半角模型专题专练复习进程

半角模型专题专练

半角模型例题

已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ，且∠EAF ﹦45° 结论1：BE ﹢DF ﹦EF

结论2：S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3：AH ﹦AD

结论4：△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5：当BE ﹦DF 时，△CEF 的面积最小 结论6：BM 2﹢DN 2﹦MN 2

结论7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论8：EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9：四点共圆

结论10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论11：MN ﹦√2

2EF （可由相似得到）

结论12：S △AEF ﹦2S △AMN （可由相似的性质得到） 结论5的证明：

设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3

﹦1﹣12x ﹣12y ﹣1

2(1﹣x)(1﹣y) ﹦1

2﹣1

2xy

所以当x ﹦y 时，△AEF 的面积最小

结论6的证明：

将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′

易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′

在Rt △BMN ′中，由勾股定理可得： BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2

结论7的所有相似三角形：

△AMN ∽△DFN △AMN ∽△BME △AMN ∽△BAN △AMN ∽△DMA △AMN ∽△AFE

结论8的证明：

因为△AMN ∽△AFE

∴∠3＝∠2

因为△AMN ∽△BAN ∴∠3＝∠4 ∴∠2＝∠4 因为AB ∥CD ∴∠1＝∠4 ∴∠1＝∠2

结论9的证明：

因为∠EAN ﹦∠EBN ＝45°

∴A 、B 、E 、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）

同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆

**必会结论-------- 图形研究正方形半角模型

已知：正方形ABCD ，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且︒=∠45EAF ，AE 、AF 分别交BD 于H 、G ，连EF .

一、全等关系

（1）求证：①EF BE DF =+；②DG 2﹢BH 2﹦HG 2；③AE 平分BEF ∠，AF 平分DFE ∠. 二、相似关系

（2）求证：①DG CE 2=；②BH CF 2=；③HG EF 2=. （3）求证：④DH BG AB ⋅=2；⑤HG BG AG ⋅=2；⑥21=⋅CF DF CE BE . 三、垂直关系

（4）求证：①EG AG ⊥；②FH AH ⊥；③BE

AB HCF =∠tan . （5)、和差关系

求证：①BE DG BG 2=-；②DH DF AD 2=+； ③||2||DG BH DF BE -=-.

例1、在正方形ABCD 中，已知∠MAN ﹦45°，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动，

①.试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系. ②.求证：AB=AH.

例2、在四边形ABCD 中，∠B+∠D ﹦180°，AB=AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 上，且满足EF=BE +DF.

求证：∠EAF ＝1

2∠BAD

例3、在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=2∠DAE=120°，若BD=5，CE=8，求DE 的长。

例4、请阅读下列材料：

已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若

45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

图1

A

B

C

D

E

图2

A

B C

D

E

例5、探究：

（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；

（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=2

1

∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..

练习巩固1：

如图，在四边形ABCD 中，∠B ﹦∠D ﹦90°，AB ﹦AD ，若E 、F 分别

在边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝1

2∠BAD . 求证：EF=BE +DF.

练习巩固2：

如图，在五边形ABCDE 中，AB ﹦BC ﹦CD ﹦DE ﹦EA ， ∠CAD ＝1

2∠BAE ，求∠BAE 的度数

练习巩固3：

已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=o ，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．

（1）如图1，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当MAN ∠ 绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

练习巩固4

(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ﹦AD ，∠B ﹦∠D ﹦90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝1

2∠BAD ． 求证：EF BE FD =+;

N

M

D

C

B

A

N

M

C

D

B

A

N

M D C

B

A

E

F

D

C

B

A