概率论初步

第十五章 概率论初步

一、等可能事件概率

如果一个试验共有N 种等可能出现的结果，而且其中任意两个结果都不可能同时出现，则称这个试验为等可能试验。如果这个试验共有N 种可能出现的结果，其中事件A 包含的结果有k 种，那么事件A 的概率N

k P =

二、和事件、积事件的概率（理）

事件A 与事件B 至少有一个出现叫做事件A 和事件B 的和事件。

)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃。

事件A 与事件B 同时出现叫做事件A 和事件B 的积事件。)(B A P ⋂或)(AB P 。 三、互斥事件、独立事件、对立事件（理） 1、互斥事件

不可能同时出现的两个事件叫做互不相容事件或互斥事件。

)()()(B P A P B A P +=⋃即0)(=AB P

2、 独立事件

如果事件A 出现和事件B 出现互相之间没有影响，那么称事件A 和事件B 相互独立。

)()()(B P A P AB P ⋅=

3、对立事件

事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。1)()(=+B P A P ，

)()(B P A P =。

四、离散型随机变量的分布列、期望与方差（理） 1.随机变量及相关概念

①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.

②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. *③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列

①离散型随机变量的分布列的概念和性质

一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，…，i x ，…n x ，ξ取每一个值i x （=i 1，2，…n ）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：

（1）0(1

,2,)i P i ≥=;

（2）121=+⋅⋅⋅++n P P P .

注意：离散型随机变量ξ的分布列中：所有的概率之和为1,即1

n

i i P =∑=1。

②二项分布

n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，

2，…n 。恰好发生k 次的概率k

n k k n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的

分布列如下：

ξ注意：

k

n k k n k q p C k P P -===)(ξ隐含了有k n -次没有发生，容易错误的写成

k p 或者k

k n p C 。

3、离散型随机变量的期望与方差

（1）离散型随机变量的数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++

；期望反映随机变量

取值的平均水平. （

2

）

离散型

随机变量

的方差：

()()()2

2

2

1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+

；

方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 标准差σξ=ξD 。 （3）期望的基本性质：

①c Ec =；②ξξcE c E =)(；③2121)(ξξξξE E E +=+；④()()Ea b a E b ξξ+=+。

（4）方差的基本性质

①()2

D a b a D ξξ+=；②()2

2D E E ξξξ=-