计算机控制技术(4常规及复杂控制技术第2次课)
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4.0.3 脉冲传递函数
第 四 章 常 规 及 复 杂 控 制
3. 脉冲传递函数与差分方程
〖例5〗 设线性离散系统的差分方程为
y(k) + 2y(k −1) + 4y(k − 2) + 8y(k − 3) = r(k) − 2r(k −1) + 3r(k − 2)
且初始条件为零。试求系统的脉冲传递函数。 且初始条件为零。试求系统的脉冲传递函数。 变换， 解：对差分方程求z变换，得
Y(z) + 2Y(z)z−1 + 4Y(z)z−2 +8Y(z)z−3 = R(z) − 2R(z)z−1 + 3R(z)z−2
系统的脉冲传递函数为
Y(z) 1− 2z−1 + 3z−2 G(z) = = R(z) 1+ 2z−1 + 4z−2 +8z−3
4.0 数学基础及特性分析 电机控制技术—主讲 主讲： 电机控制技术 主讲：罗文广
4.0 数学基础及特性分析 电机控制技术—主讲 主讲： 电机控制技术 主讲：罗文广
4.0.3 脉冲传递函数
第 四 章 常 规 及 复 杂 控 制
1. 脉冲传递函数的定义
零初始条件下，系统或环节的输出采样函数z变换和 输入采样函数z变换之比。设系统输入信号为r(t)，采样 后r*(t)的z变换函数为R(z)。经虚设的采样开关后得到输 出采样函数y*(t)及其z变换Y(z)。则脉冲传递函数
G(z) =
Y(z) k=0 = ∞ R(z)
y(kT)z−k ∑ r(kT)z−k ∑
k=0
∞
图 开环离散系统
4.0 数学基础及特性分析 电机控制技术—主讲 主讲： 电机控制技术 主讲：罗文广
4.0.3 脉冲传递函数
第 四 章
1. 脉冲传递函数的定义 离散系统的输出采样信号为： 离散系统的输出采样信号为：
H0(s)
4.0 数学基础及特性分析 电机控制技术—主讲 主讲： 电机控制技术 主讲：罗文广
4.0.3 脉冲传递函数
第 四 章 常 规 及 复 杂 控 制
零阶保持器
f h 0 (t ) = f (kT ), kT ≤ t ≤ (k + 1)T
其把采样时刻kT处的采样值恒定地保持到下一个 其把采样时刻kT处的采样值恒定地保持到下一个 kT 采样时刻(k+1)T (k+1)T。 采样时刻(k+1)T。 若零阶保持器的输入为单位脉冲函数δ(t)， 若零阶保持器的输入为单位脉冲函数δ(t)，其输出 必为在一个采样周期内保持为常数1的方波信号。 必为在一个采样周期内保持为常数1的方波信号。有：
在系统初始条件为零的情况下，对上式求z变换
Y(z) = ∑bj R(z)z − ∑ajY(z)z− j
−j j=0 j=1
n
n
n
j=0
j=1
n
n
系统的脉冲传递函数为
Y(z) G(z) = = R(z) bj z− j ∑ 1+∑aj z− j
j=1 j=0 n
Biblioteka Baidu
4.0 数学基础及特性分析 电机控制技术—主讲 主讲： 电机控制技术 主讲：罗文广
4.0.3 脉冲传递函数
第 四 章 常 规 及 复 杂 控 制
4.广义被控对象: 广义被控对象: 广义被控对象
开环离散系统中，控制信号均经D/A D/A转换器后到达 开环离散系统中，控制信号均经D/A转换器后到达 被控对象的， D/A具有零阶保持器特性的数据保持功 被控对象的，而D/A具有零阶保持器特性的数据保持功 因此相对于控制器来说， 能 。 因此相对于控制器来说 ， 被控对象为包含了零阶 保持器的一个广义被控对象 广义被控对象。 保持器的一个广义被控对象。
−1 −1 常 y * (t ) = Ζ [Y ( z )] = Z [G ( z ) R ( z )] 规 及 结论： 复 输入R(z)已知，要求输出采样信号y*(t) R(z)已知 y*(t)关键在于求 输入R(z)已知，要求输出采样信号y*(t)关键在于求 杂 出系统的脉冲传递函数G(z)。 出系统的脉冲传递函数G(z)。 脉冲传递函数G(z) 控 制
∞
4.0 数学基础及特性分析 电机控制技术—主讲 主讲： 电机控制技术 主讲：罗文广
4.0.3 脉冲传递函数
第 四 章 常 规 及 复 杂 控 制
3. 脉冲传递函数与差分方程
根据z变换及逆z变换的性质，脉冲传递函数与差分方程 之间可以相互转换。典型的线性离散系统的差分方程可以写 成
y(k) = ∑bj r(k − j) − ∑aj y(k − j)
因零阶保持器拉氏变换形式： 零阶保持器拉氏变换形式： 拉氏变换形式 广义被控对象： 广义被控对象： 求Z变换，有： 变换，
1 − e −Ts H 0 ( s) = s
1 − e − sT G ( s ) = H 0 ( s)G p ( s ) = G p (s) s
1 − e − sT G( z) = Z[ G p ( s )] s G p ( s) e − sT G p ( s ) G p ( s) −1 = Z[ ] − Z[ ] = (1 − z ) Z [ ] s s s
得广义被控对象的传递函数为： 广义被控对象的传递函数为： 的传递函数为
G ( z ) = (1 − z ) Z [
−1
G p ( s) s
]
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4.0.3 脉冲传递函数
第 四 章 常 规 及 复 杂 控 制
a 〖例6〗 求某计算机控制系统中一个连续环节 Gp (s) = 〗 s +a
ho (t ) = 1(t ) − 1(t − T )
进行拉氏变换，可得零阶保持 进行拉氏变换，可得零阶保持 器的传递函数： 器的传递函数：
1 − e −Ts H o (s) = s
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4.0.3 脉冲传递函数
第 四 章 常 规 及 复 杂 控 制
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4.0.3 脉冲传递函数
第 四 章 常 规 及 复 杂 控 制
2. 脉冲传递函数的含义 系统脉冲传递函数G(z)就是系统单位脉冲响应g(t) 的采样值g*(t)的z变换。即用下式表示
G(z) = ∑g(kT)z−k
k=0
第 四 章 常 规 及 复 杂 控 制
3. 脉冲传递函数与差分方程
〖例5〗 设线性离散系统的差分方程为
y(k) + 2y(k −1) + 4y(k − 2) + 8y(k − 3) = r(k) − 2r(k −1) + 3r(k − 2)
且初始条件为零。试求系统的脉冲传递函数。 且初始条件为零。试求系统的脉冲传递函数。 变换， 解：对差分方程求z变换，得
Y(z) + 2Y(z)z−1 + 4Y(z)z−2 +8Y(z)z−3 = R(z) − 2R(z)z−1 + 3R(z)z−2
系统的脉冲传递函数为
Y(z) 1− 2z−1 + 3z−2 G(z) = = R(z) 1+ 2z−1 + 4z−2 +8z−3
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4.0.3 脉冲传递函数
第 四 章 常 规 及 复 杂 控 制
1. 脉冲传递函数的定义
零初始条件下，系统或环节的输出采样函数z变换和 输入采样函数z变换之比。设系统输入信号为r(t)，采样 后r*(t)的z变换函数为R(z)。经虚设的采样开关后得到输 出采样函数y*(t)及其z变换Y(z)。则脉冲传递函数
G(z) =
Y(z) k=0 = ∞ R(z)
y(kT)z−k ∑ r(kT)z−k ∑
k=0
∞
图 开环离散系统
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4.0.3 脉冲传递函数
第 四 章
1. 脉冲传递函数的定义 离散系统的输出采样信号为： 离散系统的输出采样信号为：
H0(s)
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4.0.3 脉冲传递函数
第 四 章 常 规 及 复 杂 控 制
零阶保持器
f h 0 (t ) = f (kT ), kT ≤ t ≤ (k + 1)T
其把采样时刻kT处的采样值恒定地保持到下一个 其把采样时刻kT处的采样值恒定地保持到下一个 kT 采样时刻(k+1)T (k+1)T。 采样时刻(k+1)T。 若零阶保持器的输入为单位脉冲函数δ(t)， 若零阶保持器的输入为单位脉冲函数δ(t)，其输出 必为在一个采样周期内保持为常数1的方波信号。 必为在一个采样周期内保持为常数1的方波信号。有：
在系统初始条件为零的情况下，对上式求z变换
Y(z) = ∑bj R(z)z − ∑ajY(z)z− j
−j j=0 j=1
n
n
n
j=0
j=1
n
n
系统的脉冲传递函数为
Y(z) G(z) = = R(z) bj z− j ∑ 1+∑aj z− j
j=1 j=0 n
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4.0.3 脉冲传递函数
第 四 章 常 规 及 复 杂 控 制
4.广义被控对象: 广义被控对象: 广义被控对象
开环离散系统中，控制信号均经D/A D/A转换器后到达 开环离散系统中，控制信号均经D/A转换器后到达 被控对象的， D/A具有零阶保持器特性的数据保持功 被控对象的，而D/A具有零阶保持器特性的数据保持功 因此相对于控制器来说， 能 。 因此相对于控制器来说 ， 被控对象为包含了零阶 保持器的一个广义被控对象 广义被控对象。 保持器的一个广义被控对象。
−1 −1 常 y * (t ) = Ζ [Y ( z )] = Z [G ( z ) R ( z )] 规 及 结论： 复 输入R(z)已知，要求输出采样信号y*(t) R(z)已知 y*(t)关键在于求 输入R(z)已知，要求输出采样信号y*(t)关键在于求 杂 出系统的脉冲传递函数G(z)。 出系统的脉冲传递函数G(z)。 脉冲传递函数G(z) 控 制
∞
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4.0.3 脉冲传递函数
第 四 章 常 规 及 复 杂 控 制
3. 脉冲传递函数与差分方程
根据z变换及逆z变换的性质，脉冲传递函数与差分方程 之间可以相互转换。典型的线性离散系统的差分方程可以写 成
y(k) = ∑bj r(k − j) − ∑aj y(k − j)
因零阶保持器拉氏变换形式： 零阶保持器拉氏变换形式： 拉氏变换形式 广义被控对象： 广义被控对象： 求Z变换，有： 变换，
1 − e −Ts H 0 ( s) = s
1 − e − sT G ( s ) = H 0 ( s)G p ( s ) = G p (s) s
1 − e − sT G( z) = Z[ G p ( s )] s G p ( s) e − sT G p ( s ) G p ( s) −1 = Z[ ] − Z[ ] = (1 − z ) Z [ ] s s s
得广义被控对象的传递函数为： 广义被控对象的传递函数为： 的传递函数为
G ( z ) = (1 − z ) Z [
−1
G p ( s) s
]
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4.0.3 脉冲传递函数
第 四 章 常 规 及 复 杂 控 制
a 〖例6〗 求某计算机控制系统中一个连续环节 Gp (s) = 〗 s +a
ho (t ) = 1(t ) − 1(t − T )
进行拉氏变换，可得零阶保持 进行拉氏变换，可得零阶保持 器的传递函数： 器的传递函数：
1 − e −Ts H o (s) = s
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4.0.3 脉冲传递函数
第 四 章 常 规 及 复 杂 控 制
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4.0.3 脉冲传递函数
第 四 章 常 规 及 复 杂 控 制
2. 脉冲传递函数的含义 系统脉冲传递函数G(z)就是系统单位脉冲响应g(t) 的采样值g*(t)的z变换。即用下式表示
G(z) = ∑g(kT)z−k
k=0