离散型随机变量及其分布函数_图文
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第二章第一讲随机变量及其分布律(离散型)PPT课件
例7 一射手的命中率为0.6, 连续向一目标射击 三次, 则命中的次数X ～B( 3, 0.6). ΩX ={ 0, 1, 2, 3 }.
若以 Ai 表示第 i 次命中, i =1, 2, 3, 则
P( X 0) P A1 A2 A3 (0.4)3 C30 (0.6)0 (0.4)3 P( X 1) P A1 A2 A3 P A1A2 A3 P A1 A2 A3
我们可以把可能的身高看作 随机变量X,
然后我们可以提出关于X的各种问题. 如 P(X>1.7) =？ P(X≤1.5) =?
P(1.5<X<1.7) =?
第二章 第一讲 随机变量及其分布律（离散型）
可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变 量这个更广的概念内. 也可以说，随机事件是从静态 的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的 观点，就象高等数学中常量与变量的区别那样.
3 (0.6)(0.4)2 C31(0.6)1(0.4)2
P( X 2) P A1A2 A3 P A1 A2 A3 P A1A2 A3
3 (0.6)2 (0.4) C32 (0.6)2 (0.4)1 P( X 3) P( A1A2 A3 ) (0.6)3 C33 (0.6)3(0.4)0
(1) X 0,1, 2,3,...... 问：P( X 10) ? (2) T t,t [0, ) P(100 X 1000) ?
(3) X 0,1,2,3,..., n 问：每日平均售多少朵？
第二章 第一讲 随机变量及其分布律（离散型）
例1 将一枚硬币抛掷两次, X 表示正面向上的次数, 则有如下对应关系:
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2,...n
若以 Ai 表示第 i 次命中, i =1, 2, 3, 则
P( X 0) P A1 A2 A3 (0.4)3 C30 (0.6)0 (0.4)3 P( X 1) P A1 A2 A3 P A1A2 A3 P A1 A2 A3
我们可以把可能的身高看作 随机变量X,
然后我们可以提出关于X的各种问题. 如 P(X>1.7) =？ P(X≤1.5) =?
P(1.5<X<1.7) =?
第二章 第一讲 随机变量及其分布律（离散型）
可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变 量这个更广的概念内. 也可以说，随机事件是从静态 的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的 观点，就象高等数学中常量与变量的区别那样.
3 (0.6)(0.4)2 C31(0.6)1(0.4)2
P( X 2) P A1A2 A3 P A1 A2 A3 P A1A2 A3
3 (0.6)2 (0.4) C32 (0.6)2 (0.4)1 P( X 3) P( A1A2 A3 ) (0.6)3 C33 (0.6)3(0.4)0
(1) X 0,1, 2,3,...... 问：P( X 10) ? (2) T t,t [0, ) P(100 X 1000) ?
(3) X 0,1,2,3,..., n 问：每日平均售多少朵？
第二章 第一讲 随机变量及其分布律（离散型）
例1 将一枚硬币抛掷两次, X 表示正面向上的次数, 则有如下对应关系:
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2,...n
第1部分 第二章 §1 离散型随机变量及其分布列
能在号码为 1,2,3,4,5 的 5 个球中取．
所以，P＝(X＝6)＝CC2536＝12
(8 分)
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所以，随机变量X的分布列为
X＝xi 3 4
5
P(X＝xi)
1 20
3 20
3 10
6 1 2
(10分)
返回
[一点通] (1)求离散型随机变量的分布列关键是搞清 离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件，然后利 用排列组合知识求出X取每个值的概率，最后列出分布 列．
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，(4 －k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.
(3)X的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j)表示投掷 甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点，且骰子乙得j点，则X ＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)， (2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．
返回
问题3：试用表格表示X和P的对应关系． 提示：
X1 2 3 4
P
1 6
1 6
1 6
1 6
56
11 66
问题4：试求概率和． 提示：其和等于1.
返回
1．离散型随机变量的分布列的定义
设离散型随机变量X的取值为a1，a2…，随机变量X取ai
的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：
P(X＝ai)＝ pi (i＝1,2，…)，
(2)求离散型随机变量X的分布列的步骤：首先确定X的 所有可能的取值；其次，求相应的概率P(X＝xi)＝pi；最后 列成表格的形式．
返回
6．在射击的试验中，令 X＝1， 0
射中， 未射中， 如果射中
的概率为 0.8，求随机变量 X 的分布列．
概率论§2.1 随机变量-§2.2离散型随机变量
0, w = (b1 , b2 ), (b1 , b3 ), (b2 , b3 ) 1, w = (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ) X = X (w ) = (a2 , b1 ), (a2 , b2 ), (a2 , b3 ) 2, w = (a1 , a2 )
18
分布函数的性质
(1) F(x)是x的不减函数 ，即
x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 )
(2)
F ( ) = lim F ( x ) = 0
x
F ( ) = lim F ( x ) = 1
x
理解：当x→+时,{X≤x}愈来愈趋于必然事件. (3)右连续性: 对任意实数 x0 ,
P ( X x ) = 1 P ( X x ) = 1 F ( x );
21
例1 设F1 ( x )与F2 ( x )分别为随机变量X 1与X 2
的分布函数，为了使 ( x ) = aF1 ( x ) bF2 ( x ) F
是某一随机变量的分布函数，则下列各组值 中应取（A）
3 2 ( A) a = , b = 5 5
连续型随机变量
如：“电视机的使用寿命”，实际中常遇到 的 24 “测量误差”等。
§2.2 离散型随机变量及其分布
定义 如果随机变量X 只取有限个或可列无限 多个不同可能值，则称X 为离散型随机变量. 例如, 抛一枚硬币，X 可取0,1有限个值。 可知X为一个离散型随机变量。 例如，电话交换台一天内接到的电话个数
F ( x0 0) = lim F ( x ) = F ( x0 )
x x0
19
如果一个函数满足上述三条性质，则一 定是某个随机变量 X 的分布函数。也就是说， 性质(1)-(3)是判别一个函数是否是某个随机 变量的分布函数的充分必要条件。
§2.2离散型随机变量及其概率分布.ppt
2020-11-9
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13
二项分布中最可能的成功次数 的定义与推导
若 P( X k) P( X j), j X 可取的一切值
则称 k 为最可能出现的次数
记 pk P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
pk1 (1 p)k 1 pk p(n k 1)
16
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5
P5000(5) C55000(0.001)5 (0.999)4995
0.1756
2020-11-9
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17
(2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)
P(X 1) 1 P(X 1) 1 P(X 0)
P(2 X 3) F(3) F(2) P( X 2)
2020-11-9
1 3 1 3 42 4
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5
例 袋中有5个球，其中2个白球，3个黑球， 从中随机地一次抽取3个球，求取得白球数的 概率分布．
解 令 表X 示“取得的白球数”，则 可X
能取值为0，1，2，
可以求得的分布律为
P
由图表可见 , 当 k 4 时，
Байду номын сангаас
0.22 •
分布取得最大值
P20(4) 0.22
• • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • x
0 2020-11-9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 谢谢你的观看
20
12
0.2 0.15
0.1 0.05
5
10
15
第二节 离散型随机变量及其分布1
概率论与数理统计
广
东
工
业
广
大 学
东 工 业
主讲教师：
大 学
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第二章 随机变量
§1 随机变量及其分布函数 §2 离散型随机变量及其分布 §3 连续型随机变量及其分布 §4 随机变量函数的分布
广 东 工 业 大 学
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§2 离散型随机变量及分布
一、离散型随机变量的定义
有些随机变量，它全部可能取的值只有有限 个，或者，虽然有无限多个可能的值，但这些值 可以无遗漏地一个接一个地排列出来（即可列 个），称这种随机变量为离散型随机变量。
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现
“成功”（事件A发生）次数ξ的概率分
布.
在解应用题时需要注意判断问题是否
为贝努利概型，可否用二项分布求解. 广 东 工 业 大 学
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例 医生对5个人作某疫苗接种试验，设已知对试验反应呈阳性的
概率为p＝0.45，且各人的反应相互独立。若以 记反应为阳性的人数。 （1）写出 的分布律；（2）恰有3人反应为阳性的概率；（3）至少有2
0.453(1
0.45)2
0.276;
广
(3)至 少 有2人 反 应 呈 阳 性 的 概 率 是
东 工
P( 2) 1 p( 0) p( 1)
业 大
1
(1
0.45)
5
C
1 5
0.45(1
0.45)4 0.744.
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学
若X : b(n,p)，则明显地成立以下公式：
1.在n重贝努利 试验中，事件A发生的次 数在k1与k2之间的概 率是
下面求P{ξ=k}
广
东
工
业
广
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第二章 随机变量
§1 随机变量及其分布函数 §2 离散型随机变量及其分布 §3 连续型随机变量及其分布 §4 随机变量函数的分布
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§2 离散型随机变量及分布
一、离散型随机变量的定义
有些随机变量，它全部可能取的值只有有限 个，或者，虽然有无限多个可能的值，但这些值 可以无遗漏地一个接一个地排列出来（即可列 个），称这种随机变量为离散型随机变量。
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现
“成功”（事件A发生）次数ξ的概率分
布.
在解应用题时需要注意判断问题是否
为贝努利概型，可否用二项分布求解. 广 东 工 业 大 学
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例 医生对5个人作某疫苗接种试验，设已知对试验反应呈阳性的
概率为p＝0.45，且各人的反应相互独立。若以 记反应为阳性的人数。 （1）写出 的分布律；（2）恰有3人反应为阳性的概率；（3）至少有2
0.453(1
0.45)2
0.276;
广
(3)至 少 有2人 反 应 呈 阳 性 的 概 率 是
东 工
P( 2) 1 p( 0) p( 1)
业 大
1
(1
0.45)
5
C
1 5
0.45(1
0.45)4 0.744.
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若X : b(n,p)，则明显地成立以下公式：
1.在n重贝努利 试验中，事件A发生的次 数在k1与k2之间的概 率是
下面求P{ξ=k}
离散型随机变量及其分布率.ppt
（1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果
且P(A)=p ，P( A) 1 p ；
2019/11/13
（3）各次试验相互独立。 15
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功” 次数X的概率分布.
若X的分布律为：
P{X k} Cknpkqnk , k 0,1,2,n 则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。
现“4”点的次数。
不难求得，X的概率分布是：
P{
X
k}C
k 3
(
1 6
)k
(
5 6
)3
k
,
k0,1,2,3
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一般地，设在一次试验中只考虑两个互逆的结果， 或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”。
掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”
新生儿：“是男孩”，“是女孩”
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
2019/11/13
27
上面我们提到 二项分布 n很大, p 很小 泊松分布
2019/11/13
28
例 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,设每 辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率0.0001, 在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故 的次数不小于2的概率是多少? 解 设1000 辆车通过,出事故的次 数为 X , 则 X ~ b(1000, 0.0001),
1, 若第 i 次试验成功 Xi 0, 若第 i 次试验失败,
(i 1,2,,n)
它们都服从 (0 1) 分布并且相互独立, 那末
X X1 X2 Xn 服从二项分布,参数为(n, p).
第五节离散型随机变量及其分布列课件共44张PPT
解：(1)P(A)＝1－CC31340·123＝223490， 所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率 为223490. (2)由题可知X可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝CC34C13006＝310，P(X＝1)＝CC24C13016＝130， P(X＝2)＝CC14C13026＝12，P(X＝3)＝CC04C13036＝16. 所以随机变量X的分布列为
故X的分布列为
X 200
300
400
P
1 10
3 10
3 5
求离散型随机变量X的分布列的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1，2， 3，…，n)． (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi. (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或 某事件的概率是否正确． 提醒：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机 变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数 原理、古典概型等知识．
6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的， 从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球 个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．
解析：由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球， 故P(X＝4)＝CC23C13219＝22270.
答案：22270
考点1 离散型随机变量的分布列的性质
1 3
k
，k＝1，
2，3，则a的值为( )
A．1
B．193
C．1113
D．2173
解析：因为随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a
1 3
k
(k＝
1，2，3)，
所以根据分布列的性质有a×13＋a132＋a133＝1，
所以a13＋19＋217＝a×1237＝1.所以a＝2173. 答案：D
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5.超几何分布
设X的分布律为
说明 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.
三、内容小结
1.常见离散型随机变量的分布 两点分布 二项分布 泊松分布
几何分布 超几何分布
两点分布
二项分布
泊松分布
则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.
定义 说明
离散型随机变量的分布律也可表示为 或
例1 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号
灯.每盏灯以
的概率禁止汽车通过.以
表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信
号灯的工作是相互独立的），求 的分布律.
Байду номын сангаас
离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系 ：
也就是： 分布律
分布函数
二、常见离散型随机变量的概率分布
1.两点分布
设随机变量 X 只取0与1两个值 , 它的分布律为
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布或伯努利分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
离散型随机变量及其分布函数_图文.ppt
一、离散型随机变量的分布函数
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它 (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个
或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
实例1 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命 中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放射出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)，发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.
在生物学、医学、工业统计、保险科学及
公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.
例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电
4. 几何分布
若随机变量 X 的分布律为
则称 X 服从几何分布. 实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有 放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品 数目 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.
解
所以 X 服从几何分布. 说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.
实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 的次数”, 则 X 的所有可能取值为:
(2)连续型 若随机变量所有可能的取值可以连续 地充满某个区间,则称其为连续型随机变量. 实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”. 则 X 的取值范围为 实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测误差”.
话呼唤次数等都服从泊松分布.
地震
火山爆发
特大洪水
在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
泊松定理 证明
上面我们提到 二项分布 n很大, p 很小 泊松分布
2.二项分布
若X的分布律为：
称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为 ,其中q＝1－p
二项分布
两点分布
例2
分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
解
图示概率分布
例3 解
因此
3. 泊松分布
泊松分布的背景及应用