《高等数学B》本科期末考试试卷A卷

西南科技大学2013-2014-2学期《高等数学B2》本科期末考试试卷（A卷）

2、设y

z x

=，求dz=__________。

3、求曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线方程________。

4、求函数3u xy z =在点(1,1,2)-处的梯度__________。

5、设,αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y 处的切向量的方向角，则平面曲线L 上的两类曲线积分的关系(________________)L L Pdx Qdy ds +=⎰⎰。 三、解答题（1-2小题每题8分，3-8小题每题9分，共70分） 1、 求曲面22214x y z ++=上平行于平面2320x y z ++=的切平面方程。 2、 设2

2

(,),z f x y xy =

-，其中

f 具有连续的二阶偏导数，求2z

x y

∂∂∂。 3、 求函数4242z x xy y =-+的极值。

4、 计算|1|D

I x y dxdy =+-⎰⎰，其中[0,1][0,1]D =⨯。

5、

把二次积分4

2200

)dx x y dy +⎰化为极坐标形式，并计算积分值。

1、解：令222(,,)14F x y z x y z =++-， 在点000(,,)P x y z 处的法向量为000(,,)n x y z =r

000

123

x y z k ===令

，代入方程22214x y z ++=中可得1k =±---————--4分，

在点（1，2，3）处的切平面为2314x y z ++=-————----2分， 在点（-1，-2，-3）处的切平面为23140x y z +++=----————-2分。

2、解：122(3)z

xf yf x

∂''

=+∂分。

3、解：3440,440x y z x y z x y =-==-+=求得驻点为（0，0），（1，1），（-1，-1）。（3分）

212,4,4xx xy yy A z x B z C z ====-==，在点（0，0）处2160AC B -=-<没有极值，（3分） 在点（1，1）和（-1，-1）处2320,0AC B A -=>>，所以有极小值(1,1) 1.z ±±=-（3分）

4、解： 5

、解3334

4cos 22

3

4

2

200

)64cos 12dx x y dy d r dr d π

π

θ

θθθπ+===⎰⎰⎰

⎰分

分

分

。

6、解：131

lim 3

31n n n n n ρ+→∞==+，所以收敛半径为3，收敛区间为323x -<-<，即15

x -<<（3分）

当5x =时1131

3n n n n n n ∞

∞

===∑∑g

发散（2

分），当1x =-时11(3)(1)3n n

n n n n n ∞

∞

==--=∑∑

g

收敛，（2分）

因此原级数的收敛域为[1,5)-。（2分） 7、解：42332,4,24Q P

P xy y Q x xy x y x y

∂∂=-=-==-∂∂，所以该曲线积分和积分路径无关。（4分）

11

4

2

3

30

(23)(4)314)=3L

xy y

dx x xy dy dx y dy -++-=+-⎰⎰⎰（（5

分）

8、解：由高斯公式得22322

()2=()xy dydz x y z dzdx xydxdy x y dxdy ∑

Ω

+-++⎰⎰⎰⎰⎰

Ò（4分）

由柱面坐标224

22300

28()3

r

x y dxdydz d r dz π

π

θΩ

+==

⎰⎰⎰⎰⎰（5分）