高考物理万有引力专题复习讲义

高考物理万有引力专题辅导讲义太阳处不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同它与太阳的连线在相等行星在近日点的速率大于在远日点的速值只与中心天体有特别提醒(1)开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于其他天体的运动。

对于不同的中心天体，比例式a 3T2＝k 中的k 值是不同的。

(2)应用开普勒第三定律进行计算时，一般将天体的椭圆运动近似为匀速圆周运动，在这种情况下，若用R 代表轨道半径，T 代表公转周期，开普勒第三定律用公式可以表示为R 3T 2＝k 。

对万有引力定律的理解1．对万有引力定律表达式F ＝G m 1m 2r 2的说明(1)引力常量G ：G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2；其物理意义为：两个质量都是1 kg 的质点相距1 m 时，相互吸引力为6.67×10－11N 。

(2)距离r ：公式中的r 是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。

2．F ＝G m 1m 2r2的适用条件(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。

(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r 是两个球体球心间的距离。

(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r 是球体球心到质点的距离。

3．万有引力的四个特性(1)普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力。

(2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上。

(3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。

(4)特殊性：两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关。

特别提醒(1)万有引力与距离的平方成反比，而引力常量又极小，故一般物体间的万有引力是极小的，受力分析时可忽略。

(2)任何两个物体间都存在着万有引力，只有质点间或能看成质点的物体间的引力才可以应用公式F ＝G m 1m 2r2计算其大小。

(3)万有引力定律是牛顿发现的，但引力常量却是大约百年后卡文迪许用扭秤测出的。

万有引力和重力的关系1．在地球表面上的物体重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力。

如图所示，万有引力F 产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需的向心力F 向；二是产生物体的重力mg ，其中F ＝G MmR2，F 向＝mrω2(r 为地面上某点到地轴的距离)，则可知：(1)当物体在赤道上时，F 、mg 、F 向三力同向，此时F 向达到最大值，F向max＝mRω2，重力达到最小值，G min ＝F －F 向＝G MmR 2－mRω2，重力加速度达到最小值，g min ＝F －F 向m ＝GM R2－Rω2。

(2)当物体在两极点时，F 向＝0，F ＝mg ，此时重力等于万有引力，重力达到最大值，G max ＝GMmR 2，重力加速度达到最大值，g max ＝GMR 2。

(3)在物体由赤道向两极移动的过程中，向心力减小，重力增大，重力加速度增大。

2．地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力物体在地球表面附近(脱离地面)时，物体所受的重力等于地球表面处的万有引力，即mg ＝GMmR 2，R 为地球半径，g 为地球表面附近的重力加速度，此处也有GM ＝gR 2。

3．距地面一定高度处的重力与万有引力 物体在距地面一定高度h 处时，mg ′＝GMm R ＋h2＝m v 2R ＋h，R 为地球半径，g ′为该高度处的重力加速度。

特别提醒(1)由于地球的自转角速度很小，地球自转带来的影响可以忽略不计。

一般情况下可以认为G MmR 2＝mg ，化简可得GM ＝gR 2，此即常用的“黄金代换式”。

(2)在并非有意考查地球自转的情况下，一般近似地认为万有引力等于重力(数值)，但无论如何都不能说重力就是万有引力。

天体的质量和密度的计算首先要将天体看做质点，将环绕天体的运动看做匀速圆周运动，建立环绕天体围绕中心天体的模型，环绕天体所需要的向心力来自于中心天体和环绕天体之间的万有引力，然后结合向心力公式列方程：GMm r 2＝mv 2r ＝mrω2＝m 4π2T2r ＝m 4π2rf 2。

(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。

由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝MV ＝M 43πR 3＝3g 4πGR 。

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 。

①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2。

可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。

特别提醒(1)利用上面的方法求天体的质量时，只能求出被绕中心天体的质量而不能求出环绕天体的质量。

(2)掌握日常知识中地球的公转周期、地球的自转周期、月球绕地球的运动周期等，在估算天体质量时，可作为已知条件。

(3)在天文学中，环绕天体的线速度、角速度都比较难测量，而比较容易测量的是天体的轨道半径和环绕周期，所以M ＝4π2r 3GT2比较常用。

宇宙速度1．第一宇宙速度(环绕速度)(1)第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度，其大小为v 1＝7.9 km/s 。

(2)第一宇宙速度的求法： ①GMm R 2＝m v 21R，所以v 1＝GMR。

②mg ＝mv 21R，所以v 1＝gR 。

(3)第一宇宙速度既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度。

2．第二宇宙速度(脱离速度)：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其大小为v 2＝11.2 km/s 。

3．第三宇宙速度(逃逸速度)：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其大小为v 3＝16.7 km/s 。

人造地球卫星1．人类发射的绕地球运行的所有航天器均可称为人造地球卫星，它们的轨道平面一定通过地球球心。

2．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，极地卫星可以实现全球覆盖。

(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径。

3．地球同步卫星(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。

(2)周期 一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86400 s 。

(3)高度一定：离地面高度h ＝r －R ≈6R (R 为地球半径)。

(4)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。

一、卫星的运动规律1．卫星的轨道特点：一切卫星轨道的圆心与地心重合。

因为万有引力提供向心力，故地心和轨道的圆心重合。

2．卫星的动力学特点：卫星绕地球的运动近似看成圆周运动，万有引力提供向心力，类比行星绕太阳的运动规律，同样可得：G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r ＝ma ，可推导出：GMmr 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎦⎥⎥⎥⎤ma →a ＝GM r 2→a ∝1r2m v 2r →v ＝GM r →v ∝1r mω2r →ω＝ GMr3→ω∝1r 3m 4π2T 2r →T ＝ 4π2r3GM→T ∝r 3越高越慢特别提醒轨道半径r 一旦确定，a 、v 、ω、T 就确定了，与卫星的质量无关。

同时可以看出，在a 、v 、ω、T 这四个物理量中，只有T 随r 增大而增大，其他三个物理量都随r 的增大而减小。

这一结论在很多定性判断中很有用。

3．同步卫星的特点相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星，又叫通信卫星。

同步卫星有以下“七个一定”的特点：(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面。

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h 。

(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。

(4)高度一定：由GMmR ＋h 2＝m 4π2T 2(R ＋h )得地球同步卫星离地面的高度h ＝ 3GMT 24π2－R ≈6R ＝3.6×107 m 。

(5)速率一定：v ＝GMR ＋h＝3.1×103 m/s 。

(6)向心加速度一定：由G Mm R ＋h2＝ma得a ＝GMR ＋h2＝g h ＝0.23 m/s 2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度。

(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致。

特别提醒其他卫星的绕行方向可以不与地球自转方向一致。

4．同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较如图所示，用A 代表同步卫星，B 代表近地卫星，C 代表赤道上的物体。

用M 代表地球质量，R 代表地球半径，h 代表同步卫星离地表的高度。

(1)同步卫星A 与近地卫星B 的比较：同步卫星A 和近地卫星B 都是卫星，绕地球运行的向心力由地球对它们的万有引力提供，所以卫星的运动规律都适用。

由v ＝ GMr，T ＝2π r 3GM ，a ＝ GM r 2，可得v Av B＝ R R ＋h ，T AT B＝R ＋h 3R 3，a A a B ＝R 2R ＋h2。

(2)同步卫星A 与赤道上物体C 的比较：赤道上的物体C 随地球自转的向心力由万有引力的一个分力提供，所以卫星的运动规律对赤道上的物体不适用。

但因C 和A 的周期T 相同，故可用圆周运动的知识分析。

由v ＝2πr T ，a ＝4π2r T 2可得，v A v C ＝R ＋h R ，a Aa C ＝R ＋h R。

综上可知，对同步卫星A 、近地卫星B 和赤道上的物体C 而言，有T A ＝T C ＞T B ，v B ＞v A ＞v C ，a B ＞a A ＞a C 。

特别提醒极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

所以常用于军事上面的侦察卫星，它的运行规律同其他卫星相同。

宇宙速度1．第一宇宙速度的理解和推导(1)在人造卫星的发射过程中火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到越高的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到贴近地面的轨道上运行。

故有：G Mm R 2＝m v 21R，v 1＝ GMR＝7.9 km/s 。

或mg ＝m v 21R，v 1＝Rg ＝7.9 km/s 。