数学教学论资料
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围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。 (一) 西方的发展
hing at a time and All things in their being are good for somethin
三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约 150 年，早在公元前 300 年，古代埃及人已有了一定
2.对数的发明
在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳 皮尔(J·Napier,1550～1617)男爵
在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的 热门学科可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那 些繁杂的“天文数学”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间
数学教学论
期末作业
学号：120414127 姓名：赵志鹏 班级：12 级应用（1）班
hing at a time and All things in their being are good for somethin
h源自文库ng at a time and All things in their being are good for somethin
那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢?在那个时代，计算多位数之间 的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方 法让我们来看看下面这个例子：
(1)0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 13， 14，…
3.中外历史上的方程求解
在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座， 虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的风 月. 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。约公元 50 年—100 年编 成的《九章算术》，就以算法形式给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具 体方法；公元 7 世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法；公元 11 世纪， 北宁数学家贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出的“开方作法本源图”，以“立成释锁法” 来解三次或三次以上的高次方程式.同时，他还提出了一种更简便的“增乘开方法”；公元 13 世纪，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“正负开方术”，更提供了一种用算 筹布列解任意数字方程的有效算法，此法可以求出任意次代数方程的正根. 国外数学家对方程求解亦有很多研究.公元 9 世纪，阿拉伯数学家花拉子米给出了一次 方程和二次方程的一般解法；公元 1541 年意大利数学家塔尔塔利亚给出了三次方程的一般 解法；公元 1545 年意大利数学家卡尔达诺的名著《大术》一书中，把塔尔塔利的解法加以 发展，并记载了费拉里的四次方程的一般解法.
4.三角函数
三角函数英文名称 Trigonometry ，约定名于公元 1600 年，实际导源于希腊文 trigono (三 角)和 metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边 和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部 份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范
内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了 「三角学之父」的称谓。
公元 2 世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165) 继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13 卷，包括从 0°到 90°每隔半 度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论 的著作。约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》， 内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许
的三角学知识，主要用于测量。例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和 观测天象等。公元前 600 年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔 的高，成为西方三角测量的肇始。公元前 2 世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆
经过多年的探索，纳皮尔男爵于 1614 年出版了他的名著《奇妙对数定律说明书》，向 世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点
所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊 荣伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中曾经把笛卡儿的坐标、纳 皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明法 国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)曾说： 对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”
多独特性质。他的工作使希腊三角学达到全盛时期。 (二)中国的发展
我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。据 《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后 来称为「重差术」。1631 西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者 徐光启(p20)合编的《大测》为代表。同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面 三角和球面三角的论述。1653 年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以「三角」 取代「大测」，确立了「三角」名称。1877 年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独
函数概念发展的历史过程
1．1 早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾 包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673 年 前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对 于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到 17 世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝 大部分函数是被当作曲线来研究的。 1．2 十八世纪函数概念——代数观念下的函数 1718 年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础 上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变 量 x 和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式， 包括代数式子和超越式子。 18 世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函 数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组 成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为 代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理 数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉 给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 1．3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数 1822 年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式 子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对 函数的认识又推进了一个新的层次。1823 年柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量 开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函 数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是 一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。 1837 年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)认为怎样去建立 x 与 y 之间的关系无关紧 要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的 x 值，y 都有一个或多 个确定的值，那么 y 叫做 x 的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中 所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。 至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数 定义。 等到康托尔(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布 伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概
纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技 术，终于独立发明了对数然而，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理 论并不完全一样在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是 像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的
立的探讨。 现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展于
计算 64×256 的值，就可以先查询第一行的对应数字：64 对应 6，256 对应 8；然后再把第 一行中的对应数字加起来：6＋8=14；第一行中的 14，对应第二行中的 16384，所以有： 64×256=16384
纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了在 “运用对数简化计算”的时候，采用的正是这种思路：计算两个复杂的乘积，先查《常用 对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数 的反对数表》查出和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了这种“化乘除为加 减”从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗?
1914 年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避 开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉 托夫斯基(Kuratowski)于 1921 年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a，b)为集合{{a}，{b}}， 这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930 年新的现代函数定义为，若对集合 M 的任意 元素 x，总有集合 N 确定的元素 y 与之对应，则称在集合 M 上定义一个函数，记为 y=f(x)。 元素 x 称为自变元，元素 y 称为因变元。 函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意 味着函数概念发展的历史终结，20 世纪 40 年代，物理学研究的需要发现了一种叫做 Dirac－δ 函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于 1，这在原来的函数 和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的 Dirac－δ 函数等概念统一了起来。因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概 念还会继续扩展。
(2)1，2，4，8，16，32，64，126，256，512，1024，2048，4096，8192，16384，…
这两行数字之间的关系是极为明确的：第(1)行表示 2 的指数，第(2)行表示 2 的对应 幂如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现比如，
hing at a time and All things in their being are good for somethin
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念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变 量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。 1．4 现代函数概念——集合论下的函数
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三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约 150 年，早在公元前 300 年，古代埃及人已有了一定
2.对数的发明
在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳 皮尔(J·Napier,1550～1617)男爵
在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的 热门学科可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那 些繁杂的“天文数学”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间
数学教学论
期末作业
学号：120414127 姓名：赵志鹏 班级：12 级应用（1）班
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h源自文库ng at a time and All things in their being are good for somethin
那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢?在那个时代，计算多位数之间 的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方 法让我们来看看下面这个例子：
(1)0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 13， 14，…
3.中外历史上的方程求解
在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座， 虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的风 月. 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。约公元 50 年—100 年编 成的《九章算术》，就以算法形式给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具 体方法；公元 7 世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法；公元 11 世纪， 北宁数学家贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出的“开方作法本源图”，以“立成释锁法” 来解三次或三次以上的高次方程式.同时，他还提出了一种更简便的“增乘开方法”；公元 13 世纪，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“正负开方术”，更提供了一种用算 筹布列解任意数字方程的有效算法，此法可以求出任意次代数方程的正根. 国外数学家对方程求解亦有很多研究.公元 9 世纪，阿拉伯数学家花拉子米给出了一次 方程和二次方程的一般解法；公元 1541 年意大利数学家塔尔塔利亚给出了三次方程的一般 解法；公元 1545 年意大利数学家卡尔达诺的名著《大术》一书中，把塔尔塔利的解法加以 发展，并记载了费拉里的四次方程的一般解法.
4.三角函数
三角函数英文名称 Trigonometry ，约定名于公元 1600 年，实际导源于希腊文 trigono (三 角)和 metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边 和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部 份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范
内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了 「三角学之父」的称谓。
公元 2 世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165) 继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13 卷，包括从 0°到 90°每隔半 度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论 的著作。约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》， 内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许
的三角学知识，主要用于测量。例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和 观测天象等。公元前 600 年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔 的高，成为西方三角测量的肇始。公元前 2 世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆
经过多年的探索，纳皮尔男爵于 1614 年出版了他的名著《奇妙对数定律说明书》，向 世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点
所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊 荣伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中曾经把笛卡儿的坐标、纳 皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明法 国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)曾说： 对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”
多独特性质。他的工作使希腊三角学达到全盛时期。 (二)中国的发展
我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。据 《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后 来称为「重差术」。1631 西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者 徐光启(p20)合编的《大测》为代表。同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面 三角和球面三角的论述。1653 年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以「三角」 取代「大测」，确立了「三角」名称。1877 年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独
函数概念发展的历史过程
1．1 早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾 包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673 年 前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对 于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到 17 世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝 大部分函数是被当作曲线来研究的。 1．2 十八世纪函数概念——代数观念下的函数 1718 年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础 上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变 量 x 和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式， 包括代数式子和超越式子。 18 世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函 数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组 成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为 代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理 数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉 给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 1．3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数 1822 年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式 子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对 函数的认识又推进了一个新的层次。1823 年柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量 开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函 数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是 一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。 1837 年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)认为怎样去建立 x 与 y 之间的关系无关紧 要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的 x 值，y 都有一个或多 个确定的值，那么 y 叫做 x 的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中 所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。 至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数 定义。 等到康托尔(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布 伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概
纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技 术，终于独立发明了对数然而，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理 论并不完全一样在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是 像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的
立的探讨。 现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展于
计算 64×256 的值，就可以先查询第一行的对应数字：64 对应 6，256 对应 8；然后再把第 一行中的对应数字加起来：6＋8=14；第一行中的 14，对应第二行中的 16384，所以有： 64×256=16384
纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了在 “运用对数简化计算”的时候，采用的正是这种思路：计算两个复杂的乘积，先查《常用 对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数 的反对数表》查出和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了这种“化乘除为加 减”从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗?
1914 年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避 开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉 托夫斯基(Kuratowski)于 1921 年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a，b)为集合{{a}，{b}}， 这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930 年新的现代函数定义为，若对集合 M 的任意 元素 x，总有集合 N 确定的元素 y 与之对应，则称在集合 M 上定义一个函数，记为 y=f(x)。 元素 x 称为自变元，元素 y 称为因变元。 函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意 味着函数概念发展的历史终结，20 世纪 40 年代，物理学研究的需要发现了一种叫做 Dirac－δ 函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于 1，这在原来的函数 和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的 Dirac－δ 函数等概念统一了起来。因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概 念还会继续扩展。
(2)1，2，4，8，16，32，64，126，256，512，1024，2048，4096，8192，16384，…
这两行数字之间的关系是极为明确的：第(1)行表示 2 的指数，第(2)行表示 2 的对应 幂如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现比如，
hing at a time and All things in their being are good for somethin
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念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变 量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。 1．4 现代函数概念——集合论下的函数