离散型+l连续型概率分布

一、 离散型分布

1、 两点分布：binom （1，p ）

意义：一次实验中有二个事件：成功（记1）与失败（记0），出现的概率分别为p 和1p -，则一次试验（称为贝努利试验）成功的次数服从一个参数为p 的贝努利试验。例子（投一次硬币） 分布律：

1(|)(1),0,1(01)x x f x p p p x p -=-=<<

数字特征：

(X),Var(X)(1)E p p p ==-

2、 二项分布：binom （n ，p ）

意义：贝努利试验独立重复n 次，则试验成功的次数服从一个参数为（n ，p ）的二项分布。（投n 次硬币） 分布律：

(|)(1),0,1,

,.(01)x

n x n f x p p p x n p p -⎛⎫=-=<< ⎪⎝⎭

数字特征：

(X),Var(X)(1)E np np p ==-

3、 多项分布：1(,,,)k multinon n p p

意义：一试验中有k 个时间,1,2,,i A i k =，且1()(01

,1)k

i i i i i PA p p p ==<<=∑

将此试验独立地重复n 次，则时间12,,,k A A A 出现的次数服从一个参数

(,)n p 的多项式分布，其中12(,,

,)k P p p p =（仍骰子问题）

分布律：

12

11

(,

,|,),0,k

k

x x x k i i i n f x x n p p p p x n x n p =⎛⎫

=≤≤= ⎪⎝⎭

∑

数字特征：

(X),Var(X)(1),Cov(X ,X )i j i j E np np p np p ==-=-

4、 负二项分布：(,)nbinom k p

意义：贝努利试验独立地重复进行，一直到出现k 次成功时停止试验，则试验失败的次数服从一个参数(,)k p 的负二项分布。 分布律：

()(|,)(1),0,1,

()()

k

x k x f x k p p p x k x Γ+=

-=Γ

Γ

数字特征： 2(1)(1)

(X ),V a r (X )k p k p E p p

--=

= 5、 几何分布：()geom p

意义：伯努利试验独立地重复进行，一直到出现有成功出现时停止试验，则试验失败的次数服从一个参数p 的集合分布。 分布律：

(|)(1),0,1,2,

x f x p p p x =-

=

数字特征：

2(1)(1)

(X),Var(X)p p E p p

--=

= 6、 超几何分布：(,,)hyper N M n

意义：从装有N 个白球和M 个黑球的罐子中不放回地取出k 其中

k N M ≤+则其中的白球服从超几何分布。

分布律：

(|,,),0,1,2,,min{N,k}N M x k x f x N M k x N M k ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫ ⎪⎝⎭

数字特征：

(kN)(N M k)(X),Var(X)(1)1kN N E N M N M N M M N

+-=

=-++-++ 7、 泊松分布：()pois λ

意义：单位时间，单位长度，单位面积，单位体积中发生某一事件的次数常可以使用泊松分布来刻画，例如某高速公路上一年内交通事故和某办公室一天中收到的电话次数可以认为近似服从泊松分布。 分布律：

(|)e ,0,1,2,.!

x

f x x x λλλ-=

=

数字特征： (X),Var(X)E λλ==

二、 连续分布的密度函数

1、 贝塔分布(,)Beta a b

意义：在贝叶斯分析中，贝塔分布常常作为二项分布参数的共轭先验分布。 密度函数：

111

(|,)(1),01(,0)(,)

a b f x a b x x x a b B a b --=

-<<> 数字特征：

2

(X),Var(X)()(1)

a a

b E a b a b a b =

=++++ 当(1,1)a b ==时的分布为[0,1]上的均匀分布。

意义：区间[,]a b 上随机投点对应的坐标服从[,]a b 上的均匀分布。 密度函数：

1

(|,),f x a b a x b b a

=

≤≤- 数字特征：

22

(X),Var(X)212

a b b a E +-==

3、 柯西分布：(,)cauchy a b

意义：柯西分布（又称为Lorentz 分布）用于描述共振行为。以一随机的角度投向X 轴的水平距离服从柯西分布。 密度函数：

1

(|,),01(,0)[1]

f x a b x a b x a b b π=

≤≤>-⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

数字特征：均值和方差均不存在。 4、 威布尔分布：(,)weibull a b

意义：最为常见的寿命分布，用来刻画滚珠轴承、电子元器件等产品的寿命。

密度函数：1(|,),0(,0)b

b ax f x a b abx e x a b -=>> 数字特征：

2

122121

(1)(1){(1)}(X),Var(X)b b b b b b E a a a

Γ+Γ+Γ+==- 特例：b = 1时为指数分布。