第4章 连续时间信号的采样
信号与系统自测题(第4章 连续时间信号与系统的复频域分析)含答案
） 。
D
、6
−t
18
( s) s 、线性系统的系统函数 H (s) = Y = ，若其零状态响应 y(t ) = (1 − e F ( s) s + 1
D B
−t
)u (t )
，则系
统的输入信号 f (t ) = （
A
） 。
−t
、 δ (t )
、e
u (t )
C
、e
−2 t
u (t )
D
、 tu(t )
C
2
、s
ω e −2 s + ω2
12
、原函数 e
1 − t a
t f( ) a
的象函数是（
B
B
） 。
C
s 1 F( + ) 、1 a a a 注：原书答案为 D
A
、 aF (as + 1)
、 aF (as + a)
D
、 aF (as + 1 ) a
t f ( ) ↔ aF (as ) a e f (t ) ↔ F ( s + 1)
A
−s s −s s
A
s 、1 F ( )e a a
−s
b a
B
s 、1 F ( )e a a
− sb
C
s 、1 F ( )e a a
t 0
s
b a
D
s 、1 F ( )e a a
sb
、 已知信号 x(t ) 的拉普拉斯变换为 X (s) ，则信号 f (t ) = ∫ λ x(t − λ )d λ 的拉普拉斯变换 为（ B ） 。 1 1 1 1 A、 X ( s ) B、 X (s) C、 X ( s) D、 X (s) s s s s 注：原书答案为 C。 f (t ) = ∫ λ x(t − λ )d λ = tu(t ) ∗ x(t )u(t ) tu(t ) ∗ x(t )u(t ) ↔ s1 X (s) 9、函数 f (t ) = ∫ δ ( x)dx 的单边拉普拉斯变换 F ( s ) 等于（ D ） 。 1 1 A、 1 B、 C、 e D、 e s s
04四章 连续时间信号与系统的S域分析
相应的傅里叶逆变换为
• Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为 Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
二、双边拉氏变换的收敛域
能使
收敛的S值的范围。
若f(t)绝对可积，则 F(jω)=F(s)|σ=0 或F(jω)= F(s)|s= jω
S平面与零点、极点
N (s) F ( s) D( s )
例5.1－5求复指数函数（式中s0为复常数）f(t)=es0t(t)的 象函数
• 解： L[e (t )] 0 e e dt 0 e
s0 t s0t st
( s s0 ) t
dt
1 , Re[ s] Re[ s0 ] s s0 1 t , Re[ s ] 若s0为实数，令s0＝，则有 e (t ) s
三、 S域平移（Shifting in the s-Domain）: 若 x(t ) X (s), ROC: R 则
x(t )e X ( s s0 ), ROC : R Re[s0 ]
s0t
表明 X (s s0 ) 的ROC是将 X ( s)的ROC平移了 一个Re[ s0 ] 。
1 s2 X 1 ( s) 1 , s 1 s 1
1 X 2 ( s) , s 1
ROC: 1
ROC: 1
而 x1 (t ) x2 (t ) t 1 ROC为整个S平面 • 当R1 与R2 无交集时，表明 X ( s) 不存在。
二、 时移性质（Time Shifting）:
ROC : 包括 R1 R2
x1 (t ) x2 (t ) X1 (s) X 2 ( s)
数字信号处理复习 (3)
式。
4、正弦型序列
x(n) sin(n )
要求：会判断正弦型序列的周期性
四、正弦序列的周期性
x(n) sin(n ) 的周期有三种情况：
2 1 、 N 是整数，则x(n)是周期序列，周期为N；
2 P 2、 是有理数，（其中P、Q为互质整数)， Q
则x(n)是周期序列，周期为P；
m
x ( m) h ( n m)
上式中，若序列x(n)和h(n)的长度分别是M和L,
则y(n)的长度为L+M-1。
三、几种常用序列 1、单位抽样序列δ(n) （1）定义式
1 (n 0) ( n) 0 (n 0)
1 (n m) ( n m) 0 (n m)
n
1.2 线性、移不变（LSI）系统 一、线性系统： 若y1(n)=T[x1(n)]、y2(n)=T[x2(n)]， 则a1 y1(n)+ a2y2(n)=T[a1x1(n)+ a2x2(n)]
例：判断下列系统是否线性系统。
y(n)=x(n)+1 y(n)=x(n+5) y(n)=x(3n)
二、移不变系统：
当n<0时，h(n)=0，则系统是因果系统。
例：下列单位抽样响应所表示的系统是否因果系统? A.h(n)=δ(n) C.h(n)= R10(n) B.h(n)=u(n) D.h(n)=e-20nu(n)
五、稳定系统 1、稳定系统的定义： 稳定（BIBO）系统是指当输入有界时，输出也有界的系统。 例：判断下列系统是否稳定系统。 y(n)=x(n-2)
二、掌握用留数法求Z反变换的方法
例：已知
X( z) 1 (1 2 z 1 )(1 1.2 z 1 )
精品文档-信号与系统分析(徐亚宁)-第4章
F2= s/(s^2+w0^2)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-10】用MATLAB求解【例4-3】, 设τ=1 解 求解的代码如下： %program ch4-10 R=0.02; t=-2:R:2; f=stepfun(t, 0)-stepfun(t, 1); S1=2*pi*5; N=500; k=0:N; S=k*S1/N; L=f*exp(t′*s)*R; L=real(L);
本例中
和
的ROC均为
Re[s]>0,
极点均在s=0处。但
有一个s=0的零点，
抵消了该处的极点，相应地ROC扩大为整个s平面。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析 4.2.3 复频移(s域平移)特性
【例4-4】
, s0为任意常数 (4-12)
求e-atcosω0tU(t)及e-atsinω0tU(t)的象函数。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
1. s 借助复平面(又称为s平面)可以方便地从图形上表示 复频率s。如图4-1所示，水平轴代表s Re[s]或σ, 垂直轴代表s的虚部，记为Im[s]或jω, 水平 轴与垂直轴通常分别称为σ轴与jω轴。如果信号f(t)绝 对可积，则可从拉氏变换中得到傅里叶变换：
f= exp(-t)+2*t*exp(-2*t)-exp(-2*t)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-9】 用MATLAB求解【例4-2】 解 求解的代码如下：
%program ch4-9 syms w0t; F1=laplace(sin(w0*t)) F2=laplace(cos(w0*t))
(4-2)
(仅供参考)信号与系统第四章习题答案
e −sT
=
−sT
2 − 4e 2
+ 2e −sT
Ts 2
（f） x(t) = sin πt[ε (t)− ε (t − π )]
sin π tε (t ) ↔
π s2 + π 2
L[sin
πtε (t
−π
)]
=
L e jπt
− 2
e− jπt j
ε (t
−π
)
∫ ∫ =
1 2j
∞ π
e
jπt e−st dt
4.3 图 4.2 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。
（1） f (t) 的傅里叶变换存在
（2） f (t )e 2t 的傅里叶变换存在
（3） f (t) = 0, t > 0
（4） f (t) = 0, t < 5
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。 【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收
= cosϕ eω0tj + e−ω0tj − sin ϕ eω0tj − e−ω0tj
2
2j
=
cos 2
ϕ
−
sin 2
ϕ j
e
ω0 t j
+
cosϕ 2
+
sin ϕ 2j
e −ω 0tj
F(s) =
L
cosϕ 2
−
sin ϕ 2j
eω0tj
+
cos 2
ϕ
+
sin ϕ 2j
e
−ω0
t
j
ε
(t
)
∫ ∫ =
通信原理第四章word版
第四章.连续时间信号与系统频域分析一.周期信号的频谱分析1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：()()()()()j tj t j tj y t eh t eh d ee h d ωωτωωτττττ∞∞---∞-∞=*==⋅⎰⎰简谐振荡信号傅里叶变换：()()j H j e h d ωτωττ∞--∞=⎰点 测 法： ()()j t y t e H j ωω=⋅ 2.傅里叶级数和傅里叶变换3.荻里赫勒（Dirichlet ）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）○1()f t 绝对可积，即00()t T t f t dt +<∞⎰○2()f t 的极大值和极小值的数目应有限 ○3()f t 如有间断点，间断点的数目应有限4.周期信号的傅里叶级数5.波形对称性与谐波特性的关系6.周期矩形脉冲信号7.线性时不变系统对周期信号的响应一般周期信号：()jn tnn F ef t ∞Ω=-∞=∑系统的输出 ：()()jn tnn F H jn t e y t ∞Ω=-∞Ω=∑ 二.非周期信号的傅里叶变换（备注）二.非周期信号的傅里叶变换1.连续傅里叶变换性质2.常用傅里叶变换对四.无失真传输1.输入信号()f t 与输出信号()f y t 的关系 时域： ()()f d y t kf t t =-频域：()()dj t f Y ke F ωωω-=2.无失真传输系统函数()H ω ()()()d f j t Y H ke F ωωωω-==无失真传输满足的两个条件：○1幅频特性：()H k ω= （k 为非零常数） 在整个频率范围内为非零常数 ○2相频特性：ϕ()d t ωω=- （ 0d t > ）在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直线3. 信号的滤波：通过系统后 ○1产生“预定”失真○2改变一个信号所含频率分量大小 ○3全部滤除某些频率分量 4.理想低通滤波器不存在理由：单位冲击响应信号()t δ是在0t =时刻加入滤波器 的，而输出在0t <时刻就有了，违反了因果律5.连续时间系统实现的准则时 域 特 性 ： ()()()h t h t u t =（因果条件） 频 域 特 性 ： 2()H d ωω∞-∞<∞⎰佩利-维纳准则（必要条件）：22()1H d ωωω∞-∞<∞+⎰五.滤波。
《数字信号处理》(2-7章)习题解答
第二章习题解答1、求下列序列的z 变换()X z ，并标明收敛域，绘出()X z 的零极点图。
(1) 1()()2nu n (2) 1()()4nu n - (3) (0.5)(1)nu n --- (4) (1)n δ+(5) 1()[()(10)]2nu n u n -- (6) ,01na a <<解：(1) 00.5()0.50.5nn n n zZ u n z z ∞-=⎡⎤==⎣⎦-∑，收敛域为0.5z >，零极点图如题1解图(1)。
(2) ()()014()1414n nn n z Z u n z z ∞-=⎡⎤-=-=⎣⎦+∑，收敛域为14z >，零极点图如题1解图(2)。
(3) ()1(0.5)(1)0.50.5nnn n zZ u n z z --=-∞-⎡⎤---=-=⎣⎦+∑，收敛域为0.5z <，零极点图如题1解图(3)。
(4) [](1Z n z δ+=，收敛域为z <∞，零极点图如题1解图(4)。
(5) 由题可知，101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)n n nZ u n u n Z u n Z u n z z z z z z z z z z z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⋅=-----==--收敛域为0z >，零极点图如题1解图(5)。
(6) 由于()(1)nn n a a u n a u n -=+--那么，111()(1)()()()nn n Z a Z a u n Z a u n z z z a z a z a a z a z a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=----=-- 收敛域为1a z a <<，零极点图如题1解图(6)。
(1) (2) (3)(4) (5) (6)题1解图2、求下列)(z X 的反变换。
信号与系统第4章 连续信号的频域分析
1
信号与系统
出版社 理工分社
4.1 周期信号的傅里叶级数
所有具有各自不同频率的正弦函数 sin nΩt（n =1，2，…）和余弦函数 cosnΩt（n =0，1，2， …）在时间区间（ t0，t0+2π /Ω）范围内构成一个 完备的正交函数集。同样，所有虚指数函数ejnΩt （n = ±0，±1，±2，…）在此时间范围内也构成 一个正交函数集。傅里叶提出，一个周期信号可以 用以上两种正交函数集中相互正交的若干函数的线 性组合来表示。或者说，可以将周期信号分解为这 些正交函数的加权和。
35
信号与系统
出版社 理工分社
4.6.1 帕塞瓦尔定理 对周期功率信号 f（t），假设其傅里叶系数为 Fn，则其平均功率为
对能量信号 f（t），假设其傅里叶变换为 F（ jω），则其能量为
36
信号与系统
出版社 理工分社
这说明，式（4.6.1）右边的每一项代表周期 信号中每个复简谐分量的平均功率，而式中右边的 积分是根据时域表达式计算信号平均功率的定义式 。因此，式（4.6.1）所示周期信号的帕塞瓦尔定 理说明，周期信号的平均功率等于各分量的平均功 率之和。考虑到 |Fn|为偶函数，并且由式（4.1.6 ）可知 |Fn|=An/2，代入式（4.6.1）还可以得到周 期功率信号帕塞瓦尔定理的另一种描述，即
33
信号与系统
出版社 理工分社
③非周期信号只有傅里叶变换和频谱密度。而 周期信号既有频谱，也有频谱密度，它们之间可以 通过式（4.5.4）进行转换。
④周期信号的频谱密度都是由冲激函数构成的 。此外，许多不满足绝对可积条件的信号，如果存 在傅里叶变换，其频谱密度中一般都含有冲激函数 ，如单位阶跃信号。
图 4.5.1 复简谐信号、余弦信号和正弦信号的频谱图
第4章 连续信号与系统的复频域分析
式（ 4.1-5 ）和（ 4.1-6 ）称为双边拉普 拉斯变换对，可以用双箭头表示f ( t )与F(s) 之间这种变换与反变换的关系
记F (s) L [ f (t )], f (t ) L [ F (s)]
-1
f (t ) F ( s)
从上述由傅氏变换导出双边拉普拉 斯变换的过程中可以看出，f (t) 的双边 拉普拉斯变换F(s)=F( j )是把f (t)乘 以e - t之后再进行的傅里叶变换，或者 说F(s)是f ( t ) 的广义傅里叶变换。
j
1
j
st
ds
t > 0
(4.1-9）
记为£ -1[ F(s)]。即
F(s) =£ [ f (t) ]
–1 [ F (s) ] 和 f (t) = £
式（4.1-8）中积分下限用0－而不用0＋， 目的是可把t = 0－时出现的冲激考虑到变换中 去，当利用单边拉普拉斯变换解微分方程时， 可以直接引用已知的起始状态f (0－)而求得全 部结果，无需专门计算0－到0＋的跳变。
经过 0 的垂直线是收敛边界，或称为 收敛轴。
由于单边拉普拉斯变换的收敛域是由 Re[s] = > 0的半平面组成，因此其收敛 域都位于收敛轴的右边。
凡满足式(4.1-10)的函数f ( t )称为“指 数阶函数”，意思是可借助于指数函数的 衰减作用将函数f(t) 可能存在的发散性压下 去，使之成为收敛函数。
在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存 在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不 存在。
双边拉普拉斯变换对并不一一对应， 即便是同一个双边拉普拉斯变换表达式， 由于收敛域不同，可能会对应两个完全不 同的时间函数。
因此，双边拉普拉斯变换必须标明收 敛域。
《信号与系统》第四章
图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
何子述信号与系统习题解答第4章连续时间傅里叶分析(2012新)
2 2 3j 1
F δ t 1 δ
n
j t
F
n
再由傅里叶变换的线性，可得 h t 为
h t 2 t 3¢ t t
（c）同理可得
j Y 6Y j F 2 j F 3F
何子述
高等教育出版社
h t
题 4.8 解：
sin 1t πt
δ t
sin 2 t πt
该题中的单边带通滤波器的频率响应可看成是一个截止频率为 c 的低通滤波器的 频率响应在频谱上的一个搬移，搬移量为 3c ，由第三章傅里叶变化的频移特性知，信 号在时域乘以一个复指数信号 e j0t 后，其傅里叶变换在频域上平移 0 。 由主教材式（4.2.2）知，低通滤波器的冲激响应为
h t
由上可知，一定存在一个信号 g t ，使得
sin c t t
h t
且 g t 为
sin c t πt
g t
g t e j3c t
题 4.9 解： 由主教材式（4.2.1）知，理想低通滤波器的频率响应为
1, H 0,
由主教材式（4.2.2）知，其冲激响应为
c c
h t
sin c t πt
由主教材式（4.1.3）知，系统频率响应 H 可表示为
H H e jH
（a）由上式知，该滤波器对应的频率响应为
H1 H e
0 c c 0 其他
上式可看成截止频率为 c / 2 的低通滤波器被频移至 c / 2 和 c / 2 ，并分别乘上幅度 j 和 j ，且截止频率为 c / 2 的低通滤波器可表示为 H 2 ，所以 H 3 可表示为
第三、四章连续时间信号与系统的频域分析内容总结
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
8 页
例15、试求信号f(t)=cos(4t+ )的频谱 。 3
解：
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
9 页
例16、一因果LTI系统的输入和输出，由下列微分方程表示：（采用傅里叶变
换计算）。 （1）求系统的单位冲激响应 h( t ) ；
d 2 y( t ) dy( t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析内容总结
2 页
第四章是傅里叶变换在LTI系统分析中的应用。 在第三章信号频域分解、分析基础上，研究不同激励信号 通过系统的响应、信号通过系统无失真条件、理想低通滤波器 模型以及物理可实现条件、希尔伯特变换、抽样定理等主要内 容。
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
3) (j
5)
1ห้องสมุดไป่ตู้
j
3
1
j 5
2
j
4
y z s(t ) e 3t (t ) e 5t (t ) 2e 4t (t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
10 页
例17、如图所示系统，其乘法器的两个输入端分别为：f (t) sin(2t) , s(t) cos(6t)
系统的频率响应为
8
15y( t ) 2 f ( t )
dt 2
dt
（2）若 f ( t ) e4t( t ) ，求该系统的零状态响应 yzs (t) 。
解： （1）
H ( j)
2
11
j2 8 j 15 j 3 j 5
h(t) e 3t(t) e 5t(t)
（2）
数字信号处理答案
第二章 离散时间信号与系统1. 为什么数字角频率为π时表示正弦信号变化最快？2. 确定下列序列的周期18[]3[]cos 78j n x n e x n n πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 3. 证明 [][]xy yx r n r n =-4. 判断系统的线性、时不变性、因果性和稳定性{}21[]sin []2n T x n n x n +⎛⎫= ⎪⎝⎭5. 证明LTI 系统满足[][][]y n x n h n =*6. LTI 系统的线性常系数差分方程和卷积表示间的关系是什么？7. 比较FIR 和IIR 在以下几方面的异同：单位取样响应的长度、卷积表示是否是有限项求和、差分方程是否与卷积一致、直接实现是否有反馈。
8. 为什么傅立叶变换会得到负频率？9. 傅立叶变换以2π为周期与π为正弦序列的最高频率间的关系。
10. 什么是稳态响应？FIR 和IIR 系统达到稳态响应的时间长短有何区别？为什么？11.用特征函数法、时域或频域卷积法求LTI系统的输出。
其中系统的频响和输入序列分别为：()24112[]sin4jjjeH eenx nωωωπ---=+⎛⎫= ⎪⎝⎭第二章答案1.因为数字信号两个点间采样间隔不为0，如果两点间变换频率高于π看起来就和变化频率低于π是一样的效果。
2.1(1) 2/2/()16,8314(2) 2/2/(),1473NNπωπππωππ===∞===3.][]'[]'[][][][nrnkxkynkykxnryx kkxy-=-=+=∑∑∞-∞=∞-∞=4.线性，时变，因果，稳定。
5.][*][][][]}[{][][][][nhnxknhkxknTkxknkxTnykkk=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=δδ6.差分方程求和项数有限，可以有输出的递归存在；卷积表示求和项数可能无限，没有输出的递归；对于FIR，两者可以是一致的。
(2021年整理)信号与系统第4章习题
（完整）信号与系统第4章习题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）信号与系统第4章习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）信号与系统第4章习题的全部内容。
信号与系统第4章习题一、选择题1、连续周期信号的频谱有（ ）A 。
连续性、周期性 B.连续性、收敛性C 。
离散性、周期性 D.离散性、收敛性2、已知)(t x 是周期为T 的函数，)(t x －)25(T t x +的傅里叶级数中，只可能有（ ） A.正弦分量 B.余弦分量 C.奇次谐波分量 D 。
偶次谐波分量3、下列关于傅氏变换的描述的不正确的是( ） A.时域周期离散,则频域也是周期离散的； B 。
时域周期连续，则频域也是周期连续的；C.时域非周期连续，则频域也是非周期连续的；D.时域非周期离散，则频域是周期连续的。
4、周期矩形脉冲序列的频谱的谱线包络线为（ ）A.δ函数B.Sa 函数C.u 函数D.无法给出5、满足傅氏级数收敛条件时，周期信号)(t x 的平均功率( ) A.大于各谐波分量平均功率之和 B.不等于各谐波分量平均功率之和C.小于各谐波分量平均功率之和D.等于各谐波分量平均功率之和6、时域是实偶函数，其傅里叶变换一定是（ ）A.实偶函数 B 。
纯虚函数 C.任意复函数 D.任意实函数7、信号的时宽与信号的频宽之间呈（ ）A.正比关系B.反比关系C.平方关系D.没有关系8、幅度调制的本质是（ )A.改变信号的频率B.改变信号的相位C.改变信号频谱的位置D.改变信号频谱的结构9、已知信号)(t x 如下图所示，则其傅里叶变换为（ )A.)2(2)4(2ωττωττSa Sa +B. )2(2)4(ωττωττSa Sa + C. )2()4(2ωττωττSa Sa + D. )2()4(ωττωττSa Sa + 10、设一个矩形脉冲的面积为S ，则矩形脉冲的傅里叶在原点处的函数值等于（ ） A 。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
在实际中，信号是有始(因果)信号，即t<0 时，f(t)=0，因此
F ( s ) f (t )e st dt
0
上式称为f(t)的单边拉氏变换。积分下限 t=0- ，是将起始状态考虑进去，并且用拉氏 变换求解微分方程，无需专门计算0- 到0+ 的 跳变。 而拉氏反变换的积分限并不改变。
信号f(t)可分解为复指数函数est=eσtejωt 的线性组合。在这里由于σ可正、可负， 也可为零，因此这些复指数函数可以是增 幅的、减幅的或等幅的振荡信号，这与傅 里叶分析中作为基本信号的等幅振荡信号 ejωt相比，具有更普遍的意义。 复频率函数F(s)与傅里叶变换F(jω)相似， 是一个频谱密度函数，它反映了信号的基 本特征，因此可以利用拉普拉斯变换在复 频域对信号进行分析。
4.1.3单边拉普拉斯变换的收敛域
若满足
0
| f (t )e t | dt
则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)存在。使F(s)存在 的σ取值范围，称为f(t)的单边拉普拉斯变换F(s) 的收敛域。 单边拉普拉斯变换收敛域与因果信号双边拉普拉斯 变换的收敛域是相同的，即单边拉普拉斯变换的收 敛域为 Re[s]=σ>σ0(σ0为某一确定的实数) 它是以收敛轴Re[s]=σ0为收敛边界的S平面的右边 区域。σ0与信号f(t)在t≥0时的特性有关，信号 一经给定，则σ0就是确定的。
f ( t ) e at ( t ) lim f ( t )e t ] 0 [
t
( a 0)
若f ( t )乘以e t，并满足 a，就可以得到 即信号f ( t )e t 满足绝对可积条件，其傅里叶变换存在。
连续时间信号的抽样及频谱分析-时域抽样信号的频谱__信号与系统课设
连续时间信号的抽样及频谱分析-时域抽样信号的频谱__信号与系统课设1 引言随着科学技术的迅猛发展，电子设备和技术向集成化、数字化和高速化方向发展，而在学校特别是大学中，要想紧跟技术的发展，就要不断更新教学和实验设备。
传统仪器下的高校实验教学，已严重滞后于信息时代和工程实际的需要。
仪器设备很大部分陈旧，而先进的数字仪器(如数字存储示波器)价格昂贵不可能大量采购，同时其功能较为单一，与此相对应的是大学学科分类越来越细，每一专业都需要专用的测量仪器，因此仪器设备不能实现资源共享，造成了浪费。
虚拟仪器正是解决这一矛盾的最佳方案。
基于PC 平台的虚拟仪器，可以充分利用学校的微机资源，完成多种仪器功能，可以组合成功能强大的专用测试系统，还可以通过软件进行升级。
在通用计算机平台上，根据测试任务的需要来定义和设计仪器的测试功能，充分利用计算机来实现和扩展传统仪器功能，开发结构简单、操作方便、费用低的虚拟实验仪器，包括数字示波器、频谱分析仪、函数发生器等，既可以减少实验设备资金的投入，又为学生做创新性实验、掌握现代仪器技术提供了条件。
信号的时域分析主要是测量测试信号经滤波处理后的特征值，这些特征值以一个数值表示信号的某些时域特征，是对测试信号最简单直观的时域描述。
将测试信号采集到计算机后，在测试VI 中进行信号特征值处理，并在测试VI 前面板上直观地表示出信号的特征值，可以给测试VI 的使用者提供一个了解测试信号变化的快速途径。
信号的特征值分为幅值特征值、时间特征值和相位特征值。
尽管测量时采集到的信号是一个时域波形，但是由于时域分析工具较少，所以往往把问题转换到频域来处理。
信号的频域分析就是根据信号的频域描述来估计和分析信号的组成和特征量。
频域分析包括频谱分析、功率谱分析、相干函数分析以及频率响应函数分析。
信号在时域被抽样后,他的频谱X(j )是连续信号频谱X(j )的形状以抽样频率为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数Pn加权。
信号与信息处理基础习题答案
信号与信息处理基础习题及题解信息与通信工程系2009年3月目录第1章绪论 (1)第2章连续时间信号的时域分析 (2)第3章连续时间信号的频域分析............................................................... 错误！未定义书签。
第4章连续时间信号的复频域分析........................................................... 错误！未定义书签。
第5章离散时间信号的时域分析............................................................... 错误！未定义书签。
第6章离散时间信号的时域分析............................................................... 错误！未定义书签。
第7章离散时间信号的复频域分析........................................................... 错误！未定义书签。
第8章信息论与编码................................................................................... 错误！未定义书签。
第1章绪论1-1结合具体实例，分析信息、消息和信号的联系和区别。
具体实例略。
信息、消息和信号三者既有区别又有联系，具体体现在：⑴信息的基本特点在于其不确定性，而通信的主要任务就是消除不确定性。
受信者在接收到信息之前，不知道发送的内容是什么，是未知的、不确定性事件。
受信者接收到信息后，可以减少或者消除不确定性。
⑵消息是信息的载体。
可以由消息得到信息，以映射的方式将消息与信息联系起来，如果不能建立映射关系就不能从消息中得到信息。
例如，一个不懂得中文的人看到一篇中文文章，就不能从中获取信息。
数字信号处理第4章 相关与谱分析
17
由DTFT的性质，时域上两个序列相乘，在频 域上是两个序列的离散时间傅里叶变换的卷积，即 加窗后序列x1(n)的频谱函数为：
18
图4.1.2矩形窗频谱函数的幅度频谱
19
图4.1.3用矩形窗函数截断余弦序列后的频谱
20
前后序列的频谱存在差异。这种差异对频谱分 ①频谱泄漏。无限长序列加矩形窗截断后，在 矩形窗频谱函数的作用下，使得X(ejω)出现了较大 的频谱扩展和向两边的波动，通常称之为频谱泄漏
1
对信号作频谱分析，实际上就是计算信号的傅 里叶变换，获得信号的频谱函数或频谱图。对于非 周期连续信号，其傅里叶变换是连续非周期函数； 对于周期的连续时间信号，其傅里叶分析是无穷级 数；离散时间序列的傅里叶变换是w的连续周期函 数。无论哪一种变换，都不便于用计算机计算。
2
一、用DFT对连续时间信号进行谱分析的原理和 公式推导 设xa(t) 为连续时间信号，对xa(t)以时间间隔T 进行采样，得到离散时间信号即序列x(n)。分别用 Xa(jΩ)和X(ejω)表示xa(t)和x(n)经过傅里叶变换后的 频谱函数，有：
3
由连续时间信号的傅里叶逆变换得： 因为x(n)是xa(t)
4
令ω=ΩT－2πk，则有
又由IDTFT的定义知：
5
对比上两式可得离散时间信号x(n)与连续时间 信号xa(t)的频谱函数关系为：
6
如果连续时间信号的频谱是有限带宽且最高角 频率为Ωc，同时抽样过程满足取样定理，即Ωs≥2Ω c，那么当时，
7
另一方面，设x(n)是有限长序列，长度为L， 其N点的DFT记为X(k)。 X(k)是X(ejω)在［0，2π）区间上的N个等间隔 采样点，即：
8
由频域取样定理知，当N≥L时，X(ejω)完全可 由X(k)确定，此时有：
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2、若xa (t ) 为带限信号，最高频率分量为 Qh ，即
X a ( j ) X a ( j ) 0 h h
则当采样频率 Qs 2Qh 时的 xs ( jQ) 频谱无混叠失真， 可以由 xs (t ) 无失真的恢复 xa (t ) 。 3、反之当采样频率 Qs 2Qh 时的 xs ( jQ) 频谱有混叠失真 xs (t ) 无失真的恢复 xa (t ) 。 ，无法由
sin
(t nT )
若记 n (t ) (t T nT ) T
sin
(t nT )
T (t nT ) T
为内插函数，则xa (t ) n xa (nT ) n (t )
*输出=原信号抽样点的值与内插函数乘积和。
3.内插函数 n (t )
n
xa ( ) ( nT )h(t )dt
n xa ( ) ( nT )h(t )dt
n xa (nT ) h(t nT ) n xa (nT )
由于 Y ( j) X s ( j) H ( j) X a ( j) 卷积定理 y(t ) xs (t ) h(t ) xa (t ) 因为
T H ( j ) 0 s 2 s 2
，根据时域
所以
1 h(t ) F H j 2
一、信号采样
xa (t )
采样器一般由电子开关组成，开关每隔Ｔ秒短暂地 闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。
采样x s (Βιβλιοθήκη )xa (t )
x s (t )
s (t )
x ( t ) x ( t ) s ( t ) s(t ) n [u (t nT ) u (t nT )] 采样过程 s ，其中 a
1 xs (t ) xa (t ) T (t ) xa (t ) k e jk st T
X s ( j) xs (t )e jt dt
1 xa (t ) k e jk st e jt dt T 1 k xa (t )e j ( k s )t dt T 1 k X a ( j ( k s )) T
采样定理解决了在什么条件下，采样信号能够保留原信号全 部信息的问题
如何从采样信号中恢复原来的连续信号？ 1、从工程实现的角度，可以利用理想低通滤波器提取原 信 号的频谱。 2、从数学的角度就是函数的插值。
三.信号的恢复与采样内插公式
1.频域分析
xs (t ) xa (t ) 无失真恢复的条件：满足时域采样定理， s 2h 即
xs (t ) 的频谱为 X s ( j)
1 X a ( j ( k s )) k T
假设 xa (t )为带限信号,最高频率分量为 Qh ,则有
(1).Qs 2Qh
X a ( j )
(2).Qs 2Qh
X a ( j )
1
1
h
0
h
h
0
h
xs (t ) xa (t ) T (t ) xa (t ) n (t nT )
n xa (t ) (t nT ) n xa (nT ) (t nT )
T (t )
xs (t )
0
t
0
t
注意区分 xs (t )和x(n) ，它们都是连续信号采样后的离散序列表 示，不同点是：xs (t ) 实质是连续时间信号，该信号仅在采样周 期的整数倍上取非零值，而 x(n) 为离散时间信号，它只依赖 于变量n，不包含任何有关采样周期或采样频率的信息，也就 是说相当于引入了时间归一化。
s
其中
1 T2 Ak T (t )e jk st dt T T 2 1 T2 n (t nT )e jk st dt T T 2 1 T2 (t )e jk st dt T T 2 1 T
所以
T (t )
1 jk s t e k T
（1）在抽样点上，信号值不变；
（2）抽样点之间的信号则由各抽样函数波形的 延伸叠加而成。
（3）只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱， 整个连续信号就可以用它的采样值完全代表， 而不损失任何信息 ——奈奎斯特定律
xa (t )
S a (t T ) T
S a (t 3T ) T
•奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失真 还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍， Ωs≥2Ωh
s 常 称 作 折 叠 频 率 2 .2Q h 称 为 奈 奎 斯 特 速 率
•实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混淆，采 样频率总是选得比两倍信号最高频率h更大些， 如Ωs >(3--5)h。 •同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器 造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置 低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于S/2频率分 量进入。
X s ( j )
1T
s 2
1T
X s ( j )
s 2
s
h
0
h
s
s h s 2
0
s 2
h s
X (e j )
1T
2
h
0
h hT
2
结论:
xs ( jQ)是 xa ( jQ) 的周期延拓，周期为 Qs 2 / T ,且幅度上 1、 要乘以主要因子1 / T 。
T
2T
3T
为脉宽为 ，周期为T的矩形脉冲周期信号， 为开关闭合时间 ，T为采样周期。
s(t )
xa (t )
xs (t )
0
t
0
t
0
t
实际 采样：
S(t)
S(t)为脉冲序列
…
0
T
t
xs (t )
1 fs T
t
理想采样
1、 开关闭合时间τ→0时，为理想采样。 2、 特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲 激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地 等于输入信号在采样瞬间的幅度。 即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。
二.采样信号的频谱和采样定理
由上可知 xs (t ) xa (t ) s(t ) ，且 s(t ) T (t ) n (t nT )
为周期信号,故可以将 T (t ) 展开成傅立叶级数,即
T (t ) k Ak e jk t , Qs 2 / T
sin
(t nT )
T (t nT ) T
的特性：
在抽样点mT上，其值为1;其余抽样点上， 其值为0。 S a (t mT ) 1 T
(m-1)T (m+1)T (m+2)T (m-2)T mT
4.xa t
m
x m TS
a
a
T
t m T的说明:
3、实际情况下，τ＝0达不到，但τ<<T时，实际采 样接近理想采样，理想采样可看作是实际采样物理 过程的抽象，便于数学描述，可集中反映采样过程 的所有本质特性，理想采样对Z变换分析相当重要。
0 理想采样：当 ，s(t ) T (t ) n (t nT )
从而有：
1
H ( j)e jt d
s sin t sin t 1 s / 2 jt 2 T T e d s 2 s / 2 t t T 2
因此低通滤波器的输出可表示为：
y (t ) xa (t ) xs (t ) h(t ) xs ( )h(t )dt
实现
x s (t )
H ( j )
xa (t )
H ( j )
T
H j
s 2
T , 0 ,
0
s 2
s 2 s 2
由于 Y ( j) X s ( j) H ( j) X a ( j) ，故 我们可以在滤波器输出端无失真的恢复信号
2、时域分析
第 4章
连续时间信号的采样
对信号进行时间上的离散化，这是对信号作 数字化处理的第一个环节。 研究内容： • 信号经采样后发生的变化（如频谱的变化） • 信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号、 如何不失真地还原信号） • 由离散信号恢复连续信号的条件 采样的这些性质对离散信号和系统的分析十 分重要，要了解这些性质，首先分析采样过程。