北师大版初二(上)数学：全等三角形(学生版)

全等三角形概念和性质

1.全等形

（1）定义：能够________的两个图形叫做全等形。

理解要点：图形的全等与他们的位置无关，只要满足能够完全重合即可；而完全重合包含两层意思：图形的________、________；全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积相等的两个图形不一定全等。

（2）几种常用全等变换的方式：平移、翻折、旋转。

2. 全等三角形及相关的概念

（1）全等三角形的定义：能够________的两个三角形叫做全等三角形。

（2）全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，①对应顶点：重合的顶点；

②对应边：重合的边；③对应角：重合的角。

（3）全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，如图所示△ABC≌△DEF。

符号“≌”的含义：“∽”表示_______，“=”表示________，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等。

（4）全等三角形的书写：①字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如△CAB≌FDE,则AB与__、AC与__、BC与__是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F时对应角；②图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；③图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边（角）是________，最小的边（角）是对应边（角）。

（5）对应边（角）与对边（角）的区别：对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边，两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的________。对边是与对角相对的边，对角是与边相对的角。

易错提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意书写。

3.全等三角形的性质

性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。还具备：全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的_________、_________。

易错提示：周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等。

1.全等三角形对应角相等,对应角相等

【例1】如图是“人”字形屋梁，AB＝AC．现在要在水平横梁BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁，工人师傅取BC的中点D，然后在A，D之间竖支柱AD．那么这根AD符合“垂直”的要求吗？为什么？

练1.如图所示，已知：A，C，F，D四点在同一直线上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求证：AB∥DE.

练2.已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，求证：∠C＝∠A.

练3.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠A＋∠D＝180°.

【例2】如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）

A．40° B．35° C．30° D．25°

练4. 如图，若△ABC≌△AEF，则对于结论：（1）AC=AF；（2）∠FAB=∠EAB；（3）EF=BC；（4）∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【例3】.如果△ABC≌△ADC，AB=AD，∠B=70°，BC=3cm，那么∠D=______，DC=________．练5.如图，如果△ABC≌△DEF，△DEF周长是32cm，DE=9cm，EF=13cm，∠E=∠B，则AC=____cm.

练6．（2014秋•涞水县期末）如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为（）

A．50° B.30° C．80° D．100°

【例4】如图，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠BEA=135°，求∠C的度数。

练7.如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数和EC的长．

【例5】(2015凉山州一中月考)若△ABC≌△DEF，△ABC

的周长为100，AB=30，EF=25，则AC=（）

A、55

B、45

C、30

D、25 练8.（2015鹰潭一中月考）如图，△ABC≌△ADE，且∠EAB＝120°，∠B＝30°，∠CAD＝

10°，∠CFD=______°

【例6】（2014湖北新县大王镇中学期中）如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=30°，

则∠ADC的度数为（）

160° B．110° C．140° D．120°

练9.如图：△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=___________．

练10.（2015镇江枫叶国际学校月考）如图，已知△ABC≌△

DEF,∠A=55°，∠E=50°，BC=10，CE=7，则∠D= ；∠2= ；CF= .

1．（2014-2015北京七中第一学期期中）如图,已知△ABC的六个元素,则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）

A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙

2.(2014-2015北京市第三十一中第一学期期中考试)如图所示，a,b,c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（）

a

丙

50°

72°

a

乙

50°

c

甲

50°

a c

72°

58°

50°

B

3.(2014-2015北京市第四十四中学第一学期期中)如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝85°，∠B

＝65°， 则∠CAD 度数为（ ）

A. 30°

B. 65°

C. 40°

D. 85° 4.如图所示，△AOB ≌△COD ，∠AOB=∠COD ，∠A=∠C ，则∠D 的对应角是_______，图中相

等的线段有___________．

5.如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标分别是A （-3，0），B （0，2），△OA ′B ′≌△OAB ，A ′在x 轴上，则点B ′的坐标是__________．

6.已知△ABC ≌△DEF ，BC=EF=6cm ，△ABC 的面积为18cm2，则EF 边上的高的长是____cm ．

7.在平面直角坐标系中，已知点A （1，2），B （5，5），C （5，2），存在点E ，使△ACE 和ACB 全等，写出所有满足条件的E 点的坐标___________．

8.如图，△ABC ≌△DCB ，AC 与BD 相交于点E ，若∠A=∠D=80°，∠ABC=60°，则∠BEC 等于___________.

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Ｄ Ｃ

Ａ Ｂ