一次同余式解法的综述
一次同余方程的几种解法
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 2009年第3期 牡丹江教育学院学报 No 13,2009(总第115期) J OU RNAL OF MUDANJ IAN G COLL EGE OF EDUCA TION Serial No 1115[收稿日期]2008-12-22[作者简介]原新生(1967-),男,河南林州人,安阳师范学院副教授,主要从事初等数论、高等数学的教学与研究.。
一次同余方程的几种解法原 新 生(安阳师范学院,河南安阳455002) [摘 要] 介绍一次同余方程的几种解法,并比较它们的优劣,探讨不同情况下所应采用的不同方法,对解一次同余方程具有一定的指导作用。
[关键词] 一次同余方程;解法;完全剩余系[中图分类号]O151 [文献标识码]A [文章编号]1009-2323(2009)03-0115-01 定义1:设a ,b 为整数,m 是一个正整数且a ≠0(modm ),则称ax ≡b (mod m )为模m 的一次同余方程。
定义2:若x 0是使ax ≡b (mod m )成立的一个整数,则x ≡x 0(mod m )称为一次同余方程ax ≡b (mod m )的一个解。
定理:一次同余方程ax ≡b (mod m ),a ≠0(mod m )有解的充要条件(a ,m )|b,且有解时解数为(a ,m ).一次同余方程的理论各初等数论教材都作了详细的论述(见[1]、[2]、[3]),但对它的具体解法介绍的较少。
笔者在初等数论教学实践中,针对该方程总结了几种解法,并通过各种解法优劣的比较,探讨了在不同情况下所应采用的不同方法,这对学生学习初等数论,特别是解一次同余方程具有一定的指导作用。
方法一:验根法由定义2可以看出,求一次同余方程ax ≡b (mod m )有几个解,有哪些解,只需取模m 的一个完全剩余系(如0,1,2,…,m -1)中的每一个数,将其代入同余方程中逐一验证,即可求出其全部解。
一次同余方程组解法
一次同余方程组解法同余方程组是数论中常见的问题，解决同余方程组的方法有很多种，其中一种常见的方法是一次同余方程组解法。
本文将详细介绍一次同余方程组解法的原理和步骤。
一次同余方程是指形如ax ≡ b (mod m) 的方程，其中 a、b、m 为已知整数，x 为未知整数。
一次同余方程组是指多个一次同余方程组成的方程组。
解决一次同余方程组的关键在于找出一个整数 x，使得该方程组中的每个方程都成立。
一次同余方程组解法的步骤如下：步骤一：将一次同余方程组化简为最简形式。
对于形如ax ≡ b (mod m) 的方程，可以通过对 a 和 b 取模 m，得到等价的方程a'x ≡ b' (mod m)，其中 a' = a (mod m)，b' = b (mod m)。
将方程组中的每个方程都化简为最简形式。
步骤二：使用欧几里得算法求解最大公约数。
对于一次同余方程组，如果方程组中每个方程的模 m 两两互质，则可以使用欧几里得算法求解最大公约数。
如果最大公约数为 1，则方程组有解；否则，方程组无解。
步骤三：使用中国剩余定理求解方程组的解。
如果方程组中每个方程的模 m 两两互质，并且方程组有解，则可以使用中国剩余定理求解方程组的解。
中国剩余定理的具体步骤如下：3.1 计算模数的乘积。
将方程组中每个方程的模数相乘，得到模数的乘积 M。
3.2 计算模数的乘积除以每个模数的商。
对于每个方程的模数 m，计算 M/m 的商，记为 Mi。
3.3 计算模数的乘积除以每个模数的商对应的模反元素。
对于每个方程的模数 m，计算 Mi 在模 m 下的模反元素，记为 ti。
3.4 计算解的线性组合。
将每个方程的解 x 乘以 Mi 和 ti 的乘积，再对 M 取模，得到方程组的解 y。
3.5 求解最小非负整数解。
将方程组的解 y 对 M 取模，得到最小非负整数解 x。
通过以上步骤，即可得到一次同余方程组的解。
需要注意的是，在使用一次同余方程组解法时，应确保方程组满足两个条件：每个方程的模数两两互质，方程组有解。
浅谈初等数论中同余式的解法
浅谈初等数论中同余式的解法
初等数论是数学的一个分支，主要探讨整数、有理数和代数式等基础概念。
“同余”是初等
数论中概念的一个重要部分，它引用数学定义可以写为：若两个有理数或者有理函数在一
个事件上有相同的值，则它们称为“同余”。
也就是说，两个有理数或者有理函数的值不同，但它们的值是相等的。
同余的解法首先应该把同余方程写成有理函数的形式，然后进行求解。
一般可以使用图像法、合并法或者二分法来求解。
图形法是一种直观清晰的求解方法，它通过在坐标系中绘制图像来求解同余方程，从而得到所求解的值。
这是最简单也是最容
易理解的求解方法。
合并法是一种基于数学运算技巧的求解方法。
它通过合并两个同余方程来求解同余方程，得到所求的值。
二分法是运用有理数的属性来求解的方法，用二分的方法对有理数的值进行查找，来获得有理数的值。
以上就是同余的几种常用方法，虽然每种方法都有其优势和缺点，但它们都是多元素的有理函数。
使用正确的方法，可以对同余
方程进行快速准确的求解，以解决初等数论中的多元素有理函数问题。
【word】详析一次同余式求解定理的证明
详析一次同余式求解定理的证明教学方法详析一次同余式求解定理的证明一[摘要]一次同余式求解定理的证明,在各版本的数论课本中均有介绍,但跳跃性都比较大,使读者在学习过程中会有很多疑问,本文就该定理给出详细的思路分析与证明过程. [关键词]一次同余式证明概念,定理介绍同余方程定义1设m是正整数,f(x)为n次多项式厂()=a+口一】+…+口I+口0其中口f是正整数,则f(x)-O(1)叫做模m的(n次)同余式,n叫做厂()的次数,记为degfo如果整数a使~-f(a)-O(modm)成立,则a叫做(1)式的解.(1)的解a常写/~x=a(modm),在模m的完全剩余系中,使得(1)成立的剩余个数叫做同余式(1)的解数.定理设m是一个正整数,a是满足aCEm的整数.则一次同余式ax-b(modm)有解的充分必要条件是(a,m)b.而且,当该同余式有解时,其解数为,).该定理的证明需要用到的先知定理,在此不加证明地将它们作为引理罗列如下:引理1设a,b,c≠O是三个整数,若cIa,clb,则对于任给的整数S,t均有clsa+tb引理2设m是一个正整数,a-b(modm),k>0,则ak=bk(modmk)引理3设m是一个正整数,a,a2,b.,b2是四个整数.如果al-bl(modm),a2-b2(modm)贝0:(i)a十口2-bI+62(modm):(ii)a1+口2兰6l+62(modm).引理4设m是一个正整数,a是满足(a,)=l的整数,则存在整数d1口<m使得aa三1fmodm)引理5设m是一个正整数,a--b(modm),如果整数(口,b,),则ab(m0)引理6设m是一个正整数,口bd(modm),如果()=1,则口一b(modm)思路分析定理的征明分为两个部分,第—部分需要{正明b(modm)有解的充分必要条件是(口,m)lb;第二部分需要证明有解的情!I!:绝况,膦效为dⅡ,州.第一部分中,必要性的证明比较简单,主要分析充分性的证明,即证明当(口,m)lb时,ax=--b(mod)有解.直接证明不太容易,通常可采用构造法构造出一个解即可.但直接构造出饿一b(modm)的解也很困难,不妨考虑如下三个形式类似的同余式ax-=b(modm)(1.1);m0d)(1_2)i删J【J(mod)(1_3)若(1.2)式有陬;m.d),即?(肌)d(),由引理2可知,因为>0,故甄一6(m,xtm),即说明t(modm)~(1.1)式的—,解.而要构造出(1.2)式的解t(m.d),则可从(1.3)式入手.若(1.3)式有解m喃),即m喃),她mod1,故由引理3(ii)式可知兰odJ,砹田与l埋LJ瓦口J划ab;,m0di-J,则说;知i=.d)是(12)式的解.对于(1-3)式,由于(,1,由引理4可知必存在使得l(m.d成立,&一十.d)是(1.3)式的一个解.通过上面分析可以看出,(1.3)式必有解m0d),由此可构造出(1.2)式的一个解,;m,进而可推断;oa,b(mod必是(1.1)式的一个特解.构造性证明成立.第二部分,需要证明(1.1)式在有解的前提下,解数为(a,).由剩余类的定义可知,模m的剩余类有Co,C,…一一共m个.这里可先求出(1.1)式所有解的表示形式,再证明所有的解只能属千樽m的l余类中的(口,)个广教学方法证明过程第一部分设同余式(1.1)式有解rXo(m,即满足0三6(nxxt 神,根据同余的定义知,存在整~O.V o使得aXo——myo=b因为(a,m)la,(日,)l坍,根据引理1,(口,m)laxo—myo=b因此,必要性成立;充分性已知(a,m)Ib,则为整数?首先+我们考虑同余式(1.3)南in)因为(,】,由引理4可知存在蝴1(m成立,&响)是(1_3)式的一个解.事实上,同余式(1.3)不仅有解,而且解数唯一.因为如果同时有同余式a(m和(m成立.两式相减得到一xo)----0(m)因为,,撇引理6,(x-xO,即任一解z与x.位于模!的同—剩余类,~lk-=x如响). 其次,考虑同余式(1.2)门已始出衡导㈣,即南0三,而又显然有Ⅱx)di=『-)成立,故由引理3的∞式可知x.z),则说吼=‰b|-‰_J,则谠一‰(rn(x(12)式的解.仿上,亦可证该解的唯—性.最后,考虑同余式(1.1)Eb(modm)(1.2)式有,(rr,壮m吗,(上接第123页)又因为(口,)>0,由引理2可知,ax;b(modm).即说明X~--’X0西幌(1.1)式的—个特解.这样,充分性成立. 所以,饿b(modm)有解的充分必要条件是(口,m)lb. 第二粉首先,给出同余式(1.1)饿b(modm)任一解的表示形式.~x---x(modm)是(1.1)式的一个特解,贝与任—解玢别满足饿1b(modm)和饿￡b(modm)由同余的传递性可知,axt;ax(modm),即日～Xt);0(modm),又因为(口,m)la,0,,由引理5可响J0(泣,同时又因为,:1,由引理6可得(r-x~0,一,由同余的概念可知,任一解坷表示为t+m,其中,,为任意整数,I]1]ax=-b(modm~全部解为xXt+f(modm),f为任意整数;下面,根据解数的概念,证明(1.1)式的全部解只能属于模m的剩余类中的(口,)个.取模的一个完全剩余系x,x+1,…,X,+一1),对于(1.1)式的全部t+f,不妨让0,1,2,…,计靴能取到上面完全剩余类的个数.当t:0时,E(moa’n);…,当t=(口,)时,i+~----XI(m0d,.故f需要满足x一≤t+<,+,即o≤k(口,).由此可知,f的取值共(口,)个,即同余式(1.1)的解数为(a,)个.证毕.参考文献t陈恭亮.《信息安全数学基础》,上海交通大学,2004作者单位:陕西广播电视大学学习支持服务中心西安电子科技大学方面的专家,而来自学员单位的兼职导师则具有丰富的临床实践经验,他们可以对研究生的课题进行深入的理论分析和科学的实验指导.6.制定医学非全日制研究生学位论文的评价标准医学非全日制研究生的学位论文应该有自己的特色,学员要在导师指导下,充分利用学校,单位的仪器设备,技术力量,资金等各自的优势,发挥两者的长处,解决本单位的具有一定经济效益或社会效益的临床工作和管理方面的问题.非全日制研究生的学位论文,应注重其是否反映作者较好地掌握了基础理论和专门知识,能够综合运用科学理论,方法和技术手段解决实际问题的能力.参考文献t…张卫刚,谢仁业,马桂敏等.非全日制研究生教育亟待规范[J】.学位与研究生教育,2003.(O3).【2】钟尚科,张卫刚,杨颉域谈规范发展非全日制研究生教育[J].高等教育研究,2002,(06).【3]扬颉,张卫刚_我国非全日制研究生教育的发展与问题[J].现代大学教育,2001,(06).[4】昊环伟.严把”四关”确保j}全日制研究生教育质量【J].中国高等教育,2003.(21).【5】张大鹏,张元,罗旋辉等.探索医学成人教育教学与管理新模式[J】冲国成人教育,2006,(1O).作者单位:南通大学医学院。
数论算法讲义3章（同余方程）
数论算法讲义3章（同余方程）第 3 章同余方程（一）内容：● 同余方程概念● 解同余方程● 解同余方程组（二）重点● 解同余方程（三）应用● 密码学，公钥密码学3.1 基本概念及一次同余方程(一) 同余方程（1）同余方程【定义3.1.1】（定义1）设m 是一个正整数，f(x)为n 次多项式()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ其中i a 是正整数（n a ≠0（mod m ）），则f (x)≡0（mod m ）（1）叫做模m 的（n 次）同余式（或模m 的（n 次）同余方程），n 叫做f(x)的次数，记为deg f 。
（2）同余方程的解若整数a 使得f (a)≡0（mod m ）成立，则a 叫做该同余方程的解。
（3）同余方程的解数若a 是同余方程（1）的解，则满足x ≡a （mod m ）的所有整数都是方程（1）的解。
即剩余类a C ＝{x ｜x ∈Z ，x ≡a （mod m ）}中的每个剩余都是解。
故把这些解都看做是相同的，并说剩余类a C 是同余方程(1)的一个解，这个解通常记为x ≡a （mod m ）当21,c c 均为同余方程(1)的解，且对模m 不同余时，就称它们是同余方程(2)的不同的解，所有对模m 的两两不同余的解的个数，称为是同余方程（1）的解数，记作()m f T ;。
显然()m f T ;≤m（4）同余方程的解法一：穷举法任意选定模m 的一组完全剩余系，并以其中的每个剩余代入方程（1），在这完全剩余系中解的个数就是解数()m f T ;。
【例1】（例1）可以验证，x ≡2，4（mod 7）是同余方程15++x x ≡0（mod 7）的不同的解，故该方程的解数为2。
50＋0＋1＝1≡3 mod 751＋1＋1＝3≡3 mod 752＋2＋1＝35≡0 mod 753＋3＋1＝247≡2 mod 754＋4＋1＝1029≡0 mod 755＋5＋1＝3131≡2 mod 756＋6＋1＝7783≡6 mod 7【例2】求同余方程122742-+x x ≡0（mod 15）的解。
一次同余式解法的综述
一次同余式的解法的综述陈明丹 （华南师范大学数学科学学院 广州 510070）【摘要】本文系统地将解一次同余式的各种解法集中在一起，如欧拉定理算法、代入求解法、消去系数法、不定方程求解法、不定方程求解法、分式法、威尔逊定理法、求s 、t 法、矩阵求法、“倒数”求法，这样就使得学习者在学习一次同余式的时候有个系统的归纳总结，方便理解。
关键词：一次同余式；解法；欧拉定理；威尔逊定理；不定方程；综述初等数论是师范院校数学专业学生的一门必修课，也是高中数学教师继续教育的一项重要内容，而同余式是初等数论中非常重要的一部分内容，主要研究一次同余式、二次同余式、同余式组及高次同余式的解法及解数。
[1]一次同余式是学习这一部分内容的基础，且结一次同余式是学习初等数论必须要掌握的解题方法。
但是在严士键[2]的教材中只给出了如欧拉定理算法[3]等一些比较简单的方法，而且比较散乱。
本文旨在系统地整理解一次同余式的各种方法，以方便大家的学习。
1.一次同余式ax ≡ b(mod m)的解法1.1 同余式(mod ),(,)1ax b m a m ≡= 的解法1.1.1欧拉定理算法李晓东[1]和李婷[3]指出欧拉定理这种算法主要是运用欧拉定理，则有()1(mod )m m a ϕ≡,则()(mod )m a b b m a ϕ⋅⋅≡，则()1(mod )m x b m a ϕ-≡ 满足同余式(mod )ax b m ≡，故为同余式的解。
李婷还指出这种解法在理论上较易分析，但当模m 较大时，求()m ϕ就涉及m 的标准分解，此时这种解法在计算量上较为复杂，不宜进行计算机编程计算。
所以这种解法更适合模m 较小时，或()m ϕ较易求解时使用。
王靖娜[4]给出了详细的定理证明过程，以帮助大家的理解。
1.1.2代入求解法 代入求解法也称为观察法[3]，当模m 较小时，可以将模m 的完全剩余系0、1、2……m-1 代入到(mod )ax b m ≡中，求出该同余式的解。
关于一次同余方程组解法的探讨
1 一次同余方程组同余是数论中的一个重要运算，在许多领域都有重要的应用t。
关于同余方程的解法已有一些基本的结论。
对于一次同余式的解的问题，已有下面的结果：ax≡b（modm），a≠0（modm）（1）定理1：同余式（1）有解的充分与必要条件是gcd（a，m）/b，且在有解的情况下，方程的解为：即方程的解数为gcd（a，m），其中x0是同余式（1）的一个特解。
本文基于同余的简单性质，主要讨论的是k阶一次同余方程的解法。
在我国古代的《孙子算经》里已经提出了这种形式的问题，并且得到了验证。
这就是著名的中国剩余定理。
a1x≡b1（modm1），a2x≡b2（modm2），…，akx≡bk（modmk）定理2：（中国剩余定理[1]）：设m1，m2，…，mk是k个两两互质的正整数，令m=m1m2…mk，且m=miMi，i=1，2，…，k，若a1=a2=…=ak=1，則同余式（1）的解是：X=M1'M1b1+M2'M2b2+…+Mk'Mkbk（modm）其中M1'M1=1（modmi），i=1，2，…，k。
显然，上述中国剩余定理中a1=a2=…=ak=1和m1，m2，…，mk是k个两两互质的正整数，这两个条件比较苛刻，很多情形下难以满足。
通过因子分解等手段可以将绝大部分的一次同余方程组化为满足中国剩余定理要求的形式[2]，一次同余方程组的阶数增大，导致计算的复杂程度增加。
本文主要讨论一般情形下的同余方程组解法。
2 中国剩余定理的不足之处中国剩余定理在数论中是个很重要的定理，应用于许多领域。
但是，若从解同余方程组的角度来看，也存在一些不足之处，并非首选。
文章就中国剩余定理的不足展开探讨，体现在如下3个方面。
2.1 标准化问题在前面已经提到，求解同余方程组（1），首先要求各个元素ai（mod mi）的逆元，化成满足中国剩余定理所要求的形式，即：x=a1-1b1（modm1），x=a2-1b2（modm2），…，x=ak-1bk（modmk）根据欧几里得算法或是辗转相除法得到：若gcd（ai，mi）=1，则ak-1存在。
一次同余式的解法探讨
其中 （ ｍ）是正 整数 ｍ 的欧 拉 函数 值．
因为 （ ， 口 ｍ）一 １ 由最大 公 因数 的性 质可 知 ，
（ 口 ， ｍ）一 １ ，
次 同余 式 （ ）有解 的充 要 条 件 是 （ ， １ ｎ ｍ）ｌ ， ｂ
并 且在有 解 的情况 下 ， 解 的个数 为 ｄ一 （ ， （ 其 ｎ ｍ） 对
模 ｍ 来 说 ）２ ＿ ｌ． ］ 所 以 以 下 三 式
对 于一 次 同余 式 （ ） 若 ｄ一 （ ， ， ｄ Ｉ ， １， ｎ ｍ） 且 ｂ 则
ａ ２三 ｂ （ ｏ ３ ｍ ｄ仇 ） ， 口 ‘ ｚ 三 ｂ 一 （ ｄ７ ， ａ ‘ ｍｏ ） ｚ 三 ｂ Ｐ ｍｏ ａ‘ 一 （ ｄ ｍ），
ａ 三 ｂ（ ｄ ） ． Ｔ ｍｏ ，ｎ ≠ ０ （ ｏ ） ｍ ｄ （） １
２ 利 用 欧拉 定 理 求解
定 理 １ Ｅ ｌｒ （ ｕｅ 定理） ［
（ ）＝ 口， ＝ 贝 ＝１， ０
ｎ‘ ’三 １ （ ｄ ）， ｍｏ
设ｉ ｎ是大 于 １的整数 ，
的 同余式 ， 为一次 同余式 ． 称
１ｏ ６ｒ三 １ （ ｏ １ ８ ｒ ｄ １ ）， ｏ
５ 兰 ７（ ｏ １ ｘ ｏ ｒ ｄ １ ），
三 ２ （ ｏ ． ｍ ｄ ３）
（ 模 １ 来说 ） 依 次对 同余式 进行 等价变 形 ， 对 １ ． 得
取 ｙ一 ２， 知 ３Ｉ １ １ 可 （６ ×２ ２ ） 因此所 给 同余 式 ＋ Ｏ，
以下仅 就形 如（ ）的一次 同余 式 进行讨 论 ． ２
文 ［ ］给 出了利用 二元 一 次不 定 方程 求 解 一次 ２ 同余式 （ ）的方 法 ， 然具 有普 遍性 ， 在具 体 求解 １ 虽 但
[VIP专享]同余式的简单介绍
![[VIP专享]同余式的简单介绍](https://img.taocdn.com/s3/m/3615b6f1284ac850ac024226.png)
②对 b/a 的分子，分母乘以不为零的整数 or 约去一个与模 m 互素的数，否则所得出的结果可能不是原同余式的解。
<下面仔细介绍> 代数/数论/组合理论/《.黑龙江科技信息》2008 年 19 期》摘要一 次同余式解法的特点及其分析——作者：李婷只讨论（a,m）=1 时，同余式 ax b(modm)有以下七种解法 （一）（1）观察法：在模 m 的完全剩余系 0,1，、、、，m-1 中考虑 同余式的解
1.，当 m 较小时，可用观察法，直接快速的得出方程的解 eg 2x 1(mod3) 因为（2,3）=1 所以有一个解，x 2(mod3)为 其解 2．当系数较大时，可用同余性质 ，将同余式系数减小，而 且用带余除法定理，保证系数在一个固定范围内作为模 m 的 系数，进而用观察法，可快速得到方程的解。 （二）Euler 定理;设 m 是大于 1 的整数，（a,,m）=1，则 a （m） 1（modm）由 Euler 定理，有 a（m） 1（modm）,而 ax≡b(m0dm)可得 a x （m） ba（（m））1（modm） x ba（（m））1(modm)为所求的解。 eg:8x 9(mod11)
43m1m“-”J520Gm01m24“492k-Z(1)g2L3-”3060@k%3-g“/1”7mD2%BJ/Tg0d1-ZP318¬-A_2"o70)Xc0?y258z6n”217 NE)
然后同与 m 互素的数陆续的乘右端的分子与分母，目的在于把分母
的绝对值变小，直到变为。
一次同余式与一次同余式组的解的讨论
一次同余式与一次同余式组的解的讨论摘 要: 这篇文章先给出有关同余式、同余式的解的概念，并在Euler 定理及孙子定理的基础上,详细地讨论了一次同余式、一次同余式组的是否有解的条件，若有解，则给出了求解方法. 一次同余式和一次同余式组的相关知识是学习数论过程中必须要掌握的知识，它在数学领域内有着及其广泛的应用。
关键词: 一次同余式; 一次同余式组;孙子定理;Euler 定理1引言南北朝时期的数学著作《孙子算经》中“物不知数”是这样的“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”解法和答案用算式表示为：702213152105223⨯+⨯+⨯-⨯=，即得到适合题意的最小正整数是23。
《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的是南宋时期的数学家秦九韶。
秦九韶在他的《数书九章》不仅给出了一次同余式的解，而且用“大衍求一术”数学方法给出了一次同余式组的最小正整数解。
2基本定义和定理定义2.1 设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 是整系数多项式，m 是一正整数，称()0(mod )f x m ≡ (1)是模m 的同余式，若0(mod )n a m ≡/，则n 叫做同余式(1)的次数。
定义2.2 若a 是整数，且使得()0(mod )f a m ≡成立，则(mod )x a m ≡叫做同余式(1)的一个解。
即把适合(1)式且对模m 相互同余的一切数叫做同余式(1)的一个解。
定义2.3 欧拉函数()a ϕ是定义在正整数上的函数，它在正整数a 上的值等于序列0,1,2,,1a - 中与a 互质的数的个数。
定理2.1(Euler) 设1m >，(,)1a m =，则()1(mod )m a m ϕ≡。
证明 设12(),,,m r r r ϕ 是模数m 的一组简化剩余系，则由定理（若(,)1,a m x =通过m 的简化剩余系，则ax 通过模m 的简化剩余系.）可知12(),,,m ar ar ar ϕ 也是模m 的一组简化剩余系，故 12()12()()()()(mod )m m ar ar ar r r r m ϕϕ≡即 ()12()12()(mod )m m m a r r r r r r m ϕϕϕ≡ (﹡) 由于 ()i r ,1,1,2,,().m i m ϕ==故 12()(,)1.m r r r m ϕ= (﹡﹡)根据性质（若11,,(,)1,a a d b b d d m ===则11(mod ).a b m ≡） 以及 (﹡)和(﹡﹡)得 ()1(mod ).m a m ϕ≡定理2.2（孙子定理） 设12,,,k m m m 是k 个两两互素的正整数,12,(1,2,,),k i i m m m m m m M i k ===则同余式组1122(mod ),(mod ),,(mod )k k x b m x b m x b m ≡≡≡ (2)有唯一关于模m 的解111222(mod ),k k k x M M b M M b M M b m '''≡+++ (3) 其中1(mod )(1,2,,).i i i M M m i k '≡=证明 由于(,)1,i j m m i j =≠，即得(,)1i i M m =.由定理3.1知对每一i M ，有一i M '存在，使1(mod ).i i i M M m '≡由i i m m M =，知|,j i m M i j ≠. 故1(mod ),1,2,,.kjjji i i i i j M M bM M b b m i k =''≡≡=∑即(3)为(2)的解。
第四章 (7) 同余式、一次同余式、孙子定理
例 1 求 同 余 方 程 4x2 27x -12 0 (mod 15) 的解.
解 取模15的绝对最小完全剩余系:-7,-6, , - 1 , 0 , 1 , 2 , , 7 , 直 接计算 知 x 6,3 是 解. 所以 , 这 个同 余方 程的解 是x 6,3 (mod 15),解数为 2.
公钥密码体制
9
算法描述－密钥产生
① 独立地选取两大素数p和q(各100～200位十进制数字) ② 计算 n=p×q，其欧拉函数值(n)=(p－1)(q－1) ③ 随机选一整数e，1e<(n)，gcd((n), e)=1 ④ 在模(n)下，计算e的有逆元d=e -1 mod (n) ⑤ 以n，e为公钥。秘密钥为d。(p, q不再需要，可以销毁。)
由 第 三 章 §1定 理2,若 f (a) 0 (mod m),则 剩 余 类
Ka中 任 何 整 数 a'都 能 使 f (a') 0 (mod m)成 立.
定 义 若 a 是 使 f (a) 0 (mod m)成 立 的 一 个 整 数, 则 x a (mod m)叫 做 f (x) 0 (mod m)的 一 解. 这 就 是 说 我 们 把 适 合 f (x) 0 (mod m)而 对 模 m 互 相 同 余 的 一 切 数 算 作 f (x) 0 (mod m)的 一 个 解.
定 理5
设a
p1 1
p2 2
pkk , 则
(a) a(1 1 )(1 1 ) (1 1 ).
p1
p2
pk
§4 欧拉定理.费马定理及应用
定 理 1 (Euler) 设 m 是 大 于1的 整 数 , ( a,m) 1,则
a(m) 1 ( m o d m) .
多元一次同余方程的解法
多元一次同余方程的解法多元一次同余方程是指多个同余方程组成的方程组。
它解决的问题涉及到同余及其应用，如密码学等领域。
学习多元一次同余方程的解法，可以帮助我们更好地理解同余及其应用，也能帮助我们更快地解决一些问题。
下面是多元一次同余方程的解法：1.中国剩余定理（CRT）中国剩余定理是一种通过多个同余方程来求解原同余方程的方法。
假设我们需要求解如下的同余方程：x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)...x ≡ ak (mod mk)其中m1,m2,...,mk为互质的整数，即gcd(mi,mj) = 1（i ≠ j）。
CRT的思想是将原方程组分解为多个单元素同余方程，分别解出每个单元素同余方程的解，最后合并成原方程组的解。
CRT的步骤如下：（1）求出M = m1 x m2 x...x mk（2）求出Mi = M/mi (1 ≤ i ≤ k)（3）求出yi = Mi mod mi的逆元，使得yiMi ≡ 1(mod mi)（4）求解x0 = ΣaiyiMi（5）解的通解为x ≡ x0 (mod M)其中，x0是CRT的基础解，在基础解x0上加一个M的整数倍，就是原方程组的解。
2.高斯消元法（Gauss Elimination）高斯消元法是一种线性代数的解法，通常用于求解多元线性方程组，也可以用来求解多元同余方程组。
对于方程组中每个同余方程，我们可以将其转化为一个线性方程，然后使用高斯消元法求解。
以如下多元同余方程组为例：x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 4)x ≡ 2 (mod 5)我们可以将其转化为如下线性方程组：3x - 9y = -14x - 12z = -95x - 20w = -18然后，我们可以使用高斯消元法对其进行求解。
具体步骤如下：（1）将系数矩阵化为上三角矩阵（2）进行回带，求得各未知量的值（3）检验解是否正确3.同余分数线性规划法（SRFLP）SRFLP是一种特殊的分数线性规划法，它可以用于求解多元同余方程组。
同余式的简单介绍
关于a x≡b(modm)的解法1．当（a,m）≡1时：(1)若a,b<m,(a,b)=1且模数较大，可取余，将a变小，然后求出解。
eg:121x≡87(m0d257) 因为(121,257)=1,所以有一个解，x=194(mod257)(2)若a,b<m,(a,b)= 1且模数较小，用欧拉公式；eg: 7x≡5(mod10) 因为（7,10）所以有一个解。
（3）若（a,b ）=1,且a,b中至少有一个大于m，利用同余知识，将a,b化小再用（1）（2）式去解（4）若（a,b），≠约去两端的公因数；再用（1）（2）（3）式去解。
1Eg:58x≡87(mod47)2当（a,m）=d>1时:用d去除同于式，再用（a,m）=1去解<1>同余取倍法：（期刊-核心期刊和田师专科学校学报）JOURNAL OF HOTAN TEA CHERS COLLEGE 2009年第03期<2>一次同余式的初等变换解法：（山西大学学报：自然科学版）——袁虎延<3>一次同余式的逐级满足法<4>观察法解一次同余式<5>Euler定理解一次同余式<6>把同余式化为不定方程的解法<7>减少模数的方法解一次同余式<8>欧几里得法解一次同余式<9>分式法解一次同余式<10>威尔逊定理算法解一次同余式<下面仔细介绍>代数/数论/组合理论/《.黑龙江科技信息》2008年19期》摘要一次同余式解法的特点及其分析——作者：李婷只讨论（a,m ）=1时，同余式ax ≡b(modm)有以下七种解法（一）（1）观察法：在模m 的完全剩余系0,1，、、、，m-1中考虑同余式的解1.，当m 较小时，可用观察法，直接快速的得出方程的解eg 2x ≡1(mod3) 因为（2,3）=1所以有一个解，x ≡2(mod3)为其解2．当系数较大时，可用同余性质 ，将同余式系数减小，而且用带余除法定理，保证系数在一个固定范围内作为模m 的系数，进而用观察法，可快速得到方程的解。
一次同余式组的解法
学院学术论文一次同余式组的解法A congruence of the solution姓名所在学院专业班级学号指导教师日期摘要:研究了有关同余式组的解法,特别是孙子定理的应用,当模不两两互质时,就不能用孙子定理来解了,那该怎么办呢?我们将在实例的求解中来揭密.[Summary] Has studied the related congruence group's solution, specially Residue theorem application, when the mold 22 are not coprime, could not use the Residue theorem to solve, how should that manage? We will reveal in the example solution.关键字:一次同余式组 模 孙子定理[Key words] A congruence group Mold Residue theorem 正文：引理 1. （孙子定理）设1m ，2m ………. km 是k 个两两互质的正数，m=12......k m m m , m=i i m M , i=1,2,…,k ,则同余式组x ≡1b (mod 1m ),x ≡2b (mod 2m )，…，x ≡k b (mod k m )的解为：x ≡`111M M b +`222M M b +…+`k k k M M b (modm ）,……(2)，其中`i M M ≡1（mod i m ）,i=1,2,…,k.证明：由（i m ，j m ）=1，i ≠j 即得（i M ，i m ）=1，故由§1定理即知对每一i M ，有一`i M 存在，使得`i i M M ≡1（mod i m ）.另一方面m=i m i M ,因此j m |i M ，i ≠j ，故`1k j j j j MM b =∑≡`i i i M M b ≡i b （mod i m ）即为（1）的解。
我国古代关于求解一次同余式组的解法
我国古代关于求解一次同余式组的解法求解一次同余式组是古代数学中的一个重要问题，并且在当今的密码学、信息加密等领域仍有广泛应用。
古代中国的数学家们也研究了这个问题，并提出了一些有用的方法。
一、同余式组的定义和基本概念同余是数学中的一个重要概念，指两个数除以同一个数所得到的余数相等。
对于任意正整数m，如果a和b满足a≡b(mod m)，则称a 和b是在模m意义下同余的。
同余式可以用符号来表示，即a≡b(mod m)。
同余式组是由若干个同余式构成的方程组。
一个同余式组的解，就是满足所有同余式都成立的整数解。
二、中国剩余定理中国剩余定理是一种求解一次同余式组的重要方法。
该定理是中国数学家孙子在《数书九章》中首先提出的，后来由天文学家朱世杰详细阐述和推广。
中国剩余定理的基本思想是将原来的同余式组转化为同余式组的简单形式，再利用简单形式求解原来的同余式组。
设n1,n2,…,nk是k个不同的正整数，且两两互质，a1,a2,…,ak是任意k个整数。
则同余式组x≡a1(mod n1)x≡a2(mod n2)…x≡ak(mod nk)有唯一解x0，且x0满足0≤x0<n1×n2×…×nk。
具体实现方法如下：1. 求出N=n1×n2×…×nk。
2. 求出Ni=N/ni，即Ni与ni互质，且Ni的逆元对于ni来说存在。
这里的逆元指的是一个正整数x，使得x与ni互质，并且$xNi\equiv 1(mod\ ni)$。
3. 求出x0=a1Ni×Ni1+…+akNik×Nik。
显然，x0是x≡ai(mod ni)的唯一解。
三、孙子算经中的方法在孙子算经中，也有一些方法可以用于求解一次同余式组。
其中最著名的是“大衍求一术”和“一元二次不定方程求解法”。
1. 大衍求一术大衍求一术是孙子算经中的经典算法。
具体思路是先求出同余式组一组非常特殊的解，再通过这个解推导出一般的解。
一次同余法原理
一次同余法原理
嘿，朋友们！今天咱要来聊聊这个超有意思的“一次同余法原理”。
你们晓得不，这玩意儿就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开好多难题呢！
比如说，你想想看，一群小朋友分糖果，如果有 10 颗糖果多 3 颗，15 颗糖果也多 3 颗，那到底有多少小朋友呢？这时候一次同余法原理就派上用场啦！它能帮我们找到那个隐藏的答案。
就像我们在迷宫里找出口，这原理就是那盏照亮前路的灯呀！
再打个比方，就好比你要去一个陌生的地方找宝藏，一次同余法原理就是你手中的地图，能指引你正确的方向。
咱在生活中不也经常遇到类似的情况嘛，要在一堆复杂的情况中找出规律，找出那个关键的点。
“哎呀，这一次同余法原理真有这么神奇？”有人可能会这样问。
那当然啦！它可不只是理论上的东西，是真的能实实在在帮到我们呀！就好像你有一把万能钥匙，啥锁都能开。
还记得以前我和小伙伴们一起玩游戏，分卡片的时候就用到了这个原理，我们当时都觉得好神奇呀，怎么一下子就能找到合适的分法了呢！而且我们越用越觉得有趣，就像是发现了一个新的宝藏。
一次同余法原理真的是个很棒的东西，它能让我们更轻松地解决问题，更清楚地看到事物背后的规律。
所以啊，大家可千万别小瞧了它，要好好去了解它，去运用它呀！用它来开启我们的智慧之门，让我们的生活变得更加精彩有趣！。
一次同余方程解的个数
一次同余方程解的个数
同余方程是数学中的一个重要概念，指的是两个整数在模数相同的情况下具有相同的余数。
解决同余方程可以有多种方法，其中一种是利用同余定理。
那么，我们来探讨一下一次同余方程解的个数。
一次同余方程是指形如ax ≡ b (mod m) 的方程，其中 a、x、b 和 m 都是整数，a 和 m 不为零。
通过同余定理，我们可以得到一次同余方程的解个数。
具体来说，如果方程 ax ≡ b (mod m) 有解，那么解的个数与 a 和 m 的最大公约数 gcd(a, m) 有关。
如果
gcd(a, m) 的值为 1，那么方程有且仅有一个解。
否则，方程将有 gcd(a, m) 个解。
这个定理可以通过欧拉定理和扩展欧几里得算法得到证明。
对于一次同余方程ax ≡ b (mod m)，首先我们需要确保 a 和 m 的最大公约数 gcd(a, m) 等于 1。
如果不等于 1，则我们可以通过将方程两边同时除以 gcd(a, m) 来化简它，得到一个与原
方程等价的同余方程。
因此，一次同余方程解的个数可以通过计算 gcd(a, m) 的值来确定。
如果 gcd(a, m) = 1，则方程有一个解；如果 gcd(a, m) > 1，则方程有 gcd(a, m) 个解。
综上所述，一次同余方程解的个数与方程中 a 和 m 的最大公约数有关。
这个性质被同余方程理论所广泛应用，同时也有助于解决其他数学问题。
同余式
a x0 b (mod m)
xx0(mod m) 是同余式ax b (mod m)的解
m t (modm)是同余式 d ax b(modm)的解 x x0
4.1 基本概念及一次同余式
同余式概念 一次同余式解法
数论基础
x x0 m1t (modm), t Z , 是同余式 ax b(modm)的解
4.1 基本概念及一次同余式
设x0 ,y0是不定方程 ax my = b的解 ax0 my0 = b
数论基础
不定方程ax my = b的所 有解为
m m x x t x t 0 0 ( a , m) d y y a t y a t 0 0 ( a , m ) d
数论基础
4.2 孙子定理
孙子定理
xa(mod 3), xb(mod 5), xc(mod 7)
的一般解为: x 70a+21b+15c (mod 105) 明朝程大位的《算法统宗》(1593)
三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，
七子团圆整半月，除百零五便得知。
数论基础
4.2 孙子定理
孙子定理
' b M M b M j j j i i M i bi (modmi ),1 i k j 1 k
即(2)是(1)的解 唯一性：若x1,x2是适合(1)式的任意两个整数，则 x1 x2 (mod mi)，因为(mi, mj) = 1, i j ,于是x1 x2 (mod m)
关于解同余式组的问题, 在我国古代有极光辉的研究 成果. 我国代数学家孙子发明了下面的中外驰名的定理, 在国外誉为中国剩余定理, 在国内称为孙子定理.
一次同余式的解法探讨_刘耀斌
ｍ ａ ｘ ｂ［ ］（ ｍ ｏ ｄ ｍ） ． １ ０ ≡－ ａ
因为
ｍ ｍ ＝ ａ［ ］ ＋ａ １， ａ
也即
ｍ］ ［ ， ａ １ ＝ ｍ －ａ ａ
从而有
ｍ ） ｍ （ ， ｍ －ａ［ ］ ｘ ｂ［ ］（ ｍ ｏ ｄ ｍ） ０ ≡－ ａ ａ
所以
ｍ ｍ ｘ ｂ［ ］（ ｍ ｏ ｄ ｍ） ． －ａ［ ］ ０ ≡－ ａ ａ
； 收稿日期 ： 修改日期 ： ２ ０ １ ０ ０ ４ ０ ５ ２ ０ １ ２ ０ ６ ０ ４ － － － － ， 作者简介 ： 刘耀斌 （ 男， 山东德州人 ， 硕士 ， 讲师 ， 主要从事代 １ ９ ６ ８－） ： 数学方面的研究 ． Ｅ ｍ ａ ｉ ｌ ｌ ｂ ｃ ｈ ８ ９ ８ ５＠ｓ ｏ ｈ ｕ． ｃ ｏ ｍ ｙ ｇ
） ， ， 对 于一次同余式 （ 若ｄ ＝ （ 且ｄ｜ 则 １ ａ， ｍ） ｂ， ， ， ， 将 ａ ｂ ｍ 同除以ｄ 总可以化为如下的一次同余式 ， ， ａ ｘ ≡ｂ （ ｍ ｏ ｄ ｍ） ａ ０ （ ｍ ｏ ｄ ｍ） （ ａ， ｍ）＝ １． （ ） ２
ａ
ｍ） φ（
， ａ ｘ ≡ｂ （ ｍ ｏ ｄ ｍ） ｍ） １ － φ（ （ ， ｘ ≡ｂ ａ ｍ ｏ ｄ ｍ）
［ １］ （ 定理 １ Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ定理 ） 设 ｍ 是大于 １ 的整数 ，
（ 则 ａ， ｍ）＝ １， （ ） １
φｍ ， ａ ｍ ｏ ｄ ｍ） ≡１ （ 其中 φ（ ｍ）是正整数 ｍ 的欧拉函数值 ． 因为 （ 由最大公因数的性质可知 ａ， ｍ）＝ １， ｍ） φ（ （ ， ａ ｍ）＝ １，
又因为
ｍ］ （ ［ ， ｍ）＝ （ ｍ， ａ ＝ １， １） ａ
于是 ， ｘ０ ≡－ｂ （ ｍ ｏ ｄ ｍ） －ａ （ ） （ ） 也即 ｘ ≡ ｘ ｏ ｄ ｍ 是同余式 ６ 的解 ． ０ ｍ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一次同余式的解法的综述陈明丹 （华南师范大学数学科学学院 广州 510070）【摘要】本文系统地将解一次同余式的各种解法集中在一起，如欧拉定理算法、代入求解法、消去系数法、不定方程求解法、不定方程求解法、分式法、威尔逊定理法、求s 、t 法、矩阵求法、“倒数”求法，这样就使得学习者在学习一次同余式的时候有个系统的归纳总结，方便理解。
关键词：一次同余式；解法；欧拉定理；威尔逊定理；不定方程；综述初等数论是师范院校数学专业学生的一门必修课，也是高中数学教师继续教育的一项重要内容，而同余式是初等数论中非常重要的一部分内容，主要研究一次同余式、二次同余式、同余式组及高次同余式的解法及解数。
[1]一次同余式是学习这一部分内容的基础，且结一次同余式是学习初等数论必须要掌握的解题方法。
但是在严士键[2]的教材中只给出了如欧拉定理算法[3]等一些比较简单的方法，而且比较散乱。
本文旨在系统地整理解一次同余式的各种方法，以方便大家的学习。
1.一次同余式ax ≡ b(mod m)的解法1.1 同余式(mod ),(,)1ax b m a m ≡= 的解法1.1.1欧拉定理算法李晓东[1]和李婷[3]指出欧拉定理这种算法主要是运用欧拉定理，则有()1(mod )m m a ϕ≡,则()(mod )m a b b m a ϕ⋅⋅≡，则()1(mod )m x b m a ϕ-≡ 满足同余式(mod )ax b m ≡，故为同余式的解。
李婷还指出这种解法在理论上较易分析，但当模m 较大时，求()m ϕ就涉及m 的标准分解，此时这种解法在计算量上较为复杂，不宜进行计算机编程计算。
所以这种解法更适合模m 较小时，或()m ϕ较易求解时使用。
王靖娜[4]给出了详细的定理证明过程，以帮助大家的理解。
1.1.2代入求解法 代入求解法也称为观察法[3]，当模m 较小时，可以将模m 的完全剩余系0、1、2……m-1 代入到(mod )ax b m ≡中，求出该同余式的解。
当模m 较大时，则可以利用同余式的性质[2]，将同余式的系数减少，而且有带余除法定理[5]可保证系数在一个固定的范围内作为模m 的余数，从而再用观察法得出一次同余式的解。
李婷[3]这种解法适用于多数情况，但是当模m 及x 的系数较大时，计算量也会变得比较大，此时就不适合使用这种方法，而改用其他的方法。
1.1.3 消去系数法 在同余式(mod )ax b m ≡中，如果|a b ，则可以解出该同余式的解，因此，将x 的系数a 消去是解一次同余式的最简捷的方法[6]。
如果在同余式中但能找到c 使得(mod )b c m ≡且|a c ，则根据同余的传递性质有(mod )ax b c m ≡≡，可解出(mod )c x m a≡。
或者找到(mod )ax b c m ≡≡，且,a c 有公因数d ，(,)1d m =，则可根据引理将(mod )ax b m ≡化简为(mod )a c x m d d≡，按照此方法逐次消去x 的系数a 。
王迪吉、张维娟[6]把消去系数法分为三种，一是直接消去x 的系数a ，一是逐次消去x 的系数，还有一种是利用辗转相除法消去x 的系数a 。
这三种方法对于很多种情况的同余式都可以求解。
1.1.4 不定方程求解法王迪吉，张维娟[6]还指出同余式(mod )ax b m ≡有解的充分必要条件是不定方程ax my b =+有解，李婷[3] 还指出这种方法对模m 的要求较低而且易于利用计算机编程来求解同余式。
1.1.5不定方程求解法当(,)1a m =时，可利用辗转相除法求整数的最大公因数的方法，结合同余式的性质，可以转化为一个形如(mod )x r m ≡的同解方程，以达到求解的目的。
[3] 这种解法就叫做欧几里德算法。
这种解法本质上是：当m a >时，利用恒等变形将a 变小，直至将x 的系数变为1。
[7]1.1.6 分式法华罗庚[7]指出：对于(mod )ax b m ≡，先把(mod )ax b m ≡写成(mod )b x m a ≡的形式（这里的b a只是一种形式上的写法），然后用与m 互素的数陆续乘右端的分子和分母，目的在于把分母的绝对值变小，知道变为1为止。
但是需要注意的是这里的b a只是一种形式符号，不能当一般的分数进行运算。
更需要注意的是对b a的“分子”“分母”乘以不为零的整数或约去一个与模m 互质的数，否则所得出的结果可能不是原同余式的解。
这种方法给出了一次同余式的形式解，较直观。
但是这种解法只适合于模m 不太大时。
[3]1.1.7 威尔逊定理法威尔逊定理：p 为质数，则有(1)!10(mod)p p -+≡。
[3] 当(mod ),(,)1,0,ax b p a p a p p ≡=<<为质数，则由威尔逊定理有：(1)!(mod )ax b p p ≡--,则有(1)!(mod )p x b p a-≡-⋅。
[9] 这种解法和欧拉定理解法一样，也是给出了一次同余式的一组公式解，但是此时要求模p 为质数且不能太大，否则计算阶乘时将比较麻烦。
1.1.8求s 、t 法因为(,)1a m =的充分必要条件是存在s 、t 使得1as mt +=，则对同余式(mod )ax b m ≡有1(mod )as m ≡，所以有()(mod )a sb b m ≡，即(mod )x sb m ≡满足同余式(mod )ax b m ≡。
[10]这种解法主要是要求出s 、t ，但是s 、t 在某些时候是不容易求出的。
1.1.9矩阵求法毛毓球，陈永林[11]指出(mod )ax b m ≡也可以用矩阵方法去解，此时可以把基本矩阵取为0a b A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再对A 施以行初等变换，使它的某一行变为(1,)u 的形式时，此时(mod )x u m ≡是原一次同余式的解。
袁虎延[12]给出了五种类型的一次同余式的不同类型的矩阵的解法，这会使学习者更容易理解。
1.1.10“倒数”求法我们知道，当我们求解一元一次方程时，是通过恒等变形或同解变形，将一元一次方程化成最简方程(0)ax b a =≠的形式，然后再用未知数x的系数a 的倒数去乘方程两边，得出方程的解b x a =。
龙盛鼎[13]类比于这种解法，解一次同余式。
设想在求解一次同余式的时候也引入未知数x 的系数a 的“倒数”的概念。
他定义：设a 是整数，m 是一个给定的正整数，如果存在整数*a ，使得*1(mod )a m a ⋅≡，则称*a 为a 对于模m 的倒数。
则根据定理：若(,)1a m =，令*a 是a 对于模m 的倒数，则一次同余式(mod )ax b m ≡的解是*(mod )x b m a ≡。
[14]1.2 同余式(mod ),(,)1,|axb m a m d d b ≡=≠的解法同余式(mod ),(,)1,|ax b m a m d d b ≡=≠的解法是基于同余式(mod ),(,)1ax b m a m ≡= 的解法，这种题目的解题步骤是[1]： 、先判断同余式(mod )ax b m ≡是否有解，及解的个数。
②、再化为(,)1a m=类型的同余式。
③、根据前面提到的各种方法求解(,)1a m=类型的同余式。
④、在此基础上写出原同余式的所有解根据以上的步骤解题就可以求解出一次同余式(mod),ax b m≡(,)1,|a m d d b=≠的解。
2．结论一次同余式(mod)ax b m≡的解法一直以来都有学者在研究，所以他们在这一方面已有很深入的研究，上面的这些解法就是他们对解一次同余式(mod)ax b m≡的理解，各种解法各有千秋，在使用的时候还需要灵活变通，根据不同的类型而选择使用不同的方法，甚至是将各种方法融合在一起共同使用，以达到解题的目的。
参考文献：[1] 李晓冬,. 一次同余式解法的研究 [J]. 阴山学刊(自然科学版),2006,(2).[2] 严士健, 闵嗣鹤. 初等数论( 第三版) [M] 高等教育出版社, 2003: 74- 76.[3] 李婷.一次同余式解法的特点及其分析 [J]. 黑龙江科技信息,2008,(19).[4] 王靖娜.详析一次同余式求解定理的证明[J]. 陕西教育(高教版),2009,(4).[5] 张禾瑞，郝柄新.高等代数（第五版）[M].高等教育出版社，2007：31-32.[6] 王迪吉,张维娟.关于一次同余式的解法[J]. 新疆师范大学学报(自然科学版),2007,(4).[7] 华罗庚.数论导引[M].北京：高等教育出版社，1986,4:115-122.[8] 李复中.初等数论选讲[M].长春：东北师范大学出版社，1984,12:93-112.[9] 柯召，孙琦.数论讲义[M].北京：高等教育出版社，1986,4:115-122.[10] 冯克勤，余红兵.初等数论[M].北京：中国科技技术出版社，1999.[11] 毛毓球，陈永林.求解不定方程与同余式（组）的矩阵方法[J].数学通报（北京师范大学出版社）,1990,(4).[12] 袁虎廷.一次同余式的初等变换解法[J]. 山西大学学报(自然科学版),1998,(4).[13] 龙盛鼎.一次同余式的另一解法[J]. 内江师范学院学报,1987,(S1).[14] 潘承洞，潘成彪.初等数论（第二版）[M].北京：北京大学出版社，2002：:162-167.检索策略如下：1、试检索：在中国期刊全文数据库中检索，检索项为“篇名”，检索词为“同余式”，检索得出123条结果。
2、二次检索：然后再把检索词改为“解法+求解”进行二次检索得到31条结果。
3、最后从所检索出来的31条结果中挑选出与自己课题相关的论文，并下载。
总的检索表达式为：同余式*(解法+求解)检索的数据库为：中国期刊全文数据库。