矩阵对策的基本定理优秀课件

6 1 8
A
3
2
4
9 1 10
3
0
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试分析局中人 I 和 II 分别使用什么策略最有利？又在什么 局势下对双方都有利？
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定义1 设 G = { S1 , S2 ; A}为矩阵对策。其中 S1 = {1 , 2 , ⋯ , m } , S2 = {1 , 2 , ⋯ , n } , A = ( aij )m×n 若成
1
3
1
1
1
1
即
1 A 1
1 1
3 1
1 3
1 1
1
1
1 1 1 1 3 1
1 1 1 1 1 3
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例6
设有一矩阵对策 G = { S1, S2 ; A} , 其中 S1 ={1, 2, 3, 4 } ,
S2 = {β1 ,β2 ,β3 }，局中人 I 的赢得矩阵为
12
例8
求对策的解。设矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A} , 其中 S1 = {1 , 2 , 3 , 4 } , S2 = {1 , 2 , 3 , 4 } , 赢得矩阵为
6 5 6 5
A 1 4 2 1 8 5 7 5
0 2 6
2
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一般矩阵对策的解可以是不唯一的。当解不唯一时, 解之间 的关系具有下面两条性质。
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必要性
假设有 i*, j* 使
m i m aj x a ii jn ai*j*m j m iina ai jx 上式右边说明 ai*j* 是第 j* 列中最大元，即 mi aaxij* ai*j* 同理左边说明 ai*j* 是第 i* 行中最小元，即 mj inai*j ai*j* 而对任意 i 应有
f ( x, y* )≤ f ( x* , y* )≤ f ( x* , y) 则称 ( x* , y* ) 为函数 f 的一个鞍点。
矩阵对策的解与鞍点
若将局势矩阵视为二元函数 f ( x, y) 的定义域，则赢得矩阵 即为其值域；从而，若矩阵对策有解的充要条件是 ai*j* 是赢 得矩阵的鞍点。
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立以下等式
max i
min j
aij
min j
max i

aij
ai* j*
VG
则称 VG 为对策 G 的值, 并称使上述等式成立的纯局势
(i* , j* )为 G 在纯策略下的解(或平衡局势), i* 与 j*
分别称为局中人Ⅰ , Ⅱ的最优纯策略。
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例7
求解矩阵对策 G= { S1, S2 ; A} , 其中
7 1 8
A
3
2
4
16 1 3
3
0
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定理1 矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A} 在纯策略意义下有
解的充分必要条件是: 存在纯局势(i* ,j* )使得对一切
i = 1, ⋯, m, j = 1, ⋯, n, 均有
证明：
aij* ≤ ai*j* ≤ ai*j
纯策略 1 , 2 , ⋯ , n , 则局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集分别为
S1 = {1 , 2 , ⋯ , m}
S2 = {1 , 2 , ⋯ , n}
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当局中人Ⅰ选定纯策略 i 和局中人Ⅱ选定纯策略 j 后, 就 形成了一个纯局势(i , j )。这样的纯局势可构成 m× n 矩 阵。对任一纯局势(i , j ) , 记局中人Ⅰ的赢得值为 aij , 则称
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2. 1 矩阵对策的数学模型
二人有限零和对策
二人零和对策就是矩阵对策, 是指只有两个参加对策的局中 人, 每个局中人都只有有限个策略可供选择。在任一局势下, 两个局中人的赢得之和总是等于零, 即双方的利益是激烈对 抗的。
矩阵对策的表示
设局中人Ⅰ有 m 个纯策略 1 , 2 , ⋯ , m , 局中人Ⅱ有 n 个
aij* mi aaxij*
同理对任意 j 应有
mj inai*j ai*j
综上可得
a i* j m i a i* a j a x i* j* m j a i* ji n a i* j
即
ai* j ai*j*ai*j
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定义2 设 f ( x, y)为一个定义在 x∈ A 及 y ∈ B 上的实 值函数, 如果存在 x* A, y* B, 使得对一切 x A 和 y B, 有
ai*j* 不超过 i* 行的最小元素，即有
因此可得
ai*j* mj inai*j m i aai* jxai*j*m j a ii* nj
而对每列的最大元中的最小者及每行的最小元中的最大者
有
m j m iia in a jm x a i* a j a i* x j* m j a i* ji m n i m ja a i j i x n
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充分性（前提：对任意 i, j 有 aij* ai*j* ai*j ）
由不等式左边知，j* 列的任一元素不超过 j* 列的的素任最一大元元也不超过 ai*j* .即：
ai*j*，从而
j*
列
mi aaxij* ai*j*
i* 行的任一元 素
同理对不等式右边， ai*j* 不超过 i* 行的任一元素，从而
mi am xj ianij aij 同理，由不等式的右边也可得
从而有
aij mj inmi aaxij m i m ja a ix j ia n ij m j m iia n ia j x (2 )
结合(1),(2)即可得
m i am jxa iinjm j m in i aaijx
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矩阵 A = ( aij )mn 为局中人 I 的赢得矩阵(或为局中人 II 的支 付矩阵)，这样，局中人 II 的赢得矩阵即为 –A。
矩阵对策常记为：G = {I, II; S1, S2; A}或 G = { S1, S2; A}
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例 齐王赛马的赢得矩阵
3 1 1 1 1 1
即：
m j m iin a ia j m x i m a j a ix ij n (1 )
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另外，对任意 i, j 有，任意元素 aij 不小于其所在行的最小元， 也不大于其所在列的最大元，即
mj ianijaijmi aaixj
不等式左边又说明，矩阵中每一行的最小元都不超过 aij ， 从而每一行的最小元中的最大者也不超过 aij ，即