三角函数极限等价无穷小公式

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常用等价无穷小等价替换

常用等价无穷小等价替换在高等数学的学习中，等价无穷小的等价替换是一个非常重要的概念和工具。

它能够帮助我们在求极限的过程中简化计算，提高解题的效率和准确性。

接下来，让我们一起深入了解一下常用的等价无穷小等价替换。

首先，我们要明白什么是等价无穷小。

当两个无穷小量的比值在某个极限过程中趋向于 1 时，我们就称这两个无穷小是等价的。

例如，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。

那么，为什么要进行等价无穷小的替换呢？这是因为在求极限的运算中，如果直接代入可能会导致计算变得复杂甚至无法得出结果。

而通过等价无穷小的替换，可以将复杂的式子转化为更简单、更易于计算的形式。

下面为大家列举一些常见的等价无穷小替换：当 x 趋近于 0 时：1、 sin x ～ x这是因为当 x 很小的时候，正弦函数 sin x 的值非常接近 x 。

我们可以通过单位圆来直观地理解这一关系。

2、 tan x ～ x正切函数 tan x 在 x 趋近于 0 时，其值也与 x 非常接近。

3、 arcsin x ～ x反正弦函数 arcsin x 在 x 趋近于 0 时，与 x 等价。

4、 arctan x ～ x同样，反正切函数 arctan x 在 x 趋近于 0 时，与 x 也是等价的。

5、 ln(1 ＋ x) ～ x自然对数函数 ln(1 ＋ x)在 x 趋近于 0 时，与 x 等价。

这可以通过对数的性质和极限的计算来证明。

6、 e^x 1 ～ x指数函数 e^x 在 x 趋近于 0 时，e^x 1 的值与 x 等价。

7、 1 cos x ～（1/2)x^2余弦函数 1 cos x 在 x 趋近于 0 时，与（1/2)x^2 等价。

这个可以通过三角函数的倍角公式来推导。

在使用等价无穷小进行替换时，需要注意一些条件和规则。

一是只能在乘除法中进行等价无穷小的替换，在加减法中一般不能随意替换，除非替换后的式子与原式子的差是更高阶的无穷小。

三角函数极限等价无穷小公式

三角函数极限等价无穷小公式一、三角函数三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们的定义涉及到单位圆上的点和角度的概念。

常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。

1. 正弦函数sin(x)：在单位圆上，以原点为圆心，长度为1的线段与x轴与x轴正向所夹的角度为x时，这个线段的y坐标即为sin(x)。

2. 余弦函数cos(x)：在单位圆上，以原点为圆心，长度为1的线段与x轴与x轴正向所夹的角度为x时，这个线段的x坐标即为cos(x)。

3. 正切函数tan(x)：在单位圆上，以原点为圆心，长度为1的线段与x轴与x轴正向所夹的角度为x时，这个线段的y坐标与x坐标的比值即为tan(x)。

三角函数具有很多重要的性质和关系，例如：1. 周期性：sin(x)和cos(x)的周期都是2π，即sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)。

而tan(x)的周期则是π，即tan(x+π)=tan(x)。

2. 互余关系：sin(x)和cos(x)之间互为相反数，即sin(x)=-cos(x)，cos(x)=-sin(x)。

3. 奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，cos(-x)=cos(x)。

而tan(x)则是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。

二、极限极限是描述函数趋于一些值的重要概念，它在数学中具有广泛的应用。

极限的定义是：当自变量x的取值逐渐靠近一些值a时，函数f(x)的取值逐渐接近一些值L，这个值L就是f(x)当x趋于a时的极限。

常见的极限计算方法包括：1. 基本极限：例如lim(x→0) sin(x)/x=1，lim(x→0)(1+1/x)^x=e等。

2. 夹逼原理：如果函数f(x)在a的一些邻域内夹在两个趋于L的函数之间，那么f(x)的极限也是L。

例如lim(x→0) x^2sin(1/x)=0。

3.等价无穷小：如果lim(x→a) f(x)=0，那么lim(x→a) g(x)=0，我们可以称函数g(x)是函数f(x)的等价无穷小。

三角函数、极限、等价无穷小公式

三角函数、极限、等价无穷小公式sin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式1. 极限的概念（1）数列的极限：0>∀ε，N∃（正整数），当Nn >时，恒有ε<-A xnA x nn =∞→lim 或 Axn→ )(∞→n几何意义：在),(εε+-A A 之外，{}nx 至多有有限个点Nx x x ,,,21（2）函数的极限x →∞的极限：0>∀ε，0>∃X ，当X x >时，恒有ε<-A x f )(Ax f x =∞→)(lim 或 A x f →)( )(∞→x几何意义：在（)X x X <<-之外，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。

x x →的极限：0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，恒有ε<-A x f )(Ax f x x =→)(lim 0或 A x f →)( )(0x x →几何意义：在0000(,)(,)x xx x x δδ∈-+邻域内，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。

（3）左右极限左极限：0>∀ε，0>∃δ，当0x x x <<-δ时，恒有ε<-A x f )(Ax f x x =-→)(lim 0或 Axf x f =-=-)0()(0右极限：0>∀ε，0>∃δ，当δ+<<00x x x 时，恒有ε<-A x f )(Ax f x x =+→)(lim 0或 Axf x f =+=+)0()(0极限存在的充要条件：0lim ()lim ()x x x x f x A f x -+→→==（4）极限的性质唯一性：若A x f x x =→)(lim 0，则A 唯一保号性：若Ax f x x =→)(lim，则在0x 的某邻域内0A >(0)A <⇒()0f x >(()0)f x <；()0f x ≥(()0)f x ≤⇒0A ≥(0)A ≤有界性：若Ax f x x =→)(lim 0，则在0x 的某邻域内，)(x f 有界2. 无穷小与无穷大（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以∞为极限的变量称无穷大量；同一极限过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。

(完整版)数学公式大全

三角函数公式 1.正弦定理：A a sin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin=AC B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)4.诱导公试三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限注释：xx tan 1cot =5.和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(•-+=+④βαβαβαtan tan 1tan -tan )tan(•+=-6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθcos sin 22sin =公式七：②θθθθθ2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-==θθ22tan 1tan 1+- ③θθθ2tan 1tan 22tan -=④ 22cos 1sin 2θθ-= ⑤ 22cos 1cos 2θθ+=⑥ Sin 2x+cos 2x=1 ⑦ 1+tan 2x=sec 2x ⑧ 1+cot 2x=csc 2x7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定）①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±8.积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin9.和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-高等数学必备公式1、指数函数（4个）：幂函数5-8（1）nm n m aa a +=⋅ （2）nm n m a aa -=（3）nmn ma a= （4）m m aa 1=- （5） nm n m xx x +=⋅2、对数函数（4个）：（1）b a ab ln ln ln += （2）b a b a ln ln ln -=（3）a b a bln ln = （4）N N e e N ln ln ==3、三角函数（10个）：（1）1cos sin 22=+x x （2）x x x cos sin 22sin = （3）x x x x x 2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= （4）21cos 2sin 2x x -= （5）21cos 2cos 2xx +=（6）x x 22sec tan 1=+ （7） xx 22csc cot 1=+（8）x x csc 1sin = （9）x x sec 1cos =（10）xx cot 1tan =4、等价无穷小（11个)：（等价无穷小量只能用于乘、除法）23330sin ~ arcsin ~ tan ~ arctan ~1~ln(1)~ 1cos ~11~20tan sin ~ tan ~ sin ~236n e nx x x x x x x x x x →-+-+-→---当时：当时：幂函数：（1）)('c =0 （2）1)(-='μμμx x（3）211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭（4）'指数对数：（5）a a a xx ln )(=' （6）x x e e =')(（7）a x x a ln 1)(log =' （8）x x 1)(ln ='三角函数：（9）x x cos )(sin =' （10）x x sin )(cos -='（11）x x 2sec )(tan =' （12）x x 2csc )(cot -='（13）x x x tan sec )(sec =' （14）x x x cot csc )(csc -='反三角函数：（15）211)(arcsin x x -=' （16）211)(arccos x x --=' （17）211)(arctan x x +=' （18）211)cot (x x arc +-='求导法则：设u=u(x),v=v(x)1. (u —+v )’=u ’—+v ’ 2. (cu)’=cu ’(c 为常数) 3. (uv)’=u ’v+uv ’ 4. (vu )’=2''u v uv v -幂函数：（1）⎰+=C kx kdx （2）⎰-≠++=+)1(11μμμμC x dx x（3）211dx C x x=-+⎰ （4）C =（5）C x dx x +=⎰ln 1指数函数：（6）C a a dx a xx+=⎰ln （7）⎰+=C e dx e x x三角函数：（8） ⎰+-=C x xdx cos sin （9） ⎰+=C x xdx sin cos （10） tan ln cos xdx x C =-+⎰ （11）cot ln sin xdx x C =+⎰ （12）⎰+=C x xdx x sec tan sec （13）⎰+-=C x xdx x csc cot csc （14）⎰⎰+==Cx xdx xdxtan sec cos22（15）⎰⎰+-==Cx xdx dx x cot csc sin 122（16）sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ （17）csc ln csc cot xdx x x C =-+⎰（18）Cx dx x +=-⎰arcsin 112（19）arcsinx C a=+（20）Cx dx x +=+⎰arctan 112 （21）2211arctan xdx C ax a a =++⎰（22）Ca x x dx a x +++=+⎰2222ln 1 （23）Ca x x dx ax +-+=-⎰2222ln 1 （24）2211ln 2x a dx C xa a x a-=+-+⎰补充：完全平方差：222)(b ab a b a +-=- 完全平方和：222)(b ab a b a ++=+ 平方差：))((22b a b a b a +-=- 立方差：))((2233b ab a b a b a ++-=- 立方和：))((2233b ab a b a b a +-+=+常见的三角函数值奇/偶函的班别方法：偶函数：f(-x ）= f(x) 奇函数：f(-x)= -f(x)常见的奇函数：Sinx , arcsinx , tanx , arctanx , cotx , x2n+1常见的有界函数：Sinx , cosx , arcsinx , arccosx , arctanx , arccotx极限运算法则：若lim f(x)=A,lim g(x)=B,则有：1. lim [f(x)—+g(x)]=lim f(x)—+lim g(x)=A —+B 2. lim [f(x).g(x)]=lim f(x).—+lim g(x)=A .B3. 又B 不等于0，则BAx g x f x f ==)(lim )(lim g(x))(lim两个重要极限：11sin lim 0=→x x x 1)()(sin lim 0)(=−−→−→x g x g x g 推广 2.e x g e x e xx g x xx x x =+−−→−=+=+∞→∞→∞→)(11))(1(lim )1(lim )11(lim 推广；；.无穷小的比较：设：lim α=0,lim β=01. 若lim αβ=0,则称β是比α较高价的无穷小量2. 若lim αβ=c ，（c 不等于0）,则称β是比α是同阶的无穷小量3. 若lim αβ=1,则称β是比α是等价的无穷小量4. 若lim αβ=∞,则称β是比α较低价的无穷小量抓大头公式：mm m mn n n n b x b a x a a xx xx +⋯⋯++++⋯⋯++----11101110b b a lim=｛mn m n mn b >∞<=,,0,a 0积分：1.直接积分（带公式）2.换元法：① 简单根式代换a. 方程中含nb ax +，令nb ax +=t b.方程中含ndcx b ax ++，令ndcx b ax ++=tc. 方程中含nb ax +和mb ax +，令pb ax +（其中p 为n,m 的最小公倍数）② 三角代换： a. 方程中含22a x -,令X=asint; t ⊂(-2π,2π)b. 方程中含22a x +,令X=atant; t ⊂(-2π,2π)c. 方程中含22x a -,令X=asect; t ⊂(0,2π)③ 分部积分∫uv ’ dx=uv-∫u ’v dx反（反三角函数）对幂指三,谁在后面，谁为v ’，根据v ’求出v.无穷级数：1. 等比级数：∑∞=1n n aq ，｛发散收敛,1q ,1q ≥<2. P 级数：∑∞=11n pn，｛发散收敛,1p ,1p ≤>3. 正项级数：nn n uu 10lim +→=ρ，｛判别法，无法判断，改用比较发散收敛1,1,1=><ρρρ4.比较判别法：重找一个V n （一般为p 级数），敛散性一致与，∑∑∞=∞=∞→=1n 1n n lim n n v u A nnv u5. 交错级数：)0()1(1>-∑∞=n n n n u u ，莱布尼茨判别法：｛0lim 1=∞→+≥u n n n u u ，则级数收敛。

常见的等价替换公式

常见的等价替换公式在咱们学习数学的过程中，有好多等价替换公式就像是一把把神奇的钥匙，能帮咱们轻松打开难题的大门。

今天，咱就来好好聊聊这些超有用的等价替换公式！先来说说三角函数里常见的等价替换公式吧。

比如说，当 x 趋近于0 时，sin x 就约等于 x 。

这就好比你走在路上，刚开始走的距离很短的时候，你走的直线距离和你沿着弯曲的道路走的距离几乎是一样的。

我记得有一次，我在给学生讲这个公式的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这到底咋用啊？”我就给他举了个例子，假设咱们有一个很小的角度，比如 5 度，那 sin5 度算起来很麻烦吧，但咱们用这个等价替换，就可以直接当成 5 度对应的弧度值，也就是5×π/180 去计算，是不是简单多啦？再看看指数函数和对数函数中的等价替换公式。

当 x 趋近于 0 时，(1 + x) 的 1/x 次方约等于 e 。

这就好像是一个神秘的魔法数字 e ，总是在这些微小的变化中展现出它的魅力。

有一次我在课堂上做演示，我把这个公式比作是一个会变形的小精灵，它能在不同的题目中变换形态，帮助我们找到答案。

同学们听了都哈哈大笑，但是也记住了这个有趣的公式。

还有在求极限的时候，经常会用到的等价无穷小替换。

比如，当 x趋近于 0 时，tan x 等价于 x ，1 - cos x 等价于 x²/2 。

这就像是给我们的解题工具包增添了一个个强大的武器。

我曾经看到一个学生，在做一道复杂的极限题时，因为没有想到用这些等价替换公式，在那抓耳挠腮半天也没做出来。

我走过去轻轻一点拨，告诉他可以用 tan x 等价于 x 这个公式，他一下子恍然大悟，很快就把题目做出来了，脸上露出了开心的笑容。

等价替换公式不仅在数学计算中能帮我们大忙，在实际生活中也有它的影子呢。

比如说，我们在估算一些很小的角度对应的三角函数值时，就可以用这些公式快速得到一个近似的结果。

就像我们在建造一个小模型的时候，如果角度很小，用这些等价替换公式来计算相关的数据，能节省不少时间和精力。

常用等价无穷小_泰勒公式_三角函数

常用等价无穷小_泰勒公式_三角函数泰勒公式是数学中极为重要的公式之一，它可以将任意函数表示为多项式的形式。

在微积分中，泰勒公式经常被用来近似计算函数的值。

它是由17世纪英国数学家布鲁斯·泰勒发现的，被广泛地应用于物理、工程和计算机科学等领域。

泰勒公式的一般形式是：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中，f(x)是要近似的函数，a是近似点，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的一阶导数，f''(a)表示函数f(x)在点x=a处的二阶导数，以此类推。

f^(n)(a)表示函数f(x)在点x=a处的n阶导数，Rn(x)为拉格朗日余项。

三角函数在泰勒公式中的应用也非常广泛。

我们可以利用泰勒公式来近似计算正弦函数、余弦函数、正切函数等等。

以正弦函数为例，我们将其展开为带有无穷多项的泰勒级数。

正弦函数的泰勒级数展开为：sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...我们可以利用该级数来计算任意角度的正弦函数值。

例如，当x取0时，根据泰勒级数的定义，我们可以得到sin(0)=0。

当x取π/6时，根据泰勒级数的前几项，我们可以得到sin(π/6)≈π/6-π^3/6^3*3!≈0.5同样地cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...我们可以利用该级数来计算任意角度的余弦函数值。

例如，当x取0时，根据泰勒级数的定义，我们可以得到cos(0)=1、当x取π/4时，根据泰勒级数的前几项，我们可以得到cos(π/4)≈1-π^2/4^2*2!≈0.707在实际应用中，我们通常只需要计算泰勒级数的前几项，因为随着项数的增加，计算的复杂度会增加，并且前几项已经能够给出较为精确的近似值。

三角函数极限等价无穷小公式

三角函数极限等价无穷小公式1.$x$趋向于0时的正弦极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$$这个公式告诉我们，当$x$趋向于0时，$\sin{x}$与$x$之间的比值趋于1、这个公式是三角函数的基本极限之一，它在很多计算和推导中经常被使用。

2.$x$趋向于0时的余弦极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{x} = 0$$这个公式告诉我们，当$x$趋向于0时，$1 - \cos{x}$与$x$之间的比值趋于0。

这个公式在求解一些特定极限时非常有用。

3.$x$趋向于0时的正切极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan{x}}{x} = 1$$这个公式告诉我们，当$x$趋向于0时，$\tan{x}$与$x$之间的比值趋于1、这个公式在计算一些特殊函数的导数时经常被使用。

4.$x$趋向于0时的反正弦极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}{x}}{x} = 1$$这个公式告诉我们，当$x$趋向于0时，$\sin^{-1}{x}$与$x$之间的比值趋于1、这个公式在计算一些特定反三角函数的导数时非常有用。

5.$x$趋向于0时的反余弦极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos^{-1}{x}}{x} = 1$$这个公式告诉我们，当$x$趋向于0时，$\cos^{-1}{x}$与$x$之间的比值趋于1、这个公式在计算一些特定反三角函数的导数时非常有用。

通过这些公式，我们可以简化和加速一些复杂的数学计算，在求解极限、导数和积分等问题时非常有应用价值。

这些公式的证明过程比较繁琐，需要使用一些高级的数学工具和技巧，因此在这里不进行详细推导。

除了这些基本的三角函数极限等价无穷小公式之外，还有一些其他的相似公式，例如：$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{x^2} = \frac{1}{2}$$$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2{x}}{x^2} = 1$$$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2{x} - 1}{x^2} = -1$$这些公式在高等数学的课程中经常出现，学生需要注意掌握它们的应用场景和使用方法。

考研数学二公式高数线代(费了好大的劲)技巧归纳

高等数学公式一、常用的等价无穷小当x →0时x ~sin x ~tan x ~arcsin x ~arctan x ~ln （1+x ） ~ e x -1a x -1~x ln a(1+x )α-1 ~ αx (α为任意实数，不一定是整数)1-cos x ~21x 2增加x -sin x ~61x 3 对应 arcsin x –x ~ 61x 3 tan x –x ~ 31x 3 对应 x - arctan x ~ 31x 3二、利用泰勒公式e x = 1 + x ++！22x o （2x ））　（33 o !3sin x x x x +-=cos x = 1 – +！22x o （2x ） ln （1+x ）=x – +22x o （2x ）导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x a a a ctgx x x tgx x x xctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

等价无穷小转换公式

等价无穷小转换公式首先，我们来介绍等价无穷小的定义。

在微积分中，无穷小是指趋于零的量。

如果两个无穷小在一些条件下表现出相同的趋势，即它们的极限为零，那么我们就可以说它们是等价的。

等价无穷小转换公式是指将一个无穷小替换为与之等价的另一个无穷小的公式。

一、常见的等价无穷小转换公式：1.当x趋于零时，有以下等价无穷小转换公式：(a) sin x ~ x这个公式的证明可以使用泰勒展开式，并且利用级数求和的特点。

(b) tan x ~ x这个公式的证明可以利用极限定义和泰勒展开。

(d)e^x-1~x这个公式的证明可以使用泰勒展开式和极限定义。

(e) (1+ x)^a - 1 ~ ax这个公式的证明可以使用泰勒展开式和极限定义。

(f) a^x - 1 ~ x ln a这个公式的证明可以使用极限定义和泰勒展开。

2.当x趋于无穷时，有以下等价无穷小转换公式：(a) sin x ~ x这个公式的证明可以利用级数展开和三角函数的性质。

(b) tan x ~ x这个公式的证明可以利用极限定义和泰勒展开。

(c)e^x-1~x这个公式的证明可以使用级数展开和指数函数的性质。

(d) ln(1+x) ~ x这个公式的证明可以使用极限定义和泰勒展开。

(e) (1+ x)^a - 1 ~ ax这个公式的证明可以使用泰勒展开式和极限定义。

(f)x^a/e^x~0这个公式的证明可以使用极限定义和指数函数的性质。

(g)x^n/a^x~0这个公式的证明可以使用极限定义和指数函数的性质。

二、这些等价无穷小转换公式的证明通常采用的方法是泰勒展开和极限定义。

对于泰勒展开，可以使用泰勒级数的公式，将函数展开成无穷级数的形式，并利用级数求和的特性来证明等价无穷小的关系。

对于极限定义，可以使用极限的定义来证明等价无穷小的关系。

对于x趋于零的情况，使用极限的定义，对于x趋于无穷的情况，使用无穷大的定义。

考研数学二公式高数线代(费了好大劲)技巧归纳

·半角公式：
sin 1 cos cos 1 cos
2
2
2
2
tg 1 cos 1 cos sin ctg 1 cos 1 cos sin
2 1 cos sin 1 cos
2 1 cos sin 1 cos
·正弦定理： a b c 2R c ·余弦定理： 2 a2 b2 2abcosC sin A sin B sin C
ln（1+ x ）= x – x2 o（ x2 ） 2
(tgx) sec2 x
(ctgx) csc2 x
(secx) sec x tgx
(cscx) cscx ctgx
(a x ) a x ln a
(log a
x)
1 x ln
a
(arcsinx) 1 1 x2
(arccosx) 1 1 x2
M点的曲率：K lim d s0 s ds
直线：K 0;
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C dx ln(x
x2 a2
x2 a2 )C
In
2
sin n
0
xdx
2
0
c osn
xdx
n 1 n In2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln( x x2 a2 ) C
2
2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln x x2 a2 C
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
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三角函数的有理式积分：
s
in
x
1
2u u
2

含有三角函数的极限怎么求

含有三角函数的极限怎么求可以借助重要极限1求解：lim(x→0）tan5x/x=5lim(x→0）tan5x/（5x）=5，极限就是建立在三角函数基本公式变换的基础上，常见的有：（1）等价无穷小代换，（2）洛必达法则。

三角函数相关公式两角和公式sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosacos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinbtan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga) 倍角公式tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n] =0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/ n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanatanbtan(a+b)+tana+tanb-tan(a+b)=0万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa))ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa))和差化积2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosbctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosb。

极限的等价无穷小公式

极限的等价无穷小公式
极限是数学中的重要概念，通俗地说，它表示当某个自变量无限逼近某个数值时，函数的取值无限逼近于某个值。

而等价无穷小公式则是用于求极限的一种方法。

等价无穷小公式指的是，在求某个函数的极限时，如果存在两个函数f(x)和g(x)，满足g(x)在x趋于0时为0，而f(x)和g(x)在0附近的取值非常接近，那么就可以说f(x)是g(x)的等价无穷小。

具体地，如果f(x)/g(x)的极限为1，则有：
lim(x→0) f(x) = lim(x→0) [g(x)]
常用的等价无穷小公式有以下几种：
1. 当x趋于0时，sin(x)和x是等价无穷小。

2. 当x趋于0时，tan(x)和x是等价无穷小。

3. 当x趋于0时，e^x-1和x是等价无穷小。

4. 当x趋于0时，ln(1+x)和x是等价无穷小。

使用等价无穷小公式可以有效简化复杂的极限运算，并且可以用于推导一些重要的数学定理。

需要注意的是，在使用等价无穷小公式时，必须保证函数的极限存在，且需要进行严谨的证明。

常用无穷小等价代换公式(一)

常用无穷小等价代换公式(一)资深创作者关于常用无穷小等价代换公式的相关公式如下：1. 零与无穷小等价零与无穷小是数学中常见的极限概念，它们之间存在等价关系。

lim x→0sin(x)x=1这个公式表示，当x趋向于0时，sin(x)x的极限等于1。

2. 指数与幂等价指数和幂的函数在某些情况下也可以等价代换。

lim x→∞(1+1x)x=exp(1)这个公式表示，当x趋向于无穷时，(1+1x )x的极限等于自然指数exp(1)。

3. 自然对数与对数等价自然对数和普通对数之间也可以进行等价代换。

lim x→0ln(1+x)x=1这个公式表示，当x趋向于0时，ln(1+x)x的极限等于1。

4. 三角函数等价不同三角函数之间也存在等价代换的关系。

lim x→01−cos(x)x2=12这个公式表示，当x趋向于0时，1−cos(x)x2的极限等于12。

5. 幂次函数等价不同幂次函数在某些情况下也可以等价代换。

lim x→0e x−1x=1这个公式表示，当x趋向于0时，e x−1x的极限等于1。

6. 三角函数与指数函数等价三角函数和指数函数之间也可以进行等价代换。

lim x→01−cos(x)x2=12这个公式表示，当x趋向于0时，1−cos(x)x2的极限等于12。

7. 对数与指数等价自然对数与指数函数之间也有等价代换关系。

lim x→∞ln(x)x=0这个公式表示，当x趋向于无穷时，ln(x)x的极限等于0。

8. 高阶无穷小等价在一些情况下，高阶无穷小之间也可以进行等价代换。

lim x→0e x−ln(1+x)−xx2=12这个公式表示，当x趋向于0时，e x−ln(1+x)−xx2的极限等于12。

这些是常见的无穷小等价代换公式及其解释说明。

通过应用这些公式，可以简化数学问题的计算，使得推导和求解过程更加简明和便捷。

ex-cos等价无穷小

ex-cos等价无穷小
首先，让我们来解释一下"ex-cos"这个术语。

"ex-cos"是一个指数函数和余弦函数的组合，表示为excos(x)。

指数函数(e^x)表示为以常数e 为底数的指数幂，而余弦函数(cos(x))表示为给定角度的三角函数。

现在我们来解释什么是"等价无穷小"。

等价无穷小是一个数学概念，用来描述两个函数在某点附近的行为非常相似。

如果函数f(x)和g(x)在某个点x=a附近满足lim(x→a)(f(x)/g(x)) = 1，那么我们说f(x)和g(x)是在x=a处等价无穷小。

现在我们来讨论excos(x)是否是等价无穷小。

我们需要研究lim(x→0)(excos(x)/x)的值。

如果这个极限等于1，那么我们可以说excos(x)是在x=0处的等价无穷小。

要计算这个极限，我们可以使用泰勒级数展开式。

将excos(x)和x都展开到一阶项，我们可以得到excos(x)/x的近似表达式为1+x/2。

因此，当x趋近于0时，excos(x)/x的极限值为1，这意味着excos(x)是在x=0处的等价无穷小。

总结一下，excos(x)是一个指数函数和余弦函数的组合。

它在x=0处是一个等价无穷小，这意味着它在x=0附近的行为非常接近于x。