
版
数
学
第二章 平面解析几何初步
求下列两点间的距离．
(1)A(－1，－2,3)、B(3,0,1)；
人 教
B
(2)M(0，－1,0)、N(－3,0,4)．
第二章 平面解析几何初步
(1)若点P(x，y，z)到A(1,0,1)、B(2,1,0)两点的距离相等，
则x，y，z满足的关系式是____________；
人 教
B
(2)若点A(2,1,4)与点P(x，y，z)的距离为5，则x、y、z
版 数
满足的关系式是____________；
学
(3)已知空间两点A(－3，－1,1)、B(－2,2,3)在Oz轴上
第二章 平面解析几何初步
人
教
B
版
2．4.2 空间两点的距离公式
数 学
第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
重点：空间两点间的距离公式．
第二章 平面解析几何初步
三、解答题
6．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3， CD＝4，|DD1|＝2，作DE⊥AC于E，求点B1到点E的距离．
人 教 B 版 数 学
化简得 2x＋2y－2z－3＝0.
人
教
(2) (x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝5，
B 版
数
∴(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25.
学
(3)设 C 点坐标为(0,0，z)，则
32＋12＋(z－1)2＝ 22＋(－2)2＋(z－3)2.
∴10＋(z－1)2＝8＋(z－3)2.解得 z＝32.
[答案] (0,0,0)或(2,0,0)
人 教
B
[解析] 设点A坐标为(x,0,0)，
版 数
学
解得x＝0或x＝2. ∴点A的坐标为(0,0,0)或(2,0,0)．
第二章 平面解析几何初步
5．已知点P在z轴上，且d(P，O)＝1(O是坐标原点)， 则点P到点A(1,1,1)的距离是________．
人
教
[解析] 设点 P 的坐标为(0,0，z)，
B 版
数
又 d(P，O)＝ (0－0)2＋(0－0)2＋(z－0)2＝1，
学
∴z＝±1，∴P(0,0,1)或(0,0，－1)．
∴d(P，A)＝ (1－0)2＋(1－0)2＋(1－1)2＝ 2，
或 d(P，A)＝ (1－0)2＋(1－0)2＋(1＋1)2＝ 6.
有一点C，它与A、B两点的距离相等，则C点的坐标是
____________．
第二章 平面解析几何初步
[答案] (1)2x＋2y－2z－3＝0 (2)(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
[解析] (1)由|PA|＝|PB|，
得 (x－1)2＋y2＋(z－1)2＝ (x－2)2＋(y－1)2＋z2.
第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
一、选择题
1．点 P 22， 33，－ 66到原点的距离是
()
人
30 A. 6
B．1
33 C. 6
35 D. 6
教 B 版
数
学
[答案] B
第二章 平面解析几何初步
2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是
()
A．|a|
B．|b|
教 B
版
B．以点(1,1，－1)为中心以 2为棱长的正方体内
数 学
C．以点(1,1，－1)为球心以 2 为半径的球面上
D．无法确定
[答案] C [解析] 由球面的定义可知，选C.
第二章 平面解析几何初步
二、填空题
4．已知点A在x轴上，点B(1,2,0)，且d(A，B)＝，则点
A的坐标是____________．
d(A，C)＝ (3－1)2＋(6－2)2＋(12－4)2＝2 21，
∴AB＋BC＝AC，故 A、B、C 三点共线．
第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
[例3] 求到两点A(2,3,0)、B(5,1,0)距离相等的点P的坐
标满足的条件．
人
教
B
版
数
学
第二章 平面解析几何初步
版 数
学
第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
[例2] 如图所示，在河的一侧有一塔CD＝5m，河宽
BC＝3m，另一侧有点A，AB＝4m，求点A与塔顶D的距离
人 教
B
AD.
版 数
学
第二章 平面解析几何初步
[解析] 以塔底C为坐标原点建立如下图所示的坐标
系．
则D(0,0,5)，A(3，－4,0)，
难点：空间两点间距离公式的推导．
由平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间距离公式可类比
得出空间两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间距离公式
人 教
B
|P1P2|＝
且空间两点间距离 版 数
公式中，当z1＝z2＝0时，就是xoy平面内两点间的距离公式，学
所以平面内两点间距离公式是空间中两点间距离公式的特
C．|c| [答案] [解析]
D．以上都不对
人 教
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
版 数
点P(a，b，c)在坐标平面xOy内的射影点P′(a，学
b,0)，∴点P到坐标平面xOy的距离即为|PP′|＝|c|.
第二章 平面解析几何初步
3．点 P(x，y，z)满足 (x－1)2＋(y－1)2＋(z＋1)2＝2，
则点 P 在
()
人
A．以点(1,1，－1)为球心以 2为半径的球面上
[解析] 设 P(x，y，z)，
则 PA＝ (x－2)2＋(y－3)2＋z2，
PB＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2.
人
教
∵PA＝PB，
B 版
数
∴ (x－2)2＋(y－3)2＋z2＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2.
学
化简得 6x－4y－13＝0.
∴点 P 的坐标满足的条件为 6x－4y－13＝0.
第二章 平面解析几何初步
已知空间三点A(1,2,4)、B(2,4,8)、C(3,6,12)，求证A、
B、C三点在同一条直线上．
人 教
B
版
[解析]
d(A，B)＝ (2－1)2＋(4－2)2＋(8－4)2＝ 21，
数 学
d(B，C)＝ (3－2)2＋(6－4)2＋(12－8)2＝ 21，
例．
第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
[例1] 证明以A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)为顶点的
△ABC是等腰三角形．
人 教
B
版
数
学
第二章 平面解析几何初步
求下列两点间的距离．
(1)A(－1，－2,3)、B(3,0,1)；
人 教
B
(2)M(0，－1,0)、N(－3,0,4)．
第二章 平面解析几何初步
(1)若点P(x，y，z)到A(1,0,1)、B(2,1,0)两点的距离相等，
则x，y，z满足的关系式是____________；
人 教
B
(2)若点A(2,1,4)与点P(x，y，z)的距离为5，则x、y、z
版 数
满足的关系式是____________；
学
(3)已知空间两点A(－3，－1,1)、B(－2,2,3)在Oz轴上
第二章 平面解析几何初步
人
教
B
版
2．4.2 空间两点的距离公式
数 学
第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
重点：空间两点间的距离公式．
第二章 平面解析几何初步
三、解答题
6．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3， CD＝4，|DD1|＝2，作DE⊥AC于E，求点B1到点E的距离．
人 教 B 版 数 学
化简得 2x＋2y－2z－3＝0.
人
教
(2) (x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝5，
B 版
数
∴(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25.
学
(3)设 C 点坐标为(0,0，z)，则
32＋12＋(z－1)2＝ 22＋(－2)2＋(z－3)2.
∴10＋(z－1)2＝8＋(z－3)2.解得 z＝32.
[答案] (0,0,0)或(2,0,0)
人 教
B
[解析] 设点A坐标为(x,0,0)，
版 数
学
解得x＝0或x＝2. ∴点A的坐标为(0,0,0)或(2,0,0)．
第二章 平面解析几何初步
5．已知点P在z轴上，且d(P，O)＝1(O是坐标原点)， 则点P到点A(1,1,1)的距离是________．
人
教
[解析] 设点 P 的坐标为(0,0，z)，
B 版
数
又 d(P，O)＝ (0－0)2＋(0－0)2＋(z－0)2＝1，
学
∴z＝±1，∴P(0,0,1)或(0,0，－1)．
∴d(P，A)＝ (1－0)2＋(1－0)2＋(1－1)2＝ 2，
或 d(P，A)＝ (1－0)2＋(1－0)2＋(1＋1)2＝ 6.
有一点C，它与A、B两点的距离相等，则C点的坐标是
____________．
第二章 平面解析几何初步
[答案] (1)2x＋2y－2z－3＝0 (2)(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
[解析] (1)由|PA|＝|PB|，
得 (x－1)2＋y2＋(z－1)2＝ (x－2)2＋(y－1)2＋z2.
第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
一、选择题
1．点 P 22， 33，－ 66到原点的距离是
()
人
30 A. 6
B．1
33 C. 6
35 D. 6
教 B 版
数
学
[答案] B
第二章 平面解析几何初步
2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是
()
A．|a|
B．|b|
教 B
版
B．以点(1,1，－1)为中心以 2为棱长的正方体内
数 学
C．以点(1,1，－1)为球心以 2 为半径的球面上
D．无法确定
[答案] C [解析] 由球面的定义可知，选C.
第二章 平面解析几何初步
二、填空题
4．已知点A在x轴上，点B(1,2,0)，且d(A，B)＝，则点
A的坐标是____________．
d(A，C)＝ (3－1)2＋(6－2)2＋(12－4)2＝2 21，
∴AB＋BC＝AC，故 A、B、C 三点共线．
第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
[例3] 求到两点A(2,3,0)、B(5,1,0)距离相等的点P的坐
标满足的条件．
人
教
B
版
数
学
第二章 平面解析几何初步
版 数
学
第二章 平面解析几何初步
人 教 B 版 数 学
第二章 平面解析几何初步
[例2] 如图所示，在河的一侧有一塔CD＝5m，河宽
BC＝3m，另一侧有点A，AB＝4m，求点A与塔顶D的距离
人 教
B
AD.
版 数
学
第二章 平面解析几何初步
[解析] 以塔底C为坐标原点建立如下图所示的坐标
系．
则D(0,0,5)，A(3，－4,0)，
难点：空间两点间距离公式的推导．
由平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间距离公式可类比
得出空间两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间距离公式
人 教
B
|P1P2|＝
且空间两点间距离 版 数
公式中，当z1＝z2＝0时，就是xoy平面内两点间的距离公式，学
所以平面内两点间距离公式是空间中两点间距离公式的特
C．|c| [答案] [解析]
D．以上都不对
人 教
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
版 数
点P(a，b，c)在坐标平面xOy内的射影点P′(a，学
b,0)，∴点P到坐标平面xOy的距离即为|PP′|＝|c|.
第二章 平面解析几何初步
3．点 P(x，y，z)满足 (x－1)2＋(y－1)2＋(z＋1)2＝2，
则点 P 在
()
人
A．以点(1,1，－1)为球心以 2为半径的球面上
[解析] 设 P(x，y，z)，
则 PA＝ (x－2)2＋(y－3)2＋z2，
PB＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2.
人
教
∵PA＝PB，
B 版
数
∴ (x－2)2＋(y－3)2＋z2＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2.
学
化简得 6x－4y－13＝0.
∴点 P 的坐标满足的条件为 6x－4y－13＝0.