2013高考数学 解题方法攻略 二项式定理 理

2013高考理科数学解题方法攻略—二项式定理

1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ，

2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n

a b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)n +项，是关于a 与b 的齐次多项式

④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。

3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n

b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各

项的次数和等于n .

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是

012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数 是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x ==

0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈

令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即

0n n n C C =，···1k k n n

C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++= ，

变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=- 。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-= ， 从而得到：0242132111222

r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

00112220120120011222021210

01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=----- 令则①

令则024135(1)(1),()2

(1)(1),()2

n n

n n n

n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++= ②

①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和 ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。

如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n n C

-,12n n C +同时

取得最大值。

⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系

数分别 为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112

r r r r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。

高考试题中常见的二项式定理题目类型：

题型一：二项式定理的逆用；

1：12321666 .n n n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=

解：012233(16)6666n n n n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅ 与已知的有一些差距，

123211221666(666)6

n n n n n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅ 0122111(6661)[(16)1](71)666

n n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=- 练：1231393 .n n n n n n C C C C -++++=

解：设1231393n n n n n n n

S C C C C -=++++ ，则122330122333333333331(13)1n n n n n n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+- (13)14133

n n n S +--∴== 题型二：求单一二项式指定幂的系数