4章优化总结
工程优化 第4章-4
优点：计算量较少，而且总能收敛到一个局部极小点。 缺点：收敛速度较慢
牛顿法（Newton）---基本思想
牛顿法是一种函数逼近法，基本思想是：在极小点附近用 函数的二阶泰勒多项式近似代替目标函数，从而求得目标函数 的极小点的近似值。 对 f (x) 在 x k 点二阶泰勒展开：
f ( x) f ( xk ) f '( xk )( x xk )
从极值的必要条件 P x a1 2a2 x 0
求得
x a1 / 2a2
求出系数 a1 和 a2 ，就可得到极小点的表达式。
x a1 / 2a2
1 x 2 x
2 2 2
2 x3 f1 x32 x12 f 2 x12 x22 f 3
P x1 a0 a1 x1 a2 x12 f1 f x1
（1） （2） （3）
P x2 a0 a1 x2 a2 x22 f2 f x2
P x3 a0 a1 x3 a2 x32 f3 f x3
插值法---求二次插值多项式的极小点
0, 令 k 1 。 步骤1：给定初始点 x1 R，
步骤2：计算 f '( xk ), f ''( xk ) 。
步骤3：若 f '( xk ) ，停止，x* xk ，否则转步骤4。 步骤4：计算
f '( xk ) xk 1 =xk f ''( xk )
令 k k 1，转步骤2。 特点：收敛速度快，局部二阶收敛。 缺点：须计算二次导数，工作量大；对初始点要求高，要求初 始点离极小点不太远，否则有可能使极小化发散或收敛到非极 小点；局部收敛。
《SEO实战密码》第4章、 网站结构优化(整理笔记)
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-----------------------------Sitemaps------------------------------
1.搜索引擎会将子域名当做独立站点，其与主域名是两个完全不同的站点。相比目录来说，搜索引擎会将子域名url当做首页，主域名会传递一定的信任度给子域名，权重排名会比目录高点。但在推广时是要将优化工作全做一遍（外部链接建设、网站PR值和权重会被分散，是网站变小，目录会使网站变大）。
2.子域名适用于：大型门户网站、跨国公司、公司多种非同类产品、不同地域分类信息网站
refresh等（被认为作弊行为）
一切正常；404--页面不存在；302--临时性转向；500--内部程序错误
最优化方法第四章(1)概要
（4.7）
D {x si ( x) 0, i 1,2, , 对于约束问题（4.7），设 x D 。若 x 使得 某个不等式约束有 si ( x ) 0 ，则该不等式约束 si ( x ) 0 称为是关于容许点 x 的起作用约束；否则，若 si ( x ) 0 ， 则该不等式约束称为是关于容许点 x 的不起作用约束。
*
*
G( x* ) S ( x* ) * * p C ( x ) ， 证 根据引理4.3，若 p G( x ) ，则 * * C ( x ) S ( x ) , 从而 G( x* ) C( x* ) 。又根据定理4.5，有 故必有 G( x* ) S ( x* ) 。
j 1
l
Lagrange 函数（4.4)的梯度是
x L L L
其中
x L f ( x ) j h j ( x )
l
L h1 ( x ), h2 ( x ),
最优性必要条件
j 1
hl ( x )
T
L( x* , 1* , 2* ,
C 是凸集，则称为凸锥。
显然，由 的集合
n 维向量 v1, v2 ,
m i 1
, vm 的全部非负组合构成
C {x x i vi , i 0}
是一个以原点为顶点的凸锥。由于这样的凸锥的边界是 （超）平面或直线，所以也称为由 v1 , v2 , , vm 张成的 凸多面锥。 n 是 D 定义4.3 设 R 中的非空集，且 x D。对于非零 n 向量 p R ，若存在 0 ，当 t (0, ) 时，必有 x tp D ，则 p 称为点 x 的容许方向向量，其方向 称为点 x 的容许方向。由点 x 的全部容许方向向量构成的 集合称为点 x 的容许方向锥，记作 C ( x* )
鲁科物理必修1课件：第4章本章优化总结
也错．
【答案】 A
栏目 导引
第4章 相互作用
受力分析
1．受力分析
把研究对象(指定物体)在指定的物理环境中受 到的外力都分析出来，并画出物体所受力的 示意图，这个过程就是受力分析．
栏目 导引
第4章 相互作用
2．受力分析的依据
(1)条件判断：根据力的产生条件是否满足来 判断物体是否受到某个力的作用； (2)效果判断：根据力的作用效果是否得以体 现来判断物体是否受到某个力的作用； (3)相互作用来判断：利用力的作用的相互性, 即施力物体同时也是受力物体，从一个物体 是否受到的某个力的作用来判断另一个物体
M的接触点处有线的拉力T1、T2，方向沿线的 方向竖直向上；物体m与斜梁的接触面有对斜
梁的压力，方向垂直于斜梁向下．
(3)物体m有下滑的趋势，故M受到m对它斜向 下的静摩擦力f的作用．
在这五个力作用下使得斜梁处于平衡状态，如
图所示为其受力分析图．
栏目 导引
第4章 相互作用
【答案】
见精讲精析
【规律方法】
D．若v1＞v2，A、B之间无滑动摩擦力
栏目 导引
第4章 相互作用
【精讲精析】
若v1 ＝v2 ，两物体间就没有相
对运动，A、B之间无摩擦力，即A选项正确.
若v1＞v2，以A为研究对象,A相对B向右运动,故 A受到B所施加的向左的滑动摩擦力,所以B、D
选项均错．
若v1＜v2，以B为研究对象,B相对A向右运动,所 以B受到A施加的向左的滑动摩擦力，故C选项
是否受到相应的力的作用．
栏目 导引
第4章 相互作用
3．受力分析的方法 (1)整体法与隔离法 整体法 隔离法
将运动状态相同的 将研究对象与周围 概念 几个物体作为一个 物体分隔开的方法 整体来分析的方法
第4章最优化方法运筹学
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22 x51 = 1.1x41+ 1.25x32 xi2 ≤ 30 ( i =1、2、3、4 ) x33 ≤ 80 x24 ≤ 100 xij ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ
1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元
资源限制
300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能 使工厂获利最多？
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 二、线性规划的一般模型
三、线性规划问题的计算机求解 （Excel，lingo）
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
例题分析5：投资问题
例5 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目 投资。已知：
项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回 本利110%；
项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回 本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；
B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的
决策变量：
1
2345
A x11 x21 x31 x41 x51
B x12 x22 x32 x42
C
x33
Байду номын сангаасD
x24
例题分析5：投资问题
Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11(第二年的投资与第一年投资
2013年物理选修3-4册课件：第4章本章优化总结
图4－8
A．屏上c处是紫光 B．屏上d处是红光 C．屏上b处是紫光 D．屏上a处是红光 解析：选D.由公式可知，光的波长越长，折射率 越小．而在太阳光的可见范围内，从红光到紫光 的波长越来越短，即折射率越来越大，所以a处 是 红 光 ， d 处 是 紫 光 ， 则 A 、 B 、 C 错 误 ， D正 确．
4．(2011年高考福建理综卷)如图4－7，半圆形玻璃 砖置于光屏PQ的左下方．一束白光沿半径方向从A 点射入玻璃砖，在O点发生反射和折射，折射光在 光屏上呈现七色光带．若入射点由A向B缓慢移动， 并保持白光沿半径方向入射到O点，观察到各色光 在光屏上陆续消失．在光带未完全消失之前，反射 光的强度变化以及光屏上最先消失的光分别是( ) A．减弱，紫光 B．减弱，红光 C．增强，紫光 D．增强，红光
如图 4－3 所示，直角玻璃三棱镜置于 空气中，已知∠A＝60° ，∠C＝90° ，一束极细 的光于 AC 的中点 D 垂直 AC 面入射，AD＝a， 棱镜的折射率 n＝ 2，求：
例3
图4－3
(1)光从棱镜第一次射入空气时的折射角； (2)光从进入棱镜到它第一次射入空气所经历的时 间(设光在真空中传播速度为c)．
2．(2011年高考重庆理综卷)在一次讨论中，老师问 道：“假如水中相同深度处有a、b、c三种不同颜色 的单色点光源，有人在水面上方同等条件下观测发现， b 在水下的像最深，c照亮水面的面积比a的大．关于 这三种光在水中的性质，同学们能做出什么判断？” 有同学回答如下： ①c光的频率最大 ②a光的传播速度最小 ③b光的 折射率最大 ④a光的波长比b光的短 根据老师的假定，以上回答正确的是( ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④
结合在一起考查．
两束不同频率的单色光a、b从空气射入 水中，发生了如图4－1所示的折射现象 (α>β)．下列结论中正确的是( )
数学模型复习-第4章离散优化模型
第4章离散优化模型【内容总结与思考】§1数学规划（最优化模型）概述。
规划模型（最优化模型）的三要素:决策（设计，控制）变量,约束条件和目标函数,最优化模型就是在满足约束条件的集合中（可行集）求目标函数的最优值。
按目标函数分分为多目标规划和单目标规划。
单目标规划模型的一般形式：max （min） Z = f（x）,x = （x{,x2,...,x n）Ts.t.（x） < 0, i = 1.2,...m线性规划:目标函数和约束条件都是线性的称为线性规划。
不是线性规划统称为非线性规划。
二次规划:目标函数是二次的，约束条件是线性的称为二次规划。
整数规划:决策变量均取整数值的规划称为整数规划。
部分决策变量取整数，其它取实数则称为混合整数规划。
只取0,1 的变量称为0-1变量。
实际问题建模（生产计划•线性规划）。
建模.软件计算，结果分析:对偶价格。
敏感性分析结果应用：系数变化范围（目标函数系数,约束右端项系数）例题1最优化模型的三姜素为（）■最优化问题就规划问题,整数规划是（)o§1生产计划建模:决策变量为目标为利润（费用），约束为生产要素限制，一般为线性规划。
例题1 一般的生产规划模型的目标函数是（），决策变量是（）,约束条件为（）。
其一般模型为（）§2运输问题建模（自来水输运与装机）lo 一般运输问题建模。
第，个供应点（源）第丿个需求点（汇）的量为®,则模型为m nmin（ max）i=l j=ln m ms.t. 2L x u -a i»Z x ij -lb j^x ij - ub j»j=l i=l i=l目标为费用最小（或利润最大），约束包括两类，供应约束（源点,始点）需求约束（终点•汇）。
一般运输问题的数据表结构:利润表+右边表示供应点的数据+底边表示各需求点的数据。
2O运输问题编程「水库送水问题Idefine set and variable;sets: gong/1..3/:a;xu/1..4/:bl f bu;link(gon g f xu):x f c;en dsets•evaluate to known variable;data:a=100,120,100;bl 二30,70,10,10;bu=80,140,30,50;c 二290,320,230,280,310,320,260,300,260,250,220,-1000;enddatamax=@sum(link(i,j):c(ij)*x(ij));@for(gong(i):@sum(xu(j):x(ij))<=a(i)); @for(xu(j):@sum(gong(i):x(ij))>=bl(j)); @for(xu(j):@sum(gong(i):x(ij))<=bu(j)); end例题1 一般运输问题的模型( 厂目标函数的形式为( )，约束条件是( )例题2 Lingo编程中重要的三部分是:set段，data段，和砂段。
印章管理年度总结(3篇)
第1篇一、前言随着社会经济的快速发展，各类企事业单位对印章管理的需求日益增加。
印章作为企事业单位的重要凭证，其使用和管理直接关系到企事业单位的合法权益。
本年度，我单位高度重视印章管理工作，严格按照国家法律法规和上级单位的要求，不断完善印章管理制度，加强印章使用监管，确保印章使用的安全、规范和高效。
现将本年度印章管理工作总结如下：二、印章管理制度建设1. 完善印章管理制度：根据《中华人民共和国印章管理条例》和相关法律法规，结合我单位实际情况，制定了《印章管理办法》，明确了印章的审批、制作、使用、保管、销毁等各个环节的具体要求。
2. 规范印章使用流程：明确了印章使用申请、审批、备案、登记、存档等流程，确保印章使用过程中的透明度和可追溯性。
3. 加强印章管理培训：定期组织印章管理人员进行业务培训，提高其业务水平和管理能力。
三、印章管理执行情况1. 印章审批：严格按照审批流程，对印章使用申请进行审批，确保印章使用符合规定。
2. 印章制作：选择正规厂家制作印章，确保印章质量。
3. 印章使用：加强对印章使用的监管，确保印章使用安全、规范。
4. 印章保管：设立专门的印章保管室，配备专门的保管人员，严格执行印章保管制度。
5. 印章销毁：按照规定程序销毁废旧印章，防止印章流失。
四、印章管理成效1. 印章使用安全：通过加强印章管理，有效防范了印章被滥用、盗用等风险。
2. 印章使用规范：印章使用流程规范，确保了印章使用的合法性和有效性。
3. 印章管理效率：通过优化印章管理流程，提高了印章管理的效率。
4. 印章管理监督：建立了完善的印章管理监督机制，确保印章管理的规范性和透明度。
五、存在问题及改进措施1. 存在问题：（1）部分印章管理人员对印章管理制度掌握不全面，导致印章使用过程中出现不规范现象。
（2）印章保管设施有待进一步完善。
2. 改进措施：（1）加强对印章管理人员的培训，提高其业务水平和管理能力。
（2）加大印章保管设施投入，提高印章保管的安全性。
3-5第4章 从原子核到夸克优化总结
第4章
从原子核到夸克
2.静止的原子核发生α衰变和β衰变的规律以
及它们在磁场中运动的轨迹特点如下表：
栏目 导引
第4章
从原子核到夸克
例1 在匀强磁场中，一个原来静止的原子 核，由于天然衰变放出一个粒子而得到相内切 的两条圆形轨迹，两圆半径之比为44∶1，则 该放射性元素的原子序数为多少？
栏目 导引
第4章
τ 余 原 τ 余 原 － － ＋ －
栏目 导引
第4章
从原子核到夸克
专题归纳整合
α衰变和β衰变在磁场中轨迹 的分析
1.在解决原子核的衰变问题时应把握以下三点： (1)衰变过程中，质量数、电荷数守恒． (2)衰变过程中动量守恒． (3)带电粒子在垂直磁场方向做匀速圆周运动时， 洛伦兹力提供向心力．
栏目 导引
栏目 导引
第4章
从原子核到夸克
【答案】
43 关于原子核在磁场中衰变形
【规律总结】
成的反冲运动问题，如果两条圆形轨迹相内 切，则一定是β衰变；如果两条圆形轨迹相
外切，则一定是α衰变．
栏目 导引
第4章
从原子核到夸克
关于核反应方程
1.几个重要的核反应方程
栏目 导引
第4章
从原子核到夸克
2.核反应遵守两个守恒：核电荷数守恒，质
从原子核到夸克
【精讲精析】 原子核放出一个粒子后，新核将受 到一个反向冲量，根据动量守恒定律，新核和粒子 的动量大小相等，方向相反；设匀强磁场方向垂直 纸面向里，如图所示，因为两圆轨迹内切，由左手 定则可知，粒子一定带负电，即为β 衰变，衰变方 mv2 mv A A 0 程为Z X→Z＋1Y＋－1e，由 qvB＝ 得 R＝ ，可 R qB 知在 mv 相同时，R 与 q 成反比，设新核转动半径 R 1 q2 e 为 R1，粒子转动半径为 R2，则 ＝ ＝ R2 q1 （Z＋1）e 1 1 1 ＝ ，即 ＝ ，解得 Z＝43. 44 Z＋1 Z＋1
最优化方法(刘)第四章
阻尼牛顿法收敛定理
定理2: 设 f ( x) 二阶连续可微， 又设对任意的x0 ∈Rn , 存在常数m > 0, 使得 f ( x) 在 L ={x f (x) ≤ f (x0 )} 2 T 2 上满足： ∇ f ( x)µ ≥ m µ ,∀ ∈Rn , x∈L( x0 ) µ µ 则在精确线搜索条件下， 阻尼牛顿法产生的点列 {xk } 满足： (1) 当{xk } 是有限点列时， 其最后一个点为 f ( x) 的唯一极小点． (2)当{xk } 是无限点列时， 收敛到 f (x) 的唯一极小点．
) x0 = (9,1
T
g0 = ∇ ( x0 ) = (9,9) f
T
T 7.2 7.2 g0 g0 x = x0 − T g0 = 1 −0.8 g1 = −7.2 g0 G 0 g T 9×0.82 g1 g1 x2 = x − T g1 = 1 2 (−1 ×0.82 g1 G 1 g )
9 1 0 x = x0 −G g0 = − 1 1 0 9
1 − 0 −1
9 0 = = x* 9 0
牛顿法收敛定理
定理1: 设 f ( x) 二次连续可微， *是 f ( x) 的局 x 部极小点， f (x* ) 正定． 假定 f ( x) 的海色阵 ∇
gk →0 .
证明： 对于最速下降法， k = 0, 由以上定理立得． θ
收敛性分析
定理2: 设 f ( x) 二次连续可微， ∇2 f ( x) ≤ M, 且 其中 M是个正常数， 对任何给定的初始点 x0, 最速下降算法或有限终止， 或者lim f ( xk ) = −∞ ,
k→ ∞
第四章 无约束优化方法
各1矢=0量，必则在新该生平方面向内与，e使2 、搜e索3共局面限，于随二后维的空各间环，方不向能组得中到，
最优解。
x3S1x1 1=0Fra bibliotek2e2
x2
3e3
鲍威尔基本算法的退化
二、鲍威尔修正算法
在某环已经取得的n+1各方向中，选取n个线性无关 的并且共轭程度尽可能高的方向作为下一环的基本方向组
组矢量式，中，1(Sk) 1、(k)、2S(k2)(k、) 、• ••••、• 、nS(k)n为(k)为个第方k向环的基最本优方步向长。 表次示搜为索若将S在2在(第k) 降、k环维S的3的(k优)空、化间•搜进• 索•行、过，程S无n中(k法)的出得线现到性n1组维(k)合空=0，间，以的则后函方的数向各极Sk
故得最优解
梯度法
优化设计是追求目标函数值最小，因此，自然可以设想 从某点出发，其搜索方向取该点的负梯度方向，使函数值在 该点附近下降最快。这种方法也称为最速下降法。
一、基本原理
梯度法的迭代公式为：
x(k+1)=x(k)-(k)g(k) 其中g(k)是函数F(x)在迭代点x(k)处的梯度f(x(k)) ， (k)一
对于n维优化问题，如果只利用函数值求最优值的解法，称 为直接搜索法；
解析法的收敛速率较高，直接法的可靠性较高。
本章介绍的坐标轮换法和鲍威尔法属于直接法；梯度法、 共轭梯度法、牛顿法和变尺度法属于解析法
无约束优化方法算法的基本过程是:
从选定的某初始点x(k)出发，沿着以一定规律产生的 搜索方向S(k) ,取适当的步长a(k) ,逐次搜寻函数值下降的 新迭代点x(k+1),使之逐步逼近最优点x* 。可以把初始点 x(k) 、搜索方向S(k) 、迭代步长a(k) 称为优化方法算法的 三要素。其中以搜索方向S(k)更为突出和重要，它从根本 上决定着一个算法的成败、收敛速率的快慢等。所以， 一个算法的搜索方向成为该优化方法的基本标志，分析、 确定搜索方向S(k)是研究优化方法的最根本的任务之一。
工程优化 第4章-4
k
1
f x
k
计算量大，存储量也很大。
为减少计算量，用一个n阶对称正定矩阵Hk近似代替Hesse 矩阵的逆
f x ，即 H f x ，从而搜索方
2 k 1 2 k 1 k
向是 p k H k g k，由此搜索方向产生的方法称为变尺度法，
H k 1gk xk
k , k 是常数，u k , v k 是n维列向量。
H1是对称正定的矩阵。
Hk 1 Hk k uk (uk )T +k vk (vk )T
Hk+1满足拟牛顿方程，H k 1gk xk ，
k uk (uk )T gk +k vk (vk )T gk xk Hk gk
步骤4. 令 H k +1 =H k +H k， k k 1 ，转步骤2。 其中 H k称为修正矩阵。 不同的修正矩阵，对应着不同的变尺度法。
变尺度法----一类特殊的拟Newton法
构造 Hk的原则 变尺度法的关键在于如何构造Hk，为了使算法有 较快的收敛速度，需要满足以下几个原则：
构造 Hk的原则----二次收敛性
f (x)=1/2xT Ax+bT x+c， A对称正定
把算法用于正定二次函数时，至多n次达到极小点。
构造的搜索方向 p1, p2, …, pn是一组A 共轭 向量且Hn+1=A-1.
变尺度法----一类特殊的拟Newton法
构造 Hk的原则----稳定性 一个算法若不计算过程的舍入误差，在迭代的每一 步都能选择步长使函数单调下降，则称此算法是稳定的。
T T
(1)
人教物理选修1-2课件：第四章本章优化总结
栏目 导引
第四章
能源的开发与利用
专题归纳整合
第一次工业革命与第二次 工业革命的不同点
栏目 导引
第四章
能源的开发与利用
1.两次工业革命的标志不同 第一次工业革命以蒸汽机为标志，发展主线 为：蒸汽机→交通运输→生产力提高； 第二次工业革命以电力和电信的应用为标志， 发展主线为：电力科学→电力技术→电力、电 信的应用发展．
革．
①人类的生活从以农业为基础转变为以工业 为基础，自给自足的自然经济转变为生产与
消费分离的市场经济．
栏目 导引
第四章
能源的开发与利用
②人类生产活动的场所，从以农业和手工业 的分散的家庭生产为主转变为以集中的工厂 生产为主． ③人类的生产、生活从以农村为中心转到以 城市为中心，导致了人口的聚居和城市的发
总之，如果说在第一次工业革命时代，是社 会生产发展的需要推动了技术进步，并最终
促进了科学的发展；那么在第二次工业革命
中，科学已经成为技术与生产的先导．
栏目 导引
第四章
能源的开发与利用
例1
第一次工业革命给社会带来哪些影响？ “万能原动机”即新型蒸汽机
【精讲精析】
在全球范围大规模使用，真正使人类利用能 源的方式发生了变化．技术的革命必然要导 致产业的革命，还会引发社会的经济政治变
展，并产生了服务业．
栏目 导引
第四章
能源的开发与利用
正如马克思所说在不到100年的时间内“所创 造的生产力，比过去一切世代所创造的全部 生产力还要多、还要大．”这场工业革命的影 响是全球性的，给社会带来的变化是革命性 的．
【答案】
见精讲精析
栏目 导引
第四章
第四章化工过程系统的优化
4 解析法与数值法
根据解算方法，则可分为解析法和数值法。 解析法又称为间接最优化方法。只适用于目标函 数(或泛函)及约束条件有显函数表达的情况。 要求把一个最优化问题用数学方程式表达，然后 用导数法或变分法得到最优化的必要条件，通过 对必要条件方程求解得到问题的最优解。 古典的微分法、变分法、拉格朗日乘子法和庞特 里亚金最大值原理等都属于解析法。
(4-10)
f ( w, x, z ) 0
（流程描述方程）
（尺寸，成本方程） （等式设计约束） （不等设计约束）
c( w, x, z ) 0
h( w, x) 0
g ( w, x) 0
动态优化模型中引入了时间变量，过程变量、目标函数和 约束条件均可为时间变量的函数。集中参数的动态优化模型， 通常由常微分－代数方程组成
讨论
对于上述优化问题，变量数为m+r+s，等式约束方程 数为m+l+s，问题的自由度为 d=变量数－方程数＝r －l 若l=0，自由度等于决策变量数r； 若l=r，自由度等于零，此时最优化问题的解是唯 一的（即等于约束方程的交点），没有选择最优 点的余地； 若l>r，则最优化问题无解。由此可见，l<r是最 优化问题有解的必要条件之一
数值法又称为直接最优化方法，或优选法。
不要求目标函数为各种变量的显函数表达式，利 用函数在某一局部区域的性质或一些已知点的数 值，逐步搜索、逼近，最后达到最优点。
5 可行路径法和不可行路径法
对于有约束最优化问题，视其如何处理约束条
件可分为可行路径法和不可行路径法。
可行路径法的整个搜索过程是在可行域内进行
由于非线性规则问题求解困难，有时将其近似地
线性化，用比较成熟的线性规划技术求解
2013年中图地理选修4课件：第四章本章优化总结
(2)乡村集市上进行交换的主要商品有哪些？(至
少写四种)
(3) 由 该 图 可 知 乡 村 集 市 多 分 布 于 ________ 、
________、________等处。
(4)影响集市形成的因素主要有哪些？
解析：(1)乡村集市是指乡村按约定时间，定期或不 定期进行商品交易的场所。由于所处地域不同，名 称有集、市、场、墟等，由于受集市规模和习惯等 因素影响，有三天一集，五天一集，一周一集等时 间不等。(2)乡村集市所销售商品和农村居民关系密 切，大部分服务农村、农业、农民。(3)该县乡村集 市多分布于交通路口，乡政府所在地及大型村落。 (4)集市的形成有自发的，也有人为规划的，主要受 地理位置、交通条件、物质来源、经济发展水平、 传统习惯及行政规划等影响。
A．①② B．③④ C．②③ D．①④ (2)在构成人居环境的五大系统中，由人工 创造和建设的是( ) ①自然系统 ②人类系统 ③社会系统 ④居住系统 ⑤支撑系统 A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤
(3)如果你是评审团的成员，你关注的基本内容 是( ) ①人居硬件环境 ②人居软件环境 ③家庭环 境 ④邻里环境 ⑤社区和城市环境 A．①② B．③④ C．②③ D．④⑤
答案：(1)约定时间
不定期Biblioteka (2)日常用品、 (3) (4)地
农药、化肥、农副产品、农机用具等。 乡政府所在地 交通路口 大型村落
理位置、交通条件、物质来源、经济发展水 平、传统习惯和行政规划等。
关于“城市交通合理组织”的理解
1．合理组织的目的：为居民和外来人员提供安 全、快速、方便、舒适的出行条件。 2．合理组织的基本要求：充分发挥各种城市交 通运输方式的作用，换乘方便；在城市各功能 区之间建立便捷的交通联系；花费相对低廉， 服务到位；有效地缓解城市交通高峰期的交通 压力；可便捷地进出所在地城市；利于提高城 市的经营效率和城市的可持续发展。
优化问题的经典解法
第4章 优化问题的经典解法Chapter 4 Classical Optimization4-1 优化问题的最优解 （Optimum solution ） 4-1-1 无约束最优解、约束最优解所谓优化问题的最优解→ 变量的最优点{}Tnx x x **2*1,,K + 函数的最优值()*Xf （Optimum point + Optimum value ）。
根据优化问题是否存在约束，有无约束最优解及有约束最优解之分。
1) 无约束最优解使函数取得最小Minima （最大Maxima ）值的解称之，见图4-1。
图4-1 2) 约束最优解使函数取得最小（最大）值的可行解称之。
情况要比无约束问题复杂，见二维问题的示 意图4-2。
约束不起作用 一个起作用约束二个起作用约束 线性规划问题图4-24-1-2 局部最优解解和全局最优解 （Relative or local & Absolute or global minimum ）以一维问题为例，对于无约束优化问题，当目标函数不是单峰函数时，会出现多个极值点K ,,,*3*2*1x x x ，对应的函数值为K ),(),(),(*3*2*1x f x f x f 。
每一个极值点在数学上称为局部最优点，它们中间的最小者才是全局最优点。
对于约束优化问题，情况就要更复杂一些，目标函数、约束函数的特性都会使得可行域内出现二个以上的局部极小点，其中函数值最小者，称为全局最优点。
P16 Fig3.2 , P30 图2-10清华本课程中讲述的所有优化方法目前只能求出局部最优解，而优化设计的目的是要追求全局最优解。
因此，除了凸规划问题以外，要进行局部最优解之间的比较，选择出问题的全局最优解来。
P124-2 凸集、凸函数与凸规划4-2-1 凸集 （Convex set ）函数的凸集表现为其单峰性（Unimodal ）。
对于具有凸性的函数而言，其极值点只有一个，该点即是局部极值点，也是全局最优点。
2024年公司印章管理工作总结(2篇)
2024年公司印章管理工作总结____年是我公司印章管理工作的关键一年，我们在印章管理方面取得了一系列的成绩和进展。
本文将对____年公司印章管理工作进行总结，包括工作中取得的成绩、存在的问题以及改进措施等方面。
一、工作成绩____年，我公司在印章管理方面主要取得了以下成绩：1. 建立了完善的印章管理制度。
公司制定了印章使用和管理制度，明确了各个岗位的印章使用权限和管理责任，确保了印章使用的合规性和安全性。
2. 实施了印章使用权限的审批制度。
针对印章使用权限的审批问题，我们采取了集中审批的方式，确保了印章的使用权限在合理范围内，并避免了权限滥用的情况出现。
3. 配备了专职的印章管理人员。
公司专门聘请了一名印章管理人员，负责对公司所有印章进行管理和监督，从而提高了印章管理的专业性和精细化程度。
4. 强化了印章的安全管理。
我们在印章使用过程中加强了对印章的保管和使用监控，确保了印章不被盗窃或使用不当，从而有效减少了印章安全风险。
5. 加强了员工的印章管理培训。
公司组织了印章管理培训，让员工了解印章管理的重要性和规范要求，提高员工的印章管理意识和能力。
二、存在问题____年公司印章管理工作取得了一定的成绩，但也存在一些问题，主要有以下几点：1. 印章管理责任不明确。
尽管我们在制度上明确了各个岗位的印章使用和管理责任，但在实际操作中，仍然存在一些责任不明确的情况，导致印章管理上存在一定的盲区。
2. 南获得与印章使用权限不相符的情况。
尽管我们实施了印章使用权限的审批制度，但仍然存在一些人员获得与其岗位职责不相符的印章使用权限的情况，需要进一步完善权限审批机制。
3. 印章管理人员专业水平有待提高。
虽然我们已经配备了专职印章管理人员，但其专业水平还有待提高。
印章管理人员需要进一步加强对印章管理法规和技术规范的学习和了解，提高印章管理的专业性。
4. 南办法对印章安全管理措施不到位。
虽然我们在印章安全管理方面加强了保管和监控措施，但仍然有一些细节方面的问题存在，包括印章的密封和封样管理等方面。
最优化方法 4第四章
（2）若有 (t 2 ) (t1 )，则[t 2 , b] 是 (t ) 的单谷区间．
18
a
.
. t2
t*
.
t1
.
.
b
证明略．
定理 4.1 说明，经过函数值的比较可以把单谷区间缩短为一个较 小的单谷区间．换句话说利用这个定理可以把搜索区间无限缩小， 从而求到极小点．以下介绍的几种一维搜索方法都是利用这个定 理通过不断地缩短搜索区间的长度，来求得一维最优化问题的近
c=(a+b)/2
(c) 0
N
a=c
Y
N
(c) 0
Y
T*=c
b=c
t*=(a+b)/2
Y
(c) 0
N
输出t* 结束
图4.6
24
4.3 Newton切线法
一、Newton切线法基本原理 设 : R1 R1在已获得的搜索区间 [a, b] 内具有连 续二阶导数，求 min (t ) ． a t b 因为 (t ) 在 [a, b] 上可微，故 (t ) 在 [a, b] 上有最 小值，令 (t ) 0 ． 下面不妨设在区间 [a, b] 中经过 k 次迭代已求得方 程 (t ) 0的一个近似根 t k．过(t k , (t k )) 作曲线 y (t ) 的切线,其方程是 y (t k ) (t k )(t t k ) （4.4）
6
下面解释迭代点 X k 1 X k t k Pk 的空间位置．容 易证明，若从X k出发，沿 Pk 方向进步一维搜索得 极小点 X k 1 X k t k P ，则该点 处的梯度方 X k k 1 P 向 f ( X k 与搜索方向 之间应满足 k 1)
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【点评】 直线与圆的位置关系分 为相交、相切、相离，牢记各种位置关 系的条件和性质，判断它们的位置关系 时可根据圆心到直线的距离与半径的关 系，也可根据它们构成的方程组的实数 解的个数进行判断．
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【点评】 求圆的方程有两类方法：(1)几 何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆 的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2) 代数法：即用“待定系数法”求圆的方程，其一 般步骤是： ①根据题意选择方程的形式：标准形式或 一般形式； ②利用条件列出关于a、b、r或D、E、F 的方程组； ③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方 程或一般方程．
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热点一 直线的倾斜角与斜率
1．要正确理解倾斜角的定义，明确 倾斜角的范围0°≤α<180°，熟记斜率公 y2－ y1 式k＝ ，该公式与两点顺序无 x2 － x1 关．已知两点坐标(x1≠x2)，根据该公式可
以求出经过两点的直线斜率，当x1＝x2，
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(3)法一：设圆的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝10. 由圆心在直线y＝2x上，得b＝2a，⑥ 由圆在直线x－y＝0上截得弦的长为4 2， 将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10， 整理得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0. 由弦长公式得＝ 2 (a＋b)2－2(a2＋b2－10) 4 2， 化简得a－b＝±2，⑦ 解⑥⑦得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋ 2)2＋(y＋4)2＝10.
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又圆的半径r＝OC＝5， 所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋3) 2＝25.Fra bibliotek 高考热点探究
(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，① 将P、Q点的坐标分别代入①得 4D-2E+F=-20 D-3E-F=10
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令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④ 由已知|y1－y2|＝4 3，其中y1、y2是方程 ④的两根， 所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2 ＝E2－4F＝48，⑤ 解②、③、⑤组成的方程组得 D＝－2，E＝0，F＝－12， 或D＝－10，E＝－8，F＝4， 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0 或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
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【思路点拨】 (1)由截距式设出直 线方程，再将圆的方程化为标准形式， 利用圆心到直线的距离求证．(2)设出AB 中点坐标代入(1)即可．(3)利用三角形面 积公式结合(1)的结论可解．
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【解】 (1)证明：由题意，知直线l 的方程为 x ＋ y ＝1， a b 即bx＋ay－ab＝0. 圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1. ∵直线l与圆C相切， ∴圆心C到直线l的距离等于1. |a＋b－ab| 即 a2＋b2 ＝1. 化简整理得(a－2)(b－2)＝2.
在l1上取一特殊点(2,0)，它关于直线 l的对称点(x0，y0)应在所求直线l2上． 2＋x0 y0 3× ＋4× －1＝0， 2 2 由 y0 ＝4， x0－2 3
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4 x0＝5， 解得 y0＝－8. 5 y＋ 2 由两点式，得直线l2的方程为 8 x－ 3 － ＋2 5 ＝ 4 ， －3 5 即为2x＋11y＋16＝0.
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【点评】 常见的直线的对称有以下几种 情况： 直线l：Ax＋By＋C＝0， 关于x轴的对称直线为Ax＋B(－y)＋C＝0； 关于y轴的对称直线为A(－x)＋By＋C＝0； 关于y＝x的对称直线为Bx＋Ay＋C＝0； 关于直线y＝－x的对称直线为A(－y)＋B (－x)＋C＝0.
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热点二 直线的位置关系
1．两直线的位置关系在高考题中出 现频繁，且多在填空题中进行考查．在 两条直线的位置关系中，讨论最多的还 是平行与垂直，它们是两条直线的特殊 位置关系．另外，解题时认真画出图形， 有助于快速准确地解决问题．
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2．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1， B1不全为0)． 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不 全为0)， 则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2 C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)． l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0， l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－ A2C1＝0(或B1C2－B2C1＝0)．
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热点四
直线与圆的位置关系
在解决直线与圆的位置关系的问题时，一 定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何 特征，尽可能简化运算，讨论直线与圆的位置 关系时，一般不用Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心 到直线距离d<r，d＝r，d>r，分别确定相交、相 切、相离的位置关系． 涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与 切线垂直，计算弦长时，要用半径、弦心距、 半弦构成直角三角形．
y1≠y2时，直线斜率不存在，此时直线倾 斜角为90°.
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2．在分析直线的倾斜角和斜率的关系 时，要根据正切函数k＝tanα的增区间 π [0， )，当α取值在此区间内由0增大到 2 (≠ π )时，k由0增大到＋∞；当α∈( π，π) 2 2 时，k也是关于α的单调递增函数，当α在此 π π 区间内由 (≠ )增大到π(≠π)时，k由－∞增 2 2 大到0(≠0)．当然，解决此类题时，也可利用 数形结合思想，借助图形，直观地作出判断
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【思路点拨】 结合圆的几何性质 或待定系数法解之．
【解】 (1) 显然，所求圆的圆心在 OP 的垂直平分线上， OP 的垂直平分线方 程为： x2＋y2＝ (x－1)2＋(y－1)2， 即 x＋y－1＝0. x＋y－1＝0 解方程组 ，得圆心 C 2x＋3y＋1＝0 的坐标为(4，－3)．
程为 y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. ∵A、B两点在直线的两侧或其中一点的 直线l上， ∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0， 1 即(k－5)(4k＋2)≥0，∴k≥5或k≤－ . 2 即直线l的斜率k的取值范围是 (－∞，－ 1 ]∪[5，＋∞)． 2
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【点评】 法一运用了数形结合思 想．当直线的倾斜角由锐角变到直角及 由直角变到钝角时，需根据正切函数y＝t anα的单调性求k的范围，数形结合是解 析几何中的重要方法．解题时，借助图 形及图形性质直观判断，明确解题思路， 达到快捷解题的目的．法二则巧妙利用 了不等式所表示的平面区域的性质使问 题得以解决．
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例3
根据下列条件求圆的方程： (1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆 心在直线2x＋3y＋1＝0上； (2)已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两 点，且在y轴上截得的线段长为4 3，求圆 的方程； (3)已知圆的半径为 10 ，圆心在直线y ＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为 4 2.
热点三
圆的方程
如果已知条件中圆心的位置不能确定， 可考虑选择圆的一般方程，圆的一般方程 也含有三个独立的参数，因此，必须具备 三个独立的条件，才能确定圆的一般方程， 其方法仍采用待定系数法．设所求圆的方 程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由三个条 件得到关于D、E、F的一个三元一次方程 组，解方程组，求出参数D、E、F的值即 可．
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【解】 法一：设点A(x，y)是直线l 2上任意一点，它关于l的对称点为A′(x0， y0 ) ，
y－ y0 ＝ 4 ， x－x0 3 则 x＋x0 y＋ y0 3× ＋4× －1＝0， 2 2 7x－24y＋6 ， x0＝ 25 解得 y ＝－24x－7y＋8. 25 0
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∵点A′(x0，y0)在直线l1：2x＋y－4 ＝0上，
7x－24y＋6 －24x－7y＋8 ∴2· ＋ －4 25 25
＝0. 化简，得2x＋11y＋16＝0.
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法二：特殊点法 2x＋y－4＝0， 由 可解得l1与l的交点 3x＋4y－1＝0， M(3，－2)．
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法二：根据图形的几何性质：半径、 弦长的一半、弦心距构成直角三角 形．由勾股定理，可得弦心距
4 22 d＝ r －( ) ＝ 10－8＝ 2. 2 ∵弦心距等于圆心(a，b)到直线 x－ y＝0 的距离， |a－b| |a－b| ∴d＝ ，∴ ＝ 2.⑧ 2 2
2
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又已知b＝2a，⑨ 解⑧⑨得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4， ∴可求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或 (x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
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(2)设AB的中点为M(x，y)，则a＝2x， b＝2y， 代入(1)的结论得(2x－2)(2y－2)＝2， 1 即(x－1)(y－1)＝ (x>1，y>1)． 2 1 (3)由(1)的结论及S△AOB＝ ab，有 2 1 S△AOB＝ · [－2＋2(a＋b)] 2 ＝－1＋a＋b＝(a－2)＋(b－2)＋3 ≥2 (a－2)(b－2)＋3＝2 2＋3， ∴S△AOB的最小值为2 2 ＋3.
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例4 已知圆C：x2＋y2－2x＋2y＋1＝0， 与圆C相切的直线l交x轴、y轴的正方向 于A、B两点，O为原点，OA＝a，OB＝b (a>2，b>2)． (1)求证：圆C与直线l相切的条件是 (a－2)(b－2)＝2； (2)求线段AB中点的轨迹方程； (3)求△AOB面积的最小值．
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当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平 行的位置PC时，它的斜率变化范围是[5， ＋∞)； 当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位 置时，它的斜率的变化范围是(－∞， － 1 ]． 2 ∴直线l的斜率的取值范围是(－∞， 1 － ]∪[5，＋∞)． 2