立体几何中的轨迹问题

例析空间中点的轨迹问题的转化

求空间图形中点的轨迹既是中学数学学习中的一个难点，又是近几年高考的一个热点，这是一类立体几何与解析几何的交汇题，既考查空间想象能力，同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的基本思想。 一．轨迹为点

例1已知平面βα||，直线α⊂l ，点P l ∈，平面βα,之间的距离为8，则在β内到P 点的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是 ( )

A ．一个圆 B.两条直线 C.两个点 D.四个点

解析:设Q 为β内一动点，点P 在β内射影为O ，过O, l 的平面与β的交线为l '， PQ=10，∴OQ==-228106点Q 在以O 为圆心6为半径圆上，过Q 作QM l '⊥于M ，又 点Q 到直线l 的距离为9∴QM=178922=-则点Q 在以l '平行距离为17的两条平行线上 两条平行线与圆有四个交点∴这样的点Q 有四个，故答案选D 。 点评:本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用平面几何知识解决，要熟记一些平面几何点的轨迹。 二． 轨迹为线段

例2． 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹是（ ）。

β

α

l

M

O

Q

P

A. 线段1B C

B.线段1BC

C. 1BB 中点与1CC 中点连成的线段

D. BC 中点与11B C 中点连成的线段

解：连结11,,AB AC B C ，易知111BD A AB ⊥所以11111,,AB BD AC BD B C BD ⊥⊥⊥，所以1BD ⊥面1AB C ，若P ∈1B C ，则AP ⊂平面1AB C ，于是1BD AP ⊥，因此动点P 的轨迹是线段1B C 。

评注：本题是由线面垂直的性质从而求出点P 的轨迹。

例3 已知圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周)，若MP AM ⊥，则点P 的轨迹是________。形成的轨迹的长度为__________。 解析:在平面SAB 中，过M 作AM 的垂线交AB 于C ，在底面上，过C 作AB 的垂线分别交底面圆于D,E 两点，则AM ⊥面MDE,DE 即为点P 的轨迹，又AO=1,MO=

2

3

,AM=

2

7,从而AC=47,OC=43

,所以

DE=()2

724

3

12=-.所以填上线段；2

7.

三． 轨迹为直线

例4 (北京高考题)如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，过点B 作直线l 与AB 垂直，则直线l 与平面α交点的轨迹是 ( )

A ．圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线

解析: 由题意可知直线l 的轨迹应是过点B 且与AB 垂直的平面，该平面与平面α交点为一条直线，故答案选C.

四.轨迹为圆弧

例5 如图，P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -表面上的动点，且AP=2，则动点P 的轨迹的长度为__________。

解析:由已知AC=AB 1=AD 1=2,在面BC 1, 面A 1C 1, 面DC 1内分别有BP=A 1P=DP=1，所以动点P 的轨迹是在面BC 1, 面A 1C 1, 面DC 1内分别以B,D,A 1为圆心，1为半径的三段圆弧，且长度相等，故轨迹长度和为2

333π

π

=

⨯。

五.轨迹为平面

例6.不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α个数为( )

Ａ.３ Ｂ.４ Ｃ.６ Ｄ.７

解析：以不共面的四个定点为顶点构造四面体，则满足条件的平面α可分两类。第一类是中截面所在的平面有４个；第二类是和一组对棱平行且经过其它各棱中点的平面有３个，故满足条件的平面α个数为４＋３＝７. 故答案选Ｄ.

评注：本题关键在于构造空间四边形，利用四面体的性质去求解。 六. 轨迹为圆

例7，如图，三角形PAB 所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β垂直，且αα⊥⊥BC AD ,，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，则点P 在平面α内的轨迹是( )

A ．圆的一部分 B.椭圆的一部分

C.双曲线的一部分

D.抛物线的一部分

β

α

C

D

B

P

A

解析:由条件易得AD||BC ，且CPB APD ∠=∠，AD=4，BC=8，可得

PB

CB PA

AD APD =

=

∠tan =,tan CPB ∠即2==AD

CB PA PB ，在平面PAB 内以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系，则 A （-3，0）,B （3，0），设P(x,y),则有

()()22

22233==

+++-y x y x PA

PB

，整理可得一

个圆的方程即()0091022≠=+++x x y x 。由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为圆的一部分故答案选A.

点评:本题主要考查空间轨迹问题，是在立体几何与解析几何的交汇处命制的创新题，既考查了空间想象能力，又考查了代数方法(坐标法)研究几何轨迹的基本思想。 七.轨迹为抛物线

例8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM=13

，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( ). A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线

分析：动点的轨迹问题是解析几何中常见的问题，因此我们可以把立体关系转化到平面上去，利用解析几何的知识将问题解决。 解：设11PF A D ⊥于点F ，过点P 作PE AD ⊥于点E ，连结EF ，则AD ⊥

平面PEF ，∴AD EF ⊥，即1//EF AA 。因为22

1PF PM -=，且

2222

1PF PF EF PE -=-=，

所以PE PM =。由抛物线定义知点P 的轨迹是以点M 为焦点，AD 为准线的抛物线，故应选B.

评注：从立体转化到平面，从平面到直线，显然是在逐级降维，平面