立体几何空间向量与立体几何课件

(3)二面角的求法 ①利用向量求二面角的大小，可以不作 出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所 求二面角的平面角． ②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可 以利用这两个平面的法向量的夹角来求． 如图所示，二面角 α－l－β，平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向 量为 n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角 α－l－β 的大小为 θ 或 π－θ.
连结A1C1，A1F.在Rt△A1C1F中，A1F＝ A1C21＋C1F2＝ 14. 在△A1NF中，cos ∠A1NF＝A1N22＋·AF1NN·2F－NA1F2＝23， 所以sin ∠A1NF＝ 35. 所以二面角A1－ED－F的正弦值为 35.
归纳拓展 1.若几何体中含有两两垂直的三条直线，一般要考 虑建立空间直角坐标系，借用空间向量求空间角．恰当建系， 准确写出相关点或向量的坐标是解题的关键． 2．求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在 平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角 的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面 AEF.
归纳拓展 (1)证明线面平行须证明线线平行，只需证明这条直 线与平面内的直线的方向向量平行．可用传统法也可用向量法， 用向量法更为普遍． (2)证明线面垂直的方法：可用直线的方向向量与平面的法向量 共线证明；也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方 向向量垂直证明． (3)证明面面垂直通常转化为证线面垂直，也可用两平面的法向 量垂直来证明．
(2)解 C→E＝(0，－2,2 2)，设平面 CEF 的一个法向量为 m＝(x，
y，z)，
由 m⊥C→E，m⊥C→F，得mm··CC→ →EF＝ ＝00， ，
即－2y＋2 2z＝0， 3x－y＋ 2z＝0，
解得yx＝＝0.2z，
可取 m＝(0， 2，1)．
设侧面 BC1 的一个法向量为 n，由 n⊥C→B，n⊥C→C1， 及C→B＝( 3，－1,0)，C→C1＝(0,0,3 2)，
又∵GE⊂平面 EDB，HF⊄平面 EDB，∴FH∥平面 EBD.
(2)A→C＝(－2,2,0)，G→E＝(0,0,1)，A→C·G→E＝0，
∴AC⊥GE.又 AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面 EDB.
二、利用向量求空间角 例 2 (2010 ·天津)如图，在长方体 ABCD－
A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 BC，CC1 上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1 ＝1∶2∶4. (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值； (2)证明 AF⊥平面 A1ED； (3)求二面角 A1－ED－F 的正弦值．
可取 n＝(1， 3，0)．
设二面角 E－CF－C1 的大小为 θ，于是由 θ 为锐角可得 cos θ＝||mm|·|nn||＝ 3×6 2＝ 22，所以 θ＝45°.
即所求二面角 E－CF－C1 的大小为 45°.
考点整合
1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)．平面 α、β 的法向量分别为 μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4， c4)(以下相同)． (1)线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0. (2)线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3. (3)面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv⇔a3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4. (4)面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.
(2)证明 连结AC，设AC与DE交于点N. 因为BBAC＝CEDC＝12， 所以Rt△DCE∽Rt△CBA，从而∠CDE＝∠BCA. 又因为∠CDE＋∠CED＝90°，所以∠BCA＋∠CED＝90°， 故AC⊥DE. 又因为CC1⊥DE且CC1∩AC＝C， 所以DE⊥平面ACF.从而AF⊥DE. 连结BF，同理可证B1C⊥平面ABF，从而AF⊥B1C， 所以AF⊥A1D. 因为DE∩A1D＝D，所以AF⊥平面A1ED.
分类突破
一、利用向量证明平行与垂直 例 1 如图所示，已知直三棱柱 ABC—A1B1C1
中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝ 90°，且 AB＝AA1，D、E、F 分别为 B1A、 C1C、BC 的中点． 求证：(1)DE∥平面 ABC； (2)B1F⊥平面 AEF.
证明 如图建立空间直角坐标系 A—xyz， 令 AB＝AA1＝4， 则 A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)， B(4,0,0)，B1(4,0,4)． (1)取 AB 中点为 N，连结 CN， 则 N(2,0,0)， C(0,4,0)，D(2,0,2)，
2．空间角的计算 (1)两条异面直线所成角的求法 设直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 θ，则 cos φ＝|cos θ|＝||aa|·|bb||(其中 φ 为异面直线 a，b 所成的角)． (2)直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n， 直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则 有 sin φ＝|cos θ|＝||ee|·|nn||.
则uu··EE→→FD＝＝00，，
即 12－y＋x＋z＝12y0＝，0.
不妨令 x＝1，可得 u＝(1,2，－1)，由(2)可知，A→F为平面 A1ED 为
一个法向量，于是 cos〈u，A→F〉＝|uu|·|A→A→FF|＝23，
从而 sin〈u，A→F〉＝ 35.
所以二面角
A1－ED－F
的正弦值为
5 3.
方法二 (1)解 设AB＝1，可得AD＝2， AA1＝4，CF＝1，CE＝12.
连结B1C，BC1，设B1C与BC1交于点M，
易知A1D∥B1C. 由CCEB＝CCCF1＝14，可知EF∥BC1，
故异面直线EF与A1D所成的角即为 BC1与B1C所成的角，即为∠BMC.易知BM＝CM＝12B1C＝ 5， 所以cos ∠BMC＝BM22＋·BCMM·C2－MBC2＝35. 所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为35.
所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为35.
(2)证明 易知A→F＝(1,2,1)，E→A1＝(－1，－32，4)，E→D＝(－1，12， 0)，于是A→F·E→A1＝0，A→F·E→D＝0.因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.
又 EA1∩ED＝E，所以 AF⊥平面 A1ED.
(3)解 设平面 EFD 的法向量 u＝(x，y，z)，
方法一 如图所示，建立空间直角坐标系，
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点 A 为坐标原点．设 AB＝1，依题意得
D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，32,0)．
(1)解 易得E→F＝(0，12，1)，
A→1D＝(0,2，－4)，
于是
cos〈E→F，A→1D〉＝
→→
EF·A1D
→→
＝－35.
|EF||A1D|
变式训练2 (2011·山东)在如图所示的 几何体中,四边形ABCD为平行四边 形,∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD， EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB ＝2EF. (1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE； (2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A－BF－C的大小．
(1)证明 方法一 因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB ＝90°， 所以∠EGF＝90°， △ABC∽△EFG. 由于AB＝2EF，因此BC＝2FG. 连结AF， 由于FG∥BC，FG＝12BC，在▱ABCD中，M是线段AD的中点， 则AM∥BC，且AM＝12BC，因此FG∥AM且FG＝AM， 所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA. 又FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE， 所以GM∥平面ABFE.
方法二 因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°， 所以∠EGF＝90°， △ABC∽△EFG. 由于AB＝2EF， 所以BC＝2FG. 取BC的中点N，连结GN， 因此四边形BNGF为平行四边形， 所以GN∥FB. 在▱ABCD中，M是线段AD的中点，连结MN， 则MN∥AB.因为MN∩GN＝N， 所以平面GMN∥平面ABFE. 又GM⊂平面GMN，所以GM∥平面ABFE.
∴D→E＝(－2,4,0)，N→C＝(－2,4,0)， ∴D→E＝N→C，
∴DE∥NC，又∵NC⊂平面 ABC， DE⊄平面 ABC.故 DE∥平面 ABC.
(2)B→1F＝(－2,2，－4)， E→F＝(2，－2，－2)，A→F＝(2,2,0)． B→1F·E→F＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B→1F·A→F＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴B→1F⊥E→F，B→1F⊥A→F，即 B1F⊥EF，B1F⊥AF，
方法二 建立如图所示的空间直角坐标系，
则由已知可得，A(0,0,0)，B( 3，1,0)，
C(0,2,0),C1(0,2,3 2),E(0,0,2 2),F( 3,1, 2)．
(1)证明 C→1E＝(0，－2，－ 2)， C→F＝( 3，－1， 2)，C→1E·C→F＝0＋2－2＝0.
所以 CF⊥C1E.
(2)解 方法一 因为∠ACB＝90°，所以∠CAD＝90°. 又EA⊥平面ABCD， 所以AC，AD，AE两两垂直． 分别以AC，AD，AE所在直线为x轴， y轴和z轴，建立如图所示的空间直角 坐标系，
不妨设AC＝BC＝2AE＝2， 则由题意得A(0,0,0)，B(2，－2,0)，C(2,0,0)，E(0,0,1)，
(3)解 连结A1N，FN.由(2)可知DE⊥平面ACF.
又NF⊂平面ACF，A1N⊂平面ACF，所以DE⊥NF，DE⊥A1N.
故∠A1NF为二面角A1－ED－F的平面角． 易知Rt△CNE∽Rt△CBA，所以CBNC＝EACC. 又AC＝ 5，所以CN＝ 55. 在Rt△CNF中，NF＝ CF2＋CN2＝ 530. 在Rt△A1AN中，A1N＝ AN2＋A1A2＝4 530.
变式训练 1 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，EF∥ AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC ＝90°，BF＝FC，H 为 BC 的中点． (1)求证：FH∥平面 EDB； (2)求证：AC⊥平面 EDB.
证明 ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB⊥BC.又 EF∥AB， ∴EF⊥BC.又 EF⊥FB， FB∩BC＝B， ∴EF⊥平面 BFC. ∴EF⊥FH，∴AB⊥FH. 又 BF＝FC，H 为 BC 的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面 ABC.
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(2)解 在△CEF 中，由(1)可得 EF＝CF＝ 6， CE＝2 3， 于是有 EF2＋CF2＝CE2，所以 CF⊥EF. 又由(1)知 CF⊥C1E，且 EF∩C1E＝E， 所以 CF⊥平面 C1EF. 又 C1F⊂平面 C1EF，故 CF⊥C1F. 于是∠EFC1 即为二面角 E－CF－C1 的平面角． 由(1)知△C1EF 是等腰直角三角形，所以∠EFC1＝45°，即所求 二面角 E－CF－C1 的大小为 45°.
所以A→B＝(2，－2,0)，B→C＝(0,2,0)．
又EF＝12AB，
所以F(1，－1,1)，B→F＝(－1,1,1)．
设平面BFC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则m·B→C＝0，m·B→F＝0，
所以yx11＝＝0z1，， 取z1＝1，得x1＝1，所以m＝(1,0,1)． 设平面向量ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
以 H 为坐标原点，H→B为 x 轴正方向，H→F为 z 轴正方向，建立
如图所示的坐标系．
设 BH＝1，则 A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)， D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1)． (1)设 AC 与 BD 的交点为 G，连结 GE，GH，
则 G(0，－1,0)，∴G→E＝(0,0,1)． 又H→F＝(0,0,1)，∴H→F∥G→E，即 HF∥GE.