正余弦定理综合应用课件

∴a2－b2＝±c2，即 a2＝b2＋c2 或 b2＝a2＋c2.
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍．即 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2 ＋b2－2abcosC
4.余弦定理的推论
cosA＝b2＋c2－a2
2bc
，cosB＝a2＋c2－b2
2ac
，cosC＝a2＋b2－c2
(2)判定三角形形状时经常用到下列结论： ①在△ABC 中，若 a2<b2＋c2，则 0°<A<90°；反之，若 0°<A<90°，则 a2<b2
＋c2. ②在△ABC 中，若 a2＝b2＋c2，则 A＝90°；反之，若 A＝90°，则 a2＝b2
＋c2. ③在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则 90°<A<180°；反之，若 90°<A<180°，
(2)sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR.
角
(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． 在三角形中，大边对大角对大正弦
(4)sianA＝sibnB＝sincC＝sinA＋a＋sinbB＋＋c sinC. a b sinA sin B A B
一、复习回顾
3.余弦定理：
2cosAsinB＝cosAsinC＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB，
∵sinB≠0，∴cosA＝12，
∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.
(2)由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos60°,7＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
把 b＋c＝4 代入，得 bc＝3.
类型二 判断三角形形状
跟 1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2b·的大小； (2)若 a＝ 7，b＋c＝4，求 bc 的值．
解(1)由正弦定理，2bcosA＝ccosA＋acosC⇒2cosA2RsinB＝cosA2RsinC＋2RsinAcosC⇒
∴sin Bcos B＝sin Acos A，∴sin 2B＝sin 2A,
2A,2B 0,2 ,∴2B＝2A或2B＋2A＝π，∴A＝B或A＋B＝ ，
2
故△ABC为等腰三角形或直角三 角形
．
法二：由正余弦定理：sin B
b
,sin A
a
, cos B a2 c2 b2 , cos A b2 c2 a2
①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式．此
时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sinA＝sinB⇔A ＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B 或 A＋B＝π2; sinA＝cosB ⇔A＋B＝π2等
②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式．
)
10
10 3 10
5
A. 10 B. 5 C. 10 D. 5
A
B
C
解析 由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosπ4＝2＋9－2× 2×3× 22＝5.∴AC＝ 5.
由正弦定理，得sAinCB＝sBinCA，
所以
sinA＝BCAsCinB＝3×522＝3
10 10 .
类型一 解三角形
6.4.3正余弦定理综合应用
数学组
一、复习回顾
1、正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sianA＝sibnB＝sincC =2R 2．正弦定理的变形
设三角形的三边长为 a，b，c，外接圆的半径为 R，正弦定理有如下变形：
(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC． 边
2R
2R
2ac
2bc
原等式可化为a－c·a2＋2ca2c－b2b＝b－c·b2＋2cb2c－a2a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，故三角形为直角三角形或等腰三角形
金版点睛： 判定三角形的形状
(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思 想．判断三角形的形状有两条思路：
则 a2>b2＋c2.
类型二 判断三角形形状
跟 2．在△ABC 中， bcosA＋acosB＝csinC，试判断三角形的形状．
解：由正弦定理可知：a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C 2R sin B cos A 2RsinAcosB 2R sin C sin C sin BcosA sin Acos B sin CsinC
sinA B sin C sin C
sin C sin C sin C 又C 0,
sinC 1 或sin C 0
C 三角形ABC为直角三角形
2
类型二 判断三角形形状
变式．在△ABC 中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．
解 由余弦定理，知
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
cosA＝ 2bc ，cosB＝ 2ac ，cosC＝ 2ab ，
代入已知条件，得
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
c2－a2－b2
a· 2bc ＋b· 2ac ＋c· 2ab ＝0，
通分，得 a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理，得(a2－b2)2＝c4.
2ab
B
5.正余弦定理在解三角形中的应用
A
C
在解三角 正弦定理
余弦定理
形中的应
用
不
1.已知两角及其一边 1.已知三边
同
2.已知两边及其夹
角
共同
已知两边及其 对角
6.面积公式S= 1 bcsinA 1 acsin B 1 absin C
2
2
2
类型一 解三角形
例 1.在△ABC 中，∠ABC＝π4，AB＝ 2，BC＝3，则 sin∠BAC＝(
例2．在△ABC中，若 (a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，判断△ ABC的形状
解：由正弦定理可知：a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C (2Rsin A－2Rsin Ccos B)sin B＝(2Rsin B－2Rsin Ccos A)sin A， (sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A，