2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)(附答案,完全word版)

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学

本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的

准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选

择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂

黑．

参考公式：

样本数据1x ，2x ，L ，n x 的标准差

锥体体积公式

s =

13

V Sh =

其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V Sh =

24πS R =，34π3

V R =

其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．)6

cos()(π

ω-

=x x f 最小正周期为

5

π

，其中0>ω，则=ω ▲ 2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ▲

3．

),(11R b a bi a i

i

∈+-+表示为的形式，则b a += ▲ 4．{}

73)1(2-<-=x x x A ，则集合A Z I 中有 ▲ 个元素

5．b a ρϖ,的夹角为ο

120，1,3a b ==r r ，则5a b -=r r ▲

6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲

7．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），现随机地选择50位老人做调查，

则输出的S 的值为 ．

8．直线b x y +=2

1

是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，

则实数b 的值为 ▲

9．在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： ( ▲ )011=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+y a p x 10．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

。 。 。 。 。

按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为 ▲

11．2

*

,,,230,y x y z R x y z xz ∈-+=的最小值为 ▲

12．在平面直角坐标系中，椭圆)0(12

2

22>>=+b a b

y a x 的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的

圆，过点⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲

13．若BC AC AB 2,2=

=，则ABC S ∆的最大值 ▲

14．13)(3

+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立，则a = ▲

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（14分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B

（1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值。

16．（14分）在四面体ABCD 中，BD AD CD CB ⊥=,，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF//面ACD

（2）面EFC ⊥面BCD

17．（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。 （1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

B

C A F

D

E

B

18．（16分）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2

()2()f x x x b x R =++∈的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C 。求： （1）求实数b 的取值范围 （2）求圆C 的方程

（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论。 19．（16分）（1）设n a a a ,......,21是各项均不为零的等差数列（4≥n ），且公差0≠d ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当4=n 时，求d

a 1

的数值；②求n 的所有可能值； （2）求证：对于一个给定的正整数)4(≥n n ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列n b b b ,......,21，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。

20. （16分）

若1

2

12()3,()23

x p x p f x f x --==⋅，x R ∈，12,p p 为常数，且⎩⎨⎧>≤=)()(),()

()(),()(212

211x f x f x f x f x f x f x f （1）求)()(1x f x f =对所有实数x 成立的充要条件（用21,p p 表示） （2）设b a ,为两实数，b a <且),(,21b a p p ∈若)()(b f a f =

求证：)(x f 在区间[]b a ,上的单调增区间的长度和为2

a

b -（闭区间[]n m ,的长度定义为m n -）