大学物理角动量

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角动量角动量守恒定律大学物理

对定轴转动的刚体 Miin 0 ，合外力矩
M
Miex
d dt
(
mi
ri
2
)
d(J
dt
)
d( J )
dL
M
dt dt
第3章守恒定律
12
大学物
理学
第二版
t2 t1
Mdt
L2
L1
t2 t1
Mdt
L2
L1
当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量．——定轴转动的角动量定理
第3章守恒定律
然长度处以
垂直于弹簧运动，当
弹簧与初始位置垂直时，弹簧长度
v
求此时滑块的速度.
v0
第3章守恒定律
图 3.4
大学物理学
第二版
【解】由角动量和机械能守恒
结论：对于有心力问题，系统对力心处的角动量守恒.
第3章守恒定律
大学物
理学
第二版
三、角动量守恒定律的应用
（1）常平架回转仪（陀螺仪）（2）直升飞机尾翼
质点角动量定理的推导
L r p r mv
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt dt dr v，v p 0
dt dL
dt
r
dp
r
F
dt
dt
dt
第3章守恒定律
4
大学物
理学
第二版
dL
M
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率.
13
大学物
理学
第二版
对定轴转动的刚体，受合外力矩M，

大学物理角动量角动量守恒定律

z L mv

r
注意
L r mv
角动量 L在直角坐标系中各坐标轴的分量：
1. 质点的角动量与质点对固定点的矢径有关；同一质点对不同的固定点角动量不同。 2. 讲角动量必须指明对哪一个固定点而言。
Lx ypz zp y Ly zpx xpz
角动量的单位：
例2.17 一质量为 m的质点t=0时位于 ( x1 , y1 )处，速度为 v0 v x 0 i v y 0 j ，质点受到恒力 f = f i 的作用，（1）求t=0时相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩（2）求2s后相对于原点的角动量的变化中木块在水平面内只受指向O点的弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v 2 与OB方向成θ角，则有
l0 (m M ) v1 l (m M ) v2 sin
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 1 1 2 2 (m M ) v1 (m M ) v2 k (l l0 ) 2 2 2 2
( x1mv y 0 y1mv x 0 )k
作用在质点上的力的力矩为
M 0 r0 f ( x1i y1 j ) ( f i )
y1 f k
t t （2） L Mdt (r f )dt t0 t0 f f f 2 a i x x1 vx 0t t m m 2m
k (l l0 ) 2 m2 2 v2 v0 (m M ) 2 mM
arcsin
l0 mv0
2 l m 2 v0 k (l l0 ) 2 (m M )
例 . 在光滑的水平桌面上有一小孔O，一细绳穿过小孔，其一端系一小球放在桌面上，另一端用手缓慢拉绳，开始时小球绕孔运动，半径为 r1 ，速率为 v1 ，当半径变为 r2 时,求小球的速率 v2？

大学物理-角动量定理和角动量守恒定律

当系统所受外力矩为零时，系统内各物体角动量之和保持不变。
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过高速旋转来保持方向稳定，广泛应用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮传动等，角动量守恒定律用于分析系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是角动量，m是质量，v是速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现象中都有应用，如行星运动、陀螺仪等。

【大学物理】§5.2 角动量定理

棒上段、下段对轴O角动量方向相反
-l/2
O
线密度：取质元：

m 2l
mdx 2l
dm dx
mv0 2l
质元角动量：
dm
v0
x
dL dm v0 x
xdx
3l/2
设垂直向外为正方向，总角动量：
L
3l 2 mv0 xdx 2l 0

mv0 xdx 2l -l 2

m2
ro m
m1
m 解：在地面参考系中，选取 m1 、 2 和滑轮为研究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：
10
T1
N
a
T2
T2
o
向里+
Ny
m1
m2 g
m2
m2 g
Nx
a
m1 g
T1
列方程如下：
可求解
m1 g - T1 m1a T2 - m2 g m2 a 1 (T1 - T2 ) r mr 2 2 a r
11
第五章角动量角动量守恒习题课
例.已知：两平行圆柱在水平面内转动，
m1 , R1
, 10 ;
m2 , R2
, 20
求：接触且无相对滑动时
1 ?
10
m1
2 ?
20
1 2
.o1
R1
.o2
R2
m2
o1.
o2.
12
解一：因摩擦力为内力，外力过轴，外力矩为零，则： J1 + J2 系统角动量守恒，以顺时针方向为正：

1 m1 m2 m r 2
(4)

大学物理4-2刚体的角动量转动动能转动惯量

J ri2mi r2dm
刚体绕定轴的角动量表达式：
Lz J
刚体的转动动能
2. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点
的动能之设和刚。体中第i个质点的质量为， mi
速度为 v,i 则该质点的动能为：
1 2
mivi2
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。
设质点
mi
离轴的垂直距离为
vi ri
ri ，则它的线速度
因此整个刚体的动能
EK
12mivi2
1 2
ri2mi 2
刚体的转动动能
式中式写为
是m刚iri体2 对转轴的转动惯量
EK
1 2
J 2
，所J以上
上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因此叫刚体的转动动能。
转动惯量的计算
3. 转动惯量的计算
按转动惯量的定义： J ri2mi
刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成积分形式
J r2dm 要求: 细棒、薄圆盘、圆环
dl 其中质元dm可表示为 dm ds
dv
r —为质元到转轴的距离
转动惯量的计算
刚体运动：
平动：平动动能 1 mv2 线动量 mv
2
定轴转动：转动动能 1 J 2 角动量 J
2
质量是刚体平动时惯性大小的量度。转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度。补：平行轴定理、垂直轴定理（适用于薄平面刚体）。
Li Ri pi Ri mivi
因 vi Ri ，所以 L的i 大小为
Li mi Rivi
方向如图所示。
z
L
Li Liz
ri
O Ri mi
刚体的角动量

大学物理3_3 角动量角动量守恒定律

将
R 、 h1 、h2 和 v1 各值代入，得
2 6.13公里/ 秒
3 – 3 角动量角动量守恒定律第三章刚体的转动例3-8 两个转动惯量分别为 J1 和 J2 的圆盘 A和 B. A 是机器上的飞轮, B 是用以改变飞轮转速的离合器圆盘. 开始时, 他们分别以角速度ω 1 和ω 2 绕水平轴转动. 然后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下.啮合为一体, 其角速度为 ω, 求齿轮啮合后两圆盘的角速度. 解: 系统角动量守恒
( L mR )
2
得
LdL m gR cosd
3 – 3 角动量角动量守恒定律
第三章刚体的转动
LdL m gR cosd
2 3
由题设条件积分上式

L
0
LdL m gR
2
32
3

0
cosd
12
L mR (2 g sin )
L mR
2
2g 12 ( sin ) R
3 – 3 角动量角动量守恒定律
第三章刚体的转动
力的时间累积效应力矩的时间累积效应角动量定理.
一
冲量、动量、动量定理. 冲量矩、角动量、
刚体定轴转动运动状态的描述 L J Ek J 2 2 0, p 0 0, p 0
质点的角动量定理和角动量守恒定律质点运动状态的描述 p mv Ek mv 2 2
2
航天器调姿
1

3 – 3 角动量角动量守恒定律第三章刚体的转动例3-6 如图所示，有一质量为 m1 、长度为 l 的均质细棒，原先静止地平放在水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定轴转动，另有一质量为 m2 的水平运动的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A 相碰撞，并被棒反向弹回，设碰撞时间极短。已知小滑块碰撞前、后的速率分别为和 u ，桌面与细棒的滑动摩擦系数为。求：（1）从碰撞到细棒停止运动所需的时间；（2）从碰撞到细棒停止运动，细棒转过的圈数。

大学物理-刚体绕定轴转动的角动量

M J
p mivi
角动量
L J
角动量定理 M d(J)
dt
质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较（续）
质点的运动
动量守恒力的功动能
Fi 0时
mivi 恒量
Aab
b
F
dr
a
Ek
1 2
mv
2
动能定理
A
1 2
mv
2 2
1 2
mv12
重力势能
Ep mgh
机械能守恒
A外 A非保内 0时
进动特性的技术应用
翻转
外力
C
外力
进动
C
炮弹飞行姿态的控制：炮弹在飞行时，空气阻力对炮弹质心的力矩会使炮弹在空中翻转；若在炮筒内壁上刻出了螺旋线（称之为来复线），当炮弹由于发射药的爆炸所产生的强大推力推出炮筒时，炮弹还同时绕自己的对称轴高速旋转。由于这种自转作用，它在飞行过程中受到的空气阻力将不能使它翻转，而只能使它绕着质心前进的方向进动。
pA pB
pA A
Bp B
s
s
O
x
结论：静止流体中任意两等高点的压强相等，即压强差为零。若整个流体沿水平方向加速运动？加速运动为a，压强差为？
2. 高度相差为 h 的两点的压强差（不可压缩的流体）
选取研究对象，受力分析：（侧面？）
沿 y 方向：
p C
Y C s
pB s pC s mg may
已知：p0=1.013×105 Pa ， 0 1.29kg / m3
解由等温气压公式
p
p e(0g / p0 ) y 0
0g 1.25104 m1
p0
p1 1.0 105 e1.251043.6103 0.64 105 Pa

《大学物理》34刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律.

矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变，这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律
一、冲量矩角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m

L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用，物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。

大学物理-动量与角动量

解：以小孔O为原点，绳对小球的拉力为有心力，其力矩为零。则小球对点的角动量守恒。
因：v = rw
则小球的动能增量为：
例3.18 证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。
太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即 L 为常矢量，因此有：
角动量守恒：r1mv1=r2mv2 v1=(r2/r1)v2=1.2857v2
机械能守恒：
代入数据计算时，注意长度单位要统一使用m或km。
空间累积效应
时间累积效应
瞬时效应
动量定理
角动量定理
动能定理
功能定理
质点的角动量守恒定律
力
力矩
动量
角动量
冲量
冲量矩
力与动量
力矩与角动量
动量定理(冲量与动量)
角动量定理(冲量矩与角动量)
动量守恒：某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为零，…
角动量守恒：对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，…
例2-17：将质量为m 的小球系于轻绳一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O 用手拉住。先使小球以角速度 w1 在水平面上做半径为 r1 的圆周运动，然后慢慢将绳下拉，使半径缩小为 r2 ，求在此过程中小球的动能增量。
力矩
O
力矩的分量式:
对轴的力矩
力矩为零的情况: （1）力 F 等于零；（2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sinj = 0 ）
二、角动量定理
角动量力矩
质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。
表示成积分形式：
冲量矩（合力矩在Δt时间内对定点的冲量矩）
由对称性分析，质心C应在x轴上。

大学物理第3章第2节-角动量定理及其守恒定律

用角动量定理和守恒定律处理问题 (i) 确定研究对象 (单一刚体、刚体系、刚体+质点); (ii) 确定是对点还是对轴; (iii) 受力分析 (外力) 并求各力的力矩; (iv) 求初、末状态的角动量; (v) 用角动量定理和角动量守恒定律 (对点或对轴) 列方程求解.
例3.9 一半径为 R 、质量为 m 的匀质圆 R 盘平放在粗糙的水平面上. 设盘与桌面的摩擦因数为 , 令圆盘最初以角速度0 绕过其中心且垂直于盘面的轴旋转, 问它经过多少时间才停止转动? 解圆盘与桌面间有摩擦, 在转动过程中受到摩擦力矩的作用, 对圆盘上半径为 r 宽度为 d r 的圆环, 受到的阻力矩为
解受力分析 N N 人: m M 重力 mg R 支持力 N1 mg 转台: 重力 Mg 支持力 N 2 Mg 合外力为零, 不产生力矩, 角动量守恒.
2 1
设转台沿逆时 M 针转动, 对地的角速度为 , 人沿顺时针运动, 人对转台的角速度为 , 则人对地的角速度为 . 转动惯量 2 I MR 2 转台: 2 I mR 人:
dM f rd f
f ( d m) g d r (d m) g m d S d r ( d S ) g
m

R
m r (2 rd r ) g 2 R
m R 2 , d S 2 rd r
m
R

角动量守恒
I I ( ) 0
M

R
m
MR mR2 ( ) 0 2
2

解得
2m M , M 2m M 2m
当人在转台上跑一周时

大学物理-角动量守恒定律

1 dA ( r sin )ds 2
4-3 角动量
角动量守恒定律
dA 1 ds 1 ( r sin ) r sin v dt 2 dt 2 1 1 r sin mv rp 2m 2m 而行星的角动量 r p 大小恒定，所以 dA 常量 dt
一般情形下， r 和 p 都是变化的，所以 L 没有确定的方向，但任一时刻， L 总垂直于 r 和 p 所确定的平面。在直角坐标系下，L 的三个分量
为：
3
Lx ypz zp y Ly zpx xpz Lz xp y ypx
4-3 角动量
这就是开普勒第二定律。如果一个力的方向始终指向某一点，这力称为有心力，这点，称为力心。有心力对力心的力矩恒为0，因此，在有心力作用下的质点对力心的角动量守恒。 10
4-3 角动量
角动量守恒定律
质点系角动量变化定理和角动量守恒定律 1. 质点系角动量
L l i ri 量
角动量守恒定律
3. 角动量守恒定律如果质点系所受合外力矩 M 外 0，则
dL 0 ，L 常矢量 dt
实验表明，对于不受外界影响的粒子系统所经历的任意过程，包括不能用牛顿力学描述的过程，都遵守角动量守恒定律。
13
4-3 角动量
角动量守恒定律
【例1.21】光滑水平面上轻弹簧两端各系一小球，开始弹簧处于自然长度，两小球静止。今同时打击两个小球，让它们沿垂直于弹簧轴线方向获得等值反向的初速度v0。如果在以后的运动过程中弹簧的最大长度为2l0，求初速度v0。解系统：弹簧和小球质心C点固定不动，相对 C点系统的角动量守恒。
必须指明是对哪个点而言的

《大学物理》第11章角动量：转动

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花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速
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解题思路：作用在小球上的拉力沿径向，对转轴的力臂为零，因此作用在小球m上合外力矩为零，体系角动量守恒。
I11 I22 I mR 2
v R,
v2

R 22

R 21

质点系的总角动量质点系的总转动力矩
n
L Li
i 1

net i
1）系统内力作用于质点上的内力力矩
成对出现。大小相等、方向相反，作用在同一条直线上
内力矩总和为0
2）系统外力作用于质点上的外力矩
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net i ext
§11-1 角动量物体绕定轴旋转

一、质点的角动量
L
对于定点转动而言：
L

r

P
r mv
r o
r sin
P

mv

m
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二、质点角动量定理
平动中合外力和动量的关系相对于惯性参考系原点

F

dp dt
L rp
对角动量取微分
dL

d
r
所以L为常量，即dA/dt为常量。开普勒定律得证
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例11-12 一个质量为m的子弹以速度v击中一个质量为M半径为 R0的圆柱边缘，且子弹嵌入圆柱中，如图所示。圆柱原来静止，被子弹击中后开始绕其对称轴（位置固定）转动。假设无摩擦力矩。子弹击中后圆柱的角速度为多少？动能是否守恒？

大学物理第5章角动量守恒定律

1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2）对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2

大学物理角动量定理

dL
dt
ri Fi
ri f内i
质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。
质点或质点系的角动量守恒定律：
当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始终为零时，质点或质点系对该点的角动量保持不变。
第三章守恒定律
4
大学物理
3-6 角动量定理
证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线在相等时间内
扫过的椭圆面积相等。
证： dS 1 r dr 2
dS 1 r dr 1 r v dt 2 dt 2
dr
r
dS 1 r mv 1 L 有心力作用下角动量守恒
dt 2m
2m
dS 恒矢量 dt
证毕
第三章守恒定律
5
大学物理
3-6 角动量定理
例.在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔，其一端
3-6 角动量定理
竖直平面内. 一质量为 m 的小球
穿在圆环上, 并可在圆环上滑动.
小球开始时静止于圆环上的点 A
(该点在通过环心 O 的水平面上)，
然后从 A点开始下滑．设小球与
圆环间的摩擦力略去不计．求小
球滑到点 B 时对环心 O 的角动量
和角速度．
解小球受力 P 、FN 作用, FN 的力矩为零，重力矩垂直
i 1
z F1 Fi
0
ri
dpi dt
ri
Fi f内i
dL
dt
ri Fi
ri f内i
r1
ri
O
x
r2
F2
y
第三章守恒定律
3
大学
一对力对某一固定点的力矩

大学物理——角动量定理和角动量守恒定律

解：把飞船和排出的废气看作一个系统，废气质量为m。可以认为废气质量远小于飞船的质量，
dm/2
u
Lg
r

L0
u dm/2
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所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量，即
L0＝J
在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气体
，这些气体对中心轴的角动量为 dm·r(u+v) ，方向
量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B
轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？
A
B
C
A
B
C
A

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解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在
啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得
由匀减速直线运动的公式得
0 v2 2as
亦即 v 2 2gs
（3）
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得

3gl 3 2gs
l
（5）
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当’取正值，则棒向左摆，其条件为
3gl 3 2gs 0
亦即l >6s；当’取负值，则棒向右摆，其条件
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数为。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。
求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明
棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。
解：这个问题可分为三个阶段

大学物理角动量3解读

2v o 21R
o
(2) 欲使盘静止，可令
R/2
2v o 0 21R
21 v R o 2
定轴转动的功和能
刚体绕oz转动，外力F作用在与转轴距离为 r 的p点，刚体在F作用下转过d角度，在此过程功为：
dA F dr F rd sin Md
o
A
I 00 ( I 0 mR2 )
I 00 I 0 mR2
B
O
R
C
机械能守恒
1 1 2 1 2 2 I 00 mgR I 0 mv 2 2 2
o
A
B
O
R
上式中的v是小球相对于地的速度，它应为
v (R) vB
2 2
2
vB表示小球在B点时相对于地面的竖直分速度(即相对于环的速度)。
I=常量
定轴转动的物体如果是刚体，则角速度恒定
定轴转动的物体如果不是刚体
若I增大则减小 I减小则增大
系统定轴转动的角动量守恒
如果是几个物体组成的系统，只要系统所受到的外力矩矢量和为零，系统总角动量守恒
dL M dt

o
转轴存在运动的情况
可以证明：在物体有整体运动的情况下（既有平动又有转动），只要物体所受到的合外力对通过其质心的轴的力矩为零，则物体对这个轴的角动量保持不变。
I 00 R 2 v B 2gR mR2 I 0
2
例题12 长为l、质量为M的匀质杆可绕通过杆一端的水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂，如图所示。有一质量为m的子弹以水平速度射入杆上的A点，并嵌在杆中，oA=2l/3, 求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度; (2) 杆能转过的最大角度。

大学物理角动量.

当质点作一般平面运动时，角动量为：
i Lr p x px
j y py
k 0 ( xp y ypx )k 0
③在直角坐标系中，角动量在各坐标轴的分量为：
i Lrp x px
j y py
k z pz
Lx ( ypz zp y ) Ly ( zpx xpz ) Lz ( xp y ypx )
5.2 刚体的定轴转动质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点的情况是不够的。
刚体（rigid body）是一种特殊的质点系，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体。
T
l
R
c
o
1
解：摆球受力如图
以O为参考点
m
mg
重力矩
M R mg
υ
M Rmg 逆时针张力矩 M RT
M RT sin 90 θ RT cos θ Rmg 顺时针
0

对O点的合力矩为零，角动量守恒。
2
以C为参考点
重力矩：
M l mg
M lmg sinθ
张力矩
M l T 0
夹角: π
对C点的合外力矩不为零，角动量不守恒。
例题一颗地球卫星，近地点181km，速率 8.0km/s，远地点327km，求该点的卫星速率。解：角动量守恒
且则近地点 v1 r1 远地点 v2
因此掠面速度相等:
1 1 2 dS 2 vt OH 1 vr sin r 常量 2 2 dt t