全国初中数学联合竞赛试题及答案
2021年全国初中数学联合竞赛试题(pdf版,含答案)(1)
c a 2021 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题， 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知实数a , b , c 满足2a +13b + 3c = 90， 3a + 9b + c = 72 ，则3b + ca + 2b＝ （ ）A. 2．B. 1．C. 0．D. 【答】B.-1．已知等式可变形为2(a + 2b ) + 3(3b + c ) = 90 ， 3(a + 2b ) + (3b + c ) = 72 ，解得a + 2b =18 ，3b + c 3b + c =18 ，所以a + 2b= 1.2．已知△ ABC 的三边长分别是a ,b , c ，有以下三个结论： （1）以 a , b , c 为边长的三角形一定存在； （2）以a 2 ,b 2 , c 2 为边长的三角形一定存在；（3）以| a - b | +1,| b - c | +1,| c - a | +1 为边长的三角形一定存在. 其中正确结论的个数为 （ ）A ．0．B ．1．C ．2．D ．3．【答】C.不妨设a ≥ b ≥ c ，则有b + c > a .（1）因为b + c > a ，所以b + c + 2 边长的三角形一定存在；> a ，即( b + c )2 >（ a ）2，即 b + > ，故以 a , b , c 为 （2）以a = 2,b = 3, c = 4 为边长可以构成三角形，但以a 2 = 4,b 2 = 9, c 2 = 16 为边长的三角形不存在； （3）因为a ≥ b ≥ c ，所以| a - b | +1 = a - b +1,| b - c | +1 = b - c +1,| c - a | +1 = a - c +1 ，故三条边中| c - a | +1大于或等于其余两边，而（| a - b | +1）+（| b - c | +1）=（a - b +1）+（b - c +1）=a - c +1+1 > a - c +1 =| c - a | +1 ，故以| a - b | +1 ， | b - c | +1，| c - a | +1 为边长的三角形一定存在.3．若正整数a , b , c 满足a ≤ b ≤ c 且abc = 2(a + b + c ) ，则称(a ,b , c ) 为好数组.那么，好数组的个数为（）A. 1．B ．2．C ．3．D ．4．【答】C.若(a ,b , c ) 为好数组，则abc = 2(a + b + c ) ≤ 6c ，所以ab ≤ 6 .显然， a 只能为 1 或 2. 若 a ＝2，由ab ≤ 6 可得b = 2 或 3， b = 2 时可得c = 4 ， b = 3 时可得c = 5（不是整数）；2若 a ＝1，则bc = 2(1 +b + c ) ，于是可得(b - 2)(c - 2) = 6 ，可求得(a ,b , c ) ＝（1，3，8）或（1，4，bc14 AD 2 + DE 2 62 + 42 AFB D E C1 12 200 5）.综合可知：共有 3 个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点，若 DO∠BAD + ∠ACB =180︒，且 BC = 3，AD = 4 ，AC = 5 ， AB = 6，则 OB＝（）10 A.． B.98．C.76 4 ． D.．53DE【答】A.过 B 作 BE // AD ，交 AC 的延长线于点 E ，则 ∠ABE =180︒ - ∠BADC= ∠ACB ，所以△ ABC ∽△ AEB ，所以 AC = BC，所以OAB EBEB = AB ⋅ BC = 6⨯3 = 18 .ABAC 5 5DO AD 4 10再由 BE // AD ，得 = = = .OB BE 18 9 55．设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥ BC 于点 D ，点 E 在线段 DC 上，点 F 在CB 的延长线上， 满足∠BAF = ∠CAE .已知 BC = 15 ， BF = 6 ， BD = 3 ，则 AE ＝ （ ）【答】B. C. 2 ．如图，因为∠BAF = ∠CAE ，所以∠BAF + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE ，即 ∠FAE = ∠BAC = 90︒ .又因为 AD ⊥ BC ，故 AD 2 = DE ⋅ DF = DB ⋅ DC .而 DF = BF + BD = 6 + 3 = 9 ，DC = BC - BD = 15 - 3 = 12 ，所以 AD 2 = DE ⋅9 = 3⋅12 ，所以 AD = 6 ，DE = 4 . 从而 AE = = = 2 13 .6．对于正整数n ，设a 是最接近的整数，则 + 1+1+ + 1= （ ）191 n192 a 1 a 2a 3 a 200193 194 A.． B.7．C.7 ． D.．77【答】A.对于任意自然数 k ， (k + 1)2= k 2+ k + 1 不是整数，所以，对于正整数 n ， 2 4n - 1一定不是整数.2设 m 是最接近 的整数，则| m -n |< 1， m ≥ 1. 2 易知：当m ≥ 1时， | m - n |< 1 ⇔ (m - 1)2 < n < (m + 1)2 ⇔ m 2 - m + 1 < n < m 2+ m + 1 .2 2 2 4 4于是可知：对确定的正整数 m ，当正整数n 满足m 2- m +1 ≤ n ≤ m 2+ m 时，m 是最接近即 a n = m .所以，使得a n ＝ m 的正整数n 的个数为2m .的整数，注意到132+13 =182 < 200 <142+14 = 210 ，因此， a , a , , a 中，有：2 个 1，4 个 2，6 个 3，A. 4 3 ．B. 2 13 ．D. 2 15 ．nn n3 a1+ a 8 个 4，……，26 个 13，18 个 14.1 1 1 11 1 1 1 1 191所以 + + + + = 2⨯ + 4⨯ + 6⨯ + + 26⨯ +18⨯ = .a 1 a 2 a 3a 200 1 2 3 13 14 7二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1． 【答】8 .由所给等式可得(1= 成立的实数a 的值为．1+ a )3 = a 2 .令 x = ，则 x ≥ 0 ，且 a = x 2 -1 ，于是 有 (1+ x )3 = (x 2 -1)2， 整 理 后 因 式 分 解 得x (x - 3)(x +1)2 = 0 ，解得 x = 0 ， x = 3 ， x = -1 （舍去），所以a = -1或 a = 8.123验证可知： a = -1是原方程的增根， a = 8是原方程的根. 所以， a = 8.2．如图，平行四边形 ABCD 中，∠ABC = 72︒ ， AF ⊥ BC 于点 F ， AF 交 BD 于点 E ，若 DE = 2AB ，则∠AED ＝．M【答】66︒ .E取 DE 的中点 M ，在Rt △ ADE 中，有 AM = EM = 1DE = AB .2BF设∠AED = α ，则∠AME =180︒ - 2α ， ∠ABM = α -18︒ . 又∠ABM = ∠AMB ，所以180︒ - 2α = α -18︒ ，解得α = 66︒ .3．设m , n 是正整数，且m > n .若9m与9n的末两位数字相同，则m - n 的最小值为 ．【答】10.由题意知，9m- 9n= 9n⋅ (9m -n-1) 是 100 的倍数，所以9m -n -1是 100 的倍数，所以9m -n的末两位数字是 01，显然， m - n 是偶数，设 m - n = 2t （ t 是正整数），则9m -n= 92t = 81t .计算可知： 812的末两位数字是 61， 813的末两位数字是 41， 814的末两位数字是 21， 815的末两位 数字是 01.所以t 的最小值为 5，从而可得m - n 的最小值为 10.4．若实数 x , y 满足 x 3+ y 3+ 3xy = 1，则 x 2+ y 2的最小值为 ．1【答】 .2因为0 = x 3 + y 3 + 3xy -1 = (x + y )3 + (-1)3 - 3x 2 y - 3xy 2 + 3xy= (x + y -1)[(x + y )2 - (x + y ) ⋅ (-1) + (-1)2 ] - 3xy (x + y -1)1+ 1+ a1 = (x + y -1)(x2 + y 2 - xy + x + y +1) = 1(x + y -1)[(x - y )2 + (x +1)2 + ( y +1)2 ] ，2所以 x = y = -1或 x + y = 1.若 x = y = -1，则 x 2+ y 2＝2.若 x + y = 1，则 x 2+ y 2 = 1[(x + y )2 + (x - y )2] = 1[1+ (x - y )2] ≥ 1 ，当且仅当 x = y = 1时等号成立.22 2 2所以， x 2+ y 2的最小值为 1.2第一试(B)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知二次函数 y = ax 2 + bx + c (c ≠ 0) 的图象与 x 轴有唯一交点，则二次函数 y = a 3 x 2 + b 3 x + c 3的图象与 x 轴的交点个数为 （ ） A ．0． B ．1． C ．2． D ．不确定． 【答】C.因为二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴有唯一交点，所以∆ = b 2 - 4ac = 0 ，所以b 2= 4ac ≠ 0 .故 二 次 函 数 y = a 3 x 2 + b 3 x + c 3 的 判 别 式 ∆ = (b 3 )2 - 4a 3c 3 = b 6- 1(4ac )3 = b 6- 1(b 2 )3= 15 b 62> 0 ，所以，二次函数 y = a 3 x 2 + b 3 x + c 3 的图象与 x 轴有两个交点.2．题目和解答与（A ）卷第 1 题相同. 3. 题目和解答与（A ）卷第 3 题相同.16 16164．已知正整数a , b , c 满足a 2 - 6b - 3c + 9 = 0 ， -6a + b 2 + c = 0 ，则a 2 + b 2 + c 2＝ （ ）A. 424．B. 430．C. 441．D. 460．【答】C.由已知等式消去c 整理得(a - 9)2 + 3(b -1)2 = 75 ，所以3(b -1)2≤ 75 ，又b 为正整数，所以1 ≤ b ≤ 6 .若b ＝1，则(a - 9)2= 75 ，无正整数解； 若b ＝2，则(a - 9)2 = 72 ，无正整数解； 若b ＝3，则(a - 9)2 = 63 ，无正整数解； 若b ＝4，则(a - 9)2 = 48，无正整数解； 若b ＝5，则(a - 9)2 = 27 ，无正整数解；若b ＝6，则(a - 9)2 = 0 ，解得a = 9 ，此时c = 18 .1 1 因此， a = 9 ， b ＝6， c = 18 ，故a2 + b 2 + c 2= ＝441.5．设O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点，若 DO∠BAD + ∠ACB =180︒，且 BC = 3，AD = 4 ，AC = 5 ， AB = 6，则 OB＝（）4 A.． B.36．C.58 10 ． D.．79【答】D.解答过程与（A ）卷第 4 题相同.6．题目和解答与（A ）卷第 5 题相同. 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1．题目和解答与（A ）卷第 1 题相同.2 ． 设 O 是锐角三角形 ABC 的外心， D , E 分别为线段 BC , OA 的中点， ∠ACB =7 ∠OED ，∠ABC = 5∠OED ，则∠OED ＝.【答】10︒ . 如 图 ， 设 ∠OED = x， 则 ∠A B =C 5 ， ∠ACB = 7x ，∠DOC = ∠BAC =180︒ -12x ，∠AOC =10x ，所以∠AOD =180︒ - 2x 1 1∠ODE = 180︒ - x - (180︒ - 2x ) = x ，所以OD = OE = 以∠DOC = 60︒ ，从而可得 x = 10︒ .3. 题目和解答与（A ）卷第 3 题相同.4. 题目和解答与（A ）卷第 4 题相同.OA = 2 2OC ，所第二试 （A ）一、（本题满分 20 分）已知实数 x , y 满足 x + y = 3 ， 1 x + y 2 +x 2 + y = 1 ，求 x 5 + y 5 的值. 21解 由x + y 2+ x 2 + y = 1 可得2(x + y + x 2 + y 2 ) = x 3 + y 3 + x 2 y 2 + xy . 2设 xy = t ，则 x 2+ y 2= (x + y )2- 2xy = 9- 2t ， x 3+ y 3= (x + y )[(x + y )2- 3xy ] = 3(9 - 3t ) ，代入上式可得2(3 + 9 - 2t ) = 3(9 - 3t ) + t 2+ t ，解得t = 1或t = 3 .……………………10 分当t = 3 时， xy = 3 ，又 x + y = 3 ，故 x , y 是一元二次方程m 2- 3m + 3 = 0 的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15 分当t = 1时， xy = 1，又 x + y = 3 ，故 x , y 是一元二次方程m 2- 3m +1 = 0 的两实数根，符合题意.此时x 5 + y 5 = (x 2 + y 2 )(x 3 + y 3 ) - (x + y )x 2 y 2 = (9 - 2t ) ⋅[3(9 - 3t )] - 3t 2 = 123 .……………………20 分a 2b 2 2 a 2b -1 2 2二、（本题满分 25 分）如图，△ ABC 中，AB > AC ，∠BAC = 45︒ ，E 是∠BAC的外角平分线与△ ABC 的外接圆的交点， 点 F 在 AB 上且 EF ⊥AF = 1， BF = 5，求△ ABC 的面积.AB . 已知 解 在 FB 上取点 D ，使 FD ＝AF ，连接 ED 并延长，交△ ABC 的外接圆于点 G.由 EF ⊥AD ，AF ＝FD 知△AED 是等腰三角形，所以 ∠AED ＝180︒- 2 ∠EAD ＝∠BAC ，……………………10 分所以 AG = B C ，所以 AC = B G ，所以 AC ＝BG.……………………15 分又∠BGE ＝∠BAE ＝∠ADE ＝∠BDG ，所以 BG ＝BD ，所以 AC ＝BD ＝5－1＝4， ……………………20 分 △ ABC 的 AB 边上的高h = AC sin 45︒ = 2 2 .1 1 所以，△ ABC 的面积 S = ⋅ AB ⋅ h = ⨯ 6⨯2 2 2= 6 2 .……………………25 分三、（本题满分 25 分）求所有的正整数数对(a , b ) ，使得a 3= 49⨯3b+ 8 .解 显然， 49⨯3b+ 8 为奇数，所以a 为奇数.又因为a 3= 49⨯3b+ 8 ≥ 49⨯3 + 8 > 53，所以a > 5 .……………………5 分由 a 3= 49⨯3b+ 8可得a 3- 8 = 49⨯3b，即(a - 2)(a 2+ 2a + 4) = 72⨯3b. ……………………10 分 设(a - 2, a 2+ 2a + 4) = d ，则d 为奇数.注意到a 2+ 2a + 4 = (a - 2)(a + 4) +12 ，所以d |12 ，所以d ＝1 或 3.……………………15 分⎧⎪a - 2 = 72 , ⎧⎪a - 2 = 3b,若 d ＝1，则有⎨ + 2a + 4 = 3 , 或⎨a + 2a + 4 = 7 , 均无正整数解. ……………………20 分⎪⎩ ⎩⎪ ⎧⎪a - 2 = 3⨯ 72 , ⎧⎪a - 2 = 3b -1,若 d ＝3，则有⎨ + 2a + 4 = 3 , 或⎨a + 2a + 4 = 3⨯ 7 , 解得a = 11， b = 3 .⎩⎪ ⎪⎩ 所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）. ……………………25 分第二试 （B ）一、（本题满分 20 分）已知实数a , b , c 满足a ≤ b ≤ c ， a + b + c = 16， a 2+ b 2+ c 2+ 1abc = 128 ，4求c 的值.解 设a + b = x ， ab = y ，依题意有 x 2- 2 y + (16 - x )2+ 1y (16 - x ) = 128 ，整理得4(x - 8)2 = 1y (x - 8) ，8所以 x = 8 或 y = 8(x - 8) .……………………10 分2 EA F DC GB==（1）若 x = 8 ，则a + b = 8 ，此时c ＝8.（2）若 y = 8(x -8) ，即ab = 8(a + b - 8) ，则(a - 8)(b - 8) = 0 ，所以a = 8或b = 8 . 当 a = 8时，结合a ≤ b ≤ c 可得a + b + c ≥ 24 ，与a + b + c = 16 矛盾. 当b = 8 时，结合a ≤ b ≤ c 及a + b + c = 16可得a = 0 ， c = 8. 综合可知： c = 8.……………………20 分二、（本题满分 25 分）求所有的正整数m ，使得22m -1- 2m +1是完全平方数.解 当m ＝1 时， 22m -1- 2m +1 =1 是完全平方数.……………………5 分当 m > 1时，设22m -1- 2m +1 = n 2 （ n 为正整数）.注意到22m -1- 2m +1 = 2⋅ (2m -1)2 - 2⋅ 2m -1 +1 = (2m -1 -1)2 + (2m -1)2 ，故可得(2m -1 -1)2 + (2m -1)2 = n 2 ，……………………10 分所以22m -2= n 2 - (2m -1 -1)2 = (n + 2m -1 -1)(n - 2m -1 +1) .……………………15 分设 x = n - 2m -1+1， y = n + 2m -1 -1，则 x < y ， xy = 22m -2 ，所以 x , y 均为 2 的方幂.……………………20 分又 y - x = 2m - 2 被 4 除余数为 2，所以，只可能 x = 2 ， y = 2m ，故2⨯ 2m = 22m -2，解得m = 3 .综上可知：满足条件的正整数m 有两个，分别为 1 和 3.……………………25 分三、（本题满分 25 分）如图，O 为四边形 ABCD 内一点，∠OAD = ∠OCB ，OA ⊥ OD ， OB ⊥ OC .求证： AB 2 + CD 2 = AD 2 + BC 2 .证明 由题设条件可知∠AOD = ∠BOC = 90︒ ，又∠OAD =∠OCB △ AOD ∽△ COB ， ……………………5 分 ODAOOCAO所以，从而. ……………………10 分 ，所以OB CO OB OD又 ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = ∠AOB + ∠AOD = ∠DOB ， 所 以 △ AOC ∽△ DOB ， 所 以 ∠OAC = ∠ODB . ……………………15 分设 AC 和 BD 交于点 P ，则∠APD = ∠AOD = 90︒ ，所以 AC ⊥ DB ， (20)分所以 AB 2+ CD 2= (AP 2+ PB 2) + (PD 2+ PC 2) = (AP 2+ PD 2) + (PB 2+ PC 2) = AD 2+ BC 2.……………………25 分。
全国初中数学联合 竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4..2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为 （ ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则 （ ）4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA 5PC ＝5，则PB ＝______．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，___P_A_C_B求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积._ Q_I _ P_ C_ A_M_B第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 解： 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。
全国初中数学联合竞赛试题分类汇编及详细解析 专题07 实数
实数一、选择题1、(2000一试1)设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若，则M与P的大小关系是（）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
2.（2000一试3）甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
3.（2000一试7）已知：，那么＝________。
【答案】 14．（2002一试1）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）A ．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b5.（2002一试6）如果对于不＜8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1能表示成k个完全平方数的和，那么k 的最小值为（）A．1 B．2 C．3D．46．（2003一试1）计算：232217122--( )(A)5-42 (B)42-1 (C)5 (D)17．（2005一试1）化简：11459+302366402＋＋－－的结果是＿＿。
A 、无理数B 、真分数C 、奇数D 、偶数8.（2006一试4）设.,02,0222a bc c ab a b >=+->则实数c b a 、、的大小关系是【 】(A)a c b >> (B)b a c >>(C)c b a >>(D)c a b >>9．（2012一试1）已知21a =-，32b =-，62c =-，那么,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<二、填空题1.（2003一试10）已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a、b中较大的数是__ __.2.（2004一试10）设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m= .3.（2005一试7）不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。
全国初中数学联赛试题(含参考答案)
全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、设17-=a ，则=--+12612323a a a （ A ）A 、24B 、 25C 、1074+D 、1274+ 2、在ABC ∆中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7=AB ，8=AC ，则=BC （ C ） A 、27 B 、10 C 、105 D 、37 3、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]0322=--x x 的解的个数为（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、 44、设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A 、143 B 、73 C 、21 D 、74 5、如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，2=BC ，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则=∠CBE sin （ D ）A 、36 B 、32C 、31D 、10106、设n 是大于1909的正整数，使得nn --20091909为完全平方数的n 的个数是 （ B ）A 、3B 、 4C 、 5D 、6 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a的最小值是____________.答案：3-2、设D 是ABC ∆的边AB 上的一点，作BC DE //交AC 于点E ，作AC DF //交BC 于点F ，已知ADE ∆、DBF ∆的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.答案：mn 23、如果实数a ，b 满足条件122=+b a ，2212|21|a b a b a -=+++-，则____=+b a . 答案：1-4、已知a ，b 是正整数，且满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 15152是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有_对。
全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
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全国初中数学联合竞赛试题参考答案第1试
全国初中数学结合比赛试题参照答案第一试一、选择题： （此题满分 42 分，每题7 分）1. 若 a,b,c 均为整数且知足 ( a b)10 (a c)10 1，则 | a b | | b c | | c a |（ B ）A ．1.B ． 2.C ． 3.D ．4.2． 若实数 a, b, c 知足等式 2 a 3 |b | 6 ， 4 a 9 | b | 6c ，则 c 可能取的最大值为（ C ）A ．0.B ． 1.C ． 2.D ．3.a 1b 11 0, 则（ C ）3． 若 a, b 是两个正数，且abA ． 0 a b1 1 a b 1.C ． 1 a b4 4a b 2 ..B ．. D ．33334． 若方程 x 2 3x 1 0 的两根也是方程 x 4 ax 2bx c 0 的根，则 a b 2c 的值为 （ A）A ．－ 13.B ．－ 9.C ． 6.D ． 0.5．在△ ABC 中，已知CAB 60 ，D ，E 分别是边 AB ，AC 上的点， 且 AED 60 ， ED DB CE ，CDB 2CDE ,则 DCB (B ) A ．15° .B ．20°.C ． 25°.D ． 30° .6． 对于自然数 n ，将其各位数字之和记为 a n ，如 a 2009 2 0 0 9 11， a 20102 0 1 03 ，则a 1 a 2 a 3a2009a2010（ D）A ．28062.B ． 28065.C ． 28067.D ． 28068.二、填空题： （此题满分 28 分，每题 7 分）1． 已知实数 x, y 知足方程组x 3 y 3 19,则 x 2 y 213.x y 1,2．二次函数 yx 2 bx c 的图象与 x 轴正方向交于A ，B 两点，与 y 轴正方向交于点C ．已知 AB3AC ，CAO 30 ，则 c1．93． 在等腰直角△ ABC 中， AB ＝ BC ＝ 5， P 是△ ABC 内一点，且 PA ＝5 ，PC ＝ 5，则 PB ＝ ___ 10 ___．4． 将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且随意中间夹有 5 个或 10 个球的两个球必为同一种颜色的球.按这类要求摆放，最多能够摆放 ____ 15___ 个球 .第二试 （A ）一．（此题满分 20 分）设整数 a, b,c （ a b c ）为三角形的三边长， 知足 a 2 b 2 c 2 abac bc 13 ，求切合条件且周长不超出30 的三角形的个数 .解 由已知等式可得(a b)2 (b c)2 (a c)226①令 a b m,b c n ，则a c m n ，此中 m, n 均为自然数.于是，等式①变成 m 2n 2(m n)226 ，即m 2 n 2mn 13②因为 m, n 均为自然数，判断易知，使得等式②建立的m, n 只有两组： m 3, m 1,n 1和3.n（ 1）当 m 3,n 1时，b c 1 ， a b 3 c 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长，所以b c a ，即(c 1) c c 4，解得 c 3 .又因为三角形的周长不超出30，即 ab c ( c4)(c 1) c 30，解得c 25 所以3 c 25 ，所以 c 能够取值 4，， ， ， ，对应可获得5 个切合条件的三角形..35 6 7 83（ 2）当 m1,n3时， b c 3 ， a b 1 c 4 . 又 a, b,c 为三角形的三边长，所以b c a ，即(c 3) c c 4，解得 c1 .又因为三角形的周长不超出30，即 ab c ( c 4) (c 3) c 30，解得23 所以 23，所以 c 能够取值， ， ， ， 6 ， ，对应可获得6 个切合条件的三角形 .c.1 c32345 7330 的三角形的个数为 5＋ 6＝ 11. 综合可知：切合条件且周长不超出二．（此题满分 25 分）已知等腰三角形△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ C 的均分线与 AB 边交于点 P ，M 为△ ABC的内切圆⊙ I 与 BC 边的切点，作 MD//AC ，交⊙ I 于点 D. 证明：PD 是⊙I 的切线 .证明 过点 P 作⊙ I 的切线 PQ （切点为 Q ）并延伸，交 BC 于点 N.因为 CP 为∠ ACB 的均分线，所以∠ACP ＝∠ BCP.又因为 PA 、 PQ 均为⊙ I 的切线，所以∠ APC ＝∠ NPC. 又 CP 公共，所以△ ACP ≌△ NCP ，所以∠ PAC ＝∠ PNC. 由 NM ＝ QN ，BA ＝ BC ，所以△ QNM ∽△ BAC ，故∠ NMQ＝∠ ACB ，所以 MQ//AC.又因为 MD//AC ，所以 MD 和 MQ 为同一条直线 .又点 Q 、 D 均在⊙ I 上，所以点Q 和点 D 重合，故 PD 是⊙ I APIQCBNM的切线 .三．（此题满分 25 分） 已知二次函数 y x 2bx c 的图象经过两点 P (1,a) ， Q (2,10 a) .（ 1）假如 a, b, c 都是整数，且 c b 8a ，求 a, b, c 的值 .（ 2）设二次函数 yx 2bx c 的图象与 x 轴的交点为 A 、 B ，与 y 轴的交点为 C.假如对于 x 的方程x 2 bx c 0 的两个根都是整数，求△ABC 的面积 .解 点 P (1,a) 、 Q (2,10 a) 在二次函数 y x 2bx c 的图象上，故1 b c a ， 4 2a c 10a ，解得 b 9a 3 ， c 8a2 .（ 1）由 cb 8a 知8a2 9a 3,9a3 8a, 解得 1 a 3 .又 a 为整数，所以 a2 ， b 9a3 15 ， c 8a 214 .(2) 设 m,n 是方程的两个整数根，且 m n .由根与系数的关系可得m n b 3 9a ， mn c 2 8a ，消去 a ，得 9mn 8( m n)6 ，两边同时乘以 9，得 81mn 72(m n) 54 ，分解因式，得 (9m 8)(9 n 8) 10 .所以9m 81,9m 8 2,或9m 8 10,9m 8 5,9n 8或8 5, 9n 81,或8 2,10,9n9nm1,或 m10 ,m2 , m 1 , 解得9 或9 或93n 2,n 13 , 7 n29n, ,93又 m,n 是整数，所此后边三组解舍去，故 m 1,n 2 .所以， b(m n)3 ， c mn2 ，二次函数的分析式为 y x 2 3x 2 .易求得点 A 、 B 的坐标为（ 1,0）和（ 2,0），点 C 的坐标为（ 0,2），所以△ ABC的面积为1(2 1) 2 1 .2第二试 （B ）一．（此题满分 20 分）设整数 a, b, c 为三角形的三边长，知足a 2b 2c 2 ab ac bc 13 ，求切合条件且周长不超出30 的三角形的个数（全等的三角形只计算1次） .解 不如设 a b c ，由已知等式可得(a b)2(b c)2 (a c)226①令 a bm,b c n ，则 a c m n ，此中 m, n 均为自然数 .于是，等式①变成 m2n 2 (m n)226 ，即m 2 n 2mn 13②因为 m, n 均为自然数，判断易知，使得等式②建立的m, n 只有两组：m 3, m 1,n 1和3.n（ 1）当 m3,n 1时， b c 1 ， a b 3 c 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长，所以b c a ，即(c 1) c c 4 ，解得 c 3 .又因为三角形的周长不超出30，即 ab c ( c 4) (c 1) c 30 ，解得c253c25 4， 5，6， 7， 8，对应可获得 5 个切合条件的三角形 ..所以 3 ，所以 c 能够取值3（ 2）当 m1,n 3时， b c 3 ， a b 1 c 4 . 又 a, b,c 为三角形的三边长，所以b c a ，即(c 3)c c 4，解得 c 1 .又因为三角形的周长不超出30，即 ab c ( c 4) (c3) c 30，解得23 所以 1 c23，所以 c 能够取值 ， ， ， ， 6， ，对应可获得 6 个切合条件的三角形.c.3234573综合可知：切合条件且周长不超出30 的三角形的个数为5＋ 6＝ 11.二．（此题满分 25 分）题目和解答与（ A ）卷第二题同样 . 三．（此题满分 25 分）题目和解答与（ A ）卷第三题同样 .第二试 （C ）一．（此题满分 20 分）题目和解答与（ B ）卷第一题同样 . 二．（此题满分 25 分）题目和解答与（ A ）卷第二题同样 .三．（此题满分 25 分） 设 p 是大于 2 的质数， k 为正整数．若函数 yx 2 px(k 1) p 4 的图象与 x轴的两个交点的横坐标起码有一个为整数，求k 的值．解由题意知，方程 x 2 px (k1) p 4 0 的两根 x 1 , x 2 中起码有一个为整数．由根与系数的关系可得x 1 x 2 p, x 1 x 2 ( k 1) p4，进而有( x 1 2)( x 2 2) x 1 x 2 2( x 1x 2 ) 4 ( k 1) p①（ 1）若 k 1 ，则方程为 x 2 px 2( p 2) 0 ，它有两个整数根2 和 2 p ．（ 2）若 k 1，则 k 1 0 .因为 x 1 x 2p 为整数，假如 x 1 , x 2 中起码有一个为整数，则 x 1 , x 2 都是整数 .又因为 p 为质数，由①式知 p | x 1 2 或 p | x 2 2 ．不如设 p | x 12 ，则可设 x 1 2 mp （此中 m 为非零整数），则由①式可得 x 2k 1 2，故 ( x 1 2) (x 2 2) mpk 1，即 x 14 mpk 1．mx 2m k 1m又 x 1x 2p ，所以 p 4 mp ，即k 1m(m 1) p②4m6，k 1k 1假如 m 为正整数，则 (m1) p (1 1) 3 0，进而 (m1)p 6 ，与②式矛盾 .0 ，k1mk 1 m假如 m 为负整数，则 (m1) p 0 ，进而 ( m 1)p0 ，与②式矛盾 .mm所以， k1 时，方程 x2px (k 1) p 4不行能有整数根．综上所述， k 1 ．。
2022年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案
全国初中数学联合竞赛试题第一试（A ）一、选择题（每题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（ ）A. 0B. 3C. 6D. 92．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一种公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（ ） A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外旳两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（ ） A． B ．15 CD．4．已知O 为䝐标原点，位于第一象限旳点A 在反比例函数1(0)y x x=>旳图象上，位于第二象限旳瀹B 在反比例函数4(0)y x x=-<旳图象上且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 旳值为（ ） A ．12B．2C ．1D ．25．已知实数x （y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +旳最小值为（ ）A．3-B．6-C ．1D．6+6．设n 是不不小于100旳正整数且使2535n n +-是15旳倍数，则符合条件旳所有正整数n 旳和是（ ） A ．285B ．350C ．540D ．635二、填空题（每题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=旳两根，则32234a b a ++旳值为 . 8．从三边长均为整数且周长为24旳三角形中任取一种，它是直角三角形旳概率为 .9．已知锐角△ABC 旳外心为O ，AO 交BC 于D ，E 、F 分别为△ABD 、 △ACD 旳外心，若AB ＞AC ，EF ＝BC ，则∠C －∠B ＝ .10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6旳方格中，每个方格填一种数字，规定每行数字从左到右是从小到大旳顺序，则第三列所填6个数字旳和旳最小值为 .第一试（B ）一、选择题（每题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（ ）A. 12B. 9C. 6D. 32．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一种公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（ ） A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外旳两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（ ）A． B ．15CD．4．已知实数x ，y 满足关系式223x xy y ++=，则2()x y -旳最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．125．已知O 为坐标原点，位于第一象限旳点A 在反比例函数1(0)y x x=>旳图象上，位于第二象限ABCDEF旳点B 在反比例函数4(0)y x x=-<旳图象上，且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 旳值为（ ） A ．12BC ．1D ．26．设n 是不不小于100旳正整数且使2232n n --是6旳倍数，则符合条件旳所有正整数n 旳和是（ ） A ．784B ．850C ．1536D ．1634二、填空题（每题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=旳两根，则32234a b a ++旳值为 . 8．三边长均为整数且周长为24旳三角形旳个数为 .9．C 、D 两点在以AB 为直径旳半圆周上，AD 平分∠BAC ，AB ＝20， AD＝AC 旳长为 .10．在圆周上按序摆放和为15旳五个互不相等旳正整数a ，b ，c ，d ，e ，使得ab ＋bc ＋cd ＋de ＋ea最小，则这个最小值为 .A O B第二试（A ）1．（20分）有关xx 有且仅有一种实数根，求实数m 旳取值范畴. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 旳对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 旳延长线于点F ，∠BFD 旳平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . （1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ；（2）如果BF DF CDBD AC-=，证明：MN ＝MD . 3．（25分）设正整数m ，n 满足：有关x 旳方程()()x m x n x m n ++=++至少有一种正整数解，证明：222()5m n mn +<.第二试（B ）1．（20分）若正数a ，b 满足ab ＝1，求11112M a b=+++旳最小值. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 旳对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC ＝BD . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 旳延长线于点F ，∠BFD 旳平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . （1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ；（2）如果MN ＝MD ，证明：BF ＝CD ＋DF .3．（25分）若有关x 旳方程2343410x x k -+-=至少有一种正整数根，求满足条件旳正整数k 旳值.C全国初中数学联合竞赛试题参照答案第一试（A ）1. 解：D. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一种公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G .∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ， ∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠===. 5. 解：B. 提示：设x y t +=，则由题设条件可知11xy x y t =++=+，∴x ，y 是有关m 旳一元二次方程210m tm t -++=旳两个实数根， 于是有：24(1)0t t ∆=-+≥，解得2t ≥+2t ≤-又∵22222()22(1)(1)3x y x y xy t t t +=+-=-+=--，∴当2t =-1x y ==-）时，22x y +获得最小值，最小值为2(21)36--=-6. 解：D. 提示：∵2535n n +-是15旳倍数， ∴25|(535)n n +-，∴5|3n ，∴5|n . 设5n m =（m 是正整数），则2222535125155120155(1)n n m m m m m +-=+-=++-. ∵2535n n +-是15旳倍数，∴21m -是3旳倍数， ∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴5(31)155n k k =+=+或5(32)1510n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件旳所有正整数n 旳和是(5203550658095)(102540557085)635++++++++++++=.7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=旳两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：112. 提示：设三角形旳三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<， 故a 旳也许取值为8，9，10或11， 满足题意旳数组（a ，b ，c ）可觉得：（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），（10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）.ABCDEFG共12组，其中，只有一组是直角三角形旳三边长， ∴所求概率为112. 9. 解：60°. 提示：作EM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BC 于点N ，FP ⊥EM 于点P . ∵E 、F 分别为△ABD 、△ACD 旳外心， ∴M 、N 分别为BD 、CD 旳中点.又EF ＝BC ，∴PF ＝MN ＝12BC ＝12EF ，∴∠PEF ＝30°.又EF ⊥AD ，EM ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠PEF ＝30°. 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋12(180°－2∠C )＝90°＋∠B －∠C ， ∴∠C －∠B ＝90°－∠ADC ＝60°.10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大旳顺序排列后依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .∵A 所在行前面需要填两个比A 小旳数字，∴A 不不不小于3； ∵B 所在行前面需要填两个比B 小旳数字，且A 及A 所在行前面两个数字都比B 小，∴B 不不不小于6.同理可知：C 不不不小于9，D 不不不小于12，E 不不不小于15，F 不不不小于18. 因此，第三列所填6个数字之和A ＋B ＋C ＋D ＋E ＋F ≥3＋6＋9＋12＋15＋18＝63.如图即为使得第三列所填6个数字之和获得最小值旳一种填法（后三列旳数字填法不唯一）.第一试（B ）1. 解：B. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bmc m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-.∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一种公共点， ∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C.提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G .∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ， ∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6，∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：D. 提示：设x y t -=，则x y t =+，代入题设等式得22()()3y t y t y y +++++=，整顿得223330y ty t ++-=. 由鉴别式22(3)12(3)3t t ∆=--≥得t -≤22()12x y t -=≤. 5. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ， ∴12OAABO OB∠====. 6. 解：D. 提示：∵2232n n --是6旳倍数， ∴22|(232)n n --，∴2|3n ，∴2|n .设2n m =（m 是正整数），则2222232862662(1)n n m m m m m --=--=-+-.ABCDEFG∵2232n n --是6旳倍数，∴21m -是3旳倍数， ∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴2(31)62n k k =+=+或2(32)64n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件旳所有正整数n 旳和是(2814869298)(41016828894)1634++++++++++++=.7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=旳两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a ++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：12. 提示：设三角形旳三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<， 故a 旳也许取值为8，9，10或11， 满足题意旳数组（a ，b ，c ）可觉得：（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，∴三边长均为整数且周长为24旳三角形旳个数为12. 9. 解：4. 提示：连接OD 、OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F . ∵AD 平分∠BAC ，∴∠DOB ＝2∠BAD ＝∠OAC .又OA ＝OD ，∴△AOF ≌△ODE ，∴OE ＝AF ，∴AC ＝2OF ＝2OE . 设AC ＝2x ，则OE ＝AF ＝x .在Rt △ODE中，由勾股定理得DE =在Rt △ADE中，AD 2＝DE 2＋AE 2，即222(100)(10)x x =-++，解得x ＝2.∴AC ＝2x ＝4.10. 解：37. 提示：和为15旳五个互不相等旳正整数只能是1，2，3，4，5.注意到五个数在圆周上是按序摆放旳，且考虑旳是和式ab bc cd de ea ++++，不妨设a ＝5.如果1和5旳位置不相邻，不妨设c ＝1（如图2）， 此时旳和式为155P b b d ed e =++++； 互换1和b 旳位置后，得到如图3旳摆法， 此时旳和式为255P b bd ed e =++++.∵1255(5)(1)0P P b dbd d b -=+--=-->，∴12P P >.因此，互换1和b 旳位置使得1和5相邻（如图3）后来，和式旳值会变小. 如图3，如果d ＝2，此时旳和式为35225P b b e e =++++；互换e 和2旳位置后来，得到如图4旳摆法，此时旳和式为45210P b be e =++++. ∵342510(5)(2)0P P b e be b e -=+--=-->，∴34P P >. 因此，互换e 和2旳位置使得2和5相邻后来和式旳值会变小.如果b ＝2，此时旳和式为55225P d ed e =++++；互换e 和2旳位置后来，得到如图5旳摆法，此时旳和式为65210P e ed d =++++. ∵5625104(2)0P P e e e -=+--=->，∴56P P >.因此，互换e 和2旳位置使得2和5相邻后来和式旳值会变小. 综上可知：1和2摆在5旳两边（如图5）时，和式旳值会变小.当d ＝3，e ＝4时，和式旳值为754126103P =++++=； 当d ＝4，e ＝3时，和式旳值为853*******P =++++=.e dc d 1 d b d b e图1 图2 图3图4图5AO EB因此，所求最小值为37.第二试（A ）1. 解：将所给方程记为方程①，显然有2x m ≥且1x ≥.若0m <x ，此时方程①无解，不符合题意，故0m ≥.方程①变形得x两边平方后整顿得2242x m +-=-再平方，整顿得228(2)(4)m x m -=-.显然，应当有02m ≤<，并且此时方程①只也许有解x =.将x =1=-，化简整顿得？？？，于是有403m ≤≤，此时方程①有唯一解x =.综上所述，所求实数m 旳取值范畴为403m ≤≤.2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ， ∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α，∠NDM ＝90°－α. 在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则BQ ＝BF －FQ ＝BF －FD .又BF DF CD BD AC -=，∴BQ CDBD AC=. 又∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DBC ，∴QD ∥BC ，∴∠FQD ＝∠ABC . 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝90°－α. 又FQ ＝FD ，∴∠BFD ＝2α. ∵FN 平分∠BFD ，∴∠AFM ＝α，∴∠NMD ＝∠AMF ＝∠BAD －∠AFM ＝3α－α＝2α，∴∠MND ＝180°－∠NMD －∠NDM ＝90°－α＝∠MDN ，∴MN ＝MD .3. 证明：方程即2(1)0x m n x mn m n ++-+--= ①，方程①旳鉴别式222(1)4()()42()1()2()1m n mn m n m n mn m n m n m n ∆=+----=+-+++=-+++.不妨设m n ≥，由题设可知，整系数方程①至少有一种正整数解，∴∆应为完全平方数. 注意到222()2()1(1)4(1)m n m n m n n m n ∆=-+++=-++>-+，22()2()1(3)(488)m n m n m n m n ∆=-+++=-+--+，若4880m n -+>，即22m n >-，则2(3)m n ∆<-+，从而有22(1)(3)m n m n -+<∆<-+，故只也许2(2)m n ∆<-+， 即22()2()1(2)m n m n m n -+++=-+，整顿得332m n =-， 这与m ，n 均为正整数矛盾.因此22m n ≤-，从而可得2m n <，∴2mn<. 又∵112m n >>，∴有1()(2)02m m n n --<，整顿即得222()5m n mn +<.第二试（B ）1. 解：∵1ab =，∴1b a=，∴2111111211211211212321a aM a b a a a a a a a a=+=+=+=+-=-++++++++++. 设232a a N a++=，则22333N a a =++=++≥+当a .∴103N <≤=-111(32M N=-≥--=.因此，当ab =时，11112M a b=+++获得最小值2. 2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ，∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α. ∵AC ⊥BD ，∴∠NDM ＝90°－α.∵MN ＝MD ，∴∠MND ＝∠MDN ＝90°－α，∴∠NMD ＝180°－∠MND －∠NDM ＝2α，∴∠AMF ＝2α， ∴∠AFM ＝∠BAD －∠AMF ＝3α－2α＝α. ∵FN 平分∠BFD ，∴∠BFD ＝2∠AFM ＝2α.在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则∠FQD ＝90°－α.又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝∠ABC ， ∴QD ∥BC ，∴∠QDB ＝∠DBC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵DB ＝AC ，∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴BQ ＝CD ， ∴BF ＝BQ ＋FQ ＝CD ＋DF .3. 解：设方程旳两个根为x 1，x 2，且x 1为正整数， 则1234x x +=，12341x x k =-.由1234x x +=知2134x x =-，∴ x 2也是整数.由k 为正整数及12341x x k =-可知20x >，∴x 2是正整数. 注意到121212(1)(1)134(1)x x x x x x k ++=+++=+， ∴1217|(1)(1)x x ++，∴117|(1)x +或217|(1)x +.若117|(1)x +，则由112134x x x +≤+=知：1117x +=或1134x +=. 当1117x +=时，116x =，218x =，此时3411618k -=⨯，k 无整数解； 当1134x +=时，133x =，21x =，此时341331k -=⨯，解得k ＝1.若217|(1)x +，同样可得k ＝1. ∴满足条件旳正整数k ＝1.C。
2022年全国初中数学联合竞赛试卷(含解析)
2022年全国初中数学联合竞赛试卷（含解析）第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知1a =，b =，2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ）A ．3.B ．4.C ．5.D ．6.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）A．3 B．3 C．3D．34．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ B ）A ．18-.B ．0.C ．1.D ．98. 5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p 的所有可能的值之和为 （ B ）A ．0.B ．34-.C ．1-.D ．54-. 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.如此的四位数共有（ C ） A ．36个. B ．40个. C ．44个. D ．48个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a +=+=+=，则t =1±．2．使得521m ⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 1 ．3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BC AP＝4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝332． 第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=.明显，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，因此10c >.由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，因此15c <.又因为c 为整数，因此1114c ≤≤.依照勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，因此22(30)(30)450235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，因此只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩因此，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π.二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA P B PC =⋅，∴PB PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .明显，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，因此13x b =，23x b =，又AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，因此AE.因为PA 为⊙D 的切线，因此PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，因此由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223()||2b c m =+⋅，又易知0m <，因此可得6m =-. 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.又因为AM//BC ，因此OA OM OB OC =3||2|6|-=-. 把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）.因此，抛物线的解析式为215662y x x =-+-. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=.明显，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，因此20c >.由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，因此30c <.又因为c 为整数，因此2129c ≤≤.依照勾股定理可得222a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，因此322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，因此只可能是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为6254π；当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π.二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明：∠BAE ＝∠ACB.证明：连接OA ，OB ，OC ，BD.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得 2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA P B PC =⋅，∴PB PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ∴PD BD CD OD=， ∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=，∴BD AD AD CD=. 又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ，∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 的外接圆的切线，∴∠BAE ＝∠ACB.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.解 抛物线的方程即2213(3)62b y x bc =--++，因此点P 23(3,)2b b c +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .明显，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，因此13x b =，23x b =，又AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，因此AE .因为PA 为⊙D 的切线，因此PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，因此由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223()||2b c m =+⋅，又易知0m <，因此可得6m =-. 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）. 将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后，得到的新抛物线为2213(324)662by x b=--++-.易求得两抛物线的交点为Q23(312102)2bb+-+.由∠QBO＝∠OBC可得tan∠QBO＝tan∠OBC.作QN⊥AB，垂足为N，则N(312b+-，又233(x b b=+=，因此tan∠QBO＝QNBN＝2310212b+=12=22111)]22==⋅.又tan∠OBC＝OCOB1(2b==⋅-，因此111)](22b⋅=⋅.解得4b=（另一解45)03b=<，舍去）.因此，抛物线的解析式为21466y x x=-+-.。
全国初中数学联合竞赛试题 及详细 解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试(A)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1．已知实数a,b,c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b c a b+=+ （ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 2．已知△ABC 的三边长分别是a,b,c ，有以下三个结论：（1a b c（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以为1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．若正整数a,b,c 满足a b c ≤≤且=2()abc a b c ++，则称()a b c ，，为好数组.那么，好数组的个数为 （ ）A. 1 B ．2 C ．3 D ．44．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若0180BAD ACB ∠+∠=，且BC=3，AD=4，AC=5 ，AB=6 ，则DO OB= （ ） A. 10/9 B ．8/7 C ．6/5 D ．4/3第4题图 第5题图5．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上， 满足BAF CAE ∠=∠.已知BC=15，BF=6，BD=3，则AE ＝ （ ） A. 43 B. 213 C. 214 D. 2156．对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1232001111...a a a a ++++=（ ） A. 191/7 B ．192/7 C ．193/7 D ．194/7二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1．使得等式31+1+a a =成立的实数a 的值为______ _．2．如图，平行四边形ABCD 中，072ABC ∠=，AF BC ⊥于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE=2AB ，则AED ∠=______．3．设m,n 是正整数，且m>n. 若9m 与9n 的末两位数字相同，则m-n 的最小值为 ．4．若实数x,y满足3331+的最小值为．x y++=，则22x y xy第一试(B)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数y ax2bx c(c 0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函数y a3 x2b3x c3的图象与x 轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定．2．题目与（A）卷第1 题相同.3. 题目与（A）卷第3 题相同.4．已知正整数a,b,c满足a26b 3c 9 0，6a b2 c 0，则a2 b2c2＝（）A. 424B. 430C. 441D. 460．5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若BAD ACB 180，且BC 3，AD 4，AC 5，AB 6，则DO/OB＝（）A. 4/3B. 6/5C. 8/7D. 10/96．题目与（A）卷第5 题相同.二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．题目与（A）卷第1 题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，D,E分别为线段BC,OA的中点，∠=∠，则OED∠=_________.ABC OED∠=∠,57ACB OED3. 题目与（A ）卷第3 题相同.4. 题目与（A ）卷第4 题相同第二试 （A ）一、（本题满分20 分）已知实数x,y 满足x+y=3，221112x y x y +=++ ，求55x y +的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC 中，AB AC ，BAC 45，E 是BAC 的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF AB .已知AF 1，BF 5，求△ABC 的面积.三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(a, b)，使得34938b a =⨯+第二试 （B ）一、（本题满分20分）已知实数a,b,c 满足a b c ≤≤，++=16a b c ，2221+++=1284a b c abc ， 求c 的值.二、（本题满分25 分）求所有的正整数m ，使得212-2+1m m -是完全平方数.三、（本题满分25分）如图，O 为四边形ABCD 内一点，OAD OCB ，OA OD ，OB OC .求证： AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 .。
全国初中数学联合竞赛试题含答案
( ) 2.满足等式 2 − m m2 −m−2 = 1 的所有实数 m 的和为（A）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3.已知 AB 是圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点， CAB = 15 ， ABC 的平分线交圆 O 于点 D，若 CD = 3 ，则 AB=（A） （A）2 （B） 6 （C） 2 2 （D）3
等式 (at + m)(bt + m) = 17m 即 abt2 + m(a + b)t + m2 = 17m,
( ) ( ) 即 ab 3 − 2 2 + m(a + b) 2 −1 + m2 = 17m ，
整理得 m(a + b) − 2ab 2 + 3ab − m(a + b) + m2 −17m = 0
3.已知 AB 是圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点， CAB = 15 ， ABC 的平分线交圆 O 于点 D，若 CD = 3 ，则 AB=（ ） （A）2 （B） 6 （C） 2 2 （D）3
4.不定方程 3x2 + 7xy − 2x − 5y −17 = 0 的全部正整数角（x,y）的组数为（ ）
于是可得
a + b = 2(17 −
ab
=
17m
−
m2
m .
)
,
因此，a,b 是关于 x 的一元二次方程 x2 + 2(m −17)x +17m − m2 = 0 ……○1 的两个整数根，
( ) 方程○1 的判别式 = 4(m −17)2 − 4 17m − m2 = 4(17 − m)(17 − 2m) 0.
初中数学联合竞赛试题及参考答案
初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为 （ B ） )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.提示：,a b 是方程2310x x -+=两个不同根，故3,1a b ab +==.2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为 （ D ） )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 提示：AEF ABC ∆∆ ，可得185AE =，故AEB ∆中由勾股定理得245BE = 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ C ）)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 提示：卡片一共有20种取法，其中123,15246,459+=+=+=+=，满足条件的有428⨯=种.4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ B ）)(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.提示：,BCM BCN ∆∆都是等腰三角形.5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（ B ）)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 提示：将价格从高到低排列，相邻价格之间的比值至少是986． 已知实数,x y 满足(2008x y -=，则2232x y -+3x3y -2007-的值为 （ D ）)(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.提示：y x y x -=+-=x y -=x y =.二、填空题1．设a =，则5432322a a a a a a a +---+=-_________.-2 提示：210a a +-=2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且AM =135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为___________.25 提示：DNA ABM ∆∆ 3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=__________. 提示：22111,,444b mn y x x y x =≤=++=-满足条件. 4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是___________.1提示：平方数为一位数的有3个，平方数为两位数的有6个，依此类推.第二试（A ）一、已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解：设)()1)(1()(bx x b bx ax x x a x f ------=，则)1()1()1()(2222x x b bx x x a x a x f --+---==)1()()1(2222x x b a bx x a -+-+-=)1()1(22x x bx x a --+-当0=x 时，0)0(≥=a f ，当1=x 时，0)1(≥=b f ，故0,0≥≥b a .若0=a ，则1=b ，x x x f -=22)(，不恒大于等于0，故,0≠a 即0>a ，同理0>b .当10<<x 时，)1()12(])1([)(2x x ab x b x a x f --+--=（1） 当x b x a =-)1(，即)1,0(∈+=b a ax 时，0)1()12()(≥--=x x ab x f ，故012≥-ab ，即41≥ab . （2） 当41≥ab ，即012≥-ab 时， 0)1()12(])1([)(2≥--+--=x x ab x b x a x f综上所述，ab 最小值是41，此时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=426426b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=426426b a . 二、如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.解：(1)连接OC OB OA ,,，则OC OB OA ==，又AC AB =，故等腰BCO ABO ∆≅∆，CBO ABO ∠=∠.由于BC 为圆D 的切线，故弦切角ABC ∠所夹劣弧长为OBC ∠所夹劣弧长的2倍，即半径BO 所在直径通过弧AB 的中点，即点O 在圆D 上.（2）连接BD AD ,，则AB BD AD r ≥+=2，故AC AB AB r ⋅=≥224，又S AC AB 2≥⋅，故S r 242≥，即22S r ≥，且当AB 为圆D 的直径时可以取等号，故r 的最小值是22S.三、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ 求a ，b 的值.解：将原等式整理为关于b 的一元二次方程：0509436)51150936(922=⨯-+⨯-+a a b a b ，由于b 为正整数，则方程判别式)72511(509)509436(94)51150936(2222a a a a -=⨯-⨯⨯-⨯-=∆是完全平方数，即a 725112-为完全平方数，设)(7251122N t t a ∈=-，则a t 7251122=-，即a t t 72)511)(511(=+-，由于1022)511()511(=++-t t ，故)511(),511(t t +-同为奇数或者同为偶数，且不同是被3整除.当2=a 时，检验得2725112⨯-不是完全平方数当3=a 时，检验得3725112⨯-不是完全平方数当5≥a 时，由上面分析可知18436218436272⨯=⨯=⨯=⨯=a a a a a 共4种分解方式可能满足条件.当⎩⎨⎧=+=-a t t 365112511时，385=a 不是整数，当⎩⎨⎧=+=-a t t 185114511时，9509=a 不是整数， 当⎩⎨⎧=+=-365112511t a t 或⎩⎨⎧=+=-at t 251136511时，2917493⨯==a 不是质数，当⎩⎨⎧=+=-a t t 451118511时，251=a 是质数，此时只有7=b 满足条件， 综上所述，251=a ，7=b . 附：一。
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2013年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.计算=（B ）（A 1 （B ）1 （C （D ）22.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（A ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=，ABC ∠的平分线交圆O 于点D ，若CD =AB=（A ）（A ）2 （B（C ）（D ）34.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（B ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2， AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（C ）（A （B （C （D 6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为（B ） （A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++= 42.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 8 3.在ABC 中，60,75,10A C AB ∠=∠==，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF4.如果实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z z x ---的最大值，则A 的最大值为第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2222223236,a c b d ad bc +=+=-=求()()2222ab c d ++的值。
解：设2222,m a b n c d =+=+，则222223223312.m n a b c d +=+++=因为()()2223232424m n m n mn mn +=-+≥，即21224mn ≥，所以6mn ≤ ………………○1 又因为()()222222222222mn a b cd a c b d a d b c =++=+++ ………………○2 由○1，○2可得 6.mn =即()()22226a b cd ++=注：符合条件的实数,,,a b c d 存在且不唯一，6232,1,,a b c d ====-就是一组。
二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点B 、C 作圆O 的切线，交于点P ，连AC ，若92OP AC =，求PBAC的值。
解：连OC ，因为PC ，PB 为圆O 的切线，所以∠POC=∠POB 。
又因为OA=OC ，所以∠OCA=∠OAC 。
又因为∠COB=∠OCA+∠OAC ，所以2∠POB=2∠OAC ，所以∠POB=∠OAC ，所以OP ∥AC 。
又∠POB=∠OAC ，所以BAC POB ，所以AC ABOB OP=。
又92OP AC =，AB=2r ，OB=r （r 为圆O 的半径），代入可求得 OP=3r,AC=23r.在Rt POB 中，由勾股定理可求得2222PB OP OB r =-=。
所以223223PB rAC r ==。
三、（本题满分25分）已知t 是一元二次方程210x x +-=的一个根，若正整数,,a b m 使得等式()()31at m bt m m ++=成立，求ab 的值。
解：因为t 是一元二次方程210x x +-=的一个根，显然t 是无理数，且21t t =-。
等式()()31at m bt m m ++=即()2231abt m a b t m m +++=，即()()2131ab t m a b t m m -+++=，即()()2310.m a b ab t ab m m +-++-=⎡⎤⎣⎦因为,,a b m 是正整数，t 是无理数，所以()20,310,m a b ab ab m m ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩于是可得231,31.a b m ab m m +=-⎧⎨=-⎩ 因此，,a b 是关于x 的一元二次方程()2231310x m x m m +-+-=的两个整数根，该方程的判别式()()()()2231431313150.m m mm m ∆=---=--≥又因为,a b 是正整数，所以310a b m +=->，从而可得310.5m <≤又因为判别式∆是一个完全平方数，验证可知，只有6m =符合要求。
把6m =代入可得231150.ab m m =-=第二试（B ）一、 （本题满分20分）已知21t =-，若正整数,,a b m 使得等式()()17at m bt m m++=成立，求ab 的值。
解：因为21t =-，所以232 2.t =-等式()()17at m bt m m ++=即()2217,abt m a b t m m +++= 即()()()23222117ab m a b m m -++-+=，整理得()()2223170m a b ab ab m a b m m ⎡⎤+-⋅+-++-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦于是可得()2217,17.a b m ab m m ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩ 因此，,a b 是关于x 的一元二次方程222(17)170x m x m m +-+-=……○1的两个整数根，方程○1的判别式()()()()224174174171720.m m mm m ∆=---=--≥又因为,,a b m 是正整数，所以()2170a b m +=->，从而可得1702m <≤ 又因为判别式∆是一个完全平方数，验证可知，只有8m =符合要求，把8m =代入得21772ab m m =-=。
二、（本题满分25分）在ABC ∆中，AB>AC ，O 、I 分别是ABC ∆的外心和内心，且满足AB-AC=2OI 。
求证：（1）OI ∥BC ；（2）2AOC AOB AOI S S S ∆∆∆-=。
证明（1）作OM ⊥BC 于M ，IN ⊥BC 于N 。
设BC=a ，AC=b ，AB=c 。
易求得CM=12a ，CN=()12a b c +-，所以MN=CM-CN=()12c b -=OI ， 又MN 恰好是两条平行线OM ，IN 之间的垂线段，所以OI 也是两条平行线OM ，IN 之间的垂线段，所以OI ∥MN ，所以OI ∥BC 。
（2）由（1）知OMNI 是矩形，连接BI ，CI ，设OM=IN=r （即为ABC ∆的内切圆半径），则()()11112222221122.22AOCAOBAOICOIAICAIBAOIBOIAOIBOICOIAICAIB AOIAOIAOISSSSSSSSS S SSSS OI r OI r AC r AB r Sr OI b c S-=++---=+++-=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅⎛⎫=+⋅+-= ⎪⎝⎭ 三、（本题满分25分）若正数,,a b c满足2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求代数式222222222222b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++的值。
解：由于,,a b c 具有轮换对称性，不妨设0.a b c <≤≤ （1）若c a b >+，则0,0c a b c b a ->>->>，从而得：()2222211,22c b a b c a bc bc--+-=+>()2222211,22c a b c a b ca ca --+-=+>()2222211,22a b c a b a ab ab +-+-=-<-所以2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，与已知条件矛盾。
（2）若c a b <+，则0,0c a b c b a ≤-<≤-<，从而可得：()22222011,22c b a b c a bc bc --+-<=+<()22222011,22c a b c a b ca ca--+-<=+<()22222011,22a b c a b c ab ab --+-<=+<()2222211,22a b c a b aab ab+-+-=->-所以2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，与已知条件矛盾。
综合（1）（2）可知：一定有.c a b =+于是可得2222222221,1,1222b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-===-所以2222222221.222b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++=。