多元正态分布(9 6)PPT课件
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第三章多元正态分布
1 n
nΣ
n
1 n
Σ
n 1 n
Σ
26
2.有效性
设θˆ 是θ的一个无偏估计，若对θ的任一无偏估计 θ有
V θˆ V θ，θ Θ 即V θ -V θˆ 为非负定矩阵，则称θˆ 为θ的一致最优
1 1
0 0
0 2
4 2
4 1
41
1 1
0 0
0 2
6 16
16 20
16
20 40
17
给定y2时y1的条件均值和条件协差阵分别为
2 1
+
16 20
1 40
y2
3
=
1 2
,
Σ
12 1 2
1 2
2 2
易见，ρ是x1和 x2的相关系数。当|ρ|<1时，可得x的 概率密度函数为
f
x1,
x2
1
21 2
1
2
exp 2
1
1 2
x1 1 1
2
,
14 34
11 31
13 33
。
12
(5)设x1,x2,⋯,xn相互独立，且xi~Np(μi, Σi) ，i=1,2,⋯,n， 则对任意n个常数k1,k2,⋯,kn，有
n
ki xi
多元正态分布
1 (2 )
p 2
12
1 1 exp ( x ) ( x ) 2
1
( 这里Σ=AA′,
1 1 1 ( AA ) ( A ) A )
§2.2 多元正态分布的定义
定义2.2.4 若 p 维随机向量X=(X1,X2…Xp)′的联合密 度函数为
⑤ 写出X=AU+μ的密度函数： 1 1 f X ( x) exp u u J (u x) p 2 (2 ) 2 1 1 2 1 1 1 exp [ A ( x )][ A ( x )] p 2 (2 ) 2
§2.2 多元正态分布的定义
1. 多元正态分布的定义
2. 多元正态分布的性质
§2.2 多元正态分布的定义
在一元统计中，若U～N(0,1),则U的任意线性变 换X=σU+μ～N(μ,σ2)。利用这一性质，可以从标准 正态分布来定义一般正态分布： 若U～N(0,1),则称X =σU+μ的分布为一般正态分 布,记为X ～N(μ, σ2 )。 此定义中，不必要求σ＞0,当σ退化为0时仍有意 义。把这种新的定义方式推广到多元情况，可得 出多元正态分布的第一种定义。
故 X2 0 2 0 1 Y X 3 ~ N ( 0 , 0 3 0 ). 2 1 0 1 X1
§2.2 多元正态分布的性质
(3) 设Z=2 X1-X2+3X3,试求随机变量Z的分布. Z=2 X1-X2+3X3 =(2,-1,3)X=CX 2 故有: z C x (2,1,3) 0 4 0 2 z C xC 1 1 0 2 2 (2,1,3) 1 2 0 1 1,0,9 1 0 0 3 3 3 29 所以 Z ~ N(4,29).
p 2
12
1 1 exp ( x ) ( x ) 2
1
( 这里Σ=AA′,
1 1 1 ( AA ) ( A ) A )
§2.2 多元正态分布的定义
定义2.2.4 若 p 维随机向量X=(X1,X2…Xp)′的联合密 度函数为
⑤ 写出X=AU+μ的密度函数： 1 1 f X ( x) exp u u J (u x) p 2 (2 ) 2 1 1 2 1 1 1 exp [ A ( x )][ A ( x )] p 2 (2 ) 2
§2.2 多元正态分布的定义
1. 多元正态分布的定义
2. 多元正态分布的性质
§2.2 多元正态分布的定义
在一元统计中，若U～N(0,1),则U的任意线性变 换X=σU+μ～N(μ,σ2)。利用这一性质，可以从标准 正态分布来定义一般正态分布： 若U～N(0,1),则称X =σU+μ的分布为一般正态分 布,记为X ～N(μ, σ2 )。 此定义中，不必要求σ＞0,当σ退化为0时仍有意 义。把这种新的定义方式推广到多元情况，可得 出多元正态分布的第一种定义。
故 X2 0 2 0 1 Y X 3 ~ N ( 0 , 0 3 0 ). 2 1 0 1 X1
§2.2 多元正态分布的性质
(3) 设Z=2 X1-X2+3X3,试求随机变量Z的分布. Z=2 X1-X2+3X3 =(2,-1,3)X=CX 2 故有: z C x (2,1,3) 0 4 0 2 z C xC 1 1 0 2 2 (2,1,3) 1 2 0 1 1,0,9 1 0 0 3 3 3 29 所以 Z ~ N(4,29).
正态分布ppt课件统计学
详细描述
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
第三讲多元正态分布
二元正态分布的密度曲面图
2 2 下图是当 1 2 , 0.75 时二元正态分布的钟形密
度曲面图。
多元正态分布性质
（1）、若 X ( X1, X 2 , X p )T ~ N p (, )， 是对角阵， 则 X1, X 2 , X p 相互独立。 （2）、若 X ~ N p (, ) ， A 为 s p 阶常数阵，则
•有些现象服从多元正态分布
•许多多元统计分布的抽样分布是近似正态分布
23
多元正态分布
它是一元正态分布的推广
X ~ N p ,
设随机向量 X ( x1 , x2 ,, x p )' 服从P维正态分布，则有，
f ( X ) 2
p 2
1 2
1 1 exp x x 2
12
随机向量的数字特性
随机向量的均值
E ( X 1 ) 1 E( X 2 ) 2 E( X ) E( X ) p p
性质
E ( AX ) AE( X ) E ( AXB) AE( X ) B E ( AX BY ) AE( X ) BE(Y )
15
性质
1)若(x1,x2,…，xp)’ 和(y1,y2,…，yq)’不相关。则
cov(x1 , y1 ) cov(x1 , y2 ) cov(x1 , yq ) cov(x2 , y1 ) cov(x2 , y2 ) cov(x2 , yq ) 0 cov(x , y ) cov(x , y ) cov(x , y ) p 1 p 2 p q
(1) q
多元统计分析——多元正态分布
一、多元正态分布的定义
1、一元正态分布的定义 若变量 X 的概率密度为：
x 2
2 2
1 f x e 2
， 0 ，
则称 X 服从一元正态分布，记为 X ～ N , 2 。 我们可以将上式改写为：
f x 2
1 2
1 exp x ' 2 2
量 X 的相关阵为
R rij p p
其中
rij
Var X i Var X j
covX i , X j
ij ii Байду номын сангаасj
i, j 1,2,， p
另证明：标准化数据的协方差阵正好是原始指标的相 关阵
第2节
多元正态分布
一、多元正态分布的定义 二、均值向量和协方差阵的估计 三、维希特（Wishart）分布 四、统计距离
三、多元变量的独立性
定义 3 两个随机向量 x 和 y 相互独立的充要条件为：
PX x, Y y PX x PY y
对任意的 x, y
若 F x, y 为 x, y 的联合分布函数； G x 和 H y 分别为 x 和 y 的分布函数， 则 x 与 y 独立当且仅当 F x, y G x H y 若 X ,Y ' 有密度函数 f x, y ， g x 和 h y 分别表示 X 和 Y 的分布密度， X 和 Y 用 则 独立当且仅当
X 1 X 2 X p q
q
μ 1 μ 2 μ p q
q
11 21
12 21 p q
多元正态分布(新) ppt课件
2 22
EX1 1, EX 2 2 ,
(1 0,2 0, 1)
Var(
X
1
)
2 11VBiblioteka r(X2)
2 22
,
( X1, X 2 ) cov(X PPT课件1, X 2 ) 11 22
5
二元正态分布曲面(
2 11
1,
2 22
X i1 X1
11
§2多元正态分布的参数估计
一、多元样本及其样本数字特征
１．多元样本阵
X11 X12
X
X
21
X 22
X
n1
X n2
记
X(i) ( Xi1, Xi2 ,Xip )
X1p
X
2
p
X
np
i 1,2n
PPT课件
12
2、多元样本的数字特征
样本均值：
一、多元正态分布的定义 定义1：若p维随机向量 X (X1,X p) 的密度函数为：
f (x1,xp )
1
(2 ) p
1/ 2
exp
1 2
(x
μ)1( x
μ)
其中， x (x1,xp ), μ 是p维向量 是p阶
正定矩阵，则称X服从p维正态分布，记为 X ~ N p(μ,)
第一章 多元正态分布及其参数估计
PPT课件
1
§1多元正态分布的定义及其性质
多元正态分布的重要性： （1）多元统计分析中很多重要的理论和方法都是直接或间接
多元正态分布及参数估计
2019/11/6
应用统计方法
22
2、性质 1） 设为常数，则 E (a X )a(E X )； 2）设 A,B,C 分别为常数矩阵，则
E ( A C X ) A E ( X B ) B C
3）设 X 1,X 2, ,X n为 n个同阶矩阵，则
E ( X 1 X 2 X n ) E X 1 E X 2 E X n
对一切 x、y成立，则称 x和 y相互独立。
2、设 x和 y是两个连续随机向量， x和 y相互
独立，当且仅当
f(x|y)fx(x)或 F (x ,y ) F x(x )F y(y )
对一切
2019/11/6
x
、y
成立。 应用统计方法
19
3、设 x1,x2, ,xn是 n个随机向量，若
F ( x 1 , x 2 , , x m ) F 1 ( x 1 ) F 2 ( x 2 ) F m ( x m ) mn
2019/11/6
应用统计方法
23
二、协方差矩阵
1、定义：设 x (x 1 ,x2, ,xp)和 y (y 1 ,y2, ,y q)分 别为 p维和 q维随机向量，则其协方差矩阵为
Exx2 1 E E ((xx1 2))y1E(y1)
y2E(y2) yqE(yq)
降的右连续函数；
2019/11/6
应用统计方法
4
② 分布函数的取值范围为[0，1]，即
0F(a1,a2, ,ap)1
③ 分布函数当变量取值为无穷大时，函数值收敛到1，即
F(,, ,)1
2019/11/6
应用统计方法
5
二、两个常用的离散多元分布
第二章 多元正态分布 《应用多元统计分析》 ppt课件
写字母表示； 随机变量用大写字母表示，其实现值用小写字母表示。
1
一、随机向量
在理论上，对多维随机向量的研究和对一维随机 变量的研究思路是类似的，通过分布及其特征进 行刻画。不同的是，可能要考虑变量之间的相关 关系。
在统计应用上，对多维随机向量的研究和对一维 随机变量的研究思路也是一样的，要通过样本资 料来推断总体。
19
二、多元正态分布的数字特征
若 X ~ Np μ, Σ ，则 E(X) μ，D(X) Σ ，即 μ 恰好是
多维随机向量 X的均值向量， Σ 恰好是多维随机 向量 X 的协差阵。其中，
1
μ
2
，
p
11 12
Σ
21
22
p1 p2
1p
2
p
pp
20
三、多元正态分布的参数估计
若 X 的联合分布密度为 f (x1, x2 , , xp )，则 X(1) 的边缘 密度函数为：
f (x1, x2 , , xq )
f (x1, x2 ,
, xq , xq1,
, xp )dtq1
dt，p (2.3)
多维随机向量的独立性。若 p个随机变量
X1, X 2 ,, X p的联合分布密度等于各自边缘分布的 乘积，则称 X1, X 2 ,, X p是互相独立的。
1
x)(x( )
x)
n
(x1 x1)2
1
1 n
n
(x1 x1)(x 2 x2 )
1
n
(x 2 x2 )2
1
n
x 2
1
n
x
p
1
n
( x 1
x1)(x p
xp
1
一、随机向量
在理论上，对多维随机向量的研究和对一维随机 变量的研究思路是类似的，通过分布及其特征进 行刻画。不同的是，可能要考虑变量之间的相关 关系。
在统计应用上，对多维随机向量的研究和对一维 随机变量的研究思路也是一样的，要通过样本资 料来推断总体。
19
二、多元正态分布的数字特征
若 X ~ Np μ, Σ ，则 E(X) μ，D(X) Σ ，即 μ 恰好是
多维随机向量 X的均值向量， Σ 恰好是多维随机 向量 X 的协差阵。其中，
1
μ
2
，
p
11 12
Σ
21
22
p1 p2
1p
2
p
pp
20
三、多元正态分布的参数估计
若 X 的联合分布密度为 f (x1, x2 , , xp )，则 X(1) 的边缘 密度函数为：
f (x1, x2 , , xq )
f (x1, x2 ,
, xq , xq1,
, xp )dtq1
dt，p (2.3)
多维随机向量的独立性。若 p个随机变量
X1, X 2 ,, X p的联合分布密度等于各自边缘分布的 乘积，则称 X1, X 2 ,, X p是互相独立的。
1
x)(x( )
x)
n
(x1 x1)2
1
1 n
n
(x1 x1)(x 2 x2 )
1
n
(x 2 x2 )2
1
n
x 2
1
n
x
p
1
n
( x 1
x1)(x p
xp
多元正态分布
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另，x1 和
1 x1 1 2 f1 ( x1 ) exp[ ( ) ] 21 2 1 2 1 1 x2 2 f 2 ( x2 ) exp 2 2 2 2 1
x2 的边际密度函数分别是
，其中 u ~ N 2 (0, I ) ，
1 0 ，则 X 的分布就是退化的三元正 A 0 1 1 1
态分布，即 x ~ N3 (0, ) ，其中
1 0 1 0 1 1 0 1 T AA 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1
(2 )
p 2
1 2
1 T 1 exp (x ) (x ) 2
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设随机向量 u ~ N P (0, I ) ， 为 p 维常 数向量， A 是一个 p q 常数矩阵，则称 x Au 的分布为多元正态分布，仍记 T X ~ N ( , ) 作 ，其中 AA 。 P
专业课件讲义教材PPT文档 1
u 的均值和协方差矩阵分别为
E (u) E (u1 ),, E (u p )
V (u) E (uuT )
T
0
u12 u1u2 u1u p 1 0 0 2 u2u1 u2 u2u p 0 1 0 E I u u u u u2 0 0 1 p 2 p p 1 u 的分布称为均值为 0 ，协方差矩阵为 I 的多元正态分布，记作 u ~ N P (0, I )
第三章
第一节
多元正态分布
多元正态分布的定义
另，x1 和
1 x1 1 2 f1 ( x1 ) exp[ ( ) ] 21 2 1 2 1 1 x2 2 f 2 ( x2 ) exp 2 2 2 2 1
x2 的边际密度函数分别是
，其中 u ~ N 2 (0, I ) ，
1 0 ，则 X 的分布就是退化的三元正 A 0 1 1 1
态分布，即 x ~ N3 (0, ) ，其中
1 0 1 0 1 1 0 1 T AA 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1
(2 )
p 2
1 2
1 T 1 exp (x ) (x ) 2
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设随机向量 u ~ N P (0, I ) ， 为 p 维常 数向量， A 是一个 p q 常数矩阵，则称 x Au 的分布为多元正态分布，仍记 T X ~ N ( , ) 作 ，其中 AA 。 P
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u 的均值和协方差矩阵分别为
E (u) E (u1 ),, E (u p )
V (u) E (uuT )
T
0
u12 u1u2 u1u p 1 0 0 2 u2u1 u2 u2u p 0 1 0 E I u u u u u2 0 0 1 p 2 p p 1 u 的分布称为均值为 0 ，协方差矩阵为 I 的多元正态分布，记作 u ~ N P (0, I )
第三章
第一节
多元正态分布
多元正态分布的定义
多元正态分布
欧氏距离还有一个缺点，这就是当各个分量 为不同性质的量时，“距离”的大小竟然与指 标的单位有关。
2020/4/8
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20
§1.2 统计距离和马氏距离
例如，横轴 代表重量（以kg为单位），纵轴 代表长度（以cm为单位）。有四个点A、B、C、D见 图1.1，它们的坐标如图1.1所示
§1.1.4 随机向量的数字特征
2、随机向量 自协方差阵
称它为 维随机向量 的协方差阵，简称为 的协
方差阵。称
为 的广义方差，它是协差阵的行
列式之值。
2020/4/8
13
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§1.1.4 随机向量的数字特征
3、随机向量X 和Y 的协差阵
设
分别为 维和
维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个 矩
证明参见文献[4]，p.33。
2、多元正态分布随机向量X的任何一个分量子集的分布（称为X的
边缘分布）仍然遵从正态分布。而反之，若一个随机向量的任何边缘分
布均为正态，并不能导出它是多元正态分布。
例如，设
有分布密度
容易验证， 正态分布。
2020/4/8
，但
显然不是
34
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§ 1.3.2 多元正态分布的性质
于1936年引入的距离，称为“马氏距离”。
2020/4/8
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23
§1.2 统计距离和马氏距离
下面先用一个一维的例子说明欧氏距离与马氏距离在概 率上的差异。
设有两个一维正态总体
G1
:
(1
,
2 1
)和G2
:
(2
,
2020/4/8
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20
§1.2 统计距离和马氏距离
例如，横轴 代表重量（以kg为单位），纵轴 代表长度（以cm为单位）。有四个点A、B、C、D见 图1.1，它们的坐标如图1.1所示
§1.1.4 随机向量的数字特征
2、随机向量 自协方差阵
称它为 维随机向量 的协方差阵，简称为 的协
方差阵。称
为 的广义方差，它是协差阵的行
列式之值。
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§1.1.4 随机向量的数字特征
3、随机向量X 和Y 的协差阵
设
分别为 维和
维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个 矩
证明参见文献[4]，p.33。
2、多元正态分布随机向量X的任何一个分量子集的分布（称为X的
边缘分布）仍然遵从正态分布。而反之，若一个随机向量的任何边缘分
布均为正态，并不能导出它是多元正态分布。
例如，设
有分布密度
容易验证， 正态分布。
2020/4/8
，但
显然不是
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§ 1.3.2 多元正态分布的性质
于1936年引入的距离，称为“马氏距离”。
2020/4/8
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23
§1.2 统计距离和马氏距离
下面先用一个一维的例子说明欧氏距离与马氏距离在概 率上的差异。
设有两个一维正态总体
G1
:
(1
,
2 1
)和G2
:
(2
,
多元正态分布.ppt
(2)
令
Y
X X
2 3
X1
0 0 1
1 0 0
0 1 0
X1 X2 X3
BX
,
由性质1知,Y为3维正态随机向量,且
0 1 0 2 0
y
Bx
0 1
0 0
10 00
02
1
xp ap1u1 ..... appu p p
u A
x1 xp
u p
u p
AA 1 2 1 2
§2.2
故 J (u x) 1 1 2. J(x u)
§2.2
⑤ 写出X=AU+μ
fX
(x)
1
(2 ) p
B
fX (x)dx
B
以下来求Jacobi行列式J(u→x).
§2.2
④ 积分变换的Jacobi行列式J(u→x)可利用线性变换
x=Au+μ及J(x→u)来计算：
x1 xp
因
J (x u) x
u1
u1
x1
a11u1
.....
a1pu p
1
2 1
1 1 2
1
1
2
1
2 2
12 1
2
1
2 2
2
二元正态随机向量X
第二章_多元正态分布的参数估计 ppt课件
故此时偏相关系数与条件相关系数是同一个值，从而
ρij∙k+1,⋯,p同时也度量了在Xk+1, ⋯,Xp值给定的条件下Xi和 Xj间相关关系的强弱。
§3.5 X 和(N − 1)S2的抽样分布
一、X 的抽样分布 二、 (n − 1)S的抽样分布
一、X 的抽样分布
1.正态总体
设X~Np (μ, Σ), Σ>0 ，X1,X2, ⋯,Xn是从总体X中抽取的 一个样本，则
X3
1
aμ
(0,1,
0)
2
2
3
11 12 aΣa (0,1, 0) 21 22
31 32
13 0
23
1
22
33 0
（2） 其中
AX
1
0
0 0
0 1
X X X
1 2 3
X1
X
3
~
N
(Aμ
,AΣA
)
Aμ
1 0
0 0
0 1
1 2 3
X X
1 2
X
np
X p
（2）样本离差阵定义为
n
S p p ( X (a) X )( X (a) X ) (sij ) pp a 1 （2.11）
这里，
n
( X (a) X )( X (a) X )
a 1
n
X a1 Xa2
X1 X2
(
X
a1
X1,
μˆ
X
1 n
n a 1
X (a)
(X1, X2,
, X p )
（2.10）
其中
X11 X 21
1
n
多元正态分布
混合模型
除了高斯混合模型，还有其他类 型的混合模型，如多项式混合模 型、泊松混合模型等。
扩展应用领域
多元正态分布在许多领域都有广 泛的应用，如心理学、经济学、 生物统计学等。
THANKS
感谢观看
02
联合分布的均值向量和协方差矩阵由各个分量的均 值和协方差决定。
03
当各分量之间相互独立时，其联合分布的协方差矩 阵为各分量协方差矩阵的线性组合。
04
多元正态分布的推断
参数估计
最大似然估计
01
通过最大化样本数据的似然函数来估计多元正态分布的参数，
包括均值向量和协方差矩阵。
最小二乘估计
02
将多元正态分布的均值向量作为回归系数，利用最小二乘法进
多元正态分布
• 多元正态分布概述 • 多元正态分布的参数 • 多元正态分布的性质 • 多元正态分布的推断 • 多元正态分布在统计和机器学习中的
应用 • 多元正态分布的扩展和变种
01
多元正态分布概述
定义与性质
定义
多元正态分布是多个连续随机变量的 概率分布，其概率密度函数是多元高 斯函数。
性质
多元正态分布具有旋转对称性、椭球 等高性、边缘分布的独立性和最大熵 等性质。
当其他维度固定时，该维度的边缘分 布是关于均值对称的，且方差与该维 度与其他维度的协方差成正比。
随机变量的线性变换
对于多元正态分布的随机变量，对其 进行线性变换后，新变量的分布仍然 是多元正态分布。
线性变换包括平移、旋转、缩放等， 这些变换不会改变变量的分布形态。
随机向量的联合分布
01
对于多元正态分布的随机向量，其各分量之间的联 合分布也是正态分布。
06
第三章 多元正态分布
作业
P.91 3.6
x
2
x1 和x2 的边际密度分别是
2 1 1 x1 1 f1 ( x1 ) exp 2 1 2 1 2 1 1 x2 2 f 2 ( x2 ) exp 2 2 2 2
第三章 多元正态分布
多元正态分布是一元正态分布在多元情形下 的推广，是多元统计中最重要的一个分布，多 元分析中的许多理论都是建立Байду номын сангаас多元正态分布 的基础上。
3.1多元正态分布的定义
一元回顾
定理
f X h( y) h( y ) , y , fY ( y ) 0, 其它， 其中 min(g (), g ()), max(g (), g ()), h( y )是 g ( x) 的反函数。
x1 x x , 2
1 , 2
是 x1和 x2 的相关系数。由于 易见， 故当 1 时， 0,这时有
12 1 2 2 2 1 2
2 12 2 (1 2 ),
3.2多元正态分布的性质
例子
3.3极大似然估计及估计量的性质
一、样本的联合分布概率密度
和 的极大似然估计 二、
三、相关系数的极大似然估计
简单相关系数
和 四、 的极大似然估计的性质
3.4 x 和(n 1)S 的抽样分布
一、x 的抽样分布
(n 1) S 的抽样分布 二、
2 x1 1 1 1 f ( x1 , x2 ) exp 2 2 （ 2 1 ） 21 2 1 1
多元正态分布
第一章 多元正态分布
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 多元分布的基本概念 多元正态分布 均值向量和协方差阵的估计 常用分布及抽样分布
一元正态分布在统计学的理论和实际应用中都有 着重要的地位。同样，在多变量统计学中，多元 正态分布也占有相当重要的位置。原因是： 许多随机向量确实遵从正态分布，或近似遵从正 态分布；
X和Y 的协差阵：
cov( X , Y ) (cov( X i , Y j )), i 1,, n ; j 1,, p
随机向量X 的相关阵：
R (corr ( X i , X j )) ( rij ) P P rij COV ( X i , X j ) D( X i) D( X j ) , i , j 1,2, , p
总体参数协差阵Σ的极大似然估计是：
1 1 n p L ( X ( i ) X )( X ( i ) X ) n n i 1
n 2 ( X X ) 1 i1 i 1 n 2 ( X X ) 2 1 i2 i 1 n
自协方差阵：
Σ COV ( X , X ) E ( X EX )( X EX ) D( X )
D( X 1 ) COV ( X , X ) 2 1 COV ( X , X ) P 1 COV ( X 1 , X 2 ) D( X 2 ) COV ( X P , X 2 ) COV ( X 1 , X P ) COV ( X 2 , X P ) D( X P )
xn2
X (1) x1 p x2 p X (2 ) ( X 1 , X 2 , , X P ) X x np (n)
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 多元分布的基本概念 多元正态分布 均值向量和协方差阵的估计 常用分布及抽样分布
一元正态分布在统计学的理论和实际应用中都有 着重要的地位。同样，在多变量统计学中，多元 正态分布也占有相当重要的位置。原因是： 许多随机向量确实遵从正态分布，或近似遵从正 态分布；
X和Y 的协差阵：
cov( X , Y ) (cov( X i , Y j )), i 1,, n ; j 1,, p
随机向量X 的相关阵：
R (corr ( X i , X j )) ( rij ) P P rij COV ( X i , X j ) D( X i) D( X j ) , i , j 1,2, , p
总体参数协差阵Σ的极大似然估计是：
1 1 n p L ( X ( i ) X )( X ( i ) X ) n n i 1
n 2 ( X X ) 1 i1 i 1 n 2 ( X X ) 2 1 i2 i 1 n
自协方差阵：
Σ COV ( X , X ) E ( X EX )( X EX ) D( X )
D( X 1 ) COV ( X , X ) 2 1 COV ( X , X ) P 1 COV ( X 1 , X 2 ) D( X 2 ) COV ( X P , X 2 ) COV ( X 1 , X P ) COV ( X 2 , X P ) D( X P )
xn2
X (1) x1 p x2 p X (2 ) ( X 1 , X 2 , , X P ) X x np (n)
多元正态分布 ppt课件
ppt课件
16
一元正态分布密度函数图形
f (x) O
0.5 1
2
图1 2 1
ppt课件
x
17
二元正态分布密度函数
f ( x1, x2 )
1
2 1 2
1
2
exp
1 2(1
2)
( x1 1 )2
2 1
2
x1 1 1
20
多元正态分布定义1
定义1.2.1 若 p维随机向量 X 的概率密度函数为
ppt课件
4
随机矩阵的数学期望
定义1.1.2
z11 z12
设Z
z21
z22
zp1 zp2
则Z的数学期望（均值）E(Z )为
z1q
z2q
为p
q阶随机矩阵
，
zpq
E(z11)
E(
Z
)
E
(
z21
)
E(zp1)
E(z12 ) E(z22 )
x2 2 2
( x2 2 )2
2 2
ppt课件
18
二元正态分布密度函数图形
ppt课件
19
一元正态分布密度函数变形
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
(2
)
1 2
(
2
)
1 2
exp
1
(
x
多元正态分布的定义与性质详解演示文稿
2. 风险函数
由于损失函数L与决策函数d(x)有关,而决策函数 是随机变量，因而损失函数也为随机变量。这样损失函 数与样本X的取值有关，因而需要构造一个更好的指标 来衡量决策函数的好坏. 这就是风险函数.
定义4.2 设样本空间和分布族分别为和F * ,决
策空间为,损失函数为L( , d )，决策函数为d( X ),
R( , d1) R( , d2 ),
且存在一些使得不等式严格成立，即R( , d1)
R(
,
d
2
)，则称决策函数d1一致优于d
，如果等式
2
成立即R( , d1)＝R(ห้องสมุดไป่ตู้, d2 ), ，则二者等价.
定义4.4 设D {d( X )}是一切定义在样本空间 上取值于决策空间上的决策函数的全体，若存 在一个决策函数d*( X )(d*( X ) D), 使得对任意一 个d( X ) D,都有
例4(p118) 设总体X服从正态分布N (, 2 ), 2为已知,
( X1, X2 , , Xn)T取自X的样本，试求参数点估计
和区间估计的决策函数.
解 根据上一章的结论，参数点估计的决策函数为
d( x)
x
1 n
n i 1
xi
参数区间估计的决策函数为
d ( x) [ x u
2
n
,
x
u
2
] n
决策 对每个统计问题的具体回答，就称为一个决策.
例如，参数的点估计，每一个估计值就是一个决策. 决策空间 一个统计问题中，可能选取得全部决策 组成的集合为决策空间，记为 R.
例如，设总体分布服从N (, 2 ), 对未知参数进行
估计，由于在(, )中取值，因而其决策空
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多元统计方法
目录
学时安排及考试形式 教材及参考书目 本课程主要内容 多元正态分布
一 学时安排及考试形式
本课程共60个学时： 理论课36学时、 实验课24学时、
理论与实验课交叉安排
本课程是闭卷考试课： 平时成绩占40%、 期末成绩占60%；Hale Waihona Puke 二 教材及P参art考1 书目
本课程所用教材： 陈峰，医用多元统计分析方法（第二版），中国统计出版社。
本例中n=12,m=3,则V表示为：
v11 v12 v13 45.7224 50.3621 32.2318
Vv21 v31
v22 v32
vv2 33 33 52 0..2 33 61 28 1
69.6288 45.4659
4 35 5..4 36 25 39 9
显然，vij ，v ji 即协方差矩阵是对称矩阵（symmetry matrix） 常用下三角矩阵表示：
rr233300.8.890226
1 0.9168
1
1.2 多元正态分布
1.2.1 定义 1.2.2 性质
因此，出现了多元统计分析方法。
多元统计学起源于20世纪20年代，Wishart,Hotelling, Fisher,Roy等是该领域的先驱。
多元统计分析计算量较大，开始时局限于理论研究； 20世纪50年代后，计算机及统计分析软件的发展， 多元统计方法广泛应用到自然和社会科学的各个领域。
随着实际需要而产生了统计学的很多内容，在应用面 扩大和深入的同时，多元统计分析的理论得到了突发猛进 的发展。
r11 r12 r13 1 0.8926 0.802
Rr21 r31
r22 r32
rr233300..8890226
1 0.9168
0.91168
显然，rij r，ji 即R是对称矩阵（symmetry matrix） 常用下三角矩阵表示：。
r11 r12 r13 1
Rr21 r31
r22 r32
各指标的均数用矩阵向量的形式排列，得均向量. 本例：
161.8667
X
48.0833 74.375
1.1.2 方差-协方差矩阵P(varatr1iance-covariance matrix)
各指标的方差、协方差用矩阵的形式排列，得 方差-协方差矩阵，用V表示.其中：
设原始样本数据矩阵为：
正态分布在许多情况下能作为真实总体的一个近似； 根据中心极限定理，不论总体分布如何，许多统计量 的分布是近似正态的； 很多检验统计量的分布对正态分布条件是稳健的， 即原始资料稍微偏离正态对检验结果的影响不大。
1.1 多元分析常用统计量
1.1.1 均向量 1.1.2 方差-协方差矩阵 1.1.3 离均差平方和与离均差积和矩阵
例1.1 调查某地16岁中学生12名，测其身高，体重，胸围资料
资料中有3个指标，多元分析所用统计量也是从样 本计算所得：均数、方差、标准差、 相关系数等。
为了便于清晰地表达多变量间的关系，常将它们用数 据矩阵（matrix）来表示。
构成矩阵的每个数据称为元素(element)。
1.1.1 均向量Pa（rt m1 eans vector）
1.1.4 相关系数矩阵（cPoarrrte1lation coefficients matrix）
各指标间的相关系数用矩阵的形式排列，得相关系数矩阵，
简称相关阵,用R表示.其中：
rii 1,
n
x xik jk
r k1
ij
n
n
x 2
x2
ik
jk
k1
k1
本例中n=12,m=3,则R表示为：
x11 x21
X nm
x12
x22
xm1
xm 2
x1n
x2n
x3n
xmn
其中，x i表j 示第i个个体在第j个指标下的取值
方差-协方差矩阵，用V表示，其中：
n
( xik xi )2
v k1 ii
n1
,
n
(xik xi)(xjk xj)
v k1 ij
n1
n为样本容量， 1i,j，m m为变量数。
n
ssii (xik xi)2, k1
n
ssij (xikxi)(xjkxj) k1
SS与V的关系如下：SS(n1)V
本例中n=12,m=3,则SS表示为：
ss11 ss12 ss13 502.9464553.9831354.5498
SSss21 ss31
ss22 ss32
ssss2 33 33 55 54 3..5 94 89 38 15 75 60 5..1 92 14 69 85 35 80 8..1 52 64 29 9
。
v11
45.7224
Vv21 v31
v22 v32
v333 52 0..2 33 61 28 1
69.6288 45.4659
35.3239
1.1.3 离均差平方和与离Pa均rt 1差积和矩阵
各指标的离均差平方和与离均差积和用矩阵的形式排列， 得离均差平方和与离均差积和矩阵，简称离差阵 (deviation sum of squares and cross-products matrix, DSSCP) ,用SS表示.其中：
实践证明，多元统计分析方法是一种有效的数据处理工具。
三 章节内容
多元正态分布 均向量的统计推断
多重线性回归 主成分分析 因子分析
logistic族回归 广义线性模型
生存分析 聚类分析 判别分析
统计方法很多都是建立在正态分布的假设之上的： 如：t检验、方差分析、线性相关与回归。
正态分布在实际中有着广泛应用的原因：
显然，ssij ，ss即ji SS是对称矩阵（symmetry matrix） 常用下三角矩阵表示：。
ss11 ss12 ss13 502.9464
SSss21 ss31
ss22 ss32
ssss2 33 33 55 54 3..5 94 89 38 15 75 60 5..1 92 14 69 8388.5629
参考书目： 1、何晓群，多元统计分析(第3版)，中国人民大学出版社。 2、约翰逊，实用多元统计分析(第6版) ，清华大学出版社。 3、 高惠璇，应用多元统计分析，北京大学出版社。
三、本课程主要内容
因果关系错综复杂，某种结果往往是众多因素综合 作用的结果，通常并非某一因素的单一作用所致。
对于这些多因素共同作用的现象，要探讨和澄清 其中的必然规律，常用的单因素分析法将无能为力。
目录
学时安排及考试形式 教材及参考书目 本课程主要内容 多元正态分布
一 学时安排及考试形式
本课程共60个学时： 理论课36学时、 实验课24学时、
理论与实验课交叉安排
本课程是闭卷考试课： 平时成绩占40%、 期末成绩占60%；Hale Waihona Puke 二 教材及P参art考1 书目
本课程所用教材： 陈峰，医用多元统计分析方法（第二版），中国统计出版社。
本例中n=12,m=3,则V表示为：
v11 v12 v13 45.7224 50.3621 32.2318
Vv21 v31
v22 v32
vv2 33 33 52 0..2 33 61 28 1
69.6288 45.4659
4 35 5..4 36 25 39 9
显然，vij ，v ji 即协方差矩阵是对称矩阵（symmetry matrix） 常用下三角矩阵表示：
rr233300.8.890226
1 0.9168
1
1.2 多元正态分布
1.2.1 定义 1.2.2 性质
因此，出现了多元统计分析方法。
多元统计学起源于20世纪20年代，Wishart,Hotelling, Fisher,Roy等是该领域的先驱。
多元统计分析计算量较大，开始时局限于理论研究； 20世纪50年代后，计算机及统计分析软件的发展， 多元统计方法广泛应用到自然和社会科学的各个领域。
随着实际需要而产生了统计学的很多内容，在应用面 扩大和深入的同时，多元统计分析的理论得到了突发猛进 的发展。
r11 r12 r13 1 0.8926 0.802
Rr21 r31
r22 r32
rr233300..8890226
1 0.9168
0.91168
显然，rij r，ji 即R是对称矩阵（symmetry matrix） 常用下三角矩阵表示：。
r11 r12 r13 1
Rr21 r31
r22 r32
各指标的均数用矩阵向量的形式排列，得均向量. 本例：
161.8667
X
48.0833 74.375
1.1.2 方差-协方差矩阵P(varatr1iance-covariance matrix)
各指标的方差、协方差用矩阵的形式排列，得 方差-协方差矩阵，用V表示.其中：
设原始样本数据矩阵为：
正态分布在许多情况下能作为真实总体的一个近似； 根据中心极限定理，不论总体分布如何，许多统计量 的分布是近似正态的； 很多检验统计量的分布对正态分布条件是稳健的， 即原始资料稍微偏离正态对检验结果的影响不大。
1.1 多元分析常用统计量
1.1.1 均向量 1.1.2 方差-协方差矩阵 1.1.3 离均差平方和与离均差积和矩阵
例1.1 调查某地16岁中学生12名，测其身高，体重，胸围资料
资料中有3个指标，多元分析所用统计量也是从样 本计算所得：均数、方差、标准差、 相关系数等。
为了便于清晰地表达多变量间的关系，常将它们用数 据矩阵（matrix）来表示。
构成矩阵的每个数据称为元素(element)。
1.1.1 均向量Pa（rt m1 eans vector）
1.1.4 相关系数矩阵（cPoarrrte1lation coefficients matrix）
各指标间的相关系数用矩阵的形式排列，得相关系数矩阵，
简称相关阵,用R表示.其中：
rii 1,
n
x xik jk
r k1
ij
n
n
x 2
x2
ik
jk
k1
k1
本例中n=12,m=3,则R表示为：
x11 x21
X nm
x12
x22
xm1
xm 2
x1n
x2n
x3n
xmn
其中，x i表j 示第i个个体在第j个指标下的取值
方差-协方差矩阵，用V表示，其中：
n
( xik xi )2
v k1 ii
n1
,
n
(xik xi)(xjk xj)
v k1 ij
n1
n为样本容量， 1i,j，m m为变量数。
n
ssii (xik xi)2, k1
n
ssij (xikxi)(xjkxj) k1
SS与V的关系如下：SS(n1)V
本例中n=12,m=3,则SS表示为：
ss11 ss12 ss13 502.9464553.9831354.5498
SSss21 ss31
ss22 ss32
ssss2 33 33 55 54 3..5 94 89 38 15 75 60 5..1 92 14 69 85 35 80 8..1 52 64 29 9
。
v11
45.7224
Vv21 v31
v22 v32
v333 52 0..2 33 61 28 1
69.6288 45.4659
35.3239
1.1.3 离均差平方和与离Pa均rt 1差积和矩阵
各指标的离均差平方和与离均差积和用矩阵的形式排列， 得离均差平方和与离均差积和矩阵，简称离差阵 (deviation sum of squares and cross-products matrix, DSSCP) ,用SS表示.其中：
实践证明，多元统计分析方法是一种有效的数据处理工具。
三 章节内容
多元正态分布 均向量的统计推断
多重线性回归 主成分分析 因子分析
logistic族回归 广义线性模型
生存分析 聚类分析 判别分析
统计方法很多都是建立在正态分布的假设之上的： 如：t检验、方差分析、线性相关与回归。
正态分布在实际中有着广泛应用的原因：
显然，ssij ，ss即ji SS是对称矩阵（symmetry matrix） 常用下三角矩阵表示：。
ss11 ss12 ss13 502.9464
SSss21 ss31
ss22 ss32
ssss2 33 33 55 54 3..5 94 89 38 15 75 60 5..1 92 14 69 8388.5629
参考书目： 1、何晓群，多元统计分析(第3版)，中国人民大学出版社。 2、约翰逊，实用多元统计分析(第6版) ，清华大学出版社。 3、 高惠璇，应用多元统计分析，北京大学出版社。
三、本课程主要内容
因果关系错综复杂，某种结果往往是众多因素综合 作用的结果，通常并非某一因素的单一作用所致。
对于这些多因素共同作用的现象，要探讨和澄清 其中的必然规律，常用的单因素分析法将无能为力。