高一数学函数的表示法
高一数学函数的概念表示
函数概念与表示一、知识要点：1．函数的定义及“三要素”： 定义域、对应关系 、值域。
2.常用的函数表示法：（1）列表法：（2）图象法：（3）解析法（分段函数）：（4）复合函数：（1）求函数定义域一般方法：①给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；②实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；③复合函数定义域： ,已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域。
由()a g x b ≤≤解出。
已知[()]f g x 的定义域[],a b ，求()f x 的定义域。
是()g x 在[],a b 上的值域 （2）求函数解析式的方法：①已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； ②已知复合关系，求函数的解析式：换元法、配凑法； ③已知函数图像，求函数解析式；数形结合法； （3）求函数值域的类型与求法：类型：①求常见函数值域；②复合函数的值域；③组合函数的值域。
$求法：①直接法、②配方法、 ③离常数法、④换元法、⑤逆求法、⑥判别式法、⑦数形结合。
二、基础练习：1、下各组函数中表示同一函数的有（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x（3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2； （4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。
2、函数y=x x x +-)1(的定义域为3、已知函数()f x 定义域为(0，2)， 2()23f x +定义域 ；*4、(2009山东卷理)定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x则f （2009）的值为5、设函数1()f x =112223()(),x f x x f x x -==，，则123(((2007)))f f f = ．三、例题精讲： 题型1：函数关系式例1．设函数).89(,)100()5()100(3)(f x x f x x x f 求⎩⎨⎧<+≥-=)变式1：已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；当[()]2g f x =时，x =．题型2：求函数解析式例2.（1）f(x +1)=x+2x ;求f(x)(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.]（3）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x 。
新教材苏教版高中数学必修一 知识点09 函数的表示方法
高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册）知识点9函数的表示方法教材知识梳理函数的表示法-------理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．函数三种表示法的优缺点比较：求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．分段函数的实际应用(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．例题研究一、求函数的解析式题型探究例题1已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R 均满足：2()()31f x f x x --=+，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()1f x x =+ B ．()1f x x C ．()1f x x =-+ D ．()1f x x =--【答案】A【分析】利用构造方程组的方法，解出()f x 的解析式． 【详解】由2()()31f x f x x --=+，可得2()()31f x f x x --=-+ ①又4()2()62f x f x x --=+①，+①②得：()333f x x =+，解得()1f x x =+故选：A【点睛】考查函数解析式的求法，考查学生计算能力，属于基础题． 例题2如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．31(02)2y x x =-≤≤B ．331(02)22y x x =--≤≤ C ．31(02)2y x x =--≤≤ D ．11(02)y x x =--≤≤【答案】B【分析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可． 【详解】当0≤x≤1时，设f （x ）=kx ，由图象过点（1，32），得k=32，所以此时f （x ）=32x ； 当1≤x≤2时，设f （x ）=mx+n ，由图象过点（1，32），（2，0），得3202m n m n ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得3m 23n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以此时f （x ）=3-x 32+．函数表达式可转化为：y ＝32 32-|x －1|(0≤x≤2) 故答案为B【点睛】考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得．跟踪训练训练1已知()f x 是一次函数，且(1)35f x x -=-，则()f x 的解析式为（ ） A ．()32f x x =+ B ．()32f x x =-C ．()23f x x =+D ．()23f x x =-【答案】B【分析】设()f x kx b =+，（0k ≠），利用()135f x x -=-两边恒等求出k 即可得结果． 【详解】设()f x kx b =+，（0k ≠）①()()1135f x k x b x -=-+=-， 即35kx k b x -+=-，所以35k b k =⎧⎨-=-⎩，解得3k =，2b =-，①()32f x x =-，故选B ．【点睛】考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式. 训练2设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x -=，且当[)2,0x ∈-时，()2(2)f x x x =-+．若对任意[),x m ∈+∞，都有3()4f x ≤，则m 的取值范围是（ ） A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据题设条件可得当)12,2k k x +⎡∈⎣时，()10,2k f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中*k N ∈，结合函数在[)0,2上的解析式和函数在[)2,-+∞的图象可求m 的取值范围. 【详解】当[)2,0x ∈-时，()2()212f x x =-++，故()[]2()2120,2f x x =-++∈，因为(2)2()f x f x -=，故当[)0,2x ∈时，[)22,0x -∈-，()()()[]1220,12f x f x x x =-=--∈，同理，当[)2,4x ∈时，()()1120,22f x f x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦， 依次类推，可得当)12,2k k x +⎡∈⎣时，()10,2k f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中*k N ∈. 所以当2x ≥时，必有3()4f x ≤. 如图所示，因为当[)0,2x ∈时，()f x 的取值范围为[]0,1， 故若对任意[),x m ∈+∞，都有3()4f x ≤，则0m ≥， 令232402x x x ⎧-+≤⎪⎨⎪≤<⎩，322x ≤<或102x ≤≤，结合函数的图象可得32m ≥， 故选：D.【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.二、分段函数的实际应用题型探究例题1已知21,[1,0)()1,[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，则函数()y f x =-的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】先画函数()f x 的图象，再根据函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，即可选出正确选项.【详解】先画函数21,[1,0)()1,[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩的图象，如下图：因为函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，只有A 选项的图象符合.故选：A.【点睛】考查分段函数的画法，同时考查函数有关对称性的知识，解题的关键是把原函数的图象画出，那么对称函数的图象随之可得.例题2函数22,01()2,123,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=<<⎨⎪≥⎩的值域是（ ）A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0，3]D ．{x |0≤x ≤2或x ＝3}【答案】D【分析】分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集. 【详解】解：当01x ≤≤时，2()2f x x =，其值域为[0,2]， 所以()f x 值域为[0，2]①{3，2}＝{x |0≤x ≤2或x ＝3}. 故选：D【点睛】考查求分段函数的值域，分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集，属于基础题.跟踪训练训练1设{},()max ,,,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则函数22()max{,1}=--f x x x x 的单调增区间为（ ）A ．1[1,0],[,)2-+∞B ．1(,1],[0,]2-∞-C ．1(,],[0,1]2-∞- D ．1[,0],[1,)2-+∞ 【答案】D【分析】由221x x x -=-，解出x 的值，作出两个函数的图像，当1≥x 或12x ≤-时，{}222()max ,1f x x x x x x =--=-据此可得此时函数的递增区间，当{}22211,(),112x f x max x x x x -<<=--=-，据此可得此时函数的递增区间，综合即可得到结论. 【详解】由221x x x -=-得2210x x --=，解得1x =或12x =-，当1≥x 或12x ≤-时，{}222()max ,1f x x x x x x =--=-此时函数的递增区间为[1,)+∞, 当{}22211,(),112x f x max x x x x -<<=--=-，此时函数的递增区间为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 综上所述函数的递增区间为1[,0],[1,)2-+∞. 故选：D【点睛】考查函数单调区间，解题的关键是掌握函数单调性及单调区间的求法，属于中档题. 训练2设定义在R 上的函数()y f x =，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”.关于函数()221f x x x =--的2界函数，结论不成立的是（ ）A ．()()()()22 00f f f f = B ．()()()()22 11f f f f = C ．()()()()2222f f f f = D ．()()()()2233f f f f = 【答案】B【分析】先求得函数()f x 的“2界函数”，然后对四个选项逐一进行排除，由此得到正确选项. 【详解】令2212x x --=，解得1x =-或3x =，根据“p 界函数”的定义，有()222,321,132,1x f x x x x x >⎧⎪=---≤≤⎨⎪<-⎩，所以()()()22012f f f =-=，()()()2012ff f =-=，故A 选项成立；()()()22122f f f =-=，()()()2127f f f =-=，故B 选项不成立；()[]22212f f f ⎡⎤=-=⎣⎦，()()()2212f f f =-=，故C 选项成立； ()()()22231f f f ==-，()()()2321f f f ==-，故D 选项成立.故选：B.【点睛】考查新定义函数的概念及应用，考查分段函数求值，考查分析问题和解决问题的能力.属于中档题.解题的突破口在于理解新定义的函数：新定义的函数关键是函数值大于p ，或者函数值小于或等于p ，也就是先要求得函数值等于p 时对应x 的值，由此写出分段函数“p 界函数”.三、函数三种表示法题型探究例题1某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据学生的走法情况，先跑步（快速），再步行（慢速），从离校的距离与出发时间的函数图象来看，先陡后平缓，且y 随着x 的增大而减小，由此可作出判断. 【详解】由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭， 后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大， 最后距离为0，故符合要求的图象为D 选项中的图象. 故选：D.【点睛】考查实际问题中函数图象的识别，属于基础题. 例题2已知函数()y f x =，用列表法表示如下：则(2)[(2)]f f f -+-=（ ） A ．4- B ．0C ．2D ．3【答案】D【分析】根据表格中自变量x 和函数值y 的对应关系，代入数据，即可得答案.【详解】由表格可得：(2)1f -=，所以[(2)](1)2f f f -==，所以(2)(2)3f f +-=故选：D跟踪训练训练1已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠⎪⎝⎭，则()2f -= A ．72-B ．92C ．72D ．92-【答案】C【分析】令1x x=-，代入解析式，通过解方程组即可求得()f x -的解析式，进而求得()2f -的值． 【详解】由()()112?1f f x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭, 可得()12? f x xf x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(2), 将(1)x ⨯+(2)得:()2222f x x x-=-⇒()21,f x x x -=-()722f ∴-=, 故选C ．【点睛】考查了函数解析式的求法，方程组法在解析式求法中的应用，属于中档题． 训练2如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数(0)ky k x=≠的图像的一支经过矩形对角线的交点P ，则该反比例函数的解析式是（ ）A ．1y x =-B ．1y x=C ．2y x=- D ．2y x=【答案】A【分析】本题首先可设矩形的长为a 、宽为4a，然后结合图像得出点P 的坐标为2,2a a，最后根据点P 在反比例函数(0)ky k x=≠上即可得出结果. 【详解】设矩形的长为a ，则矩形的宽为4a，结合图形可知，点P 的坐标为2,2a a， 因为点P 在反比例函数(0)ky k x=≠上， 所以22a a k=-，解得1k =-，1y x =-，故选：A.【点睛】考查反比例函数解析式的求法，能否根据图像和矩形面积确定点P 坐标是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查计算能力，是简单题.综合式测试一、单选题1．已知函数2221,0()log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则下列判断正确的个数为（ ） ①122x x +=-； ①341x x =；①212≤-x x ；①431≤-x x . A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先画出()f x 的图象如图所示，令()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知当1t =时，21x x -和43x x -都取得最大值，从而可求得最值，12,x x 关于二次函数221y xx =++的对称轴1x =-对称，可得122x x +=-，由34()()f x f x =可得2324log log x x -=，化简可得341x x =【详解】解：令()()()()1234f x f x f x f x t ====，即函数()f x 的图象与直线y t =有4个不同的交点，()f x 的图象如图所示，由图可知(0,1]t ∈，12,x x 关于二次函数221y x x =++的对称轴1x =-对称，则122x x +=-，所以①正确；当1t =时，21x x -取得最大值，且此时212x x -=，故212≤-x x ，所以①正确； 因为34()()f x f x =，所以2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，234log ()0x x =，所以341x x =，所以①正确；因为当1t =时，43x x -取得最大值，此时2324log log 1x x -==，解得341,22x x ==，所以此时43132122x x -=-=>，所以①错误， 所以正确的有①①①，共3个， 故选：C【点睛】考查函数和方程的应用，解题的关键是正确画出函数图象，利用数形结合的思想求解，属于中档题2．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当(]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）. A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【分析】求出()f x 在[2，4]上的值域，利用()f x 的性质得出()f x 在[2-，0]上的值域，再求出()g x 在[2-，1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a 的范围【详解】解：当[2,4]x ∈时，224,23()2,34x x x f x x x x⎧-+⎪=⎨+<≤⎪⎩，可得()f x 在[2，3]上单调递减，在(3,4]上单调递增，()f x ∴在[2，3]上的值域为[3，4]，在(3,4]上的值域为11(3，9]2，()f x ∴在[2,4]上的值域为[3，9]2，(2)2()f x f x +=，11()(2)(4)24f x f x f x ∴=+=+， ()f x ∴在[2,0]-上的值域为3[4，9]8，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[2-，1]上的值域为[21a -+，1]a +，∴3214918a a ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得18a ；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[2-，1]上的值域为[1a +，21]a -+，∴3149218a a ⎧+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，解得14a -；当0a =时，()g x 为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，a 的范围是18a 或14a -． 故选：D ．【点睛】考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．3．已知函数()22log (1),142,1x x f x x x x ⎧-<=⎨-+-≥⎩，则方程121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】由()1f x =可得13,1,1,2x x x x ===-=，而由121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，然后分别解这四个方程，可得答案 【详解】解：当1x <时，令()1f x =，则2log (1)1x -=，解得1x =-或12x =， 当1≥x 时，令()1f x =，则2421x x -+-=，解得1x =或3x =，因为121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 所以121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=， 由121x x+-=-，得210x x -+=，此时2(1)40∆=--<，方程无解； 由1122x x +-=，得22520x x -+=，此时2(5)42290∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，分别2x =或12x =；由121x x+-=，得2310x x -+=，此时2(3)41150∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，即为x =由123x x+-=，得2510x x -+=，此时2(5)411210∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，即为52x =， 所以方程121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根的个数为6， 故选：B【点睛】考查函数与方程的应用，解题的关键是由()1f x =可得13,1,1,2x x x x ===-=，从而可得121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，然后解方程可得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题4．已知函数()1212,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，且()0f m =，则不等式()f x m >的解集为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,-+∞【答案】C【分析】分0m ≤和0m >解方程()0f m =，求出m 的值，然后分0x ≤和0x >解不等式()f x m >，即可得出结果. 【详解】当0m ≤时，()1202mf m =+>，方程()0f m =无解； 当0m >时，令()12log 0f m m ==，解得1m =，合乎题意.下面解不等式()1f x >.当0x ≤时，令()1212xf x =+>，得出122x >，解得1x >-，此时，10-<≤x ；当0x >时，令()11221log 1log 2f x x =>=，解得12x <，此时，102x <<. 因此，不等式()f x m >的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】考查分段函数方程与分段函数不等式的求解，在解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，选择合适的解析式进行计算，考查分类讨论思想的应用与运算求解能力，属于中等题.5．已知2(),()32,()2()()g x f x x g x x x F x f x ⎧=-=-=⎨⎩， ()()()()f x g x f x g x ≥<,则()F x 的最值是( )A ．最大值为3，最小值－1 B．最大值为 C ．最大值为3，无最小值 D ．既无最大值，又无最小值【答案】B【分析】根据函数表达式画出各自图象，()F x 其实表示的是(),()f x g x 较小的值.【详解】如图，在同一坐标系中画出(),()f x g x 图象，又()F x 表示两者较小值，所以很清楚发现()F x 在A 处取得最大值23+222=3+2A A A x x x x y x =-⇒= B.【点睛】取两函数较大值（较小值）构成的新函数问题，有效的手段就是构建图象，数形结合.6．已知函数f (x )＝2,02,0x x a x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ①R)，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A【分析】由题意，函数()f x 的解析式，可得()12f -=，进而求解()(1)f f -的值，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()2,02,0x x a x f x x -⎧⋅≥=⎨<⎩，则()(1)122f ---==， 则()2(1)(2)241f f f a a -==⋅==，所以14a =，故选A. 【点睛】考查了分段函数的应用问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，合理选择相应的对应法则求解是解答的关键.7．已知f （x ）=21102(1)0x x x x ⎧+≤⎪⎨⎪-->⎩，，使f （x ）≥–1成立的x 的取值范围是A ．[–4，2）B ．[–4，2]C ．（0，2]D ．（–4，2]【答案】B 【解析】①f （x ）≥–1，①01112x x ≤⎧⎪⎨+≥-⎪⎩或()2011x x >⎧⎪⎨--≥-⎪⎩，①–4≤x ≤0或0<x ≤2，即–4≤x ≤2．故选B ． 8．已知函数()()()()()()()()()2,32,2,,,g x f x g x f x x g x x x F x f x g x f x ⎧≥⎪=-=-=⎨≥⎪⎩则（ ） A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x的最大值为2C ．()F x 的最大值为7-，无最小值D ．()F x 的最大值为3，最小值为1-【答案】C【分析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值． 由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值，所以由232||2x x x -=-得2x =2x =结合函数图象可知当2x =()F x 有最大值7- 故选：C ．【点睛】考查了函数的图象，以及函数求最值，同时考查了分析问题的能力和作图的能力． 二、填空题9．设函数()f x 对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，且()12(13)f x x x =--≤≤，则使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为____．【答案】416【分析】由题可得(2014)173f =，根据13,233()333,123n n nn n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩分情况讨论可求解.【详解】对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，()33x f x f ⎛⎫∴=⎪⎝⎭， 22201420142014(2014)333333n n f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当6n =时，[]620141,33∈， 662014(2014)3121733f ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，13,233()333,123n n n n n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩，当13173233n n x x +⎧-=⎪⎨≤≤⎪⎩时，113173233n n n x x ++⎧=-⎨⨯≤≤⎩，当6n =时，x 取得最小正值为556； 当3173123n n x x ⎧-=⎪⎨≤<⎪⎩时，3173323n n nx x ⎧=+⎨≤<⨯⎩，当5n =时，x 取得最小正值为416， 综上，使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为416.故答案为：416.【点睛】考查分段函数的应用，考查函数性质等基础知识，解题的关键是由已知得出13,233()333,123n n n n n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩.10．已知函数2223,2()log ,2x x x f x a x x ⎧-+≤=⎨+>⎩有最小值，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为__________． 【答案】[2,3) 【分析】函数()f x 有最小值，所以求出1a ≥，则有101a<≤，代入()f x 求出()f x 的取值范围. 【详解】当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2．当x 2>时，要使()f x 存在最小值，必有2log 22a +≥，解得1a ≥．101a∴<≤，21112[2,3)fa a ⎛⎫⎛⎫∴=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：[2,3).【点睛】考查分段函数求函数值的范围，属于中档题. 易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值； （2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.11．已知函数211,0,22()13,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为_____________.【答案】,162⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件作出函数图象求解出1x 的范围，利用()()12f x f x =和换元法将()12x f x ⋅变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围. 【详解】由解析式得()f x 大致图象如下图所示：由图可知：当12x x <时且()()12f x f x =，则令211322x ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，解得：14x =， 111,42x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，又()()12f x f x =，221221333,124x x x ⎛⎫⎡⎫∴+=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，()2222121332x f x x x ⎛⎫∴⋅=⋅- ⎪⎝⎭，令2233,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()()2211113,124164x f x g t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎫⋅==-=--∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎭， ()31,162g t ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，即()2131,162x f x ⎡⋅⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：,162⎪⎢⎣⎭【点睛】思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误. 12．定义在R 上函数()f x 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.若当x ①[),m +∞时，()116f x ≤，则m 的最小值等于________． 【答案】154． 【分析】转化条件为在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，作出函数的图象，数形结合即可得解. 【详解】 由题意，当[)1,2x ∈时，故()()()11112322f x f x x =-=--， 当[)2,3x ∈时，故()()()11112524f x f x x =-=--⋅⋅⋅， 可得在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦， 所以当4n ≥时，()116f x ≤， 作函数()y f x =的图象，如图所示，当7,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，由()()11127816f x x =--=得154x =， 由图象可知当154x ≥时，()116f x ≤，所以m 的最小值为154． 故答案为：154. 【点睛】考查了分段函数解析式的求解及图象的应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题. 三、解答题13．根据下列条件，求函数()f x 的解析式；（1）已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+；（2）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭； （3）已知等式()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f =；（4）知函数()f x 满足条件()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对任意不为零的实数x 恒成立 【答案】（1）()27f x x =+；（2）3()3(2f x x x x =-≥或2)x ≤-；（3）()21f x x x =++；（4）1()2(0)f x x x x=-≠.【分析】（1）设函数()f x kx b =+，结合等式()()3121217f x f x x +--=+，利用一次项系数和常数项分别相等列出方程组解出k b 、的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）用配凑法根据232321111113x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,然后换元1t x x =+可得出函数()y f t =的解析式，利用双勾函数求出1t x x=+的取值范围，即为函数()y f x =的定义域； （3）由已知令x y =，则有()()()021f f x x x x =--+且()01f =，化简即可求得结果；（4）将1x代入等式()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得出132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，与原式列方程組解出函数()y f x =的解析式. 【详解】（1）设()(0)f x kx b k =+≠，则[][]3(1)2(1)3(1)2(1)5217f x f x k x b k x b kx b k x +--=++--+=++=+所以2,517k b k =⎧⎨+=⎩解得：2,7k b =⎧⎨=⎩所以()27f x x =+；（2）232321111113x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦33311113f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，令1t x x=+，由双勾函数的性质可得2t ≤-或2t ≥， 3()3f t t t =-∴，3()3(2f x x x x =-≥∴或2)x ≤-（3）因为()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f = 令x y =则()()()021f f x x x x =--+，又因为()01f = 所以()()()01=1f f x x x =-+，即()22+1f x x x =+（4）将1x代入等式()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得出132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，联立12()313()2f x f x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，变形得：14()2613()2f x f x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1()2(0)f x x x x=-≠ 【点睛】考查求函数解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法、方程组法.14．若函数f (x )()()2211,02,0b x b x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩，满足对于任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，g (x )=23x +.（1）求b 的取值范围；（2）当b =2时，写出f [g (x )]，g [f (x )]的表达式.【答案】（1）12b ≤≤；（2）()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩；[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【分析】（1）先利用已知条件判断函数单调性，再根据分段函数单调性列条件计算即得结果；（2）先讨论()g x 的符号，再代入分段函数()f x 解析式中，即得[]()f g x 的解析式；利用分段函数()f x 的解析式，直接代入()g x 的解析式，即得[]()g f x 的解析式.【详解】解：（1）因为任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，故设任意的12x x <时，有()()12f x f x <，即分段函数()f x 在R 上单调递增，故当0x >时，()()211f x b x b =-+-单调递增，即210b ->，即12b >； 当0x ≤时，()2()2f x x b x =-+-单调递增，即对称轴202bx -=≥，即2b ≤； 且在临界点0x =处，左边取值不大于右边取值，即01b ≤-，即1b ≥ . 综上，b 的取值范围是12b ≤≤；（2）当b =2时，231,0(),0x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，又()23g x x =+， 故当()230g x x =+>时，即32x >-时，()()3231610f g x x x ⎡⎤=++=+⎣⎦， 当()230g x x =+≤时，即32x ≤-时，[]()2()23f g x x =-+， 故()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩； 当0x >时，()31f x x =+，则[]()(31)2(31)365g f x g x x x =+=++=+， 当0x ≤时，2()f x x =-，则[]22()()23g f x g x x =-=-+，故[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【点睛】关键点点睛：：要讨论分段函数的自变量所在的取值区间确定对应的关系式，进而代入，以突破难点.15．已知函数()f x 的解析式为()()()()350501281x x f x x x x x ⎧+≤⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩，（1）求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; （2）若()2f a =，求a 的值;（3）画出()f x 的图象，并求出函数的值域;【答案】(1)3-;(2) 1a =-或3;(3)答案见解析，值域为(],6-∞;【分析】(1)先求出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而可求出12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)按0a ≤，01a <≤，1a >三种情况进行讨论，分别由()2f a =列出关于a 的方程，进而可求出a 的值.(3)画出分段函数的图象后，由图象可求出函数的值域.【详解】(1)解：因为1012<<，所以111122f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)解：当0a ≤时，()352f a a =+=，解得1a =-；当01a <≤时，()52f a a =+=， 解得3a =-，不符合题意；当1a >时，282a -+=，解得3a =，综上所述，1a =-或3.(3)解：如图所示，当1x =时，函数最大值为6，无最小值，所以值域为(],6-∞.【点睛】考查了分段函数函数值的求解，考查了分段函数图象.。
3.1.2函数的表示法-高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
= 0.8 × 189600 − 117360 = 34320.
将t的值代入(1)中，得y = 0.03 × 34320 = 1029.6.
所以，小王应缴纳得综合所得税税额为1029.6元.
练习巩固
2x + 1，x < 1，
练习1：已知函数f(x) =
则f(9) =( )
f(x − 3)，x ≥ 1，
(1)在同一直角坐标系中画出f(x)，g(x)的图象；
解：在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象.
练习巩固
例6：给定函数f(x) = x + 1，g(x) = (x + 1)2 ，x ∈ R，
(2)∀x ∈ R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x) = max{f(x)，g(x)}.
解：由2 (−) + () = ，①
可得2 + − = −.②
联立①②，得：f x = −x.
小结
解析法
常用表示法
列表法
图像法
函数的表示法
定义
分段函数
图像
函数的实际应用
练习巩固
例8：依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人民共和国
个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年１月１日起，个税税
额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所
得额×税率－速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收
复习导入
新知探究
问题1：我们初中已经接触过了函数常见的三种表示方法，你还记得是三种
方法吗？
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
高一数学映射及函数的表示方法知识精讲
高一数学映射及函数的表示方法【本讲主要内容】一. 本周教学内容：映射及函数的表示方法映射的概念、函数的概念、函数的表示方法【知识掌握】 【知识点精析】1. 函数的定义：设A 、B 是两个非空数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f(x)，x ∈A ，其中x 叫自变量，x 的取值X 围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫函数值，函数值的集合})(|{A x x f y y ∈=，叫函数的值域。
2. 两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，例如：x y =与33x y =。
3. 映射的定义：一般地，A 、B 是两个集合，如果按照某个对应法则f 对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A 和B ，及集合A 到集合B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记做f ：A →B 。
4. 函数的实质：函数是特殊的映射，即要求A 、B 都是非空数集。
5. 函数的表示方法：解析式（分段函数法、图像法、列表法）【解题方法指导】例1. （1）设}8621021{}4210{，，，，，＝，，，B A =下列对应法则能构成A 到B 的映射的是（ ） A. 1:2-→x x f B. 2)1(:-→x x f C. x x f 2:→D. 12:-→x x f点拨：根据映射定义，检验集合A 中每一元素依照对应法则在B 中是否都有唯一元素与之对应。
解析：选C 。
在集合A 中，\10B ∈-→ 在集合B 中，\94B ∈→ 在集合D 中，\42B ∈→（2）下图中可表示函数)(x f y =图象的只可能是（ ）与图像相交，如果只有唯一的交点，则是函数图象，否则不是。
解析：根据函数定义，对任意一个x ，都要有唯一的y 与之对应，故选D 。
高一数学必修一函数概念的知识点
高一数学必修一函数概念的知识点高一数学必修一函数概念的知识点在日常过程学习中，是不是经常追着老师要知识点？知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢？以下是店铺整理的高一数学必修一函数概念的知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。
高一数学必修一函数概念的知识点 11、映射的定义2、函数的概念3、函数的三要素：定义域、值域和对应法则。
4、两个函数能成为同一函数的条件当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。
5、区间的概念和记号6、函数的表示方法函数的表示方法有三种。
(1)解析法(2)列表法(3)图像法7、分段函数常见考法本节是段考和高考必不可少的考查部分，多以选择题和填空题的形式出现。
段考中常考查函数的定义域、值域、对应法则、同一函数、函数的解析式和分段函数。
高考中可以和高中数学的大部分章节知识联合考查，但是难度不大，属于容易题。
多考查函数的定义域、函数的表示方法和分段函数。
误区提醒1、映射是一种特殊的函数，映射中的集合A,B可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后顺序。
A到B的映射与B到A的映射是不同的。
而函数是数集到数集的映射，所以函数是特殊的映射，但是映射不一定是函数。
2、函数的问题，要遵循“定义域优先”的原则。
无论是简单的函数，还是复杂的函数，无论是具体的函数，还是抽象的函数，必须优先考虑函数的定义域。
之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便。
3、分段函数是一个函数，而不是几个函数。
分段函数书写时，注意格式规范，一般在左边的区间写在上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空集，所有段的自变量的取值范围的并集是函数的定义域。
高一数学必修一函数概念的知识点 2一、函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，是对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x)，x∈A。
人教版高一年级数学必修课程《函数的表示法》(第一课时)优质教案
1.2.2函数的表示法（第一课时）学习目标：1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)2.会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想. 学习重点:函数的三种表示方法学习难点：对函数解析法的理解学习过程：（一）导入新课我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题（二）师生互动，新课讲解(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.(2)图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.(3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.例1.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).分析：学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素.解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.用列表法可将函数y=f(x)表示为笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25用图象法可将函数y=f(x)表示为图1-2-2-1.图1-2-2-1点评：本题主要考查函数的三种表示法.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;图象法的特点是:直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图,股市走势图等;列表法的特点是:不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率表、列车时刻表等等.但是并不是所有的函数都能用解析法表示,只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时,这样的函数才可能有解析式,否则写不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值,那么他的身高y(单位:cm)总有唯一确定的值与之对应,因此身高y是年龄n的函数y=f(n),但是这个函数的解析式不存在,函数y=f(n)不能用解析法来表示.注意：①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等;②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;③图象法:根据实际情境来决定是否连线;④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.例 2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表:第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80 赵磊68 65 73 72 75 82 班平均分88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.分析：学生思考做学情分析,具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势.解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2-2-3所示.图1-2-2-3由图1-2-2-3可看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀; 张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大;赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.注意：本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点.例3.将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积y 表示为x 的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去. 解：设矩形一边长为x,则另一边长为21(a-2x),则面积y=21(a-2x)x=-x 2+21ax. 又⎩⎨⎧>>0,2x -a 0,x 得0<x<2a ,即定义域为(0,2a).由于y=-(x 4a -)2+161a 2≤161a 2, 如图1-2-2-4所示,结合函数的图象得值域为(0,161a 2］.图1-2-2-4例4.已知2f(x)+f(-x)=3x+2,则f(x)=________.分析:由题意得⎩⎨⎧+=++=+2,-3x f(x)2f(-x)2,3x f(-x)2f(x)把f(x)和f(-x)看成未知数,解方程即得. (三)课堂练习1.向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图1-2-2-5所示,那么水瓶的形状是( )图1-2-2-5 图1-2-2-6答案：B2.2007宁夏银川一模,理14已知f(x x +-11)=2211x x +-,则f(x)=________.分析:可设x x +-11=t,则有x=tt+-11, 所以f(t)=22)11(1)11(1t t t t +-++--=212t t +, 所以f(x)=212x x+.答案：212xx+ 3.已知函数f(x)=273++x x ，写出函数的定义域和值域.（换元法）注意：讨论函数的值域要先考虑函数的定义域，换元后马上写出新元的取值范围 （四）课堂小结：本节课学习了函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数. （五）作业：1.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次,其中电动车保管费是每辆一次0.5元,自行车保管费是每次一辆0.3元.(1)若设自行车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y 元,试写出y 关于x 的函数关系式;(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车中,电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.2.水池有2个进水口,1个出水口,每个水口进出水的速度如图1-2-2-9甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图1-2-2-9丙所示(至少打开一个水口).图1-2-2-9给出以下三个论断: ①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水;其中一定正确的论断是( )A.①B.①②C.①③D.①②③3.求值域y=x4+ x2-2(六)教学反思：。
高一数学优秀课件《函数的表示法》
掌握用三种方法表示函数
【例4】某种笔记本的单价是5元，买x x 1,2,3,4,5个
笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝
用解析法可将函数y=f(x)表示为 y 5x, x 1,2,3,4,5
用列表法可将函数表示为
笔记本数x 1 2 3 4 5
可以看出: 王伟同学的数学成绩始终高于平均水平，学习情况稳定 且成绩优秀。 张城同学的数学成绩不大稳定，总在班级平均水平上下 波动,且波动幅度较大; 赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平,但他成绩在稳步 提高.
例8. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人
民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税 （简称个税）．2019年１月
（3）恩格尔系数 （列表法）
我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法． 解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题1、2． 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题4． 图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题3． 这三种方法是常用的函数表示法．
72
75
82
班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
请你对这三人的学习情况进行分析. 思考2: 上述4个函数能用解析法表示吗？表格能否直观地分 析出三位同学成绩高低? 你能用图象法表示吗？
班级 平均
王伟
赵磊 张城
解：为了直观地反映每位同学和班级平均成绩的变化情况， 我们用图象法将表格中的4个函数表示出来，如图。
0.35t 85920, 6600000 t 960000,
高一数学函数的表示方法
函数的表示方法(一)1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法2、图像法：如果图形F 是函数)(x f y =的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.3、如果在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法4、讨论分别用a x -，a y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？5、讨论分别用x -，y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？6、讨论分别用ax ，by 分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？7、讨论分别用||x ，|)(|x f 分别替换函数)(x f y =中的x ，)(x f 以后函数的图像会发生哪些变化？8、试作出下列函数的图像： （1）43-+=x x y （2）11-=x y11、若)3()3(x f x f +=-，那么函数)(x f 的图像有何性质？ 12、)3(x f y -=与)3(x f +的图像之间有何关系函数的表示方法(二)1．例题：例1．（1）已知一次函数()f x 满足(0)5f =，图象过点(2,1)-，求()f x ；（2）已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ； （3）已知二次函数()F x ，其图象的顶点是(1,2)-，且经过原点，()F x ．例2．（1）已知2()43f x x x =-+，(1)f x +； （2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．例3．函数在闭区间[1,2]-例4．某人开汽车以60/km h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50/km h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路程()x km 表示为时间()t h （从A 地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v /km h 表示为时间()t h 的函数，并画出函数的图象．例5．已知一个函数的解析式为22y x x =-，它的值域为[1,3]-，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数．2．练习：（1）练习：（1）已知2(3)21f x x =-，求()f x ； （答案：22()19f x x =-）（2）已知2211()1f x x xx-=++，求()f x ．（答案：2()3f x x =+）3．小结：1．已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法；它的基本步骤是：设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数； 2．已知()f x 的解析式，求[()]f g x 时，把x 用()g x 代替；已知[()]f g x 的解析式，求()f x 时，常用配凑法或换元法；3．在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域。
最新人教版高一数学必修1第一章《函数的表示法》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、函数的表示方法表示函数常用的三种方法是解析法、图象法、列表法 . 1.解析法（公式法）用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这个表达式叫做函数的解析表达式，这种表达函数的方法叫做解析法.如y=2x-1，y=x 2-2x-3，y=12-+x x 等. 解析法的优点在于：一是从“数”的方面简明、全面地概括了变量间的数量关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.解析法是表示函数的一种最重要的方法.但并不是所有的函数都能用解析法去表示. 2.图象法通过函数图象表示两个变量之间的关系的方法.图象法的优点是能够直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值的变化趋势也一目了然.可以通过图象来研究函数的某些性质，它从“形”的方面刻画了函数关系.函数的图象不一定是一条连续的曲线，也可以由一些孤立的点、线段等图形构成. 3.列表法通过列出自变量与对应函数值来表达函数关系的方法叫做列表法.例如，火车站的列车时刻表，银行发行的利率表，工厂中每月的产值及利润报表，甚至我们历次考试的成绩一览表等.又例如，新中国成立后共进行了五次人口普查，各次普查得到的人口数据如下表所示.这张表清楚地表达了年份与当年我国总人口（单位：亿）的函数值域为{5.9，6.9，10.1，11.0，12.1}.利用列表法表示的函数也可解决相应的数学问题.列表法也是表示函数的一种方法，它常适合于定义域是有限集的函数，列表时要注意自变量与函数值应对应，所列图表是否是函数的唯一依据仍然是函数的定义. 列表法是表示函数的一种方法，此法的优点是不需计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. 二、分段函数 函数⎩⎨⎧>-<<-11,44,110,622x x x 的表达式是分段表示的，即函数与自变量的关系不是只满足一个式子，而是在不同范围内有不同的对应关系，这样的函数关系是分段函数.分段函数是一个函数而不是几个函数.如教材中例5、例6所体现变量之间的函数关系都是分段函数. 分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，这一点与函数y=x x ++-11的定义域的求法不相同，如函数y=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<1,,10,1x x x x的定义域为{x|0＜x ＜1}∪{x|x ≥1}={x|x ＞0}.作分段函数的图象时，特别注意接点处点的虚实，如函数y=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0,1,0,0,0,1x x x 的图象为（见右上图）：分段函数的表示法是解析法的一种形式.函数y=⎩⎨⎧≥-<<-11,44,110,622x x x 不能写成y=22-6x ，0＜x ＜11或y=-44，x ≥11.要点提示 注意此处空半格注意写分段函数定义域时，区间端点应不重不漏.理解分段函数是一种函数，而不是几个函数. 三、函数的图象对于函数y=f （x ）（x ∈A ），定义域内每一个x 值都有唯一的y 值与它对应，把这两个对应的数构成的有序实数对（x ，y ）作为点P 的坐标，记作P （x ，y ），则所有这些点的集合F 叫做函数y=f （x ）的图象. 1.作函数图象的基本步骤 （1）先求函数定义域；（2）化简函数解析式；（3）列表；（4）描点；（5）连线.作图时，应注意抓住函数的特征，如抓住定义域的分界值，图象上的特征点（与x 轴、y 轴的交点等），图象随x 增大的趋势等来辅助作图. 2.带绝对值号的简单函数的图象作该类函数图象的基本方法是：先求函数的定义域，然后化简函数解析式，就是去绝对值号.（1）带一个绝对值号的函数，根据绝对值的意义去绝对值号，如 y=|x-1|=⎩⎨⎧<--≥-.1,1,1,1x x x x（2）带两个或两个以上绝对值号的问题，常用“零点分段法”去绝对值号，从而把函数写成分段函数的形式，然后作图. 如作函数y=|x-1|+|x+2|的简图.令x-1=0，得x=1；令x+2=0，得x=-2.∴-2和1把数轴分成三部分.当x ≤-2时，y=-2x-1；当-2＜x ＜1时，y=3； 当x ＞1时，y=2x+1.所以，⎪⎩⎪⎨⎧>+<<--≤--1,12,12,3,2,12x x x x x 的图象如右图.要点提示 注意此处空半格(1)绝对值的意义：|a|=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,,0,0,0,a a a a a (2)所谓“零点”是指令每一个绝对值分别等于0，求得相应的x 值. (3)可借助函数的图象分析这个函数的性质，例如这个函数的最小值为3. 四、映射一般地，我们有：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.由映射的定义可知，上图中（1）（3）两个对应是集合A 到集合B 的映射;（2）不是集合A 到集合B 的映射，因为A 中元素a 在B 中有两个元素e 、g 与之对应，不符合定义中“唯一性”的要求;（4）也不是A 到B 的映射，因为集合A 中的元素b 在集合B 中没有元素与之对应.对于映射f ：A →B 来说，与集合A 中的元素x 对应的集合B 中的元素y 叫做x 的象，x 叫做y 的原象.那么，怎样由对应法则找到它的象与原象呢？对于A 到B 的映射而言，集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一元素与之对应，集合A 中不同的元素在集合B 中可以对应相同的元素，集合B 中的元素可以在A 中有一个或多个元素与之对应，也可无元素与之对应.要点提示 注意此处空半格(1)映射是特殊的对应，对应是两个集合元素之间的一种关系，对应关系可用图示的方法或文字描述等来表示. (2)常选择椭圆内加上元素直观体现f 下元素的对应关系.(3)集合A 到B 的映射，A 、B 必须是非空集合（可以是数集，也可以是其他集合）. (4)对应关系有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从集合B 到集合A 的对应关系一般是不同的.(5)A 中元素的象是集合B 的子集. 问题·思路·探究问题 表示函数常用的解析法、列表法、图象法三种方法的优缺点是什么? 思路:考虑三种方法的含义,可通过举例比较.探究: (1)用解析式表示函数关系的优点是：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质.中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数.缺点是:有些函数很难用解析式表示.(2)用列表法表示函数关系的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.缺点是:函数解析式的体现有时不明显.(3)用图象法表示函数关系的优点是：能直观形象地表示出函数的变化情况.更能体现数形结合的思想.缺点是:变量的值依赖于图象的精度.不利于精确计算. 典题·热题·新题例1 将长为a 的铁丝折成矩形，求此矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式，并求定义域和值域，作出函数的图象.思路解析：解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题，即把面积y 表示为x 的函数，用数学的方法解决，再回到实际中去. 解：设矩形一边长为x ，则另一边长为21（a-2x ），面积为y=21（a-2x ）·x=-x 2+21ax.又⎩⎨⎧>->,02,0x a x 得0＜x ＜2a .由于y=-（x-4a ）2+161a 2≤161a 2， 故函数的解析式为y=-x 2+21ax ，定义域为（0，2a ），值域为（0，161a 2）.图象如右图所示.深化升华 注意此处空半格解析式是用自变量的多项式来表示因变量的，函数解析式由定义域和对应法则确定，因此，求解析式的关键是明确对应法则，选好自变量.解决此类问题的关键是首先建立目标函数，确定函数的定义域.若是实际问题，除了考虑函数解析式自身的限制条件外，还要考虑到它的实际意义.例 2 据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，左下图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中我国年平均土地沙化面积在右下图中示为_____________.思路解析：本题涉及的数学点只是平均数，事实上，图形上的数据是连续的，而连续的数据的平均数在中学里未学过，要求我们在新情景下获取相关图表中的信息和进行数形转换. 解：分别计算出1950年到1970年，1970年到1990年及1990年到2000年的平均值，只需对两个端点的数据进行计算即可.考虑单位后，则平均值分别为16，21.25，并在上图中表示.如右图：深化升华 注意此处空半格用图象法表示一个函数是数形结合的基础.判断一个图形是不是函数图象的依据仍旧是函数的定义.函数图象的形状与定义域、对应法则有关.定义域确定变量的分布范围，对应法则确定形状.如何从图象中提取有用的信息，把“形”转化成“数”是解决问题的关键. 例3 （经典回放）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累加进行计算：某人一月份应交纳此税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ） A.800—900元 B.900—1 200元 C.1 200—1 500元 D.1 500—2 800元思路解析：本题是一道适用列表法表示函数关系的题目，解决此题首先要理解题意，能计算出相应工资的税款的算法，列出分段函数，找到函数值26.78所在的某段函数，求出自变量.本题作为选择题，亦可采用估算法求解. 解法一：（估算法）依题意知，当工人工资为1 300元时，应交税金（1 300-800）×5%=25（元），而该工人实际交税金26.78元＞25元，知其工资应超过1 300元.又26.78-25=1.78元，知该工资仅比1 300元多一点，但不会超过1 500元，从而可估算选C. 解法二：（列出分段函数）依题意知，应交税金y 与实际工资x 的函数关系式为y=⎪⎩⎪⎨⎧≤<⨯-+⨯≤<⨯-≤<28001300%,15)1300(%5500,1300800%,5)800(,8000,0x x x x x =⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<-≤<28001300,1051.0,1300800,4005.0,8000,0x x x x x 即当y=26.78时，有26.78=0.1x-105.∴x=1 317.8元. 答案：C误区警示 注意此处空半格本题中实际问题的数学模型是分段函数，它的对应法则在不同的区间内可能不同，要注意找好不同区间内的解析式.从作出的图象看，它是一个阶梯函数.例4 已知 f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<=>,0,0,0,1,0,2x x x x (1)画出函数的图象；(2)根据已知条件分别求f(1)、f(-4)、f[f(-4)]和f[f[f(-4)]]的值.思路解析：题设中给出的函数是分段函数，注意在不同的区间应用不同的关系式.本题中的关系式都是常见的初等函数的关系式，因而可以利用常见函数的图象知识来作图. 解：(1)函数的图象如右图所示：（2）f(1)=12=1； f(-4)=0；f[f(-4)]=f(0)=1； f[f[f(-4)]]=f(1)=12=1.例5 作出下列各函数的图象： （1）y=1-x ，x ∈Z ；（2）y=2x 2-4x-3，0≤x ＜3； （3）y=|1-x|；（4）y=⎩⎨⎧<≤-+≤≤.01,1,10,2x x x x思路解析：（1）定义域为Z ，所以图象为离散的点.（2）定义域不是R ，因此图象不是完整的抛物线，而是从上面截取的一部分.（3）先根据绝对值的定义去掉绝对值号，写成y=⎩⎨⎧<-≥-.11,11x xx x （4）这个函数图象由两部分组成.当0≤x ≤1时，为抛物线y=x 2的一段；当-1≤x ＜0时，为直线y=x+1上的一段. 答案：深化升华 注意此处空半格作函数图象，首先要明确函数定义域，其次明确函数图象是点、线段或直线，体会定义域对图象的控制作用.处理好端点处或x=0时的情况.作图时，先不受定义域限制作出完整图象，然后再截取.例6 设f ：A →B 是A 到B 的一个映射，其中A=B={（x ，y ）|x ，y ∈R }，f ：（x ，y ）→（x-y ，x+y ），求A 中元素（-1，2）的象和B 中元素（-1，2）的原象.思路解析：这是一个映射的问题，由已知（x ，y ）的象为（x-y ，x+y ），即确定了对应法则. 解：先求A 中元素（-1，2）的象.令x=-1，y=2，由题意得x-y=-1-2=-3， x+y=-1+2=1，所以（-1，2）的象为（-3，1）；再求B 中元素（-1，2）的原象.令⎩⎨⎧=+-=-,2,1y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.23,21y x所以（-1，2）的原象是（21，23）. 深化升华 注意此处空半格映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射. 例7 下列对应是A 到B 的映射的是（ ） A.A=N *，B=N *，f ：x →|x-3|B.A=N *，B={-1，1，-2}，f ：x →（-1）x xC.A=Z ，B=Q ，f ：x →x3 D.A=N *，B=R ，f ：x →x 的平方根思路解析：判定一个对应是否是映射，关键是看是否符合映射的定义，若要判定不是映射只要举一反例即可.对于A ，由于A 中元素3在法则f 作用下其与3的差的绝对值，在B 中找不到元素与之对应.对于B ，对任意的正整数x ，所得（-1）x 均为1或-1；都在集合B 中有唯一的1或-1与之对应，符合映射定义.对于C ，0在f 下无意义.对于D ，对正整数，在实数集R 中有两个平方根与之对应，不满足映射概念，所以该对应不是映射. 答案：B。
高一数学必修1 函数的三种表示法介绍
高一数学必修1 函数的三种表示法介绍
教学目的
知识与技能
掌握函数的三种表示法：列表法、图像法、解析法，体会三种表示法的特点。
过程与方法
（1）能根据实际问题情境选择恰当方法表示一个函数以获取有用信息，培养学生的灵活运用知识的能力。
（2）初步体会运用函数知识解决实际问题地方法。
（3）体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用，在图形的变化中感受直观美。
情感、态度与价值观
培养学生重要数学思想方法——数形结合，分类讨论
重点难点
重点：函数的三种表示及恰当选择一个函数表示实际问题。
难点：恰当选择一个函数表示实际问题。
教法学法：探讨研究
教学用具：多媒体
教学过程
板书设计
教学反思。
高一数学函数的常用表示方法
2.1.2函数表示法 课件
例5 画出函数y=|x|的图象.
解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如：
x, x≥0, -x, x<0.
y
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
例6.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元 （不足5公里的按5公里计算）。
；单创:/roll/2019-10-14/doc-iicezuev2144522.shtml
;
；
于是，带她去看，说明病史后，老中医什么都没说，只是揭开自己的白大褂，她看见，他只有一条腿。 (17)他说，人活着，不是靠双腿，靠的是一颗完整的心，我只有一条腿，活得好好的，你还比我多半条腿呢，怕什么？ (18)从那以后，她常常去老中医那里，不是看病，而是疗心。 (19)再后来，父母给她装了假肢，搬了家，学了钢琴，当了钢琴老师，成了现在的自己。 (20)说完，她淡淡地笑，而我，似乎看见另外一个不一样的她，在我眼前，诉说别人的故事。 （21）是啊，如果不是偶然看见，在我心里，在我眼里，她依旧是那个只会撒娇、娇弱漂亮的公主，而此 刻，我似乎看见，那些她曾经受过的伤害和遭遇，凝聚成一股钢铁般的力量，让她坚强。 （22）再后来，她睡了。 （23）我走在走廊的尽头，心绪难平。 （24）我看见天边有一颗星星，异常耀眼，它像天空的眼睛，注视着大地，带给深沉无助的黑夜，一方光亮，也给黑夜里迷路的人们， 一抹希望。 （25）慢慢地，我看见天边泛着鱼肚白，黎明来了。 （26）那一刻，内心的迷茫，似乎慢慢退却，一点点被一束光照亮，所有难以启齿的磨难和曾经以为的绝望，慢慢变成了希冀。 （27）是的，繁华尽头有悲凉，尘埃深处是繁花。 （2017年5月9日） 16.
高一数学 函数的表示方法
1.2.2 函数的表示法第一课时函数的表示法Q 情景引入ing jing yin ru如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容他；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容他；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容他；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容他．那么对于函数，又有哪些不同的表示方法呢？X 新知导学in zhi dao xue 函数的表示法Y 预习自测u xi zi ce1．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于(B) A．π2B．πC．πD．不确定[解析]因为π2∈R，所以f(π2)＝π.2．某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：A．成绩y不是考试次数x的函数B．成绩y是考试次数x的函数C．考试次数x是成绩y的函数D．成绩y不一定是考试次数x的函数[解析]把考试次数组成的集合看作A＝{1,2,3,4,5}，成绩组成的集合看作B＝{90,102,105,106}，∴集合A中的任一个数在集合B中有唯一一个数与之对应，∴成绩y是考试次数x的函数．3．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是(C)A．(－∞，1)∪(1，＋∞)B．RC．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)[解析]由图象，知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．4．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f[f(3)]的值等于__2__.[解析]据图象，知f(3)＝1，所以f[f(3)]＝f(1)＝2.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨函数的三种表示方法典例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．[思路分析] 函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000，6 000,9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示．分析题意得到表达y 与x 关系的解析式，注意定义域．[解析] (1)列表法：(3)解析法：y ＝3 000x ，x ∈{1,2,3，…，10}．『规律方法』 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在应用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法：必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； (3)图象法：是否连线． 〔跟踪练习1〕将一条长为10 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．试用多种方法表示两个正方形的面积之和S 与其中一段铁丝长x 的函数关系．(x 属于正整数集)[解析] (1)解析法：S ＝(x4)2＋(10－x 4)2.将上式整理得S ＝18x 2－54x ＋254，x ∈{x |1≤x <10，x ∈N *}．(2)列表法：命题方向2 ⇨与函数图象有关的问题典例2 作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]；(2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．[思路分析] (1)画函数的图象时首先要注意的是什么？ (2)所给三个函数的大致图象分别是什么形式的？ [解析] (1)列表：当x ∈[0,2][1,5]．(2)列表当x ∈[2，＋∞)，图象是反比例函数y ＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(3)列表由图可得函数的值域是[－1,8]．『规律方法』 (1)常见函数图象的特征： ①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)是一条直线； ②y ＝kx (k ≠0)是与坐标轴无限接近的双曲线；③y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是顶点为(－b 2a ，4ac －b 24a )，对称轴为x ＝－b 2a的抛物线． (2)作函数图象时应注意以下几点： ①在定义域内作图；②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．〔跟踪练习2〕作出下列函数的图象，并指出其值域． (1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x(－2≤x ≤1，且x ≠0)．[解析] (1)用描点法可以作出函数的图象如图． 由图可知y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)的值域为[－14，2]．(2)用描点法可以作出函数的图象如图．由图可知y ＝2x (－2≤x ≤1，且x ≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi换元求解析式时忽略自变量的取值范围致误典例3 已知f (x －1)＝3－x ，求f (x )的解析式．[错解] 令x －1＝t ，则x ＝t 2＋1，所以f (t )＝3－(t 2＋1)＝2－t 2，即有f (x )＝2－x 2.[错因分析] 本例的错误是由于忽视了已知条件中“f ”作用的对象“x －1”是有范围限制的．利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．[正解] 令x －1＝t ，则t ≥0，且x ＝t 2＋1，所以f (t )＝3－(t 2＋1)＝2－t 2(t ≥0)，即f (x )＝2－x 2(x ≥0)．[警示] 利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围不变． X 学科核心素养ue ke he xin su yang 求函数解析式的常用方法1．待定系数法已知函数类型(如一次、二次、正比例、反比例函数等)，可先设出函数解析式，再依据所给条件，确定待定系数．典例4 已知f (x )为二次函数，其图象的顶点坐标为(1,3)，且过原点，求f (x )的解析式．[思路分析] 已知二次函数f (x )的顶点坐标，可设顶点(配方)式，再利用其他条件确定待定系数．[解析] 由于函数图象的顶点坐标为(1,3)，则设f (x )＝a (x －1)2＋3(a ≠0)． ∵函数图象过原点(0,0)，∴a ＋3＝0，∴a ＝－3. 故f (x )＝－3(x －1)2＋3. 即f (x )＝－3x 2＋6x .『规律方法』 (1)一次函数可设为y ＝kx ＋b (k ≠0)，正比例函数可设为y ＝kx (k ≠0)；反比例函数可设为y ＝kx (k ≠0)；已知二次函数f (x )的顶点或对称轴、最值时，可设顶点式f (x )＝a (x ＋m )2＋n ；已知二次函数与x 轴两交点坐标时，常设分解(标根)式f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．已知f (x )的图象过某三点时，常设一般式f (x )＝ax 2＋bx ＋c ；(2)凡是已知函数(或方程、不等式等)的形式时，常用待定系数法求解． 2．恒成立的应用一般地，若f (x )与g (x )是同类型的函数(或具有相同的表达式)，f (x )＝g (x )恒成立，则f (x )与g (x )的对应项系数相等．典例5 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )．[解析] 由题意可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＋5a ＝17，∴a ＝2，b ＝7.∴f (x )＝2x ＋7. 典例6 已知f (x )＋2f (－x )＝x ＋1，求f (x )的解析式．[思路分析] 这是关于x 的一个恒等式，由于x ∈R ，∴对任意x ∈R ，此等式都成立，当x ∈R 时，－x ∈R ，因此上述等式对－x 也成立．用－x 代替原等式中的x ，可构造关于f (x )与f (－x )的方程组求解．[解析] 因为f (x )＋2f (－x )＝x ＋1，对任意x ∈R 都成立，所以用－x 替换x ，得f (－x )＋2f (x )＝－x ＋1，由以上两式可解得f (x )＝－x ＋13.K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．如图，函数f (x )的图象是折线段，其中点A ，B ，C 的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f [f (2)]＝( C )A ．0B ．2C ．4D ．6[解析] 由图象可得f [f (2)]＝f (0)＝4.2．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( A ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3} [解析] 把x ＝0,1,2,3分别代入y ＝x 2－2x 中得y 的值共三个为－1,0,3，故值域为{－1,0,3}．3．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前行了a km ，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了b km(b <a )，再折回匀速前进c km ，则此人距起点的距离s 与时间t 的关系示意图正确的是( C )[解析] 注意理解两坐标轴s ，t 的含义，这里s 是指距起点的距离，不是路程的累加，结合题意可知C 符合．故选C ．4．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则它的高y 与x 的函数关系为__y ＝50x(x ＞0)__. [解析] 由梯形的面积公式有100＝(x ＋3x )2·y ，得y ＝50x(x >0)．5．已知函数f (x )＝ax ＋b ，且f (－1)＝－4，f (2)＝5， 求：(1)a ，b 的值；(2)f (0)的值．[解析] (1)由⎩⎨⎧f (－1)＝－4f (2)＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝－42a ＋b ＝5，解得a ＝3，b ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝3x －1，所以f (0)＝－1.一、选择题1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( C )A ．1 C ．3D ．不存在[解析] ∵2<x ≤4时， f (x )＝3，∴f (3)＝3，故选C ．2．已知y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( C ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x[解析] 设y ＝k x ，由1＝k2得，k ＝2，因此，y 关于x 的函数关系式为y ＝2x.3．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( D ) A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0＜x ＜10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5＜x ＜10)[解析] 由题意得y ＋2x ＝20，∴y ＝20－2x .又∵2x ＞y ，∴2x ＞20－2x ，即x ＞5.由y ＞0，即20－2x ＞0得x ＜10，∴5＜x ＜10.故选D ．4．若f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式为( B ) A ．g (x )＝2x ＋1 B ．g (x )＝2x －1 C ．g (x )＝2x －3D ．g (x )＝2x ＋7[解析] ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3， 令x ＋2＝t ，∴x ＝t －2， ∴g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1， ∴g (x )＝2x －1. 5．观察下表：则f [g (3)－f A ．3 B ．4 C ．－3D ．5[解析] 由题表知，g (3)－f (－1)＝－4－(－1)＝－3， ∴f [g (3)－f (－1)]＝f (－3)＝4.6．若f (1x )＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )＝( B )A ．1xB ．1x －1C ．11－xD ．1x－1[解析] f (1x )＝x 1－x ＝11x －1∴f (x )＝1x －1，故选B ．二、填空题7．已知函数f (x )是反比例函数，且f (－1)＝2，则f (x )＝__－2x __.[解析] 设f (x )＝kx (k ≠0)，∴f (－1)＝－k ＝2，∴k ＝－2， ∴f (x )＝－2x.8．已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f (12)等于__15__.[解析] 令g (x )＝1－2x ＝12，∴x ＝14，∴f (12)＝f [g (14)]＝1－(14)2(14)2＝15.三、解答题9．作出下列函数的图象． (1)y ＝x2＋1，x ∈{1,2,3,4,5}；(2)y ＝2x 2－4x －3(0≤x <3)．[解析] (1)函数y ＝x 2＋1，x ∈{1,2,3,4,5}是由(1，32)，(2,2)，(3，52)，(4,3)，(5，72)五个孤立的点构成，如图．(2)因为0≤x <3，所以这个函数的图象是抛物线y ＝2x 2－4x －3介于0≤x <3之间的一段曲线，且y ＝2x 2－4x －3＝2(x －1)2－5，当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝3时，y ＝3，如图所示．10．已知函数f (x )＝xax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)＝1，且f (x )＝x 有唯一解，求函数y ＝f (x )的解析式和f [f(－3)]的值．[解析] 因为f (2)＝1，所以22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2，①又因为f (x )＝x 有唯一解，即xax ＋b＝x 有唯一解，所以ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b －1)2＝0，即b ＝1.代入①得a ＝12.所以f (x )＝x 12x ＋1＝2xx ＋2，所以f (－3)＝2×(－3)－3＋2＝6，所以f [(f (－3)]＝f (6)＝2×66＋2＝32.。
高一数学函数的表示法知识点
高一数学函数的表示法知识点导言：函数是数学中的一个重要概念，它描述了不同变量之间的关系。
在高一数学课程中，学生需要掌握函数的表示法知识点，包括函数的定义域、值域、图像等。
本文将从不同角度介绍这些知识点，以帮助读者更好地理解和应用函数的表示法。
一、函数的定义域：函数的定义域是指函数输入值的集合，也就是使函数有意义的取值范围。
在表示法上，常用的方式是用一个或多个不等式来描述定义域。
例如，对于一个简单的一次函数 y = 2x + 3，它的定义域可以表示为 x≥ -∞。
这意味着这个函数在实数集的所有值上都有定义。
但是，并不是所有函数都能在整个实数集上定义。
例如，一个分式函数 f(x) = 1 / (x - 2) 在定义域时需要排除使分母为零的情况，所以它的定义域可以表示为x ≠ 2。
这样，函数就在实数集中的所有值上有定义，除了 x = 2。
在求定义域时，我们还需要考虑根式函数的取值范围。
以一个简单的二次函数y = √x 为例，要使函数有意义，我们需要保证x ≥ 0，所以它的定义域可以表示为x ≥ 0。
二、函数的值域：函数的值域是函数输出值的集合，也叫做函数的取值范围。
在表示法上，我们可以用一个或多个不等式来描述值域。
例如，对于一个简单的一次函数 y = 2x + 3，它的值域可以表示为 y ∈ (-∞, +∞)。
这意味着这个函数在实数集的所有值上都有取值。
对于一个分式函数 f(x) = 1 / (x - 2)，我们可以通过分析分数的性质来确定它的值域。
当 x 趋近于正无穷时，分母接近于正无穷小，所以函数的值趋近于0。
同理，当x 趋近于负无穷时，函数的值也趋近于0。
因此，这个函数的值域可以表示为y ≠ 0。
三、函数的图像：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示。
它反映了函数输入值和输出值的对应关系，帮助我们更直观地理解函数的性质。
在表示函数图像时，我们通常使用曲线来表示。
对于一个简单的一次函数 y =2x + 3，它的图像是一条直线。
高一数学必修一函数的表示法(完整)
高一数学必修一函数的表示法（完整）1.2函数及其表示§1.2.2函数的表示法1教学目的：1．掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．2．培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念教学重点：解析法、图象法．教学难点：作函数图象教学过程：一、复习引入：1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？二、讲解新课：函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.222例如，=60t，A=r，S=2rl,y=a某+b某+c(a0),y=某2(某2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.D优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.C例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数B关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这A样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买某{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以某为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为y=5某，某{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A(1，5)B(2，10)C(3，15)D(4，20)组成，如图所示例2国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封某g(0320,某(60,80],400,某(80,100].这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于某轴，如图所示.这一种函数我们把它称为分段函数4003202401608020406080100某某例3画出函数y=|某|=某某0,的图象.某0.解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.说明：①再次说明函数图象的多样性；y②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量某的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意某某0分段函数是一个函数，而不是几个函数.y=1某<0某③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷{（Dirichlet）函数D(某)=1，某是有理数，.0，某是无理数,我们就作不出它的图象.某例4作出分段函数y某1某2的图像解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：y某2(2某1)3y某1某2=2某12某1某1作出图像如下例5作出函数y某列表描点：K'L'M'N'G'O'P'Q'(-5.0，-5.2)(-4.0，-4.3)(-3.0，-3.3)(-2.0，-2.5)(-1.0，-2.0)(-0.4，-3.0)(-0.3，-4.0)(-0.2，-5.0)QPOGNMLK(0.2，5.0)(0.3，4.0)(0.4，3.0)(1.0，2.0)(2.0，2.5)(3.0，3.3)(4.0，4.3)(5.0，5.2)某1的图象某2补充：1．作函数y=|某-2|(某＋1)的图像分析显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．解：(1)当某≥2时，即某-2≥0时，1086Q4KLMGNPO2-10-5510-2N'M'L'K'G'O'-4P'Q'-619y(某2)(某1)某2某2(某)224当某＜2时，即某-2＜0时，-10-5864251019y(某2)(某1)某2某2(某)2.24219某2某24∴y219某2某24-2-4-665432这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出-6-4-2124682．作出函数y|某2某3|的函数图像解：y2-1-2-3-4某2某32(某2某3)22某2某302某2某302步骤：（1）作出函数y=某2某3的图象（2）将上述图象某轴下方部分以某轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|某2某3|的图象23四、课后练习一、选择题1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为()＝－某＝某＋12＝某－1＝－某＋12.已知函数f(某－1)＝某－3，则f(2)的值为()A.－2B.6C.1D.03.已知f(某)＝2，g(某)＝某＋1，则f(g(某))的表达式是()某－12某＋2某某2某＋2某f(1)＝0f(n＋1)＝f(n)＋3，n∈N2某2某－11某－1224.已知函数y＝某，则f(3)等于()D.二、填空题5.已知函数f(某)的图象如图所示，则此函数的定义域是，值域是.6.已知f(某)与g(某)分别由下表给出某f(某)14233241某g(某)13213442那么f(g(3))＝.4三、解答题7.解答下列问题：2(1)若f(某＋1)＝2某＋1，求f(某)；某(2)若函数f(某)＝，f(2)＝1，又方程f(某)＝某有唯一解，求f(某).a某＋b8.作下列各函数的图象：(1)y＝2某2－4某－3(0≤某＜3)；9.已知函数2某，(某≤－1)f(某)＝1，(－1＜某≤1)－2某，(某＞1)(1)求f(某)的定义域、值域；.＝|某－1|；作出这个函数的图象.5(2)y(2)课后作业参考答案一、选择题1.112.B3.A[f(g(某))＝＝2.]4.f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋3＝0＋3＝3，2(某＋1)－1某＋2某∴f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋3＝3＋3＝6.选二、填空题5.［-3,3］［-2,2］6.【答案】1由表可得g(3)＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝1.三、解答题7.【解析】(1)令t＝某＋1，则某＝t－1，∴f(t)＝2(t－1)＋1＝2t －4t＋3.∴f(某)＝2某－4某＋3.2(2)由f(2)＝1得＝1，即2a＋b＝2；2a＋b某11－b由f(某)＝某得＝某变形得某(－1)＝0，解此方程得：某＝0或某＝.又因为方程有唯a某＋ba某＋ba1－b1一解，所以＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝，a22某所以所求解析式为f(某)＝.某＋28.【解析】(1)∵0≤某＜3，∴这个函数的图象是抛物线2y＝2某－4某－3介于0≤某＜3之间的一段弧(如图(1)).某－1某≥1(2)所给函数可写成分段函数y＝1－某某＜1222是端点为(1,0)的两条射线(如图(2)).9.【解析】(1)f(某)的定义域为{某|某≤－1}∪{某|－1＜某≤1}∪{某|某＞1}＝{某|某≤－1或－1＜某≤1或某＞1}＝R，f(某)的值域为{y|y≤－2}∪{1}∪{y|y＜－2}＝{y|y≤－2或y＝1}，∴f(某)的定义域为R，值域为{y|y≤－2或y＝1}.(2)根据解析式分段作图如图6。
高一数学函数的表示法
高一数学函数的表示法（一）（一）函数的三种表示方法：1、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：简明扼要；给自变量求函数值。
图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）； 优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。
2、列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）； 优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。
例1．某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．例2：下表是某校高一（1）班三位同学高一六次数学测试成绩及班级平均分表：（二）分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。
说明：（1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；（2）．分段函数只是一个函数，只不过x 的取值范围不同时，对应法则不相同。
例3：某市出租车：（1）5公里内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
例4．已知f(x)＝⎩⎨⎧+∞∈+-∞∈+),0[,12)0,(,322x x x x ，求f(0)、f[f(-1)]的值（三）课堂练习：1．作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元）。
试用三种方法表示此实例中的函数。
2．某水果批发店，100kg 内单价1元／kg ，500kg 内、100kg 及以上0.8元／kg ，500kg 及第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 98 87 91 92 88 95 乙 90 76 88 75 86 80 丙 68 65 73 72 75 82 班平均分88．278．385．480．375．782．6以上0.6元／kg 。
高一数学必修一经典题型举一反三——函数的表示法重难点题型【解析版】
高一数学必修一经典题型举一反三（新课标）
函数的表示法重难点题型
知识链接
举一反三
【考点 1 函数的三种表示方法】
(x
x本笔记本需要y元，试用三种方法表
5,4,3,2,1
【练1】某种笔记本的单价是5元，买)
y.
f
示函数)
(x
【思路分析】利用函数的三种表示方法，即可将y表示成x的函数．
【答案】解：（1）列表法：
x12345
y510152025
（2）图象法
（3）解析法：y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．
【点睛】本题考查函数的三种表示方法，列表法，图象法以及解析法，比较基础．
【练 1.1】已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 12 3
f(x)21 1
x 12 3
g(x)32 1
则f(g(1))的值为______；当g(f(x))＝2时，x＝______.
【思路分析】根据表格先求出g（1）＝3，再求出f（3）＝1，即f[g（1）]的值；由g（x）＝2求出x＝2，即f（x）＝2，再求出x的值．
【答案】解：由题意得，g（1）＝3，则f[g（1）]＝f（3）＝1
∵g[f（x）]＝2，即f（x）＝2，∴x＝1．
故答案为：1，1．
【点睛】本题是根据表格求函数值或自变量的值，看清楚函数关系和自变量对照表格求出．
【练 1.2】在函数y＝|x|(x∈[－1，1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为()。
函数的表示法课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
例1. 某种笔记本的单价是5元，买 x(x {1,2,3,4,5}) 个笔记本需要 y 元. 试用函数的三种表示法表
示函数 y=f(x) . 解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}.
用解析法可将函数 y=f(x) 表示为 y=5x,x {1,2,3,4,5}.
解：为了直观地反映每位同学和班级平均成绩的变化情况，我们用图 象法将表格中的4个函数表示出来，如图：
可以看出: 王伟同学的数学成绩始终高于平均水平， 学习情况稳定且成绩优秀。 张城同学的数学成绩不大稳定，总在班 级平均水平上下波动,且波动幅度较大。 赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平, 但他成绩在稳步提高。
（1）画出函数 f (x), g(x) 的图象.
（2）x R,用m(x)表示f (x), g(x)中的较小者，记为m(x) min{ f (x), g(x)},
请分别用图象法和解析法表示函数 m（x）.
解：（1）f (x) x 1 的图象如图（1）；g(x) (x 1)2 的图象如图（2）.
所以，在同一直角坐标系中函数f ( x), g( x) 的图象为：
（2）由图象可知，函数M(x)的解析式为：
(x 1)2, x 1,
M
(x)
x
1,1
x
0,
(x
1)2 ,
x
0.
另：f (x) g(x)
(x 1) (x 1)2= x(x 1)
-1 0
x
练6. 给定函数 f (x) x 1, g(x) (x 1)2 , x R,
（2）x R，用M (x)表示f (x), g(x)中的较大者，记为 M (x) max{ f (x), g(x)}.
3.1.2 函数的表示法(一)课件- 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
∴ 2f
消去f
1
x
1
x
+f x
1
x
1
f
x
1
=
x
解得 = −2 + 1 ．
= x x ≠ 0 ，求f x 的解析式.
=x x≠0 ，
Байду номын сангаас
x≠0 ，
，解得f x =
2x
3
−
1
，x
3x
≠ 0.
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
方法总结
当同一个对应关系f 中的两个变量之间有互为相反数
1
（或互为倒数）关系时，可以用−x(或 )代替原式中的x
x
所得方程与原方程联立构造方程组求解．
，
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
角度3 赋值法求函数解析式
例6：已知对任意实数x，y都有f x + y − 2f y = x 2 + 2xy − y 2 + 3x − 3y，
求函数f x 的解析式.
2
x
x
x
1
2
1
+ +1 −2 +1 +3
x2
x
x
2
1
1
+ 1 − 2 + 1 + 3,
x
x
1
1 2
1
f 1+ = 1+
− 2 1 + + 3，
x
x
x
1
2
f x = x − 2x + 3. 又∵ 1 + ≠ 1,
x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
优点
缺点
列表法 解析法
不必通过计算就知道当 自变量取某些值时函数 的对应值
函数关系清楚，容易从 自变量的值求出其对应 的函数值，便于用解析 式来研究函数的性质
一般用于自变量为 有限个的函数
一些实际问题很难 找到它的解析式
图象法 能直观形象地表示出函 只能近似地反映函
数的变化情况
数的变化情况
典型例题
0
x
x
3
3
即
y
2.4
8, x
0.8,
0
x
x
3
3
问题探究
国内跨省市之间邮寄信函,每封 信函的质量和对应的邮资如下表:
信函质量(m)/g 0 m 20 20 m 40 40 m 60 60 m 80 80 m 100
邮资(M)/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00
y
20
15
10
5
0 123 4
x
函数的值域是｛5，10，15，20 ｝
例2.某市出租汽车收费标准如下：在3km以内（含3km）路程 按起步价8元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费,
试写出收费关于路程的函数解析式.
解 设路程为xkm，收费额为y元，则由题意得：
y
8
2.4
8, (x
3),
请画出图像,并写出函数的解析式.
解 邮资是信函质量的函数, 其图像
如下:
M/元
4.0
。
3.2
。
2.4
。
。 1.6
。
0.8
O 20 40 60 80 100 m/g
函数解析式为：
M=
0.8, 1.60, 2.40, 3.20, 4.00,
0<m ≤ 20 20<m ≤ 40 40<m ≤ 60 60<m ≤ 80 80<m ≤ 100
4、已知函数
f
x
x,
x
2
,
x x
0 0
, 试求
f
f
2的值。
5、已知正方形 ABCD 边长为 1，一只蚂蚁从 A出发，沿
正方形边顺次经过 B、 C到达 D点，若 x表示 P点的行程，
y表示 APD 的面积，求函数 y f ( x)的解析式。
课堂小节
1. 本节主要学习了函数的三种表示方法：解析法、 列表法和图象法的定义以及它们各自的优点以及三 者之间的相互转化。
各自的优缺点？
语……只见巨大蛛网雁胸圣猛然间长啸一声！巨大果实的飞速顿时变得慢如乌龟，只见蛛网雁胸圣甩动稀奇的春绿色的细小肥肠般的羽毛，整个身体快速变成一枚巨大的缤 纷奇蛋，这枚奇蛋一边旋转一边射出万道奇光……突然，整个奇蛋像巨大的淡青色花蕾一样绽开……三十六条水绿色花灯模样的离奇尾巴急速从里面伸出……接着，一颗白 杏仁色油桶模样的阴冷巨大猿头快速探了出来……一簇簇深青色蜜桃模样的时尚巨大翅膀飘然向外伸展……突然！两只水白色花灯模样的变质巨爪威武地伸了出来……随着 灰蓝色车灯模样的震撼奇辉的狂速乱舞，无数深青色算盘模样的奇妙羽毛和灰蓝色鳞甲飞一样射出……突然，无数白杏仁色漏斗模样的迷朦鳞片从奇蛋中窜出，飞一样射向 个个巨果！只见每只巨大鳞片上都站着一个布帘枪尾怪模样的武士……与此同时壮扭公主朝布帘枪尾怪变成的巨大植物根基飞去，而月光妹妹则朝那伙校精的真身冲飞去… …布帘枪尾怪的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的 优游 www.youyoupi 优游 植 物已经被壮妞公主一顿肥拳猛腿弄得稀烂，再看布帘枪尾怪的真身也被月光 妹妹一顿飞拳云腿，直玩得满脸桃花开，浑身别样青……“你可有点欺人太甚，就不能给点面子！”佛玻爱信徒见无法取胜，急忙变成长着离奇眼睛的橙白色古怪水牛朝西 北方向飞去……月光妹妹笑道：“对不起，没商量！”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异手掌的纯蓝色超级纸条追了上去……佛玻爱信徒见月光妹妹快要追上，又急忙变 成长着离奇脚趾的亮蓝色古怪将军朝东北方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！又换一套马甲，我随便找出一件都比你们的强……”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异牙 齿的深黑色超级蛋黄追了上去……只见女强盗Ｎ．娆丝米女士和另外二个校精怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的巨龟玉耳怪！这个巨大的巨龟玉耳怪，身长四百多米，体 重一百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分冷峻的玉耳！这巨怪有着浓绿色馅饼般的身躯和水蓝色细小毛刷样的皮毛，头上是天蓝色肥肠模样的鬃毛，长着乳白色野猪般的 飘带万花额头，前半身是浅绿色玉笋般的怪鳞，后半身是远古的羽毛。这巨怪长着青兰花色野猪般的脑袋和紫玫瑰色香蕉般的脖子，有着青远山色海星造型的脸和淡紫色轻 盈般的眉毛，配着紫罗兰色耳塞模样的鼻子。有着深青色天网造型的眼睛，和白杏仁色菱角般的耳朵，一张深青色瓜子般的嘴唇，怪叫时露出水白色鳞片般的牙齿，变态的 浅绿色章鱼样的舌头很是恐怖，水蓝色麦穗形态的下巴非常离奇。这巨怪有着酷似刀峰般的肩胛和活像怪藤模样的翅膀，这巨怪笨拙的绿宝石色白菜样的胸脯
函数的表示方法
问题探究
1. 下表列出ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是正方形面积变化情况.
边长x米 1 1.5 2
2.5 3
面积y 米2 1 2.25 4 6.25 9
这份表格表示的是函数关系吗? 当x在(0,+∞)变化时呢? 怎么表示?
你能用几种方法表示?
法1 y=x2 ,x＞0
法2 如右图
y
o
x
函数的三个表示方法：
1、列表法 ：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法。 2、解析法 :用等式来表示两个变量之间函数关系的方法. 3、图象法 ：用图象表示两个变量之间函数关系的方法。
例1、购买某种饮料x听，所需钱数为y元。若每听5元，试分
别用解析法、列表法、图象法将y表示x （x1,2,3,4）的
函数,并指出该函数的值域。
解 （1）解析法：y = 5x ， x ∈｛1，2，3，4｝
（2）列表法：
x/听 1 y/元 5
2
3
4
10 15 20
（3）图象法：
它的图象由4个孤立点组成，如图所示，这些点的坐标分别是 （1， 5），（2，10） ，（3，15），（4， 20）
以上例题中函数具有共同特点：
在定义域内不同部分上，有不同的解 析式。像这样的函数通常叫做分段函 数
（注：分段函数是一个函数，而不是几 个函数。）
课堂练习：
1、作图y 2x 1 1,并求x 2,3上的值域。
2、已知如右图象, 请写出解析式。
3、已知一次函数与x轴交点为（ 2，0），与y轴交点
为（0，1），求此函数。