线性离散系统基础

第七章 线性离散系统基础
一．基本内容
1．了解离散控制系统基本概念、采样过程及采样定理；零阶保持器的传递函数、频率特性及应用特点。

2．掌握z 变换及z 反变换的求取方法；熟练掌握脉冲传递函的定义，开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数求解方法；
3．熟练掌握离散控制系统的稳定性分析； 4．熟练掌握离散控制系统的稳态误差计算
二．重点和难点
离散控制系统与连续控制系统的根本区别，在于连续控制系统中的信号都是时间的连续函数，而离散控制系统中有一处或多处的信号是脉冲序列或数码形式的。

把连续信号变为离散信号的过程叫做采样，实现采样的装置称为采样器（采样开关）。

反之，把采样后的离散信号恢复为连续信号的过程称为信号的复现。

离散控制系统的采样定理给出了从采样的离散信号恢复到原来连续信号所必须的最低采样频率（max 2ωω≥s ）。

离散信号的恢复，是在系统中加入代替理想滤波器的实际保持器来实现的。

按恒值外推规律实现的零阶保持器，由于其实现简单，且具有最小的相移，被广泛的应用于离散控制系统中，其传递函数为
s
e s G Ts h --=1)(
1．脉冲传递函数
脉冲传递函数的定义：零初始条件下，线性定常离散系统输出离散信号的z 变换与输入离散信号的z 变换之比，称为脉冲传递函数。

比较常见的一种离散控制系统的结构形式如图7-1所示，其闭环脉冲传递函数为
)
(1)()()
(2121z H G G z G G z R z C +=
式中
，
)]()()([)(2121s H s G s G Z z H G G =
)]()([)(2121s G s G Z z G G =
图7-1典型离散控制系统的结构图 其中：)(21z H G G 为系统的开环脉冲传递函数。

2．离散系统分析 （1）离散系统的稳定性
离散系统稳定的充分必要条件是：系统的闭环极点均在z 平面上以原点为中心的单位圆内。

即 ),2,1(1n i z i =<。

因此，可以通过求解闭环特征方程式的根来判断离散系统的稳定性。

但当系统的阶次较高或有待定常数时，采用此法不太合适，可以通过双线性变换
1
1
-+=
w w z 将z 平面上的单位圆内部分映射到w 平面的左半平面，即可使用劳斯稳定判据判断离散系统的稳定性。

（2）稳态误差
单位反馈的离散系统（即图7-1中1)(=s H ）的的稳态误差为：
)
(1)
()
1(lim )(1
z G z R z e z +-=∞→
其中)()(21z G G z G =为开环脉冲传递函数。

通常选用三种典型输入信号，即单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位抛物线信号，对应z 变换分别为
3
22)1(2)
1(,)1(,1
-+--z z z T z Tz z z
三．典型例题分析
)(1s G )
(s H )(s R T
)
(s E )
(s C )
(2s G
[例7-1]已知系统如图7-2所示，试分析系统的稳定性。

解：解题的关键是根据已知条件求出离散控制系统的特征方程（即闭环脉冲传递函数
的分母）。

系统的开环脉冲传递函数为：
))(1()1(1)1()]([)(T
T e z z e Kz s K s K
Z s s K Z s G Z z G -----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+==
图7-2离散控制系统 其闭环脉冲传递函数为：
)
(1)()()(z G z G z R z C += 则
其
特
征
方
程
为
0)1())(1(,0)(1=-+--=+--T T e Kz e z z z G
因为T =1 s ，所以368.01=-e
1．当K=1时代入上式并整理得 482
.0368.0,
0368.0736.02,12j z z z ±-==+-
由于1607.0482.0368.0222,1<=+=z ，所以系统是稳定的。

2．当K=5时，特征方程为555.1237.0,0368.0792.1212-=-==++z z z z
由于1555.12>=z ，所以系统是不稳定的。

3．下面分析稳定时K 的取值范围 将1
1
-+=
w w z 代入特征方程为：0)1())(1(=-+----T T e Kz e z z
整理得 0)632.0736.2(264.1632.02=-++K w Kw
)
1(+s s K
)
(s R s
T 1=)
(s E )
(s C
列劳斯表： K
w w K
K w 632.0736.2264.1632.0736.2632.00
1
2
--
为使系统稳定，要求劳斯表中第一列的系数均大于零，于是有 32.40<<K
可以看出，当系统中没有采样器时，二阶连续系统0>K 总是稳定的。

有了采样器后，系统稳定时K 的范围就有了限制，加大K 会导致系统不稳定。

通常，减小采样周期T ，使系统工作尽可能接近于相应的连续系统，那么增益K 的取值范围可以加大。

[例7-2]试确定例7-1中系统对于单位阶跃输入、单位斜坡输入和单位抛物线输入时的稳态误差。

解：解题的关键是根据已知条件求出开环脉冲传递函数 系统的开环脉冲传递函数为
))(1()
1()]([)(T T e z z e Kz s G Z z G -----==
)
1())(1()
)(1()(11T T T e Kz e z z e z z z G ----+----=+
单位阶跃输入时的稳态误差为
01
)1())(1())(1()1(lim )
(1)
()
1(lim )(11=-⨯-+-----=+-=∞---→→z z
e Kz e z z e z z z z G z R z e T T T z z
单位斜坡输入时的稳态误差为
1)1()1())(1())(1()1(lim )(2
1=-⨯-+-----=∞---→z Tz e Kz e z z e z z z e T T T z
单位抛物线输入时的稳态误差为
∞=-+⨯-+-----=∞---→321)
1(2)
1()1())(1())(1()1(lim )(z z z T e Kz e z z e z z z e T T T z
四．习题
7-1 求下列函数的脉冲传递函数)(z G
)(1)()3()
()()2()()()1(2a s s K
s e s G a s s K
s G a s s K s G Ts +⨯
-=+=
+=
-
7-2 求图7-3所示系统的开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数)
()
()(z R z C z Φ=。

假定图中采样开关是同步的。

)(1s G )
(s H )
(s R T
)
(s E )
(s C )
(2s G
图7-3离散控制系统
7-3 求图7-4所示系统的开环脉冲传递函数)(z G 及闭环脉冲传递函数)(z Φ，其中
1,1==K a 。

s
e Ts
--1)
(s E s T 1=)
(s R )
(s C )
(a s s K
+
图7-4离散控制系统
7-4 已知系统结构如图7-4所示，5.0,2==T a 秒。

（1） 当8=K 时，分析系统的稳定性； （2） 求K 的临界稳定值。

7-5 已知系统结构如图7-2所示，试求1=T 秒及5.0=T 秒时，系统临界稳定时的K 值，并讨论采样周期T 对稳定性的影响。

7-6 已知系统结构如图7-2所示，其中1=K ，1=T 秒，输入为t t t u +=)(1)(，试求
其稳态误差。