直角三角形在生活中的应用

直角三角形在生活中的应用 教学目标 (一)教学知识点

1.探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.

2.能够把实际问题转化为数学问题,对结果的意义进行说明.

(二)能力训练要求

发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.

(三)情感与价值观要求

1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气.

2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.

教学重点

1. 探索直角三角形在生活中应用,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.

2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.

教学难点

根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.

教学方法

探索——发现法

教具准备

多媒体演示

教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

[师]直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.

下面我们就来看一个问题(多媒体演示).

[师]随着人民生活水平的提高，小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修 建10 m 高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m 长的斜道.(如图所示，用多媒体演示)

这条斜道的倾斜角是多少?

[生]在Rt △ABC 中，BC=10 m ，AC ＝40 m ，

sinA ＝4

1 AB BC .我们查表就可求出∠A. [师]我们知道，给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值都唯一确定.给定一个

锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗?为什么?

Ⅱ.讲授新课

下面请大家再来看一个问题(多媒体演示).

海中有一个小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南

偏西55°的B 处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续往

东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.

[师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的?

[生]应该是“上北下南，左西右东”.

[师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.

[生]首先我们可将小岛A 确定，货轮B 在小岛A 的南偏西55°的B 处，C 在B 的正东方，

且在A 南偏东25°处.示意图如下.

[师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?

[生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A 的

最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A 到BC 所在直

线的最短距离为过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足，即AD 的长度.我们需根据题意，计算出AD 的长

度，然后与10海里比较.

[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看

AD 如何求.根据题意，有哪些已知条件呢?

[生]已知BC °＝20海里，∠BAD ＝55°，∠CAD ＝25°.

[师]在示意图中，有两个直角三角形Rt △ABD 和Rt △ACD.你能在哪一个三角形中求出

AD 呢?

[生]在Rt △ACD 中，只知道∠CAD=25°，不能求AD.

[生]在Rt △ABD 中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC ＝20海里，但它不是Rt △ABD 的边，也不能求出AD.

[师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑?

[生]我发现这两个三角形有联系，AD 是它们的公共直角边.而且BC 是这两个直角三角

形BD 与CD 的差，即BC ＝BD-CD.BD 、CD 的对角是已知的，BD 、CD 和边AD 都有联系.

[师]有何联系呢?

[生]在Rt △ABD 中，tan55°＝AD BD ，BD=ADtan55°；在Rt △ACD 中，tan25°＝AD

CD ，CD ＝ADtan25°.

[生]利用BC ＝BD-CD 就可以列出关于AD 的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝

20.

[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方

都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.

下面我们一起完整地将这个题做完.

[师生共析]解：过A 作BC 的垂线，交BC 于点D.得到Rt △ABD 和Rt △ACD ，从而BD=AD tan55°，CD ＝ADtan25°，由BD-CD ＝BC ，又BC ＝20海里.得

ADtan55°-ADtan25°＝20.

AD(tan55°-tan25°)＝20， AD=︒-︒25tan 55tan 20≈20.79(海里). 这样AD ≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险.

活动与探究

如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A

处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必

须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40

海里／时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心

200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.

(1)问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.

(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?

(供选用数据：2≈1.4，3 ≈1.7) [过程]这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征.在转化、抽象成数学问题上下功夫.

[结果](1)过点B 作BD ⊥AC.垂足为D.

依题意，得∠BAC ＝30°，在Rt △ABD 中，BD= 21AB=2

1×20×16=160＜200， ∴B 处会受到台风影响.

(2)以点B 为圆心，200海里为半径画圆交AC 于E 、F ，由勾股定理可求得DE=120. AD=1603.

AE=AD-DE=1603 -120，

∴40

1203160-=3.8(小时). 因此，陔船应在3.8小时内卸完货物.

Ⅲ.随堂练习

1.一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m ，再爬30°的山坡100 m ，求山高.(结果精确到0.01 m)

解：如图，根据题意，可知

BC=300 m ，BA=100 m ，∠C=40°，∠ABF=30°.

在Rt △CBD 中，BD=BCsin40°

≈300×0.6428

＝192.8(m)； 在Rt △ABF 中，AF=ABsin30°

=100×

2

1