第八章 线性规划模型的建立与应用

解：设二室户的套数为X1、三室户的套数为X2，四室户 的套数为X3，总套数为X4+350,则有 目标函数：maxZ=0.2X1+0.3X2+0.4X3 约束条件：2 X1+2.5X2+3X3≦900 X1+X2+X3≧350 X1≦0.2(X4+350) X2≦0.6(X4+350) X3≦0.4(X4+350) 求解得X1=45，X2=210，X1=95，代入目标函数得Z=110 万元。
二、线性规划的求解——图解法 （五）最大化问题的图解法 第一步，找出问题的可行域 第二步，在可行域中寻求最优解，方法有 两种 ： A.查点法 B.图解法
二、线性规划的求解——图解法
x2
x1+x2=20
20 A
A(0,16) 280x1+150x2=4200
B(6.7,13.3)
C(9.2,10.8) D(15,0)
Max z CX n Pj x j b j 1 xj 0
C=(c1,c2,……cn)
x1 x2 X xn
a1 j a 2j Pj a mj
（一）可行解 线性规划问题的可行解是指，满足规划 中所有约束条件及非负约束的决策变量的一组取值， 其仅与约束条件有关而与目标函数值的大小无关。 （二）可行域 可行域是由所有可行解构成的集合。 根据线性规划的基本理论，任一个线性规划问题的可 行域，都是一个有限或无限的凸多边形，凸多边形的 每个角，称为可行域的极点。 （三）最优解 线性规划的最优解是指，使目标函数值 达到最优(最大或最小)的可行解。一个线性规划问题 可以是有解的，也可能是无解的，最优解的个数可能 是惟一的，也可能是有无穷多个，即决策变量有许多 组不同的取值，都使目标函数达到同一个最优值。
第 一 节 线 性 规 划 模 型 的 基 本 原 理
四、线性规划模型的基本结构
1. 决策变量 —— 未知数。它是通过模型计算来 确定的决策因素。又分为实际变量 —— 求解 的变量和计算变量，计算变量又分松弛变量 （上限）和人工变量（下限）。 2.目标函数——经济目标的数学表达式。目标函 数是求变量的线性函数的极大值和极小值这 样一个极值问题。 3.约束条件——实现经济目标的制约因素。它 包括：生产资源的限制（客观约束条件）、 生产数量、质量要求的限制（主观约束条 件）、特定技术要求和非负限制。
一、线性规划的概念
第 一 节 线 性 规 划 模 型 的 基 本 原 理
《经济大词典》定义线性规划：一种 具有确定目标，而实现目标的手段又有 一定限制，且目标和手段之间的函数关 系是线性的条件下，从所有可供选择的 方案中求解出最优方案的数学方法。
第 一 节 线 性 规 划 模 型 的 基 本 原 理
第 一 节 线 性 规 划 模 型 的 基 本 原 理
四、线性规划模型的基本结构
Min
Z=10x1+20x2
目标函数
s.t. x1+x2≥10
3x1+x2≥15
约束条件
x1+6x2≥15
x1≥0 , x2≥0
第 一 节 线 性 规 划 模 型 的 基 本 原 理
五、线性规划模型的一般形式
Max Z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn
一、建模 Max Z=200 x1+150 x2+100 x3 x1+x2+x3≤12 (1) 6x1+6x2+2x3≤48 (2) 36x1+24x2+18x3≤360 (3) x1≥0，x2≥0，x3≥0
一、建模
[ 例 3] 某农户有耕地 20 公顷，可采用甲乙 两种种植方式。甲种植方式每公顷需投 资 280 元，每公顷投工 6 个，可获收入 1000 元，乙方式每公顷需投资 150 元， 劳动 15个工日，可获收入 1200 元，该户 共有可用资金 4200 元、 240 个劳动工日。 问如何安排甲乙两种方式的生产，可使 总收入最大? 解：设甲方式种 x1 公顷，乙方式种 x2 公顷， 总收入为Z，则有：
例题
设配合饲料中，用甲 x1 单位，用乙 x2 单位， 则配合饲料的原料成本函数，即决策的目标 函数为Z=10x1+20x2。考虑三种营养含量限制 条件后，可得这一问题的线性规划模型如下： Min Z=10x1+20x2 x1+x2≥10 3x1+x2≥15 x1+6x2≥15 x1≥0 , x2≥0
a
j 1
n
ij
x j bi j 1,2,3, , n
xj 0 ,
极大值模型
第 一 节 线 性 规 划 模 型 的 基 本 原 理
五、线性规划模型的一般形式
Min Z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn
a11x1+a12x2+…+a1nxn ≥ b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ≥ b2 … … (m) am1x1+am2x2+…+amnxn ≥ bm (1) (2)
A(0,15)
B(2.5,7.5) C(9,1)
x2 15
D (15,0)
A B x1+x2=10 x1+6x2=15 D 15 x1 3x1+x2=15 可行域
10 5
C
ZA=300 ZB=175 ZC=110 ZD=150
O
5
10
10x1+20x2＝0
求出线性模型的可行域
4. 某房产开发公司可以选择建造二室户、三室户和四室 户的住宅，现在需要确定每种住宅的数量，以获得最大 利润，但要满足以下一些约束条件： （1）这项工程的总预算不超过900万元； （2）为了使这项工程在经济上可行，总单元数必须不少 于350套。 （3）基于市场的分析，每类住宅的最大百分数为： 二室户套数为总数的20%，三室户套数为总数的60%，四 室户套数为总数的40%。 （4）建筑造价（包括土地、建筑和工程费用，室内设施、 绿化等） 二室户:2 万元/ 套，三室户:2.5 万元/ 套,四室户:3 万元/ 套 （5）扣除利息，税收等之后的纯利润为： 二室户:0.2 万元/ 套，三室户:0.3万元/ 套,四室户:0.4万元/ 套。
a11x1+a12x2+…+a1nxn≤ b1 (1)
a21x1+a22x2+…+a2nxn≤ b2
… …
(2)
am1x1+am2x2+…+amnxn ≤ bm
x1 ，x2 ，…xn≥0
极大值模型
(m)
第 一 节 线 性 规 划 模 型 的 基 本 原 理
其简缩形式为
max Z c1 x1 c 2 x 2 c n x n
特点：
1.可以使研究对象具体化、数量化。可以对 所研究的技术经济问题做出明确的结论；
2.线性
3.允许出现生产要素的剩余量
4.有一套完整的运算程序
三、技术经济研究中运用线性规划方法的 特点及局限性
第 一 节 线 性 规 划 模 型 的 基 本 原 理 局限性： 1. 线性规划它是以价格不变和技术不变为前提条件的， 不能处理涉及到时间因素的问题。因此，线性规划只 能以短期计划为基础。 2.在生产活动中，投入产出的关系不完全是线性关系， 由于在一定的技术条件下，报酬递减规律起作用，所 以要满足线性假定是不可能的。在线性规划解题中， 常常把投入产出的非线性关系转化为线性关系来处理， 以满足线性的假定性，客观上产生误差。 3.线性规划本身只是一组方程式，并不提供经济概念， 它不能代替人们对现实经济问题的判断。
营养成分 （营养成分单位/原料 （营养成分单位/原料 单位） 单位） 钙 蛋白质 热量
1 3 1
1 1 6
10 15 15
一、建模
设配合饲料中，用甲 x1 单位，用乙 x2 单位， 则配合饲料的原料成本函数，即决策的目标 函数为Z=10x1+20x2。考虑三种营养含量限制 条件后，可得这一问题的线性规划模型如下： Min Z=10x1+20x2 x1+x2≥10 3x1+x2≥15 x1+6x2≥15 x1≥0 , x2≥0
二、线性规划的求解——图解法 （四）最优性定理 若一个线性规划问 题有最优解，则最优解一定可以在可行 域的某个极点上找到一个最优解。同时 仍有可能有其他最优解存在，但它们也 只可能存在于可行域的其他极点或是边 界上。如果我们的目的是找出一个最优 解而不是全部最优解，这一定理实际上 是把寻找的范围，从可行域中的无穷多 个可行点，缩小到可行域的有限几个极 点上。
第二节 线性规划模型的建立 与图解法求解
一、建模 二、线性规划的求解——图解法
一、建模
[例1]某饲料公司用甲、乙两种原料配制饲料，甲乙两种 原料的营养成份及配合饲料中所含各营养成份最低量 由表1给出。已知单位甲、乙原料的价格分别为10元 和20元，求满足营养需要的饲料最小成本配方。
表1 甲、乙两原料营养成份含量及最低需要量 甲原料x 1 乙原料x 2 配合饲料的最 低含量
二、线性规划三要素 1.目标函数最优化——单一目标 多重 目标问题如何处理？ 2.实现目标的多种方法 若实现目标只有 一种方法不存在规划问题。 3.生产条件的约束——资源是有限的 资源无限不存在规划问题。
第 一 节 线 性 规 划 模 型 的 基 本 原 理
三、技术经济研究中运用线性规划方法的 特点及局限性
第 一 节 线 性 规 划 模 型 的 基 本 原 理
线性规划是指如何最有效或最佳地谋划 经济活动。它所研究的问题有两类： 一类是指一定资源的条件下，达到最高 产量、最高产值、最大利润； 一类是，任务量一定，如何统筹安排， 以最小的消耗取完成这项任务。如最低成本 问题、最小投资、最短时间、最短距离等问 题。前者是求极大值问题，后者是求极小值 问题。总之，线性规划是一定限制条件下， 求目标函数极值的问题。