高中数学：1.5.2二项式系数的性质(一) 教案 (北师大选修2-3)

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高中数学第一章计数原理5第二课时二项式系数的性质教学案北师大版选修2-3

第二课时二项式系数的性质[对应学生用书P17]二项式系数的性质n依次取1,2,3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示：观察此表，思考下列问题．问题1：同一行中，系数有什么规律？提示：两端都是1，与两端1等距离的项的系数相等，r n C即＝n C.－r问题2：相邻两行，系数有什么规律？提示：在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即＝Cn Cr n＋1.r－1r n C＋“杨辉三角”及其规律(1)杨辉三角(2)“杨辉三角”蕴含的规律①在同一行中，每行两端都是1.②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和．即二项式系数.r n C ＋r －1n C ＝r n ＋1C 满足组合数的性质＝r n C 的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性．”等距离“与首末两端③.－r n C1．二项式系数性质类似于组合数的两个性质：；－r n C ＝r n (1)C .r n C ＋r －1n C ＝r n ＋1(2)C 的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数和n)b ＋a (．从表中可以看出2.n2＝n C ＋…＋2n C ＋1n C ＋0n C ，而n2等于[对应学生用书P18]与“杨辉三角”有关的问题[例1] 如图所示，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n 项和为S n ，求S 19的值．[思路点拨] 观察数列各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展开式系数，利用组合的性质求和．[精解详析] 由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.∴S 19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C211) ＝2＋10×92＋C312＝54＋220＝274.[一点通] 解决与杨辉三角有关问题的一般思路：(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察； (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．1．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．解析：观察规律可知：第n 行的首尾两个数均为2n －1. 答案：2n －12．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.行3；第2C ，12C ，02C 行中的数是2；第1C ，01C 行中的数是1解析：由杨辉三角知，第行中从左到n 设第.n C ，…，2n C ，1n C ，0n C 行中的数是n ；第…；3C ，23C ，13C ，03C 中的数是34.＝n ，解之得3∶2＝14n C ∶13n C ，则3∶2个数的比为15与第14右第答案：34二项展开式中系数的和[例2] (10012 2 013(1)求a 0的值；(2)求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 013的值； (3)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 20 13的值．[思路点拨] 可在已知的等式中分别取x ＝0,1，－1，得各系数和、差的关系，进而求解．[精解详析] (1)在等式(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 013x2 013中，令x ＝0，得1＝a 0.∴a 0＝1.(3分)(2)在等式中，令x ＝1，得－1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 013，∴a 1＋a 2＋…＋a 2 013＝－2.(6分)(3)令x ＝－1，x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧32 013＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012－a2 013，－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 012＋a2 013，相减，得－1－32 013＝2(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)．(8分)∴a 1＋a 3＋…＋a 2 013＝－12(1＋22 013)．(10分)[一点通] (1)赋值法是求二项展开式系数和问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．(2)一般地，二项式展开式f (x )的各项系数的和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]．3．(1－2x )15的展开式中的各项系数和是( ) A ．1 B ．－1 C ．215D ．315解析：令x ＝1时(－1)15＝－1. 答案：B4．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 7|. 解：(1)令x ＝0，则a 0＝－1.令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 7＝27＝128，① ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.(2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋…＋a 6－a 7＝(－4)7，② 由①－②得，2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8256. (3)∵T r ＋1＝Cr 7(3x )7－r(－1)r，∴a 2k －1>0(k ∈N ＋)，a 2k <0(k ∈N ＋)． ∴|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 7| ＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－…－a 6＋a 7 ＝47＝16 384.解决与杨辉三角有关的问题的注意事项：(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数据的相互联系．然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．的应用．m －1n C ＋m n C ＝m n ＋1C ，－m n C ＝m n C 注意二项式系数性质(2)[对应课时跟踪训练八]1．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是( ) A ．－2 048 B ．－1 023 C ．－1 024D ．1 024解析：令f (x )＝(x －1)11，偶次项系数之和是f1＋f －12＝－2112＝－1 024.答案：C2．若C1n x ＋C2n x 2＋…＋Cn n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5解析：由C1n x ＋C2n x 2＋…＋Cn n x n＝(1＋x )n－1分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅有x ＝5，n ＝4适合．答案：C3．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120解析：由2n＝64，得n ＝6，∴T k ＋1＝Ck 6x 6－k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k＝Ck 6x6－2k(0≤k ≤6，k ∈N )．由6－2k ＝0，得k ＝3.∴T 4＝C36＝20. 答案：B4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x 4的展开式中各项系数之和是16.则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．－1或3解析：由题意可得(a －1)4＝16，a －1＝±2，解得a ＝－1或a ＝3.答案：D5．若(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．解析：令x ＝－1，则原式可化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.答案：－26．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________．解析：(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)·(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4＝(2－3)4，于是(2＋3)4·(2－3)4＝1.答案：17．已知(1＋3x )n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知Cn n ＋Cn －1n ＋Cn －2n ＝121，即C0n ＋C1n ＋C2n ＝121， ∴1＋n ＋n n －12＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x )15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项．且T 8＝C715(3x )7＝C71537x 7，T 9＝C815(3x )8＝C81538x 8.8．对二项式(1－x )10，(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项． (2)求展开式中各二项式系数之和．(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．解：(1)展开式共11项，中间项为第6项，T 6＝C510(－x )5＝－252x 5.(2)C010＋C110＋C210＋…＋C1010 ＝210＝1 024.(3)设(1－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0.令x＝0，得a0＝1.∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.。

【北师大版】数学选修2-3教案：第一章第十三课时二项式系数的性质(一)

一、教学目标：1、知识与技能：掌握二项式系数的四个性质.2、过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力.3、情感、态度与价值观：要启发学生认真分析课本图提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明.二、教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题三、教学方法：探析归纳，讨论交流四、教学过程（一）、复习引入： 1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性（二）、探解新课1、二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 2、二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n nC C -=）．直线2nr =是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+==⋅， ∴knC 相对于1k n C-的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<，当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC-，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r nn n n n nC C C C C =++++++（三）、探析范例例1、在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n nn n n n nC C C C C -=-+-++-，即02130()()n n n n C C C C =++-++，∴0213n n n n C C C C ++=++，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2、已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a +++.解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++∴0127a a a a ++++1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，（2）令1x =， 0127a a a a ++++1=- ①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例4、在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅，∴此展开式中x 的系数为240 例5、已知n2)x2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒= ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10 设第r+1项为常数项，又 2r 510r 10r r 2r10r 101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r510=⇒=-， .180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180（四）课堂小结：本课学习了二项式系数的性质，二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个揭破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用.（五）、课堂练习：课本第27页练习（六）、课后作业：课本第28页习题1-5中B 组1、2；练习册P30页4、5、8。

二项式系数的性质(说课课件)定稿剖析

根据分类计数原理得：
C0n C1n Cn2 Cnn 2n
C0n C1n Cn2
Cnn 2n
教学过程
【问题拓展】你能求二项式展开式中所有奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和吗？
在展开式
(a b)n C0nan C1nan1b C2nan2b2 Cnnbn
教学
重点：杨辉三角中数字规律的探究。
重
点与难点：二项式系数的性质归纳及简单证明，
赋值法的应用。
难
点难点突破：组合数的性质和二项式定理的应用。
导教法选择与学法指
教法:
为了实现本节课的教学目标，在教法上采用“观察、猜想、归纳、论述、证明、合作交流”的方法。让学生通过对低阶杨辉三角的观察,猜想并归纳出二项式系数的性质。
通过课外学习，了解“杨辉三角”，弘扬我国古代数学文化；探究与发现杨辉三角中数字规律。
感知规律领悟性质
【问题提出】怎样理解 (a b)n展开式的二项式系数
具有递推性和对称性呢？
教
老教材：从整体到局部
学
新教材：从局部到整体
过【反思教材】培养学生观察和归纳能力，减轻论证的难
程
度，降低学习的门槛，提高学习的兴趣，让学生学的简单、自然、快乐。
这样的设计遵循认知的渐进性原则，让学生更好的理解赋值法
交流合作贯彻模式
教学过程
理解结论 C0n C1n Cn2 Cnn 2n
可以看作是 n元集个数；分成n+1类。 C0n C1n Cn2 Cnn 2n
a1, a2 , , an 的所有元素子集
C0n C1n Cn2 Cnn 2n
中，令 a 1,b 1

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 5.2二项式系数的性质》2

（3）体会赋值法在二项式系数的相关计算中的作用，会应用二项式系数的性质解决一些简单问题
教学重点
二项式系数的性质的得出与证明，赋值法的引入及灵活运用。
教学难点
从杨辉三角中观察出组合数的相关性质并进行验证。
课时安排
1课时
教学过程的设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
（一）复习回顾
引入新课
（二）讲解新课
1．“杨辉三角”的来历
在二项式定理之后学习“杨辉三角”与二项式系数的性质，是由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。同时，又对后面学习随机变量及其分布作准备。
教学目标
（1）通过对杨辉三角及相关背景的介绍，让学生感受我国古代数学上的成就，提高学生学习数学的兴趣；
（2）通过对杨辉三角有关规律的研究，深化学生对二项式系数性质的理解，培养学生观察、发现、归纳、探索的能力；
2．运用杨辉三角探究二项式系数的性质
（三）课堂小结
（四）课后拓展
1什么是二项式定理？写出二项展开式通项的表达式。
2什么是二项式系数？
介绍杨辉及的规律？你能用组合数的性质去解释它们吗？
杨辉三角中常见的几个性质：
1.杨辉恒等式
2.对称性
3.增减性与最大值
4.组合加法的推广
复习巩固，给出杨辉三角，引入新课。
进行数学史及数学文化的教育，引发学生学习的兴趣。
通过探究，引导学生自己发现规律，并想办法去解释或证明。培养学生的探究能力和思维能力。如两个性质可以由学生自己回答并解释。5可以考虑老师讲解，并以此为背景介绍赋值法。
回顾小结本节知识点和数学思想方法，
让有兴趣的学生充分运用网络平台拓展知识面，培养学生学习的兴趣。

北师大版选修2《二项式系数的性质》教案及教学反思

北师大版选修2《二项式系数的性质》教案及教学反思一、教学目标1. 知识目标：了解二项式系数的定义，掌握二项式系数的计算公式，掌握二项式系数的基本性质。

2. 能力目标：培养学生的逻辑思维和运算能力。

3. 情感目标：培养学生对于数学思想的兴趣和热爱，增强学生数学信心。

二、教学重难点重点：1.二项式系数的定义 2.二项式系数的计算公式 3. 二项式定理的证明难点： 1. 二项式系数的递推公式的推导2.证明二项式定理的几种方法三、教学内容1. 二项式系数的定义定义：对于非负整数 n 和 k ，二项式系数 C n k 表示从 n 个不同元素中取 k 个元素的组合数。

它的值可以用下式来计算： $C_n^k=\\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$2. 二项式系数的计算公式公式1：C n k =C n−1k−1+C n−1k公式2：Ck=C n n−kn公式3：$\\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n$3. 二项式系数的基本性质性质1：二项式系数Ck是整数。

n性质2：Ck=C n n−kn性质3：C0=C n n=1n性质4：$\\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n$四、教学方法本课采用讲授、演示、练习三种教学方法相结合。

主要通过讲解理论知识、演示例题以及组织思考和解决实际问题的案例来提升学生的数学运算和逻辑思维能力。

五、教学步骤步骤1：引入引入二项式系数的定义和意义，解释二项式系数在实际应用中的意义，并且给出几个简单的例子。

步骤2：讲解和演示讲解二项式系数的计算公式和基本性质，并演示三个公式的证明。

步骤3：例题演练给出一些例题进行练习，帮助学生掌握二项式系数的计算方法和性质。

步骤4：小组讨论分小组进行讨论，在讨论的过程中，加强学生的交流和思考能力，让他们理解和掌握二项式系数的相关性质。

步骤5：课堂互动通过问答环节，检查学生对二项式系数概念、性质的掌握情况，加深学生对知识点的理解。

六、教学反思本课教学反思如下：1.整个课程安排合理，授课内容层次清晰，有助于学生轻松理解和掌握二项式系数的性质和计算方法。

北师版数学高二-选修2-3教学设计二项式系数的性质

二项式系数的性质教学目标知识与技能1．利用二项式定理得出二项式系数的一些性质；2．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题．过程与方法1．熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论；2．熟练运用赋值法求一些代数式的值．情感、态度与价值观1．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．2．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主义情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：了解“杨辉三角”的结构与规律，掌握二项式系数的一些性质，掌握赋值法．教学难点：二项式系数性质的得到和证明，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程引入新课前面我们学习了二项式定理，请回顾：(1)(a＋b)n＝__________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的__________________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做____________，通项是指展开式的第________________项，展开式共有______________项．(2)什么是二项式系数？什么是系数？活动设计：学生先独立回忆，然后独立发言，其他同学进行补充，必要时可以看书．活动结果：(答案展示)(1)(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)、展开式、二项式系数、r＋1、n＋1.(2)二项式系数是C r n，系数是变量前的常数．设计意图：通过复习二项式定理的有关知识，为发现杨辉三角的有关性质打下基础，形成知识储备，引出本节课要研究的内容．提出问题：计算(a＋b)n展开式的二项式系数并填入下表活动设计：通过学案或者投影展示表格，学生填空，学生之间可以交流，教师指导．活动成果：设计意图：当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数．通过计算填表，让学生发现其中的规律．探究新知提出问题：当表示形式为“三角形”时，该表格有什么规律？活动设计：学生自主解决，自由发言，自主探究．活动成果：(这个表在我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，称为杨辉三角．但是在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，他们把这个表称为帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的)设计意图：为了使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，要求学生填表，观察表格，探索规律，体会“表示形式的变化有时能帮助我们发现规律”这句话的深刻哲理与方法，由学生自己说说其中的规律．理解新知提出问题1：观察杨辉三角的每一行，正数第1个数与倒数第1个数，正数第2个数与倒数第2个数，正数第3个数与倒数第3个数，…它们有什么样的等量关系？你能把你的想法概括成一句话吗？活动设计：通过展示表格与杨辉三角，让学生自己观察，发现结论，踊跃发言，勇于探索．活动成果：正数第1个数与倒数第1个数相等，正数第2个数与倒数第2个数相等，正数第3个数与倒数第3个数相等，…(板书)二项式系数的性质.(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等，即C m n＝C n－mn 设计意图：引导学生猜想，猜想是发现的开始．通过杨辉三角得到“对称性”，进一步加深学生对二项式系数性质的掌握，这条性质实际上是组合数的一个性质．提出问题2：观察杨辉三角的相邻两行，看看下一行中除了“1”之外的数与上一行中的数有什么关系？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．活动成果：表中任一不为1的数都等于它肩上的两个数的和，即(板书)(2)C r n＋1＝C r－1n＋C r n.设计意图：通过新发现(杨辉三角)，重新验证旧知识，能够提升学生对此公式的理解与掌握，加深学生对二项式系数性质的理解，能够在最大程度上提升学生的认知水平，这条性质实际上是组合数的另外一个性质．提出问题3：观察每一行中的二项式系数的大小变化情况，有单调性吗？有最值吗？活动设计：学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，让他们积极参与．教师始终是引导者，学生始终是课堂的主体．引导学生从多个方面分析二项式系数的大小关系，如利用特殊值法观察归纳、利用函数图象画图观察等等．先由学生独立完成，然后组织全班讨论，学生之间可以相互求助．活动成果：因为C k n ＝n(n －1)(n －2)…(n －k ＋1)(k －1)！k＝C k －1nn －k ＋1k，所以C k n 相对于C k －1n 的增减情况由n －k ＋1k 决定．由 n －k ＋1k >1 k<n ＋12可知，当k<n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n ，即C n －12n ，C n ＋12n最大．(板书)(3)增减性与最大值：二项式系数由两边向中间增大，并且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大．设计意图：由于二项式系数组成的数列是一个离散函数，所以我们应该引导学生从函数的角度或从特殊值的角度研究二项式系数的性质．这样处理便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，体会由特殊到一般的化归思想．难点是需要根据n 的奇偶性确定相应的分界点，教学时应该引导学生分析其对称轴实际上是k ＝n2，从而学生可以比较容易地理解并记住最值在哪一项被取到．提出问题4：计算“杨辉三角”中每一行的和，观察其规律，并写出其公式．活动设计：学生自主探究，归纳整理，踊跃发言，教师应该多加鼓励，但是不能代替学生，自始至终都要保护学生的积极性，保持学生的主体性，教师仅仅是一名导演而已．活动成果：已知(1＋x)n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n x r ＋…＋C n n x n，令x ＝1，则2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n .即二项式系数之和等于2n.我们把这样的方法称为赋值法，赋值法是一类解决二项式系数的性质的优越办法．(板书)(4)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n.设计意图：本环节的设置与本节的大环境一致，都是通过特殊的例子发现最一般的结论，提高学生的认知能力、观察能力及化归能力，加深对二项式系数性质的掌握与应用．实际上这条性质，我们在组合数或者集合的子集中遇到过，教师也可以从这方面入手进行引导，能够进一步加深学生对这一部分知识的理解与掌握，让学生体会到数学知识的前后联系，能够最大限度地达到教学目标．运用新知例1下面的二项展开式中，哪些项的二项式系数最大？是多少？填在相应的横线上．(1)(a＋b)20第________________项的二项式系数最大，是______________________；(2)(a＋b)19第________________项的二项式系数最大，是______________________．思路分析：根据二项式系数的性质(3)即可解决，但要分清n的奇偶性．解：(1)若n＝20，则当r＝10时，二项式系数最大，所以第11项的二项式系数最大，是C1020.(2)若n＝19，则当r＝9或10时，二项式系数最大，所以第10或11项的二项式系数最大，是C919＝C1019.点评：通过n的奇偶性的不同，考查了二项式系数的性质(3)，但是要注意这是二项式系数的最大值，不一定就是系数的最大值．【巩固练习】(1＋2x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．【解析】由题意C4n＝C7n，所以n＝4＋7＝11，从而展开式中二项式系数最大的项是中间两项，即第6项与第7项．例2证明：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．思路分析：奇数项的二项式系数的和为C0n＋C2n＋C4n＋…，偶数项的二项式系数的和为C1n＋C3n＋C5n＋…，由于(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)中的a，b可以取任意实数，因此我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和．这一点可以从性质(4)的推导来获得．证明：在展开式(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n(n ∈N )中，令a ＝1，b ＝－1，则得(1－1)n ＝C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n C n n ，即0＝(C 0n ＋C 2n ＋…)－(C 1n ＋C 3n ＋…)，所以C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…，即在(a ＋b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．点评：赋值法是解决二项式定理与二项式系数的一种很重要的方法，凡是与二项式系数和或者系数和有关的问题，都有可能通过赋值法获得解决．实际上我们还可以利用函数思想解决这个问题，即令f(x)＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n x r ＋…＋C n n x n，由f(－1)＝0，即可很容易地得到要证明的结果．【巩固练习】C 17＋C 27＋C 37＋…＋C 77＝__________ 【解析】因为C 07＋C 17＋C 27＋C 37＋…＋C 77＝27＝128，所以 C 17＋C 27＋C 37＋…＋C 77＝128－1＝127. 【变练演编】1．当C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2 048时，n ＝________. 2．当C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2 048时，n ＝________.3．当C x n ＝C y n 时，其中n≥x ，n≥y ，x ，y ，n ∈N *，则x ，y 所满足的关系式是__________． 4．当(1＋2x)n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大时，n ＝________________. 请将你所能想到的所有答案都一一列举出来． 1．【解析】由2n ＝2 048＝211，得n ＝11. 2．【解析】由2n －1＝2 048＝211，得n ＝12. 3．【解析】由题意x ＝y 或x ＋y ＝n.4．【解析】由性质(3)知，n 2＋1＝7，所以n ＝12.设计意图：本环节的设计源于一种非常好的教学方法：变练演编．这种开放性的设计，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维．一堂好的数学课必须让学生创新，使得学生有所收获．通过这种方式的训练，让学生去创造题目，解决问题，增加了中学生学习数学的兴趣，进一步掌握了“杨辉三角”的有关性质，能力得到了提高．【达标检测】1．展开式1＋2C 110＋4C 210＋…＋210C 1010＝________.2．(x y －12y x)13展开式的中间项是__________．3．已知(x 3＋1x2)n 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求展开式中不含x 的项．1．【解析】在(1＋x)10＝r ＝010C r 10x r 中，令x ＝2，得1＋2C 110＋4C 210＋…＋210C 1010＝(1＋2)10＝310＝59 049.2．【解析】中间项是第7、8项，即42916x 10y 192、－42932y 10x 192.3．【解析】由题意n ＝10，展开式的通项为C r 10x30－5r，所以当r ＝6时，不含x 的项是210.课堂小结活动设计：给学生2分钟的时间，让学生总结出本节课所学的主要知识、方法与技能，教师尽量不要代劳，能让学生说的教师绝不可以“越俎代庖”．活动成果：(板书)1．知识收获：杨辉三角的发现，二项式系数的四个主要性质．2．方法收获：如何求二项式系数的最大值以及理解赋值法的实质及其应用． 3．思维收获：增强爱国主义情感，使学生对我们国家古代的伟大数学成就有所了解，进一步增强其民族自豪感；通过杨辉三角的发现，体会推理—猜想的重要性，体会函数思想、化归思想．设计意图：学生能自己表达的就让他自己表达，学生能自己解决的就让他自己解决，学生能自己总结的就让他自己总结，通过让学生自己总结本节课的学习内容与方法，不但可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！这样不但能充分体现新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁”精神，真正体现了学生的主体地位．补充练习【基础练习】1．C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝______________.2．C 111＋C 211＋C 311＋C 411＋C 511＝________________________.3．若(a ＋b)n 的展开式中，各项的二项式系数和为8 192，则n 的值为( ) A ．16 B ．15 C ．14 D ．134．一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为( )A ．20B ．219C ．220D ．220－1 【答案或解答】 1．5122．利用对称性，原式为2112－1＝1 0233．D 4.D 【拓展练习】5．若(31x ＋51x 2)n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，求它的中间项．6．已知(2x ＋x lgx )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，求x 的值．答案：5.【解析】系数之和即为二项式系数之和，由2n －1＝1 024，得n ＝11，所以展开式的中间项为第6、7项，分别为462x －4、462x －6115.6．【解析】依题意T 5＝C 48(2x)4(x lgx )4＝1 120，整理得x 4(1＋lgx)＝1，两边取对数，得lg 2x ＋lgx ＝0，解得lgx ＝0或lgx ＝－1. ∴x ＝1或x ＝110.备课资料伟大的数学家——杨辉杨辉(约1238年～约1298年)，字谦光，钱塘(今浙江杭州)人，是中国南宋时的数学家．杨辉生于宋理宗嘉熙二年(1238年)，卒于元成宗大德二年(1298年)，是中国南宋末年的数学家、数学教育家，大约在13世纪中叶活动于苏杭一带．杨辉的数学著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、《乘除通变本末》三卷(1274年)、《田亩比类乘除算法》二卷(1275年)、《续古摘奇算法》二卷(1275年)．在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法．杨辉可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了构成规律的数学家．除此成就之外，他还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”．大家认识杨辉的名字，基本上都是从“杨辉三角形”上来的．其实，所谓的“杨辉三角形”，并不是杨辉首创，而是北宋的贾宪在他的著作《黄帝九章算经细草》中提出的．此书成于公元1050年左右，其中的“开方做法本源图”就是杨辉三角形的原型，所以也被称为“贾宪三角形”．这个三角形的每一行，对应的是二项式(a＋b)n展开式的系数．杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面．杨辉对筹算乘除捷算法进行了总结和发展，有的还编成了歌诀，如“九归”口诀．杨辉创“纵横图”之名，在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的纵横图及有关的构造方法．垛积术，是杨辉继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数的研究．杨辉的“纂类”中，是将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类．杨辉是一位杰出的数学教育家，重视数学的普及，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的一项重要文献．另一方面，他在宋度宗咸淳年间的两本著作里，亦有提及当时南宋的土地价格．这些资料亦对后世史学家了解南宋经济发展有很重要的帮助．在《乘除通变算宝》中，杨辉创立了“九归”口诀，介绍了筹算乘除的各种速算法等等．在《续古摘奇算法》中，杨辉列出了各式各样的纵横图(幻方)，它是宋代研究幻方和幻圆的最重要的著述．杨辉对中国古代的幻方，不仅有深刻的研究，而且还创造了一个名为攒九图的四阶同心幻圆和多个连环幻圆．杨辉在数学上的另一个重要的贡献是提出了幻方的构造方法．所谓的幻方，就是指在N×N的格子中填入1到N平方的自然数，使每一行每一列的和都相等．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫图或者洛书，写成数字的形式，就是：四九二三五七八一六还有一个口诀：“二四为肩、六八为足、左三右七、戴九履一、五居中央．”传说是黄帝时代，洛水中浮起一只大龟，背上刻着这样的图案．洛书配上八卦，用在风水学上，被称为洛书轨迹，用在奇门遁甲中，则形成了“休死伤杜开惊生景”八门．诸葛亮最擅长的八阵图就是源于此．杨辉收集整理了很多不同阶的幻方，称其为“纵横图”，并写到了自己的著作《续古摘奇算法》一书中，可以说是世界上第一个给出如此多的幻方并讨论了它们的组成规律的数学家．幻方的构造可以按照一个固定的规律，按奇数阶和偶数阶的不同，构造的方法也不一样．奇数阶的构造很容易．首先从最后一行的中间开始填起，从一开始递增，向斜下方延伸．如果超出了边界，就从相对边的位置继续．如果遇上已经填过的格子，就从填过的格子上方的格子继续．大家可以对照三阶幻方来看出这个规律．对于偶数阶幻方，如果是四的倍数，很容易，只要首先把从1到N平方的数字先按照行的方向填好，变成下面的样子：12345 6 7 89 10 11 1213 14 15 16然后除了对角线上面的数字不动以外，其他的数字跟中心对称位置的数字对调：1 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 16这样就构造好了．对于阶数是4m＋2的幻方，构造的方法比较复杂．不过步骤是先构造好中心的幻方，然后在周围加上一圈数字就可以了．由于杨辉在数学上的杰出成就，他和秦九韶，李冶，朱世杰一起被后人并称为“宋元数学四大家”．。

北师大高中数学二项式系数的性质教学设计

《二项式系数的性质》教学设计北师大版选修2-3第一章第5节第2课时一、教学内容解析1．《二项式系数的性质》是普通高中课程标准实验教科书北师大版选修2-3第1章第5节第2课时的内容。

以前面学习的二项式定理为基础，通过观察二项式系数表和归纳二项式系数的性质，培养学生的“符号意识”和抽象概括能力；通过二项式系数组成的数列是一个离散函数，引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质，培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般”的数学思想方法解决问题的能力。

这一过程不仅有利于有利于培养和提高学生的数学素养，培养提高学生的思维能力、实践能力、探究精神、理性精神等，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识、创新精神。

2．本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。

3．本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

对进一步认识组合数的性质、组合数的计算和变形，巩固二项式定理，巩固旧知拓展新知，建立知识的前后联系有重要的作用。

4．从知识发生发展过程的角度上看，学生自主的观察发现二项式系数表中蕴含的数字规律，能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，但对于高二的学生，其思维不能仅满足于“知其然”，他们更应渴望的是“知其所以然”。

故在老师适当的点拨下，学生通过师生合作完成知识发展过程，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。

另“杨辉三角”是我国古代数学的重要成就之一，彰显了我国古代人民的卓越智慧和才能，抓住这一题材可以对学生进行爱国主义教育，激励学生的名族自豪感，了解数学文化的发展与价值。

二、教学目标设置教学目标：1．掌握二项式系数的基本性质及证明方法；2．通过“观察、归纳、论证”二项式系数的性质这一过程，提高学生的数学素养，体会从函数角度研究问题的过程，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.3．通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，培养学生团结协作的精神，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索热情. 同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感。

《1.5.2 二项式系数的性质》课件 1-优质公开课-北师大选修2-3精品

若需展开的式子中有3项，应变形为两项后展开.
【例1】试展开 ( x 1 )4．
2x
【审题指导】展开一个二项式即直接应用二项式定理，但
应注意本题 x 为a，而b是 1 ．
2x
【规范解答】方法一：
(
x

1 2x
)
4

C04 (
x )4 C14 (
x )3
1 2x
C24 (
x)2 ( 1 )2 2x
［x 1 1］n xn.
二项式系数与某项的系数问题二项式系数与某项的系数的区别及求法
(1)二项展开式中某项的二项式系数和该项的系数是两个不同的概念，前者是指组合数 Crn，实际上是同类项的个数，而后者是指该项字母的系数，其值可正、可负． (2)求某项的二项式系数、系数或含xr的系数，通常是先利用通项公式求出相应的项，再根据题目条件确定．
【规范解答】(1)二项展开式的通项为：
Crn (3
x )nr
( 3 )r 3x
n 2r
3 r Crnx 3 ，
∵第６项为常数项，∴当r=5时，
n 2r 0，得n 10． 3
(2)根据通项公式，由题意得
n 0
2r Z 3 r 10
,
r Z
《1.5.2 二项式系数的性质》课件 1
二项式定理的简单应用二项式定理直接应用的策略
二项式定理的简单应用首先体现为正用二项式定理展开二项式或逆用二项式定理化简展开式，熟记二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提，对较复杂的二项式，有时可先化简再展开，往往更简捷．
C34
x
(
2

高级中学高中数学(北师大版)选修2-3导学案：第一章二项式系数性质(第8讲)

请根据上述规律写出下一行的数值.
从上述杨辉三角中你发现的规律是对称性
r<
r>一项的二项式系数
=
357a a a ++1||a a ++
课堂训练
1.若(x+)n 展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( ).
A .10 B.20
C .30
D .120 2.设(1+x )n =a 0+a 1x+…+a n x n ,若a 1+a 2+…+a n =63,则展开式中系数最大的项是( ).
A.15x2
B.20x3
C.21x3
D.35x3
教学反思
练案
1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项及所在的项数是( ) A．n，n＋1
B．n－1，n
C．n＋1，n＋2
D．n＋2，n＋3
2．关于(a－b)10的说法，错误的是( )
A．展开式中的二项式系数之和为1024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
3．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是( )
A．－2048
B．－1023
C．－1024
D．1024
4．若n为偶数，则1＋3C1n＋C2n＋3C3n＋…＋3C n－1n＋C n n的值为________．
5.(1+x)3(1+)3的展开式中的系数是.
能力提升
1.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数
2.若等式x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a3(1+x)3+a4(1+x)4+a5(1+x)5对一切x ∈R都成立,其中a0,a1,a2,…,a5为实常数,求a4的值.。

高中数学：1.5.2《二项式系数的性质》(一) 教案 (北师大选修2-3)

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓“教材分析与导入设计”本节教材分析课本通过杨辉三角这个历史素材，引入了二项式系数的讲解．课本分别对杨辉三角中的二项式系数进行观察、归纳发现结论的。

第一条性质是递推性，它表明杨辉三角中任何一个不为1的二项式系数都是它“肩上”的两个二项式系数的和；第二条性质是对称性，它表明杨辉三角中与首末“等距离”的两个二项式系数相等.其次在性质的推导基础上进行了简单应用.三维目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项式系数性质过程与方法：能解决与二项系数有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：二项式定理及系数性质的掌握及运用教学难点：二项式定理及系数性质的掌握及运用教学建议：在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．新课导入设计导入一：（复习引入）1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性导入二：情境导入通过课本上的阅读材料，了解杨辉，继而画出杨辉三角让学生观察这个图形，并结合上节内容研究观察二项式系数性质.。

5.2 二项式系数的性质学案(北师大版高中数学选修2-3)

5.2 二项式系数的性质学案（北师大版高中数学选修2-3）5.2二项式系数的性质二项式系数的性质学习目标1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用知识点二项式系数的性质abn的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式思考1同一行中，系数有什么规律答案两端都是1，与两端1等距离的项的系数相等思考2相邻两行，系数有什么规律答案在相邻两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Crn1Cr1nCrn.梳理“杨辉三角”蕴含的规律1在同一行中，每行两端都是1.2在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和即二项式系数满足组合数的性质Crn1Cr1nCrn.3与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性，即CrnCnrn.特别提醒1二项式系数性质类似于组合数的两个性质1CrnCnrn.2Crn1Cr1nCrn.2从二项式系数表中可以看出abn 的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数的和等于2n，即C0nC1nC2nCnn2n.1二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的2二项展开式的二项式系数和为C1nC2nCnn.3abn的展开式中，当n为偶数时，二项展开式中中间一项系数最大4abn的展开式中，二项式系数具有对称性，所以C1nCnn.类型一与杨辉三角有关的问题例11如图所示，满足如下条件第n行首尾两数均为n；表中的递推关系类似杨辉三角则第10行的第2个数是________第n行的第2个数是________2如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14个数与第15个数的比为23.考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案146n2n22234解析1由图表可知第10行的第2个数为1239146，第n行的第2个数为123n11nn121n2n22.2设第n行中从左到右第14个数与第15个数的比为23，则C13nC14n23，所以3C13n2C14n，即3n13n132n14n14，得3n13214，所以n34.反思与感悟解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练1如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列1,2,3,3,6,4,10，，记这个数列的前n项和为Sn，则S16等于A144B146C164D461考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案C解析由题干图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，，第15项是C29，第16项是C19，所以S16C12C22C13C23C19C29C12C13C19C22C23C29C22C12C13C19C22C33 C23C29C210C3101164.类型二二项式系数和问题例2已知2x15a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.求下列各式的值1a0a1a2a5；2|a0||a1||a2||a5|；3a1a3a5.考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解1令x1，得a0a1a2a51.2令x1，得35a0a1a2a3a4a5.由2x15的通项Tr1Cr51r25rx5r知a1，a3，a5为负值，所以|a0||a1||a2||a5|a0a1a2a3a4a535243.3由a0a1a2a51，a0a1a2a535，得2a1a3a5135.所以a1a3a51352121.引申探究在本例条件下，求下列各式的值1a0a2a4；2a1a2a3a4a5；35a04a13a22a3a4.解1因为a0a1a2a51，a0a1a2a535.所以a0a2a41352122.2因为a0是2x15展开式中x5的系数，所以a02532.又a0a1a2a51，所以a1a2a3a4a531.3因为2x15a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.所以两边求导数得102x145a0x44a1x33a2x22a3xa4.令x1得5a04a13a22a3a410.反思与感悟二项展开式中系数和的求法1对形如axbn，ax2bxcma，b，cR，m，nN的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对axbyna，bR，nN的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可2一般地，若fxa0a1xa2x2anxn，则fx展开式中各项系数之和为f1，奇数项系数之和为a0a2a4f1f12，偶数项系数之和为a1a3a5f1f12.跟踪训练2在二项式2x3y9的展开式中，求1二项式系数之和；2各项系数之和；3所有奇数项系数之和考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解设2x3y9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.1二项式系数之和为C09C19C29C9929.2各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a92391.3令x1，y1，可得a0a1a2a959，又a0a1a2a91，将两式相加可得a0a2a4a6a85912，即所有奇数项系数之和为5912.类型三二项式系数性质的应用例3已知fx3x23x2n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.1求展开式中二项式系数最大的项；2求展开式中系数最大的项考点展开式中系数最大小的项问题题点求展开式中系数最大小的项解令x1，则二项式各项系数的和为f113n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.2n22n9920，2n312n320，2n31舍去或2n32，n5.1由于n5为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3C25323x3x2290x6，T4C35223x3x23270223x.2展开式的通项公式为Tr1Cr53r2523rx，假设Tr1项系数最大，则有Cr53rCr153r1，Cr53rCr153r1，55rr356rr1，55rr54rr13，即3r16r，15r3r1，72r92，rN，r4，展开式中系数最大的项为T5C4523x3x24405263x.反思与感悟1二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对abn中的n进行讨论当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正.负变化情况进行分析如求abxna，bR的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，，An，且第r1项最大，应用ArAr1，ArAr1，解出r，即得出系数的最大项跟踪训练3写出xy11的展开式中1二项式系数最大的项；2项的系数绝对值最大的项；3项的系数最大的项和系数最小的项；4二项式系数的和；5各项系数的和考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解1二项式系数最大的项为中间两项T6C511x6y5，T7C611x5y6.2xy11展开式的通项为Tr1Cr11x11ryrCr111rx11ryr，项的系数的绝对值为|Cr111r|Cr11，项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T6C511x6y5，T7C611x5y6.3由2知中间两项系数绝对值相等，又第6项系数为负，第7项系数为正，故项的系数最大的项为T7C611x5y6，项的系数最小的项为T6C511x6y5.4展开式中，二项式系数的和为C011C111C211C1111211.5令xy1，得展开式中各项的系数和为C011C111C211C111111110.1观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是A8B6C4D2考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案B解析由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4a10，得a6.21x2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是An，n1Bn1，nCn1，n2Dn2，n3考点展开式中系数最大小的项问题题点求展开式中二项式系数最大小的项答案C解析2n1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第2n1121项，第2n1121项，即第n1项与第n2项，故选C.3已知x33xn展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于A4B5C6D7考点二项式系数的性质题点二项式系数与项的系数问题答案C解析令x1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n2n64，所以n6.4设32x4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a1a2a3的值为________考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案15解析令x1，得a0a1a2a3a41.又Tr1Cr434r2xr，当r4时，x4的系数a416.由得a0a1a2a315.5已知142xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________考点展开式中系数的和问题题点多项展开式中系数的和问题答案358解析由C0nC1nC2n37，得1n12nn137，解得n8负值舍去，则第5项的二项式系数最大，T5C481442x4358x4，该项的系数为358.1二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出2求展开式中的系数或展开式中的系数的和.差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定一般地对字母赋的值为0,1或1，但在解决具体问题时要灵活掌握3注意以下两点1区分开二项式系数与项的系数2求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r0，1,2，，n.。

高中数学《二项式系数的性质》公开课优秀教学设计

《二项式系数的性质》教学设计一、教学内容解析1．《二项式系数的性质》是普通高中课程标准实验教科书北师大版选修2-3第1章第5节第2课时的内容。

2．本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。

3．本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

对进一步认识组合数的性质、组合数的计算和变形，巩固二项式定理，巩固旧知拓展新知，建立知识的前后联系有重要的作用。

故在老师适当的点拨下，学生通过师生合作完成知识发展过程，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。

高中数学北师大版选修2-3学案：1.5.2 二项式系数的性质 Word版含解析

5.2二项式系数的性质1．了解杨辉三角．2．掌握二项式系数的性质．(重点)3．会用赋值法求系数和．(难点)[基础·初探]教材整理二项式系数的性质阅读教材P26～P27“练习”以上部分，完成下列问题．1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数________．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的________，即C r n＋1＝________.【答案】(1)相等(2)和C r－1＋C r nn为偶数时，中间一项的二项式系数n1．已知(a ＋b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8【解析】 ∵只有第5项的二项式系数最大， ∴n2＋1＝5，∴n ＝8. 【答案】 D2．如图1-5-1，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3.图1-5-1【解析】由已知C 13nC 14n ＝23，即n ！(n －13)！·13！×(n －14)！·14！n ！＝23，化简得14n －13＝23，解得n ＝34. 【答案】 34[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为S n，求S19的值．图1-5-2【精彩点拨】由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，……，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.【自主解答】S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝(2＋10)×92＋220＝274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：[再练一题]1．(2016·南充高二检测)如图1-5-3所示，满足如下条件： ①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n 行的第2个数是________．图1-5-3【解析】由图表可知第10行的第2个数为： (1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n 行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n (n －1)2＋1＝n 2－n ＋22.【答案】 46 n 2－n ＋22设(1012 2 017)． (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017的值； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017的值； (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 017|的值．【精彩点拨】先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．【自主解答】 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝(－1)2 017＝－1.① (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＝32 017.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝－1－32 017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝－1－32 0172.(3)∵T r ＋1＝C r 2 017(－2x )r ＝(－1)r·C r 2 017·(2x )r ， ∴a 2k －1＜0(k ∈N ＋)，a 2k ＞0(k ∈N ＋)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＝32 017.1．解决二项式系数和问题思维流程．2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．[再练一题]2．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20【解析】令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a9＋a10＝20.【答案】 D[探究共研型]探究1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为C m n＝C n－mn，也可以从f(r)＝C r n的图象中得到．探究2计算C k nC k－1n，并说明你得到的结论．【提示】C k nC k－1n＝n－k＋1k.当k<n＋12时，C k nC k－1n>1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k>n＋12时，二项式系数逐渐减小．探究3二项式系数何时取得最大值？【提示】当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值．已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．【精彩点拨】求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．【自主解答】令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n ＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 25()3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35()2(3x 2)3＝270.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎨⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ＋，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(3x 2)4＝405.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．[再练一题]3．已知(a 2＋1)n展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．【解】由⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5，得T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r ·C r 5·，令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，所以r ＝4，常数项T 5＝C 45×165＝16.又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ，由此得到2n ＝16，n ＝4.所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝C 24a 4＝54，所以a ＝±3.[构建·体系]1．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( ) A ．n ，n ＋1 B ．n －1，n C ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3【解析】该展开式共2n ＋2项，中间两项为第n ＋1项与第n ＋2项，所以第n ＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项．【答案】 C2．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( )A ．64B ．32C ．63D ．31【解析】 C 0n ＋2C 1n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n＝729， ∴n ＝6，∴C 16＋C 36＋C 56＝32.【答案】 B3．若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．【解析】 (7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n 中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.【答案】 54．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________. 【导学号：62690023】【解析】 (a －x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k C k 5·a 5－k x k ，令k ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.【答案】 15．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 28的展开式中，(1)求系数的绝对值最大的项； (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项．【解】 T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝(－1)r C r 82r.(1)设第r ＋1项系数的绝对值最大．则⎩⎨⎧C r 8·2r≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .解得5≤r ≤6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．所以T 5＝C 48·24·＝1 120x －6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝C 68·26·x －11＝1 792x －11. (4)系数最小的项为 T 6＝(－1)5C 58·25＝－1 792.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )A ．第15项B ．第16项C ．第17项D ．第18项【解析】第6项的二项式系数为C 520，又C 1520＝C 520，所以第16项符合条件．【答案】 B2．(2016·吉林一中期末)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n 的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是( )A ．5B ．20C ．10D ．40【解析】根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n ＝32，可得n ＝5，T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )·x －r ＝C r 5x10－3r，令10－3r ＝1，解得r ＝3，所以展开式中含x 项的系数是C 35＝10，故选C. 【答案】 C3．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( )A ．2nB.3n －12 C ．2n ＋1D.3n ＋12【解析】令x ＝1，得3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ，① 令x ＝－1，得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ，② ①＋②得3n ＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )， ∴a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n ＋12.故选D. 【答案】 D4．(2016·信阳高二检测)已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba 的值为( ) 【导学号：62690024】A.1285B.2567C.5125D.1287【解析】 a ＝C 48＝70，设b ＝C r 82r，则⎩⎨⎧C r 82r ≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，得5≤r ≤6，所以b ＝C 6826＝C 2826＝7×28，所以b a ＝1285.故选A. 【答案】 A5．在(x －2)2 010的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于( )A ．23 015B ．－23 014C ．23 014D ．－23 008【解析】因为S ＝(x －2)2 010－(x ＋2)2 0102，当x ＝2时，S ＝－23 0152＝－23 014.【答案】 B 二、填空题6．若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x 2 016(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为________．【解析】令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.【答案】－17．若n 是正整数，则7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n 除以9的余数是________．【解析】 7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n ＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝C 0n 9n (－1)0＋C 1n 9n －1(－1)1＋…＋C n n 90(－1)n －1，∴n 为偶数时，余数为0；当n 为奇数时，余数为7.【答案】 7或08．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1-5-4所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1图1-5-4【解析】根据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ，使得连续三项C k －1n ，C k n ，C k ＋1n，有C k －1n C k n＝34且C k nC k ＋1n ＝45.化简得k n －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝45，联立解得k ＝27，n ＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．【答案】 62 三、解答题9．已知(1＋2x －x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13. 【解】 (1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27＝128.① (2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝(－2)7＝－128.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝256，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝128.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．【解】由C 0n ＋C 1n ＋C 2n＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，得n ＝8.⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x 8的展开式共有9项，其中T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫144(2x )4＝358x 4，该项的二项式系数最大，系数为358. [能力提升]1．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(2＋1)10，故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)＝(2－1)10(2＋1)10＝1.【答案】 A2．把通项公式为a n＝2n－1(n∈N＋)的数列{a n}的各项排成如图1-5-5所示的三角形数阵．记S(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应于数阵中的数是()13 5791113151719……图1-5-5A．91 B．101C．106 D．103【解析】设这个数阵每一行的第一个数组成数列{b n}，则b1＝1，b n－b n－1＝2(n－1)，∴b n＝(b n－b n－1)＋(b n－1－b n－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.【答案】 B3．(2016·孝感高级中学期中)若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x －2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．【解析】令x＝2，得－5＝a0，令x＝3，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.【答案】 54．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N＋)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次项的系数之和.【导学号：62690025】【解】 (1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11，所以m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m (m －1)2＋2n (n －1)＝m 2－m 2＋(11－m )·⎝ ⎛⎭⎪⎫11－m 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2142＋35116. 因为m ∈N ＋，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3. (2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3，所以f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3，设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33，令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1，两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次项的系数之和为30.。

2020-2021学年北师大版数学选修2-3学案：1.5.2 二项式系数的性质 Word版含解析

5.2二项式系数的性质授课提示：对应学生用书第22页[自主梳理]二项式系数的性质对称性在(a ＋b )n 展开式中，与首末两端______的两个二项式系数相等，即C m n ＝________增减性与最大值增减性：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k ＞n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的.最大值：当n 为偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 最大，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n ，C n ＋12n 相等，且同时取得最大值各二项式系数的和 ①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝______；②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝______[双基自测]1.⎝⎛⎭⎫x －1x 10的展开式中，系数最大的项是( ) A ．第六项 B ．第三项 C ．第三项和第六项 D ．第五项和第七项2．C 110＋C 210＋…＋C 1010的值为________．[自主梳理]等距离 C n －mn2n 2n －1 [双基自测]1．D 展开式第六项系数为－C 510，第五项和第七项系数为C 410、C 610，且C 410＝C 610. 2．1 023 ∵(1＋1)10＝C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010，∴C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210－1＝1 023.授课提示：对应学生用书第22页探究一赋值法求多项式系数和[例1] 若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求 (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. [解析] (1)令x ＝0，则a 0＝－1，令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128.① ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.(2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得： a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12[128＋(－4)7]＝－8 128.(4)解法一 ∵(3x －1)7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6均小于零，a 1，a 3，a 5，a 7均大于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7－(a 0＋a 2＋a 4＋a 6) ＝8 256－(－8 128)＝16 384.解法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|即为(1＋3x )7展开式中各项的系数和， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(1＋3)7＝47＝16 384.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．1．在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值的和．解析：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29＝512.(2)令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1，即各项系数和为－1.(3)由(2)得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，① 令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9＝59，② ①＋②得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.(4)T r ＋1＝C r 9(2x )9－r(－3y )r ＝(－1)r C r 9·29－r 3r x 9－r y r ，因此当r ＝1,3,5,7,9时，T r ＋1的系数小于0，即a 1，a 3，a 5，a 7，a 9均小于0. ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9| ＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 8－a 9＝59.探究二增减性与最值问题[例2] 已知：(x 23＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． [解析] 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n ，又展开式中二项式系数和为2n ， ∴22n －2n ＝992，∴n ＝5.(1)∵n ＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项， ∴T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第r ＋1项系数最大，则T r ＋1＝C r 5(x 23)5－r (3x 2)r ＝3r C r 5x 10＋4r 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r －1C r －153r C r 5≥3r ＋1C r ＋15⇒72≤r ≤92，∴r ＝4.即展开式中第5项系数最大， T 5＝C 45(x 23)5－4(3x 2)4＝405x 263.(1)根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r ＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r 项，第r ＋2项)的系数均不大于第r ＋1项的系数，由此列不等式组可确定r 的范围，再依据r ∈N 来确定r 的值，即可求出最大项．2．(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解析：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8.∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为 T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4. 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1⇒5≤r ≤6.∴r ＝5或r ＝6. ∵r ∈{0,1,2，…，8}，∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.探究三证明与组合数有关的恒等式[例3] 求证：C 0n C 1n ＋C 1n C 2n ＋…＋C n －1n C n n ＝(2n )！(n －1)！(n ＋1)！. [证明] (1＋x )2n 展开式中x n －1的系数为C n －12n＝(2n )！(n －1)！(n ＋1)！，又(1＋x )2n ＝(1＋x )n (x ＋1)n＝(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n －1n x n －1＋C n n x n )(C 0n x n ＋C 1n x n －1＋…＋C n －1n x ＋C n n)， ∴等式右边积中x n －1的系数为C 0n C 1n ＋C 1n C 2n ＋…＋C n －1n C n n .∵两种展开式x n－1的系数应相等，∴C 0n C 1n ＋C 1n C 2n ＋…＋C n －1n C n n ＝(2n )！(n －1)！(n ＋1)！.解决组合恒等式的问题，关键在于构造不同的二项式，利用二项式的不同展开方法，比较系数得到相应的恒等式．有时取二项式中字母为某些特殊值也可得到相应的组合恒等式．3．求证：(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝(2n )！n ！n ！. 证明：已知(1＋x )2n ＝(1＋x )n ·(1＋x )n ＝(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n nx n )，(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )中x n 的系数为第一个因式中x r 的系数与第二个因式中x n －r 的系数的乘积的和．因为x r 的系数C r n 与x n －r 的系数C n －rn 相等，所以(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )中x n 的系数为(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2.又(1＋x )2n 的展开式中x n 的系数为C n 2n ，因此有(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝C n 2n ＝(2n )！n ！n ！.混淆各项的系数和与各项的二项式系数和致误[典例] 在(1－2x )7的展开式中，各项的二项式系数和为________；各项的系数和为________；各项系数的绝对值之和为________．[解析] 各项的二项式系数和为27＝128；令x ＝1，则得各项的系数和为(1－2)7＝－1；令x ＝－1，则得各项系数的绝对值之和为(1＋2)7＝2 187. [答案] 128 －1 2 187[错因与防范] 1.这类问题，极易忽略一些条件或混淆一些概念导致题目解答错误．2．设a ，b 为常数，则(ax ＋b )n 的展开式中各项的二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .在(ax ＋b )n 的展开式中令x ＝1，则得(ax ＋b )n 的展开式中各项的系数和为(a ＋b )n . 3．求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来定．(1)⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．－40 B ．－20 C ．20D ．40(2)(x 2＋x －1)9(2x ＋1)4的展开式中所有x 的奇次幂的系数之和等于________，所有x 的偶次幂(包括x 0)的系数之和等于________．解析：(1)对于⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5，可令x ＝1，得1＋a ＝2，所以a ＝1. ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝C r 525－r ·(－1)r ·x 5－2r . 要得到展开式的常数项，则x ＋1x 的x 与⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的1x 相乘，x ＋1x 的1x 与⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的x 相乘，故令5－2r ＝－1，得r ＝3，令5－2r ＝1，得r ＝2，从而可得常数项为C 35×22×(－1)3＋C 25×23×(－1)2＝40.(2)设(x 2＋x －1)9(2x ＋1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 22·x 22.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 22＝81；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 21＋a 22＝－1，所以所有x 的奇次幂的系数之和等于12[81－(－1)]＝41，所有x 的偶次幂的系数之和等于12[81＋(－1)]＝40. 答案：(1)D (2)41 40莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

高中数学选修2-3北师大版教案：1.5.1二项式定理

课时教案科目：数学授课时间：第周星期年月日一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++； ⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ， ∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．二、学生自学学生自学课本第23-24页内容，理解以下内容，填写优化设计14页“知识梳理”。

1、二项式定理：01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈2、二项式定理的证明（选讲）（a+b ）n 是n 个（a+b ）相乘，每个（a+b ）在相乘时，有两种选择，选a 或b ，由分步计数原理可知展开式共有2n 项（包括同类项），其中每一项都是a k b n-k 的形式，k=0，1，…，n ；对于每一项a k b n-k ，它是由k 个（a+b ）选了a ，n-k 个(a+b)选了b 得到的，它出现的次数相当于从n 个（a+b ）中取k 个a 的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。

数学北师大版高中选修2-3二项式系数的性质及应用

二项式定理【学习目标】1. 识记二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .2. 理解二项展开式的通项 n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T rr n r n r ∈≤≤=-+.3. 运用二项式定理及二项展开式的通项公式解决一些简单问题【学习重点】二项式定理及二项展开式的通项公式【学习难点】二项式定理的推导证明【自主检测】1.))((d c b a ++展开后共项；2.))((e d c b a +++展开后共项；3.))((f e d c b a ++++展开后共项；4. ))()((f e d c b a +++展开后共项；5.5)(b a +展开式中32b a 的系数是，5ab （填“是”或“不是”）展开式中的一项。

6. 求31521()x x+展开式中的常数项.【知识点拨】1.3)(b a +展开式中的每一项都是从))()((b a b a b a +++的每个括号里各取一个字母的积，其中3a 的系数是；b a 2的系数是；2ab 的系数是；3b 的系数是（用组合数表示）。

2.在n=1,2,3,4时，研究n b a )(+的展开式：)(b a += 2)(b a +=3)(b a += 4)(b a +=猜想5)(b a +=（）5a +（）b a 4+（）23b a +（）32b a +（）4ab +（）5b一般地，由 (a+b)ｎ=（a+b ）（a+b ）（a+b ）……（a+b ）可知，其展开式是从每个括号里各取一个字母的一切可能乘积的和。

可见，(a+b)ｎ的展开式中项都具有a n-r b r（r=0，1，2……n ）的形式，其系数就是在（a+b ）（a+b ）……（a+b ）的n 个括号中选r 个取b 的方法种数。

2019-2020年高中数学1.5.2二项式系数的性质及应用教学案理(无答案)苏教版选修2-3

2019-2020年高中数学1.5.2二项式系数的性质及应用教学案理（无答案）苏教版选修2-3教学目标：1．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；2．初步了解用赋值法解决二项式系数问题；3．能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力．教学重点：二项式系数的性质．教学难点：对二项式系数的理解和应用．教学过程一、复习回顾1．二项式定理，二项式展开式的通项及二项式系数．二、建构数学1．二项式系数表（杨辉三角）．(a＋b)n展开式的二项式系数，当依次取1，2，3…时，如下表所示：(a＋b)1……………………1 1(a＋b)2…………………1 2 1 (a＋b)3………………1 3 3 1(a＋b)4……………1 4 6 4 1(a＋b)5…………1 5 10 10 5 1(a＋b)6………1 6 15 20 15 6 1……2．发现什么特点？（1）每一行的二项式系数是对称的．（2）每行两端都是1，而且除1外每个数都等于它肩上两个数之和．（3）每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大．（4）每行的二项式系数和等于．三、数学理论：(a ＋b )n二项式系数：，，，…，…有如下性质：（1）；（2）；（3）当时，；当时，；即n 为偶数时，第项的二项式系数最大； n 为奇数时，第和第项的二项式系数最大．（4）012C C C C 2n nn n n n ⋅⋅⋅＋＋＋＝．四、数学应用例1 已知(a ＋b )n 的展开式中，（1）第十项和第十一项的二项式系数最大，求n 的值．（19）（2）第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，求n 的值．（7）（3）各项二项式系数和为1024，求n 的值．（10）例 2 证明：在(a ＋b )n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和．证明在二项式定理011222()C C C C --n n n n n n n n n n a b a a b a b b ＋＝＋＋＋…＋中，令a ＝1，b ＝－1得：0123(11)C C C C (1)C n n n n n n n n －＝－＋－＋…＋－即02130(C C )(C C )n n n n ＝＋＋…－＋＋…，所以0213C C C C n n n n ＋＋…＝＋＋…所以在(a ＋b )n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和．例3 用二项式定理证明：99100－1能被1000整除．证明01019829101010101010C 100C 100C 100C 100C 1＝－＋…＋－＋－0101982101010C 100C 100C 1001000＝－＋…＋－因为上式的每一项都能被1000整除，所以99100－1能被1000整除．课堂练习教材P35练习1，2，3，4，5．五、回顾反思1．二项式系数的性质；2．应用二项式定理证明组合恒等式；3．应用二项定理证明整除性．。