理论力学9-刚体动力学
大连理工大学理论力学第9课
求：a|t=0，a|t=2min。
注：两种情况下的加速度方向？
例题5
求：点运动轨迹的曲率半径ρ
已知：点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m，z=4t m。
解：由点M的运动方程，得
v x x 8 cos 4 t , a x x 32 sin 4 t
v y (l a ) cos t
a x v x x l a 2 cos t a y v y y l a 2 sin t
a a a
2 x 2 y 2 4 sin 2 t l a 4 cos 2 t (l a） 2
例题4 已知：R=800m=常数，at=常数，v|t=0= v0=0，
v|t=2min= 54km/h。 解：列车作曲线加速运动，取弧坐标如图。 由at=常数，v0=0，有v=att v 15m s at = 0.125m s 2 t 120s 2 a a 0.125m s t 0, a 0 ① t n ② t 2min 120s v 2 (15m s) 2 an = 0.281m s 2 R 800m
0 0 t t
t
2
dt 4r (1 cos
t
2
)
(0 t 2 )
y
M O
φO
1
O1
C
x
v x x r 1 cos t , 例题6 已得：
2 x 2 y
v y y r sin t
t v v v 2 r sin （0 t 2 ) 2
加速度
理论力学-9-动量定理及其应用
y
解法1：建立Oxy坐标系，在角度q为任意值的情形下
vA
yA 2lsin q
A
xB 2lcosq
vA yA 2lqcosq 2lcosq
vB xB 2lqsinq 2lsin q
Oθ
vB
B
p mivi
i
p mAvA mBvB
p mAvA mBvB
x
2lmcosq j 2lmsinq i
l
cost
例题 3
2．求作用在O轴处的最大水平约束力
y
由质心运动定理
A
O
C
B
l/2
x
&x&C
m1 2(m1
2m2 2m3 m2 m3 )
lω2
cos
ωt
D
Fox
MaCx
(m1
2m2
2m3 )
lω2 2
cos ωt
当 cosωt 1 时，水平约束力最大，其值为
Fox,max
Macx
(m1
2m2
隔板
水池
？抽去隔板后将会
发生什么现象
水
光滑台面
第9章 动量定理及其应用
？ 二人在太空中拔河，
初始静止，同时用尽 全力相互对拉。若A 的力气大于B的力气， 则拔河的胜负将如何？
第9章 动量定理及其应用
9.1 动量定理与动量守恒 9.2 质心运动定理 9.3 综合应用举例 9.4 结论与讨论
第9章 动量定理及其应用
2lm(-sinq i cosq j)
9.1.1 质点和质点系的动量
例题 1
解法2： 质点系的质心在C处，其速度大小为
A vC
哈工大理论力学教案 第9章
解:1, AB作平面运动 作平面运动
基点: 基点: A
2,
vB = vA + vBA ? √ √
大 ? vA 小 方 √ 向
vB = vA cot
vA vBA = sin
vBA vA ωAB = = l l sin
如图所示平面机构中, 例9-2 如图所示平面机构中,AB=BD= DE= l=300mm.在图示位置时,BD‖AE,杆AB的角速度为 .在图示位置时, , 的角速度为 ω=5rad/s. . 此瞬时杆DE的角速度和杆 中点C的速度 的角速度和杆BD中点 的速度. 求:此瞬时杆 的角速度和杆 中点 的速度.
解:1, AB作平面运动 作平面运动 2, vB = vA + vBA
大 ? ωr ? 小 方 √ 向
= 60
基点: 基点:A
√
√
vB = vA cos 30 = 2 3ωr 3
= 0
vB = 0
= 90
vB = vA = ωr, vBA = 0
如图所示的行星轮系中,大齿轮Ⅰ固定, 例9-4 如图所示的行星轮系中,大齿轮Ⅰ固定,半 径为r 行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动,半径为r 径为 1 ,行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动,半径为 2. 系杆OA角速度为 系杆 角速度为 ωO . 的角速度ω 及其上B, 两点的速度. 求:轮Ⅱ的角速度 Ⅱ及其上 ,C 两点的速度.
解:1 , BD作平面运动 作平面运动
2, vD = vB + vDB 大 ? ωl 小 方 √ 向 √ ? √
基点: 基点:B
vD = vDB = vB =ωl
vD vB ωDE = = = ω = 5rad s DE l vDB vB ωBD = = = ω = 5rad s BD l
理论力学课后习题答案-第9章--动量矩定理及其应用)
习题9－2图习题20-3图习题20-3解图OxF Oy F gm Ddα第9章 动量矩定理及其应用9－1 计算下列情形下系统的动量矩。
1. 圆盘以ω的角速度绕O 轴转动，质量为m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处（图a ）；求小球对O 点的动量矩。
2. 图示质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。
轮心为A ，质心为C ，且AC = e ；轮子半径为R ，对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上（图b ）。
（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩。
解：1、2s m L O ω=（逆）2、（1）)1()(Remv e v m mv p A A C +=+==ωRv me J R e R mv J e R mv L A A A C C B)()()(22-++=++=ω（2）)(e v m mv p A C ω+==ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++=9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动，其大、小半径分别为R 、r ，对O 轴的转动惯量为J O ；物块A 、B 的质量分别为m A 和m B ；试求系统对O 轴的动量矩。
解：ω)(22r m R m J L B A O O ++=9－3 图示匀质细杆OA 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。
若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O 处的约束力。
不计铰链摩擦。
解：令m = m OA = 50 kg ，则m EC = 2m 质心D 位置：（设l = 1 m) m 6565===l OD d 刚体作定轴转动，初瞬时ω=0l mg lmg J O ⋅+⋅=22α222232)2(212131ml ml l m ml J O =+⋅⋅+=即mgl ml 2532=α2rad/s 17.865==g l α gl a D 362565t =⋅=α 由质心运动定理： Oy D F mg a m -=⋅33t4491211362533==-=mg g mmg F Oy N （↑） 0=ω，0n=D a ， 0=Ox F习题9－1图(a)v (b)（b ） 习题9－5解图习题9－5图J 9－4 卷扬机机构如图所示。
理论力学第九章刚体的平面运动
O 基点
转角
基点的选取是任意的，平面图形的位置可由O’点 坐标及直线O’M与x’的夹角φ 完全确定。 基点的选择不同，其运动方程9-1a不同，平面图形随基 点平移的速度和加速度也不同。但平面图形绕不同基 点转动的角速度和角加速度却完全相同。证明如下
f (t ) f (t ) 3 3
结 论
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面L上的运动。
6
2、运动分析
思考
刚体平面运动是复杂运动，考虑是否可以用 简单运动合成来分析？
Oxy 平移坐标系(动系) 平面运动=随 Oxy 的平移+绕 O 点的转动
=
+
7
3 运动方程
xO f1 t 9-1a yO f 2 t f3 t 9-1b
vB AB = vA
OA
vD
vB
vB
cos30 2 CD作定轴转动（C）
0.2309 m s
vE
vA
vB vD CD 3vB 0.6928 m s CB
vD vE DE = vD ,vE cos 30 vD , vE cos 30 0.8 m s
第九章 刚体的平面运动
本章重点：刚体平面运动的基本概念，求平面图形上各 点的速度与加速度的基点法，以及求速度的 速度投影法和瞬心法，运动学的综合应用。
1
刚体平面运动举例：行星齿轮中小齿轮运动情况
2
车轮运动情况
3
观察曲柄滑块机构中连杆AB的运动情况
4
§ 9-1
1、概念
刚体平面运动的概述和运动分解
30
南航理论力学习题答案9(1)
第九章刚体的平面运动1．平面运动刚体相对其上任意两点的（ ）。
① 角速度相等，角加速度相等② 角速度相等，角加速度不相等③ 角速度不相等，角加速度相等④ 角速度不相等，角加速度不相等正确答案：①2．在图示瞬时，已知O 1A = O 2B ，且O 1A 与O 2 B 平行，则（ ）。
① ω1 = ω2，α1 = α2② ω1≠ω2，α1 = α2③ ω1 = ω2，α1 ≠α2④ ω1≠ω2，α1 ≠α2正确答案：③3．设平面图形上各点的加速度分布如图①~④所示，其中不可能发生的是（ ）。
正确答案：②4．刚体平面运动的瞬时平动，其特点是（ ）。
① 各点轨迹相同；速度相同，加速度相同② 该瞬时图形上各点的速度相同③ 该瞬时图形上各点的速度相同，加速度相同④ 每瞬时图形上各点的速度相同正确答案：②5．某瞬时，平面图形上任意两点A 、B 的速度分别v A 和v B ，如图所示。
则此时该两点连线中点C 的速度v C 和C 点相对基点A的速度v CA 分别为（ ）和（ ）。
① v C = v A + v B ② v C = ( v A + v B )/2③ v C A = ( v A - v B )/2 ④ v C A = ( v B - v A )/2正确答案：② ④α1α2 ①②③④6．平面图形上任意两点A 、B 的加速度a A 、a B 与连线AB 垂直，且a A ≠ a B ，则该瞬时，平面图形的角速度ω和角加速度α应为（ ）。
① ω≠0，α ≠0② ω≠0，α = 0③ ω = 0，α ≠0④ ω = 0，α = 0正确答案：③7．平面机构在图示位置时，AB 杆水平，OA 杆鉛直。
若B 点的速度v B ≠0，加速度τB a = 0，则此瞬时OA 杆的角速度ω和角加速度α为（ ）。
① ω = 0，α ≠0② ω≠0，α = 0③ ω = 0，α = 0④ ω≠0，α ≠0正确答案：②8．在图示三种运动情况下，平面运动刚体的速度瞬心：（a ）为（ ）；（b ）为（ ）；（c ）为（ ）。
第九章刚体的平面运动_理论力学
刚体作平面运动时，任意瞬时，平面图形上存在 且仅存在一个点，在此瞬时该点的绝对速度为零，称该点为此瞬时刚体的瞬时速度中心， 或 称速度瞬心（简称瞬心） ，此瞬时刚体上其他各点的速度分布规律等效于此瞬时图形以刚体 的角速度 绕 瞬 心 作 定 轴 转 动 时 的 速 度 分 布 一 样 。 如 图 9-11 （ b ） 所 示 。
例 9-1 图 9-18 所示曲柄连杆机构。 已知
，
。 ① 求图示位置连杆 AB 之瞬心；
② 求 OA 在铅垂位置时连杆 AB 之运动特点。
解：① 分析各构件运动， OA 绕 O 作定轴转动， ，方向如图示；AB 杆作平面运动；B 点作直线运动。VB 沿 OB 方向，属于已知 两点速度方位，过 A、B 两点分别作 vA 和 vB 的垂线,其交点 C 即为图示瞬时之瞬心 C 。 ② 当 OA 位于铅垂位置时的情形。如图 9-19 所示。此时 vA∥vB ，但与 AB 不垂直，
由定义不难推出， 在刚体运动过程中， 由此推出以下结论。
的运动 （见§7-1.2） 。
结。
刚体平面运动方程式 现在来描述平面图形 在空间的位置。 （1）在图形上作直线 （2）运动方程式 ，只需确定 的位置就可以确定 的位置。见图 9-6
（9-1） §9-2 平面运动分解为平动和转动
因此式（9-2）改写成： (9-3) 其中：vM 为动点 的绝对速度
vA 为基点的速度（相对于定系） vMA 为动点 见图 9-9，则 (9-4) 2. 速 度 投 影 定 理 -- 速 度 分 析 的 第 二 种 方 法 （ 亦 称 " 基 点 法 的 推 论 " ） 相对于基点 的速度 （相对速度） ,若在平面运动刚体上另取一点 B ，
这样，平面运动分解成跟随基点的平动和相对于基点的转动。这种分解方法称为基点法。 2. 基点法的特点 （1）平动部分与基点选择有关。 （2）转动部分与基点选择无关。读者试用作图方法验证之。 （3）相对于动系转动的角速度 形的角速度，与基点选择无关。 §9-3 平面运动刚体上各点的速度分析 。由于是平动动系，所以 。称为图
理论力学中的动力学分析
理论力学中的动力学分析在理论力学中，动力学是研究物体受力作用下的运动规律和力的作用关系的学科。
它是力学的一个重要分支，与静力学相对应。
动力学分析通过运用物理学理论和数学方法，揭示了物体运动的规律和力的作用方式。
本文将就理论力学中的动力学分析进行探讨。
动力学分析的基本原理在于牛顿运动定律。
牛顿第一定律指出：任何物体都具有惯性，即物体在没有外力作用时将保持静止或作匀速直线运动。
该定律为动力学分析提供了基础。
其次，牛顿第二定律指出：物体的运动状态随受力而改变，物体所受合力等于物体质量乘以加速度。
这一定律在动力学分析中起着至关重要的作用。
最后，牛顿第三定律表明：力的作用总是成对出现，且大小相等、方向相反，这被称为作用-反作用定律。
动力学分析中，必须考虑到这个定律以正确分析物体间的相互作用。
动力学分析主要关注以下几个方面：质点的运动、刚体的运动、动力学方程的建立和解法以及力的分析。
首先，在质点的运动中，动力学分析需要确定质点所受的合力，以及由此产生的加速度和运动规律。
对于匀加速运动、自由落体等常见情况，可以通过简单的公式进行分析；而对于复杂的情况，例如曲线运动或非匀加速运动，则需要运用微积分和矢量分析等数学工具进行求解。
其次，在刚体的运动中，动力学分析需要考虑刚体的平动和转动。
对于平动，需要计算刚体所受的合力和合力矩，以及由此产生的加速度和角加速度。
对于转动，需要考虑刚体的转动惯量和角速度，以及刚体所受的力矩。
然后，在动力学分析中，建立和解动力学方程是至关重要的。
根据牛顿第二定律，通过建立物体所受力的合力和合力矩与物体质量、加速度以及惯性矩之间的关系，可以得到动力学方程。
解动力学方程可以推导出物体的运动规律和力的作用方式，进一步分析物体的运动状态。
最后，在力的分析中，动力学分析需要考虑力的种类、力的大小和方向以及力的作用点。
常见的力包括重力、摩擦力、弹力等。
力的分析可以揭示物体间相互作用的规律，为动力学分析提供了重要的依据。
刚体动力学的基本概念
刚体动力学的基本概念第二篇动力学第五章刚体动力学的基本概念一、目的要求 1．深入地理解力、刚体、平衡和约束等重要概念。
2．静力学公理（或力的基本性质）是静力学的理论基础，要求深入理解。
3. 能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影，对合力投影定理有清晰的理解。
4. 理解力对点之矩的概念，并能熟练地计算。
5．深入理解力偶和力偶矩的概念，明确力偶的性质和力偶的等效条件。
6．明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法。
7．熟练而正确地对单个物体与物体系统进行受力分析，画出受力图。
二、基本内容 1．重要概念 1）平衡：物体机械运动的一种特殊状态。
在静力学中，若物体相对于地面保持静止或作匀速直线平动，则称物体处于平衡。
2）刚体：在力作用下不变形的物体。
刚体是静力学中的理想化力学模型。
3）约束：1/ 11对非自由体的运动所加的限制条件。
在刚体静力学中指限制研究对象运动的物体。
约束对非自由体施加的力称为约束反力。
约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向相反。
4）力：物体之间的相互机械作用。
其作用效果可使物体的运动状态发生改变和使物体产生变形。
前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应，理论力学只研究力的外效应。
力对物体作用的效应取决于力的大小、方向、作用点这三个要素，且满足平行四边形法则，故力是定位矢量。
5）力的分类：集中力、分布力；主动力、约束反力 6）力系：同时作用于物体上的一群力称为力系。
按其作用线所在的位置，力系可以分为平面力系和空间力系，按其作用线的相互关系，力系分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系等等。
7）等效力系：分别作用于同一刚体上的两组力系，如果它们对该刚体的作用效果完全相同，则此两组力系互为等效力系。
8）平衡力系：若物体在某力系作用下保持平衡，则称此力系为平衡力系。
9）力的合成与分解：若力系与一个力FR等效，则力FR称为力系的合力，而力系中的各力称为合力FR的分力。
理论力学9—动量矩定理
F r y
r
x
O
y
O x h
LO = M O (mv ) r mv
与空间力F 对z 轴的矩类似
z
MO (mv )
mv
Mz (F) MO( Fxy)=+ Fxy d
z A O d x
F
B y
r
x
Od
y mv xy
2°质点对z 轴的动量矩定义: 质点的动量在与z轴垂直平面 上的分量对O点(轴与平面交 点)的矩.
第 9 章
动量矩定理
O
w
C
P=mlω/2
vC
A C vC
vC=0
P=mvC
w
C
P=0
动量定理 ( 质心运动定理 ) 描述了动量的变化和 外力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规 律的一个侧面。 质点系机械运动的变化与外力系对质心的主矩 的关系将由本章的动量矩定理给出。它揭示了 物体机械运动规律的另一个侧面。
质点系对某定轴的 动量矩对时间的导 数, 等于作用于质 点系的外力对于同 一轴之矩的代数和。
n (e) d LO M O ( Fi ) dt i 1
9.2.3 动量矩守恒定律 1. 质点动量矩守恒定律
d M O ( mv ) M O ( F ) dt
d M x ( mv ) M x ( F ) dt
Lz M z (mi vi ) mi vi ri
z
miwrr i i w mi r i
2
令 Jz＝Σmi ri2 称为刚体对z 轴的转动惯量, 于是得
Lz J zw
即: 绕定轴转动刚体对其转轴的 动量矩等于刚体对转轴的转动惯 量与转动角速度的乘积。
理论力学：第9章 动能定理
δ。小球运动时所受的力有重力 FP 和弹性力 F。当小球由 O 运
动到 B 时，重力 FP 所做的功等于 FPδ；至于弹性力 F 所做的
功，在式（9-9）中令
δ1=0，δ2=δ，即知为
速不变。已知绞车 І 的半径为 r1，其对轴的转动惯量为 I1；滑轮Ⅱ、Ⅲ的半径各
为 r2 、r3，对轴的转动惯量各为 I2、I3；链带的单位长度重量为 q，全长为 l。试
求在变速和匀速两个阶段，电动机的输出功率。忽略各处摩擦。
FP 2 FP1
例 9-5 图
·9·
解：用功率方程求解，设链带速度为 v，系统总动能、有用功率、无用功率为
如果用微分形式的动能定理求解此题，则要注意到
δ WF
FPdy
k
y 2
d
y 2
δ WF
FP
k 4
y dy
将式（d）和式（h）代入式（9－21），得
d
8FP 3Q 16g
v
2 A
FP
k 4
y
dy
此式两边被 dt 除，同样得到物块 A 的微分方程（g）。
k 2
2
。由质点动能
定理得 即
0
1 2
FP g
v02
FP
k 2
2
k
2
2FP
FP g
v02
0
解得
1 k
理论力学复习总结(知识点)
第一篇静力学第1 章静力学公理与物体的受力分析1.1 静力学公理公理 1 二力平衡公理：作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反且作用于同一直线上。
F=-F’工程上常遇到只受两个力作用而平衡的构件，称为二力构件或二力杆。
公理 2 加减平衡力系公理：在作用于刚体的任意力系上添加或取去任意平衡力系，不改变原力系对刚体的效应。
推论力的可传递性原理：作用于刚体上某点的力，可沿其作用线移至刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
公理 3 力的平行四边形法则：作用于物体上某点的两个力的合力，也作用于同一点上，其大小和方向可由这两个力所组成的平行四边形的对角线来表示。
推论三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
公理4作用与反作用定律：两物体间相互作用的力总是同时存在，且其大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个物体上。
公理5 钢化原理：变形体在某一力系作用下平衡，若将它钢化成刚体，其平衡状态保持不变。
对处于平衡状态的变形体，总可以把它视为刚体来研究。
1.2 约束及其约束力１．柔性体约束２．光滑接触面约束３．光滑铰链约束第2章平面汇交力系与平面力偶系1.平面汇交力系合成的结果是一个合力,合力的作用线通过各力作用线的汇交点,其大小和方向可由失多边形的封闭边来表示,即等于个力失的矢量和,即FR=F1+F2+…..+Fn=∑F2.矢量投影定理：合矢量在某轴上的投影，等于其分矢量在同一轴上的投影的代数和。
3.力对刚体的作用效应分为移动和转动。
力对刚体的移动效应用力失来度量；力对刚体的转动效应用力矩来度量，即力矩是度量力使刚体绕某点或某轴转动的强弱程度的物理量。
（Mo（F）=±Fh）4.把作用在同一物体上大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系称为力偶，记为（F,F’）。
什么是理论力学中的刚体动力学？
什么是理论力学中的刚体动力学？在我们探索理论力学的广袤领域时，刚体动力学就像一座神秘而重要的城堡，等待着我们去揭开它的面纱。
那么，究竟什么是理论力学中的刚体动力学呢？简单来说，刚体动力学研究的是刚体在力的作用下的运动规律。
刚体，就是在运动中和受力作用后，形状和大小都不发生改变的物体。
想象一下一块坚硬无比的金属块，无论我们怎么对它施加力，它都不会像面团一样变形，这就是刚体的概念。
在日常生活中，我们能看到很多刚体动力学的例子。
比如一辆飞驰的汽车，车轮的转动、车身的前进，都受到刚体动力学的支配。
再比如旋转的摩天轮，每个轿厢都可以看作是一个刚体，其运动轨迹和速度的变化都遵循着刚体动力学的原理。
刚体动力学中，有几个关键的概念和定律。
首先是力，力是改变物体运动状态的原因。
当一个力作用在刚体上时，会产生加速度，使刚体的运动状态发生改变。
比如推动一个静止的箱子，箱子会在推力的作用下开始移动。
其次是力矩。
力矩是力使物体绕着某个轴转动的趋势。
当一个力不通过物体的质心时，就会产生力矩，导致物体发生转动。
比如用扳手拧螺丝，就是通过施加力矩来使螺丝转动。
然后是转动惯量。
它类似于质量在平动中的作用，是衡量刚体绕轴转动时惯性大小的物理量。
不同形状和质量分布的刚体，转动惯量是不同的。
例如，一个质量分布离轴较远的圆盘，其转动惯量就比质量分布靠近轴的圆盘要大。
牛顿运动定律在刚体动力学中也有相应的扩展。
牛顿第一定律指出，刚体在没有受到外力或所受合外力为零时，将保持静止或匀速直线运动状态。
而牛顿第二定律则表明，刚体所受的合外力等于其质量与加速度的乘积。
对于转动的刚体，也有类似的定律，合外力矩等于转动惯量与角加速度的乘积。
在解决刚体动力学问题时，我们通常需要建立合适的坐标系。
常见的有直角坐标系和极坐标系。
通过对刚体的受力分析，列出相应的运动方程，然后求解这些方程，就可以得到刚体的运动状态，比如速度、加速度、角速度、角加速度等。
让我们通过一个简单的例子来感受一下刚体动力学的应用。
黄安基--第9章 动力学基本定律(1)
网上作业系统1、告知作业网站的网址：222.18.54.19\homework。
2、告知学生用户的初始密码都是：123。
3、开学三周之内改选过教学班的学生，需要同时利用作业系统的“选课”功能更改一下选课，使作业系统中的选课与教务处网站上的选课结果相同。
4、开学后才选课的学生，可先通过作业系统提交一份登录申请，并等候教师审批。
20121121例7-11 导槽滑块机构。
已知：曲柄OA = r ，匀角速度ω转动，连杆AB 的中点C 处连接一滑块C 可沿导槽O 1D 滑动，AB =l ，图示瞬时O 、A 、O 1三点在同一水平线上, OA ⊥AB , ∠AO 1C =θ=300。
求：该瞬时O 1D 的角速度角加速度。
【解】OA , O 1D 均作定轴转动, AB 作平面运动。
（1）研究AB : , 图示位置, 作瞬时平动, 所以ωωr v v r v A c B ===;ωr v A =（2）用合成运动方法，求O 1D 杆上与滑块C接触的点的速度。
动点: AB 杆上C (或滑块C ),动系: O 1D 杆, 静系: 机架绝对运动：曲线运动，方向↓相对运动：直线运动，，方向// O 1D牵连运动：定轴转动，，方向⊥O 1Dωr v v c a ==?=r v ?=e v根据，作速度平行四边形r e a v v v +=ωωθr r v v C e 2330cos cos ==⋅=∴ ωθωωωl r l r C O v C O v e D O D O e 23sin /2231111===∴⋅= 又这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题。
注意事项1、一定要多做题2、讲课顺序基本按照课本顺序；3、做作业时把作业写在纸上，交作业纸，不要交作业本。
不一定要把题全抄写，写清题意即可；但解题过程应尽量详细，养成一个良好习惯；不允许抄袭作业。
做作业时注意应该：单独取出研究对象，所取物体应标注名称、符号，每个力应有标号；画受力图；4、交作业时间为每周周一，要求每人都做作业，但不一定每次都要求全部交，按照要求交。
理论力学第九章刚体的平面运动
v CA
v MA
C
vA
vA vA
v M = v A + v MA
v M = v A − ω ⋅ AM
v 当M在VA垂线上时： MA = ω ⋅ AM 垂线上时：
必可找到一点C： v C = 0 (v A = v CA ) v AC v A ⇒ AC = =
ω
ω
15
2、平面图形内各点的速度分布
小 A 大 ? ω ⋅O = ω r2 0 Ⅱ 方 ? 向 √ √
2 2 vB = vA +vBA
vB
vA
v CA v A
vC
v BA v A
= 2ω (r +r2 ) O 1
vB与 A夹 为 o， 向 图 v 角 45 指 如
4 vC =vA +vCA vC =vA +vCA = 2 O(r +r ) ω 1 2
向 方 √
√ √
8
ω DE
[例9-3]曲柄连杆机构如图所示，OA =r,AB= 3 。如 3]曲柄连杆机构如图所示， 曲柄连杆机构如图所示 r 转动。 曲柄OA以匀角速度ω转动。 0o 90 点 的 度 求 当 =60o，， o时 B 速 。 ： ϕ
vA
vA
解：1 AB作平面 运动, 基点： 运动, 基点：A
6
2、例题分析
轴的负向运动， [例9-1] 椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示， 如图所示，AB=l。求：B端的速度以及尺AB的角速度。 。 的角速度。 解：1、AB作平面运动, 作平面运动, 作平面运动 基点: 基点: A
vB
v BA
2 vB = vA +vBA
理论力学 动力学基本方程(共25张PPT)
t
0
，x
xo，v
v
，试求质点的运动规律。
o
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程。
舰载飞机在解发动：机和此弹射题器推力力 求运动，属于动力学第二类问题，且力为时间的函
假设推力和跑道可能长度，那么需要多大的初速度和一定的时间隔后才能到达飞离甲板时的速度。
数。质点运动微分方程为 (2) 力是改变质点运动状态的原因
惯性参考在系工程实际问题中，可近似地选取与地球相固连的坐标系
为惯性参考系。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
§9-2 质点的动力学根本方程
将动力学基本方程 (ma F) 表示为微分形式的方程，
称为质点的运动微分方程。
1.矢量形式 2.直角坐标形式
d 2r m dt2 F
d 2 x
d 2y
综合问题： 局部力，局部运动求另一局部力、局部运动。
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理论力学
第九章 动力学基本方程
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
假设推力和跑道可能长度， 那么需要多大的初速度和 一定的时间隔后才能到达 飞离甲板时的速度。
载人飞船的交会与对接
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
动的初始条件，求出质点的运动。
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
§9-1 动力学根本定律
(3) 质量是物体惯性大小的度量。 ②受力分析,画出受力图 曲柄OA以匀角速度 转动,OA=r,AB=l,当
理论力学课件 对定点的动量矩定理,刚体定轴转动的动力学方程
力对轴的矩
10.1 对定点的动量矩定理
动量矩定理平面的情况
平面上对点的动量矩
∑ dLO =
dt
MO
平面上力对点的矩
10.2 刚体定轴转动动力学方程
刚体定轴转动动力学方程
LO = JOω
JOα = M O
条件：转轴垂直质量对称平面
10.2 刚体定轴转动动力学方程
例10-3 均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮
mg
研究对象：质点系。其矢量式不管刚体做什
么运动？
JOα = M O
P
上式针对刚体定轴转动的推导公式。适用范
a
围是一个刚体做定轴转动。且转轴垂直质量
mg
对称平面。
10.2 刚体定轴转动动力学方程
思考题 什么条件下，半径为R质量为m的滑轮两端绳 子拉力相等。
JOα = M O = F1R − F2R = 0
在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物 质量为m。求重物下落的加速度。
FOy
ω
解法1：对定点的动量矩定理(系统)
L O = J O ω + mvR
O
FOx
JO
=
1 mR 2
2,
ω
=
v R
LO
=
1 2
mR
2
v R
+
mvR
= 3 mRv 2
应用对定点的动量矩定理(顺时针为正) L& O = M O
3 mRa = mgR 2
mg − FT = ma (2)
FT
补充运动学条件
a = Rα (3)
联立(1) (2) (3)式,解得
a= 2g 3
P FT
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RA
ω, ε C
RO
F2
Fm
19/38
第 9章
21/38
第 9章
23/38
刚体动力学 刚体动力学 刚体动力学
刚体动力学
l
l
rc
y
rc
y
L d O ω LO M O rOA R A dt
O
轴承动反力反映了刚体对转轴 的动力不对称性
20/38
O
x
x
定轴转动刚体的动反力
动反力等于静反力的条件
yC 2 xC 0 2 yC xC 0
例 9-3
第 9章 已知：旋转对称刚体的三个中心主转动惯量为 J1、 J1 、 J3 ，在转轴AB上有安装偏角α。 求：以角速度 匀速转动时A、B轴承的动反力
xC yC 0
刚体动力学
LCr J C ω
其中 J C mi [ i2 I i i T ]
2 2 1 ω ( ρi mi vir ) 1 ω LCr 2 2
7/38
第 9章
9/38
第 9章
11/38
刚体动力学 刚体动力学 刚体动力学
刚体动力学
2 相对运动动能 Tr 1 mi vir 1 mi vir (ω ρi )
6/38
1
刚体相对于质心平动系的动量矩和动能
第 9章 相对质心动量矩
LCr ρi mi vir mi ρi (ω ρi )
mi [ i2ω ρi ( ρi ω)]
例 9-1
第9章 均质细杆绕z轴匀速转动，质量为m，求: 1. 杆对O点的惯量矩阵 2. 杆对O点的动量矩 z 3. 杆的动能
0
0 0 1 mR 2 2
14/38
JO是实对称阵，必存在三个实特征值（即为 主转动惯量），相应的特征向量就是三个惯 性主轴。
定点运动刚体的动力学方程
dLO (e) MO dt
L d (e) O ω LO M O dt
欧拉动力学方程
第 9章
固连坐标系为主轴坐标系
上式非常复杂，是否有简化形式？
讨 讨论：若外力系的主矩是角速度和时间的函 若外力系 矩 角 度 时 函 数，则可由欧拉动力学方程求解角速度，再 由欧拉运动学方程积分得到欧拉角； 若外力系的主矩还是欧拉角的函数， 则需要联立欧拉动力学方程和欧拉运动学方 程求解。 cos sin sin
L d (e) C ω LC M C dt
9.2 定轴转动刚体的动反力
讨论：如果两个力系的主矢量和对质心的主 矩相等，则在这两个力系作用下刚体质心的 运动和绕质心的定点运动完全相同，因此两 个力系等效。
3
定轴转动刚体的动反力
第 9章 固定坐标系 O 固连坐标系 Oxyz 在固连坐标系中 ] T ε [0 0 ] T ω [0 0 解除约束，代之以约束反力， 解除约束 代之以约束反力 刚体动力学方程为
固连系中刚体对O点的惯量矩阵
J x J xy J xz r 2 I r r T dm J yx J y J yz JO J J Jz zy zx
5/38
刚体动力学
刚体动力学
转动惯量 J x ( y 2 z 2 ) dm 转
0
m y z
i
i i
0
x
y
中心主轴坐标系，相应的坐标轴称为中心 惯性主轴。
2
例 9-2 用几何法确定中心惯性主轴
第 9章
z
确定惯性主轴的解析法
第 9章 矢量LO与一般不共线： LO = JO 如果 沿某一惯性主轴z： = z k LO =Jz — LO与 共线
c
y
x
b
a
13/38
Lo J o ( J xz z
yห้องสมุดไป่ตู้
解
ωz
J yz z
J z z ) T
J xy J xz J yz J y 0
l
Lo 1 ml 2 z k 3
刚体动力学
3 杆的动能 3. 解法一： T 1 T J o 1 J 2 1 ml 2 z2 2 2 z z 6
2 2 4 0 2
J xz 2 J yz 0 2 J xz J yz 0
J xz J yz 0
定轴转动刚体的动反力等于静反力的充要 条件是，转动轴为刚体的中心惯性主轴
22/38
例 9-3
x sin sin cos y cos z
16/38
刚体一般运动的微分方程
刚体质心的运动（质心运动定理）
C R( e ) mv
刚体相对于质心平动系的运动（相对质心 动量矩定理）
P
m x z
i i i
0
m y z
i
i i
0
刚体动力学
如果均质刚体有对称轴,
惯量矩阵为对角阵的坐标系Oxyz称为主轴
坐标系，相应的坐标轴称为惯性主轴，对 角元称为主转动惯量。
惯量矩阵为对角阵的质心坐标系Cxyz称为
则此轴是轴上各点的惯性 主轴
z
对称轴
m x z
12/38
i i i
刚体动力学
9.3 陀螺近似理论
28/38
规则进动
欧拉角：
莱查定理
Z
y
第 9章
— 进动角 — 章动角 — 自转角
z
O
刚体对定点的动量矩矢量端点在惯性参考系 中的速度，等于外力对同一点的主矩
u M L O LO O
x
Y N(节线)
刚体动力学
刚体动力学
0 , 0 2 , 0 2 X
J z ( x 2 y 2 ) dm
J y ( z 2 x 2 ) dm J xz J zx xz dm
T 1 T J O 2
惯性积
J yz J zy yz dm
J xy J yx xy dm
惯量矩阵是对称阵，它描述物体对点O的质量 分布状况，是表示物体绕点O转动惯性的度量
24/38
4
转子动平衡
第 9章 动不平衡的转子 对转子进行动平衡 第 9章
转子动平衡
25/38
2013年12月16日
第 9章
29/38
刚体动力学
刚体动力学
J yz 0
J yz 0
附加质量以改变整个转子的质量分布，使转 轴成为中心惯性主轴
26/38
陀螺
第 9章 如果刚体对O点的两个主转动惯量对称，例如 Jx = Jy = J，则称刚体动力学对称，Oz轴称为动 力学对称轴。 陀螺：绕动力学对称轴高速 旋转的定点运动刚体 结构特性：动力学对称 运动特性：绕对称轴高速旋 转 陀螺有何动力学特性？ 如何解释？
第 9章
15/38
第 9章
17/38
2013年12月16日
刚体动力学 刚体动力学 刚体动力学
刚体动力学
z
x
1 m(b 2 c 2 ) 12 0 0 1 m( a 2 c 2 ) 0 0 JC 12 1 m( a 2 b 2 ) 0 0 12
JO = — 惯性矩阵的特征值问题
自转角速度 1 进动角速度 2
可由动量矩定理和变矢量对时间的导数的几 何意义证明
规则进动：自转角速度和进动角速度的大 小都是常数、章动角为常数的定点运动
30/38
5
陀螺近似理论
第 9章
陀螺近似理论
(1 2 )
ω ω1 ω2
LO J x x i + J y y j + J z z k J x2 x i + J y 2 y j + J z (1 2 z )k
J x J xy J xz x J yx J y J yz y 0 J zx J zy J z z
y
1 mR 2 4 JC 0 0
0
1 mR 2 4
引言
第 9章
第9章 刚体动力学 动力
动力学普遍定理给出了一般质点系动力学 问题的分析方法，之前着重分析了刚体平 面运动的动力学问题 刚体定点运动和一般运动在理论和工程上 都具有重要意义，如何分析其动力学问题？ 如何求解定轴转动刚体的约束反力？
2/38
2013年12月16日
第 9章
刚体动力学 刚体动力学
刚体定点运动的动量矩
定点：O 固定坐标系 O 固连坐标系 Oxyz
z
r
9.1 刚体动力学方程
刚体对O点的动量矩
L O r v dm
2 LO r ω (ω r ) r dm
x
o
y
r v r (ω r ) ( r r ) ω (ω r ) r r 2 ω (ω r ) r
建立固连坐标系Cx1y1z1，基向量i、j、k ω sin j1 cos k1 对质心的动量矩
LC J x1 x1i1 J y1 y1 j1 J z1 z1k1
解
第 9章
例 9-3
M Cx1 l ( N Ay N By ) 2 ( J1 J 2 ) 2 sin cos M Cy1 l cos ( N Bx N Ax ) 0 2 M Cz1 l sin ( N Bx N Ax ) 0 2