2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案

全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案

一、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （1）极限1

2sin

lim 2

+∞

→x x

x x = . 【答案】2

【考点】等价无穷小 【难易度】★ 【详解】 解析：1

2sin

lim 2+∞

→x x x x 22lim 2.1x x

x x →∞=+等 （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为 . 【答案】2xy =

【考点】变量可分离的微分方程；一阶线性微分方程

【难易度】★★ 【详解】

解析：方法一：原方程可化为0)(='xy ，积分得 C xy =， 代入初始条件2)1(=y 得C =2，故所求特解为 2xy =. 方法二：按变量分离法解之. 由0=+'y y x ，分离变量为

dy dx dx dx

=- 积分ln ln ln y x C =-+.改写为C

y x

=

. 去掉绝对值号，认为C 可取负值，得通解C y x

=. 以2)1(=y 代入得C =2，得特解2xy =. （3）设二元函数)1ln()1(y x xe

z y

x +++=+，则=)

0,1(dz

.

【答案】2ed (e 2)d x y ++ 【考点】全微分形式不变性 【难易度】★★ 【详解】 解析：

[]

e y xe e x z

y x y x 2)0,1()1ln()

0,1(=+++=∂∂++,

2)

0,1(11)0,1(+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+++=∂∂+e y x xe y z y x ,

于是 =)

0,1(dz

dy e edx )2(2++.

（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则

a = .

【答案】1

2

【考点】向量组线性相关的充分必要条件 【难易度】★★ 【详解】

解析：方法一：由题设，有

21110100011010210

111

-1

-1-2-1

-1-13211212-2

-1

-2

-2

-1

-1

4321

23

1

2

a a a a a a a a a a a -----=

=-=-------

(1)(21)0a a =--=

得2

1,1==a a ， 但题设1≠a ，故.21=a

方法二：

令12342234112311231

12300120012[,,,]112011101111

101220011a a a a a a a a αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢

⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥

------⎢⎥⎢⎥⎢⎥

-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦

1

123011100120

0021a a ⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥

-+⎣⎦ 向量组线性相关⇒1234[,,,]4r αααα<1a ⇒=或12a =

，1a =不合题意，故 1

2

a =.

（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X , 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y , 则

}2{=Y P = .

【答案】

13

48

【考点】全概率公式；条件概率 【难易度】★★★

【详解】

解析：}2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =

.48

13

)4131210(41=+++⨯ （6）设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为

X Y 0 1

0 0.4 a 1 b 0.1

若随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a = ，b = . 【答案】0.4，0.1

【考点】二维离散型随机变量的概率分布；二维随机变量独立性的概念 【难易度】★★ 【详解】

解析：方法1：显然0.40.11a b +++=，可知0.5a b += 又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有

}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ，

而 {0,1}{0,1};

{0}{0,0}{0,1}0.4;

{1}{0,1}{1,0}0.5;

P X X Y P X Y a P X P X Y P X Y a P X Y P X Y P X Y a b =+=========+===++====+===+=

代入独立等式，得(0.4)0.5a a =+⨯，解得0.4,0.1a b ==，故应选(B). 方法2：如果把独立性理解为

{10}{1}P X Y X P X Y +===+=即{1|0}{1}0.5;P Y X P X Y a b ===+==+= {00}1{10}P Y X P Y X ===-==，所以{00}{10}P Y X P Y X ======0.5;

因此{0,0}{0,1}P X Y P X Y =====，即0.4a =. 又因为0.5a b +=，得0.1b =. 方法3：如果把独立性理解为

{10}{11}P X Y X P X Y X +===+==

所以

}

1{}

1,1{}0{}0,1{===+====+X P X Y X P X P X Y X P