【创新设计】2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练:小题综合限时练5

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2015届高三下文科数学综合训练二参考答案

2015届高三下文科数学综合训练二参考答案

2015届高三(下)文科数学综合训练二参考答案一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.8; 14. 15.1; 16.1(0,]3.三、解答题:(第22题14分,其他每题12分,共74分)17. 本题主要考等差数列、数列求和等基础知识;考查推理论证与运算求解能力,满分12分. 解:(I )∵点(,)n n S 在函数2()f x x =的图象上,∴2.n S n = ················································································································ 1分∴当1n =时,111a S ==, ······················································································· 2分 当2n ≥时,1n n n a S S -=- ··················································································· 3分22(1)21n n n =--=- ································································· 4分 又11a =满足21,n a n =- ························································································ 5分 ∴2 1.n a n =- ·········································································································· 6分(II) ∵111(21)(21)n n n b a a n n +==⋅-⋅+ ·································································· 7分111()22121n n =--+,············································································ 9分 ∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+111111[(1)()()]23352121n n =-+-+⋅⋅⋅+--+ ·················································· 11分 11(1)221n =-+.21nn =+ ················································································ 12分 18.本题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解 能力以及应用意识,考查或然与必然思想、化归与转化思想.满分12分. 解:(I )从统计的5年发电量中任取2年的基本事件为(7.4,7.0),(7.4,9.2),(7.4,7.9),(7.4,10.0),(7.0,9.2),(7.0,7.9),(7.0,10.0),(9.2,7.9),(9.2,10.0),(7.9,10.0) 共10个. ······························ 3分 (说明:若列出不足6个,不给分;若列出6个,不足10个且所列均正确者得1分) 其中2年发电量都低于8.0(亿千瓦时)的基本事件为 (7.4,7.0),(7.4,7.9),(7.0,7.9),共3个. ······························································· 5分所以这2年发电量都低于8.0(亿千瓦时)的概率3.10P = ·································· 6分(II )∵1500140019001600210085001700,55x ++++=== ································ 7分 7.47.09.27.910.041.58.3.55y ++++=== ····························································· 8分 又直线 0.004y x a =+ 过点(,)x y , ····································································· 9分 ∴8.30.0041700,a =⨯+ 解得 1.5a =,∴0.004 1.5y x =+. ······························································································· 10分 当1800x =时,0.0041800 1.58.79.0y =⨯+=<,··················································· 11分 所以不能完成发电任务,缺口量为0.3(亿千瓦时). ········································· 12分 19.本题主要考查空间线与线、线与面、面面的位置关系等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力,满分12分. 证法一:(I )连接1AC 交1A C 于点N ,则N 为1A C 的中点.……1分∵M 为AB 的中点,∴1//MN BC .……………………………………………3分又∵1MN ACM ⊂平面, ………………………………4分 11BC ACM ⊄平面, ……………………………………5分 ∴11//BC ACM 平面.……………………………………6分 (II )∵CA CB =,M 为AB 的中点,∴CM AB ⊥. …………………………………………7分 ∵1A 在平面ABC 的射影为M ,∴1A M ACB ⊥平面,……………………………………8分 ∴1A M AB ⊥,…………………………………………9分 又1CMA M M =,∴1AB ACM ⊥平面,…………………………………10分 又11AB ABB A ⊂平面,………………………………11分 ∴111.ACM ABB A ⊥平面平面 …………………………12分 证法二:(I )取11A B 中点N ,连结1,BN C N ,………1分∵M 为AB 的中点,∴1A N MB =,1A N //MB∴四边形1A MBN 为平行四边形,∴1//BN A M .…………………………………………2分 同理可得1//C N CM ,又11C N ACM ⊄平面,1CM ACM ⊂平面,…………3分 ∴11//C N ACM 平面.…………………………………4分 同理1//BN ACM 平面. ∵1C NBN N =,∴11//BC N ACM 平面平面,……………………………5分 ∵11BC BC N ⊂平面,A 1ABC 1CMB 1N证法二图B 1 A 1 ABC 1 C MN证法一图∴11//BC ACM 平面. …………………………………6分 (II )同解法一.20.本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识;考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想.满分12分. 解:(I )依题意得:1()2cos 222f x x x x ωωω=+- ····························································· 2分12cos 22x x ωω=+ ················································································· 3分 sin(2)6x πω=+, ···························································································· 4分 ∵0ω>,∴222T ππω==,∴12ω=, ··············································································································· 5分∴()sin()6f x x π=+. ······························································································ 6分(II )∵0A π<<, ∴7666A πππ<+<. ∵()sin()6f x x π=+在x A =时取得最值,∴,623A A πππ+==. ···························································································· 8分∵1sin 2ABC S bc A ∆===,∴6bc =. ··············································································································· 9分 ∵5b c +=,∴2222cos a b c bc A =+- ·························································································· 10分22b c bc =+- 2()3b c bc =+- 2518=-7=, ·································································································· 11分∴a = ················································································································· 12分 21.本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识;考查运算求解能力、推理论证能力;考查化归转化思想、函数方程的思想、数形结合思想.满分12分.解法一:(I )()1,x f x e '=- ···················································································· 1分由()0f x '>可得0,x >;由()0f x '<可得0,x < ············································ 2分 ∴()f x 在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增. ······································ 3分(II) (),x g x e x '=- ································································································· 4分 由(I )知()g x '在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增, ∴()(0)10,g x g ''≥=> ······························································································ 5分∴()g x 在[0,)+∞上单调递增, ··············································································· 6分 ∴[0,)x ∈+∞时,min ()(0)0.g x g == ······································································· 7分 (III )由(II) 知当0x >时,()0,g x >即0x >时,211,2x e x >+ ····················································································· 8分设函数221311()1(ln )ln ,2222h x x x x x =+-+=--则211()(0),x h x x x x x-'=-=> ············································································· 9分 由()0h x '>可得1x >;由()0h x '<可得01,x <<∴()h x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增. ··········································· 10分 ∴()(1)0,h x h ≥=∴0x >时,2131ln ,22x x +≥+ ·············································································· 11分∴3ln .2x e x >+ ······································································································ 12分解法二:(I )(II)同解法一.(III )设3()ln ,2x h x e x =--则1()(0),x h x e x x '=-> ························································································· 8分∵1()x h x e x '=-在 (0,)+∞上单调递增,且121()20,(1)10,2h e h e ''=-<=-> ()h x 在1(,1)2上连续, ·································· 9分∴存在唯一01(,1)2x ∈,使得0()0h x '=,即00001,ln ,x e x x x ==-························· 10分∴0(0,)x x ∈时,()0,h x '<()h x 在0(0,)x 上单调递减,0(,)x x ∈+∞时,()0,h x '>()h x 在0(,)x +∞上单调递增, …………………………11分∴0000031331()()ln 20,2222x h x h x e x x x ≥=--=+->-=>∴()0h x >, 即3ln .2x e x >+················································································ 12分 22.本题主要考查直线、抛物线、椭圆等基础知识及直线与抛物线的位置关系;考查运算求解、抽象概括能力,化归与转化思想.满分14分.解法一:(I )∵抛物线22(0)x py p =>的焦点为(0,).2pF ···································· 1分椭圆22143y x +=的焦点为(0,1)± ············································································ 2分 ∴1,2,2pp == ∴抛物线的方程为24.x y = ····················································································· 3分(II )(ⅰ)联立21,4y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440,x kx --=······················································ 4分 216160,k ∆=+>设1122(,),(,)A x y B x y则12124,4x x k x x +=⋅=-, ···················································································· 5分由24x y =,得2,,42x x y y '==所以过A 的切线PA 的方程为:1111(),2y y x x x -=- 整理得: 2111124y x x x =- ⋅⋅⋅① …………………………………6分 同理切线PB 的方程为:2221124y x x x =- ⋅⋅⋅②联立①②解得122,1,2P P x xx k y +===-即(2,1).P k - ········································ 7分当0k =时,(0,1),(0,1),P F -有.PF AB ⊥……………………………………………8分当0k ≠时,1(1)1,02PF k k k--==--有.PF AB ⊥所以0PF AB ⋅=为定值. ······················································································ 9分(ⅱ)由(ⅰ)可设直线PF 的方程为:11(0)y x k k=-+≠.…………………10分由211,4y x k x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得2440,x x k +-= 设223434(,),(,)44x x C x D x则34344,4,x x x x k+=-⋅=-…………………11分∵(2,1)P k -,(0,1).F∴PC FD PD CF ⋅-⋅2222334444331111(2,1)(,1)(2,1)(,1)4444x k x x x x k x x x =-+⋅---+⋅--2222343443431111(2)(1)(1)(2)(1)(1)4444x k x x x x k x x x =-⋅++⋅-+-++⋅-………12分22343434122()28x x k x x x x =-++-24182()(4)28k k =---+⋅--=0∴PC FD PD CF ⋅=⋅, ·························································································· 13分 又,,,P C F D 共线,∴||||||||.PC FD PD CF ⋅=⋅ ···················································································· 14分。

2015年全国新课标2卷高考文科数学及答案详解

2015年全国新课标2卷高考文科数学及答案详解

2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}30|,21|<<=<<-=x x B x x A ,则=⋃B A ( )A .(-1,3)B .(-1,0)C .(0,2)D .(2,3)2.若a 为实数,且i iai +=++312,则=a ( ) A .-4 B .-3 C .3 D .43.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A .逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B .2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C .2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D .2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.向量()1,1-=a ,()2,1-=b ,则()=⋅+a b a 2 ( )A .-1B .0C .1D .25.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若3531=++a a a ,则=5S ( )A .5B .7C .9D .11 6.第6题图一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.18 B.17 C.16 D.157.已知三点()01,A ()30,B ,()32,C ,则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.438.第8题图右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a ,b 分别为14,18,则输出的=a ( )A .0B .2C .4D .149.已知等比数列{}n a 满足411=a ,()14453-=a a a ,则=2a ( ) A .2 B .1 C.12 D.1810.已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB =90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O ­ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( ) A .36π B .64π C.144π D.256π11.如图,长方形ABCD 的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP =x ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则y =f (x )的图象大致为( )12.设函数()()2111ln x x x f +-+=,则使得()()12->x f x f 成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,1B.()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞,,131- C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,13 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞,,3131-- 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.已知函数()x ax x f 23-=的图象过点()4,1-,则=a ________.14.若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧ x +y -5≤0,2x -y -1≥0,x -2y +1≤0,则y x z +=2的最大值为________. 15.已知双曲线过点()34,,且渐近线方程为x y 21±=,则该双曲线的标准方程为________.16.已知曲线x x y ln +=在点()1,1处的切线与曲线()122+++=x a ax y 相切,则=a ________. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分) ABC ∆中,D 是BC 上的点,AD 平分BAC ∠,DC BD 2=(1)求CB sin sin (2)若︒=∠60BAC ,求B ∠18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.图①B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100] 分组频数281410 6 2015·新课标Ⅱ卷第4页(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可).图②(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分满意度等级 不满意 满意 非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.19.(本小题满分12分)如图,长方体1111D C B A ABCD -中,16=AB ,10=BC ,81=AA ,点E ,F 分别在11B A ,11C D 上,411==F D E A .过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C :12222=+by a x ()0.>>b a 的离心率为22,点()22,在C 上.(1)求C 的方程;(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21.(本小题满分12分)已知函数()()x a x x f -+=1ln .(1)讨论()x f 的单调性;(2)当()x f 有最大值,且最大值大于22-a 时,求a 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图O 是等腰三角形AB C 内一点, ⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.(I )证明EF ∥BC .(II )若AG 等于⊙O 的半径,且23AE MN == ,求四边形EDCF 的面积23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ (t 为参数,且0t ≠ ),其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== (I )求2C 与3C 交点的直角坐标;(II )若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设a ,b ,c ,d 均为正数,且a +b =c +d .证明:(1)若ab >cd ,则a +b >c +d ;N M G OFE D C B A(2)a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要条件.2015·新课标Ⅱ卷第8页1、选A2、故选D3、选D4、选B5、解:在等差数列中,因为.,5525)(,1,335153531A a a a S a a a a 故选所以==⨯+===++6、解:如图所示,选D.7、选B.8、故选B.9、解:因为{}),1(4,414531-==a a a a a n 满足所以, .21241,2,2),1(4123144424=⨯=====-=q a a q q a a a a a 所以,所以又解得故选C.10、解:因为A,B 都在球面上,又为该球面上动点,C AOB ,90︒=∠所以 三棱锥的体积的最大值为3661213132==⨯⨯R R R ,所以R=6,所以球的表面积为 S=14442=R ππ,故选C.11、解:如图,当点P 在BC 上时, ,tan 4tan ,tan 4,tan ,22x x PB PA x PA x PB x BOP ++=+∴+===∠ 当4π=x 时取得最大值51+,以A,B 为焦点C,D 为椭圆上两定点作椭圆,显然,当点P 在C,D 之间移动时PA+PB<51+. 又函数)(x f 不是一次函数,故选B.xP O DC B A12、解:因为函数时函数是增函数是偶函数,),0[,11)1ln()(2+∞∈+-+=x x x x f .131,)12(,12)12()(22<<->∴->∴->x x x x x x f x f 解得 故选A.第二卷一、填空题:本大题共4个小题,每小题5分 13、答:a=-214、解:当x=3,y=2时,z=2x+y 取得最大值8.15、解:设双曲线的方程为.43,4),0(422=≠=-k k k y x )代入方程,解得,点(1422=-∴y x 双曲线的标准方程为16、解:.122,11'-=∴+=x y xy ,切线方程为切线的斜率为 .8120.08,08,021)2(12222=+=====-=∆=+++++=-=a x y a a a a a ax ax x a ax y x y 所以与切线平行,不符。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (文科)解析版

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2015年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标 II 卷文 科 数 学一、选择题:本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =( )A .()1,3-B .()1,0-C .()0,2D .()2,3【答案】A考点:集合运算.2. 若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A .4- B .3- C .3 D .4【答案】D【解析】试题分析:由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.考点:复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A .逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B .2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C .2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D .2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D考点:柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a ( )A .1-B .0C .1D .2【答案】C 【解析】试题分析:由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点:向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =( ) A .5 B .7 C .9 D .11【答案】A 【解析】试题解析:13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点:等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )1A.8 1B.7 1C.6D.15【答案】D【解析】试题分析:截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15 ,故选D.考点:三视图7. 已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )5A.3 3 4D.3【答案】B考点:直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为( )A.0B. 2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析:由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点:1. 更相减损术;2.程序框图.9.已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =( )A.2B.1C.12 1D.8【答案】C【解析】试题分析:由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C.考点:等比数列.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为( )A.π36B. π64C.π144D. π256【答案】C考点:球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为( )A .B .C .D .【答案】B考点:函数图像12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )A .1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B .()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C .11,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D .11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析:由21()ln(1||)1f x x x=+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A.考点:函数性质二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点(-1,4),则a = .【答案】-2 【解析】试题分析:由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点:函数解析式14. 若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为 .【答案】8考点:线性规划15. 已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 .【答案】2214x y -=考点:双曲线几何性质16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = . 【答案】8 【解析】试题分析:由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由2808a a a ∆=-=⇒=.考点:导数的几何意义.三、解答题17(本小题满分12分)△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .(I )求sin sin BC∠∠ ;(II )若60BAC ∠=,求B ∠.【答案】(I )12;30.考点:解三角形试题解析:(I )由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.(II )因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由(I )知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠= 考点:解三角形18. (本小题满分12分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图(I )在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可)B 地区用户满意度评分的频率分布直方图(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】(I)见试题解析(II)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点:1.频率分布直方图;2.概率估计.19. (本小题满分12分)如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(I )在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由); (II )求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】(I )见试题解析(II )97 或79考点:1.几何体中的截面问题;2.几何体的体积20. (本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> ,点(在C 上.(I )求C 的方程; (II )直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】(I )2222184x y +=(II )见试题解析考点:直线与椭圆21. (本小题满分12分)已知()()ln 1f x x a x =+-. (I )讨论()f x 的单调性;(II )当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围. 【答案】(I )0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增;0a >,()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减;(II )()0,1. 【解析】考点:导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图O是等腰三角形AB C内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(I)证明EF BC;(II)若AG等于圆O半径,且AE MN【答案】(I)见试题解析;(II考点:1.几何证明;2.四边形面积的计算.23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ (t 为参数,且0t ≠ ),其中0απ≤<,在以O为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== (I )求2C 与3C 交点的直角坐标;(II )若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.【答案】(I )()30,0,2⎫⎪⎪⎭;(II )4. 【解析】试题分析:(I )把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,220x y +-=,联立解考点:参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式证明选讲 设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明:(I )若ab cd > ,+>;(II )>是a b c d -<-的充要条件. 【答案】【解析】试题分析:(I )由a b c d +=+及ab cd >,可证明22>,开方即得>(II )本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明. 试题解析:解:(I )因为22a b c d =++=++考点:不等式证明.。

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2015年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标 II 卷文 科 数 学一、选择题:本大题共12道小题,每小题5分,共60分.1.已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =U ( )A .()1,3-B .()1,0-C .()0,2D .()2,3【答案】A考点:集合运算.2. 若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A .4- B .3- C .3 D .4【答案】D【解析】试题分析:由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.考点:复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A .逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B .2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C .2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D .2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D考点:柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a ( )A .1-B .0C .1D .2【答案】C 【解析】试题分析:由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点:向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =( ) A .5 B .7 C .9 D .11【答案】A 【解析】试题解析:13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点:等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )1A.8 1B.7 1C.6D.15【答案】D【解析】试题分析:截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15 ,故选D.考点:三视图7. 已知三点(1,0),(0,3),(2,3)A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )5A.3 B.213 25C.3 4D.3【答案】B考点:直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为( )A.0B. 2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析:由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点:1. 更相减损术;2.程序框图.9.已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =( )A.2B.1C.12 1D.8【答案】C【解析】试题分析:由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C.考点:等比数列.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为( )A.π36B. π64C.π144D. π256【答案】C考点:球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为( )A .B .C .D .【答案】B考点:函数图像12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )A .1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B .()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UC .11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D .11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【答案】A 【解析】试题分析:由21()ln(1||)1f x x x=+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A.考点:函数性质二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点(-1,4),则a = .【答案】-2 【解析】试题分析:由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点:函数解析式14. 若x,y满足约束条件50210210x yx yx y+-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z=2x+y的最大值为.【答案】8考点:线性规划15. 已知双曲线过点()4,3,且渐近线方程为12y x=±,则该双曲线的标准方程为.【答案】2214xy-=考点:双曲线几何性质16. 已知曲线lny x x=+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x=+++相切,则a= .【答案】8【解析】试题分析:由11yx'=+可得曲线lny x x=+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x=-,与()221y ax a x=+++联立得220ax ax++=,显然0a≠,所以由2808a a a∆=-=⇒=.考点:导数的几何意义.三、解答题17(本小题满分12分)△ABC中D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.(I)求sinsinBC∠∠;(II)若60BAC∠=o,求B∠.【答案】(I )12;30o .考点:解三角形试题解析:(I )由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.(II )因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=o o所以()31sin sin cos sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由(I )知2sin sin B C ∠=∠, 所以3tan ,30.3B B ∠=∠=o考点:解三角形18. (本小题满分12分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图(I )在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可)B 地区用户满意度评分的频率分布直方图(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】(I)见试题解析(II)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点:1.频率分布直方图;2.概率估计.19. (本小题满分12分)如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(I )在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由); (II )求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】(I )见试题解析(II )97 或79考点:1.几何体中的截面问题;2.几何体的体积20. (本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 2,点(2在C 上.(I )求C 的方程; (II )直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】(I )2222184x y +=(II )见试题解析考点:直线与椭圆21. (本小题满分12分)已知()()ln 1f x x a x =+-. (I )讨论()f x 的单调性;(II )当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围. 【答案】(I )0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增;0a >,()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减;(II )()0,1. 【解析】考点:导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图O 是等腰三角形AB C 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.(I )证明EF BC P ; (II )若AG 等于圆O 半径,且23AE MN == ,求四边形EBCF 的面积.【答案】(I )见试题解析;(II 163考点:1.几何证明;2.四边形面积的计算.23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ (t 为参数,且0t ≠ ),其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23.C C ρθρθ== (I )求2C 与3C 交点的直角坐标;(II )若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.【答案】(I )()330,0,2⎫⎪⎪⎭;(II )4. 【解析】试题分析:(I )把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,22230x y +-=,联立解考点:参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式证明选讲 设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明: (I )若ab cd > ,a b c d +>; (II )a b c d >是a b c d -<-的充要条件. 【答案】【解析】试题分析:(I )由a b c d +=+及ab cd >,可证明22a b c d >,开方即得a b c d >(II )本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明. 试题解析: 解:(I )因为222,2,a b a b ab c d c d cd =++=++考点:不等式证明.。

【创新设计】2015届高考数学(人教A版文科)一轮复习题组训练第五篇数列第5讲Word版含解析

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第5讲 数列的综合应用基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.(2014·昆明调研)公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且-3a 1,-a 2,a 3成等差数列,若a 1=1,则S 4=( ).A .-20B .0C .7D .40解析 记等比数列{a n }的公比为q (q ≠1),依题意有-2a 2=-3a 1+a 3,-2a 1q =-3a 1+a 1q 2,即q 2+2q -3=0,(q +3)(q -1)=0,又q ≠1,因此有q =-3,则S 4=1×[1-(-3)4]1+3=-20.答案 A2.若-9,a ,-1成等差数列,-9,m ,b ,n ,-1成等比数列,则ab =( ). A .15 B .-15 C .±15D .10解析 由已知得a =-9-12=-5,b 2=(-9)×(-1)=9且b <0,∴b =-3,∴ab =(-5)×(-3)=15. 答案 A3.(2014·德州模拟)数列{a n }满足a 1=1,log 2a n +1=log 2a n +1(n ∈N *),它的前n 项和为S n ,则满足S n >1 025的最小n 值是 ( ).A .9B .10C .11D .12解析 因为a 1=1,log 2a n +1=log 2a n +1(n ∈N *),所以a n +1=2a n ,a n =2n -1,S n =2n -1,则满足S n >1 025的最小n 值是11. 答案 C4.已知{a n }为等比数列,S n 是它的前n 项和.若a 2·a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为54,则S 5=( ).A .35B .33C .31D .29解析 设数列{a n }的公比为q ,则由等比数列的性质知, a 2·a 3=a 1·a 4=2a 1,即a 4=2.由a 4与2a 7的等差中项为54知,a 4+2a 7=2×54, ∴a 7=12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54-a 4=14.∴q 3=a 7a 4=18,即q =12.∴a 4=a 1q 3=a 1×18=2,∴a 1=16, ∴S 5=16⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1251-12=31. 答案 C5.(2014·兰州模拟)设y =f (x )是一次函数,若f (0)=1,且f (1),f (4),f (13)成等比数列,则f (2)+f (4)+…+f (2n )等于( ).A .n (2n +3)B .n (n +4)C .2n (2n +3)D .2n (n +4)解析 由题意可设f (x )=kx +1(k ≠0),则(4k +1)2=(k +1)×(13k +1),解得k =2,f (2)+f (4)+…+f (2n )=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n +1)=2n 2+3n . 答案 A 二、填空题6.(2014·绍兴调研)已知实数a 1,a 2,a 3,a 4构成公差不为零的等差数列,且a 1,a 3,a 4构成等比数列,则此等比数列的公比等于________. 解析 设公差为d ,公比为q .则a 23=a 1·a 4,即(a 1+2d )2=a 1(a 1+3d ), 解得a 1=-4d ,所以q =a 3a 1=a 1+2d a 1=12.答案 127.(2013·江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________. 解析 每天植树棵数构成等比数列{a n },其中a 1=2,q =2.则S n =a 1(1-q n )1-q =2(2n -1)≥100,即2n +1≥102.∴n ≥6,∴最少天数n =6. 答案 68.(2013·山东省实验中学诊断)数列{a n }满足a 1=3,a n -a n a n +1=1,A n 表示{a n }前n 项之积,则A 2 013=________.解析 由a 1=3,a n -a n a n +1=1,得a n +1=a n -1a n,所以a 2=3-13=23,a 3=-12,a 4=3,所以{a n }是以3为周期的数列,且a 1a 2a 3=-1,又2 013=3×671,所以A 2 013=(-1)671=-1. 答案 -1 三、解答题9.(2014·杭州模拟)设{a n }是公比大于1的等比数列,S n 为数列{a n }的前n 项和.已知S 3=7,且a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式.(2)令b n =na n ,n =1,2,…,求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由已知,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3=7,(a 1+3)+(a 3+4)2=3a 2,解得a 2=2.设数列{a n }的公比为q ,由a 2=2,可得a 1=2q ,a 3=2q . 又S 3=7,可知2q +2+2q =7,即2q 2-5q +2=0,解得q =2或12.由题意得q >1,所以q =2.则a 1=1. 故数列{a n }的通项为a n =2n -1. (2)由于b n =n ·2n -1,n =1,2,…, 则T n =1+2×2+3×22+…+n ×2n -1, 所以2T n =2+2×22+…+(n -1)×2n -1+n ×2n ,两式相减得-T n =1+2+22+23+…+2n -1-n ×2n =2n -n ×2n -1, 即T n =(n -1)2n +1.10.(2013·湛江二模)已知函数f (x )=x 2-2x +4,数列{a n }是公差为d 的等差数列,若a 1=f (d -1),a 3=f (d +1), (1)求数列{a n }的通项公式;(2)S n 为{a n }的前n 项和,求证:1S 1+1S 2+…+1S n≥13.(1)解 a 1=f (d -1)=d 2-4d +7,a 3=f (d +1)=d 2+3, 又由a 3=a 1+2d ,可得d =2,所以a 1=3,a n =2n +1. (2)证明 S n =n (3+2n +1)2=n (n +2), 1S n =1n (n +2)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2, 所以,1S 1+1S 2+…+1S n=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+12-14+13-15+…+1n -1n +2 =12⎝ ⎛⎭⎪⎫32-1n +1-1n +2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫32-11+1-11+2=13. 能力提升题组 (建议用时:25分钟)一、选择题1.(2014·福州模拟)在等差数列{a n }中,满足3a 4=7a 7,且a 1>0,S n 是数列{a n }前n 项的和,若S n 取得最大值,则n = ( ).A .7B .8C .9D .10解析 设公差为d ,由题设3(a 1+3d )=7(a 1+6d ), 所以d =-433a 1<0.解不等式a n >0,即a 1+(n -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫-433a 1>0,所以n <374,则n ≤9,当n ≤9时,a n >0,同理可得n ≥10时,a n <0. 故当n =9时,S n 取得最大值. 答案 C2.已知f (x )=bx +1是关于x 的一次函数,b 为不等于1的常数,且g (n )=⎩⎨⎧1,n =0,f [g (n -1)],n ≥1,设a n =g (n )-g (n -1)(n ∈N *),则数列{a n }为( ). A .等差数列 B .等比数列 C .递增数列D .递减数列解析 a 1=g (1)-g (0)=f [g (0)]-g (0)=b +1-1=b ,当n ≥2时,a n =g (n )-g (n -1)=f [g (n -1)]-f [g (n -2)]=b [g (n -1)-g (n -2)]=ba n -1,所以{a n }是等比数列. 答案 B 二、填空题3.(2013·浙江五校联考)设x 为实数,[x ]为不超过实数x 的最大整数,记{x }=x -[x ],则{x }的取值范围是[0,1),现定义无穷数列{a n }如下:a 1={a },当a n ≠0时,a n +1=⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ;当a n =0时,a n +1=0.如果a =3,则a 2 013=________.解析 由题意可得a 1=3-1,a 2=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫13-1=3-12,a 3=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫23-1=3-1,a 4=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫13-1=3-12,…,所以数列{a n }是周期为2的数列,所以a 2 013=a 1=3-1. 答案3-1三、解答题4.已知等比数列{a n }满足2a 1+a 3=3a 2,且a 3+2是a 2,a 4的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =a n +log 21a n,S n =b 1+b 2+…+b n ,求使S n -2n +1+47<0成立的n 的最小值.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,依题意,有⎩⎨⎧2a 1+a 3=3a 2,a 2+a 4=2(a 3+2),即⎩⎨⎧ a 1(2+q 2)=3a 1q ,a 1(q +q 3)=2a 1q 2+4,①②由①得q 2-3q +2=0,解得q =1或q =2. 当q =1时,不合题意,舍去;当q =2时,代入②得a 1=2,所以a n =2·2n -1=2n . 故所求数列{a n }的通项公式a n =2n (n ∈N *). (2)b n =a n +log 21a n =2n+log 212n =2n -n .所以S n =2-1+22-2+23-3+…+2n -n =(2+22+23+…+2n )-(1+2+3+…+n ) =2(1-2n )1-2-n (1+n )2=2n +1-2-12n -12n 2.因为S n -2n +1+47<0,所以2n +1-2-12n -12n 2-2n +1+47<0, 即n 2+n -90>0,解得n >9或n <-10.因为n ∈N *,故使S n -2n +1+47<0成立的正整数n 的最小值为10.。

2015届高考数学文二轮专题复习高考小题分项练(六)

2015届高考数学文二轮专题复习高考小题分项练(六)

高考小题分项练(六 )(推荐时间: 40 分钟 )1.在R 上定义运算“? 〞: x? y = (1- x)(1+ y).假设不等式 (x - a)? ( x + a)<1 对任意的实数x 都成立,那么 a 的取值X 围是 ( )A .- 1<a<1B .- 2<a<031C . 0<a<2D .-2<a<2答案 B解析由题意知, (x - a)? (x + a)= (1- x +a)(1 + x + a)= (1+ a)2- x 2<1 恒成立,即 x 2 >(1+a)2- 1 恒成立,故只要 (1+a)2-1<0 恒成立,即 a 2+ 2a<0,解得- 2<a<0.1, x>0,2.符号函数 sgn(x)=0, x = 0, 那么函数 f(x)= sgn(ln x)- ln 2 x 的零点个数为 ()-1, x<0,A .1B .2C . 3D .4答案B解析当 x>1 时, ln x>0, sgn(ln x)= 1,∴ f (x)= 1- ln 2x ,令 f(x) =0,得 x = e 满足.当 x = 1 时, ln x =0, sgn(ln x)=0,∴ f (x)=- ln 2x ,令 f(x)=0,得 x =1 满足.当0<x<1 时, ln x<0, sgn(ln x)=- 1,∴ f (x)=- 1-ln 2x<0, f(x)= 0 无解.∴函数 f(x) 的零点为 x =1 与 x = e.3.函数 f(x)的定义域为 D ,假设满足:① f( x)在 D 内是单调函数;②存在 [a ,b]? D 使得 f( x)在[ a ,b]上的值域为 a ,b,那么称函数 f(x)为“成功函数〞. 假设函数 f(x)= log c (c x + t) (c>0,c ≠1)2 2是“成功函数〞,那么 t 的取值X 围为 ( )A . (0,+∞ )B.-∞,141D. 0, 1C. 4,+∞4答案Df a = a2解析 无论 c>1 还是 0<c<1, f(x)= log c (c x+ t)都是R 上的单调增函数,故应有,bf b =2xxx那么问题可转化为求xx+ t = c 2在R 上有两个不相等的实数根的f(x)= ,即 log c (c+ t)=,即 c22xx问题,令 c 2=mx+ t =c 2可化为2y =t(m>0) ,那么ct =m - m ,问题进一步可转化为求函数 与 y = m - m 2(m>0) 的图象有两个交点的问题,结合图形可得t ∈ 0,1.44.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a ,再由乙猜甲刚刚所想的数字,把乙猜的数字记为b ,其中 a ,b ∈ {1,2,3,4,5,6} ,假设 |a - b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀〞. 现任意找两人玩这个游戏,那么他们“心有灵犀〞的概率为( )127 4A. 9B.9C.18D.9答案D解析任意找两人玩这个游戏,共有6× 6= 36 种猜字结果,其中满足|a -b|≤ 1 的有如下情形:①假设 a =1,那么 b =1,2;②假设 a = 2,那么 b = 1,2,3;③ 假设 a = 3,那么 b = 2,3,4;④假设 a = 4,那么 b = 3,4,5 ;⑤ 假设 a = 5,那么 b = 4,5,6;⑥假设 a = 6,那么 b =5,6,总共16 种,故他们“心有灵犀〞 的概率为 P = 16 4= .36 95.设 A 1,A 2, A 3,A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点,假设→→→A 1A 3=λA 1A 2(λ∈R ),A 1A 4=→C ,D 调和分割μA 1A 2(μ∈R ),且1+1= 2,那么称 A 3, A 4调和分割 A 1, A 2,平面上的点λ μ点 A , B ,那么下面说法正确的选项是()A . C 可能是线段 AB 的中点 B . D 可能是线段 AB 的中点C . C ,D 可能同时在线段 AB 上D . C , D 不可能同时在线段AB 的延长线上答案 D解析 依题意,假设 C , D 调和分割点→→ → → 1 1=2.假设 C是 A , B ,那么有 AC =λAB ,AD =μAB ,且 +λ μ线段 AB 的中点,那么有 → 1 →1 1 1 =2,所以1A 不AC = AB ,此时λ= .又 + = 0,不可能成立.因此 2 2 λ μ μ 对,同理 B 不对.→ → →→1 1> 2,当 C , D 同时在线段 AB 上时,由 AC =λAB , AD =μAB 知 0<λ< 1,0<μ<1,此时 +λ μ11与条件+ = 2 矛盾,因此C 不对.假设 C ,D 同时在线段→→→→11 < AB 的延长线上, 那么 AC =λAB 时,λ> 1,AD =μAB 时,μ> 1,此时+λ μ1+1= 2 矛盾,故 C, D 不可能同时在线段AB 的延长线上.λμ2,与6.设 [x]表示不大于x 的最大整数,那么对任意实数x, y 有 ()A . [ - x] =- [x]B. [2x]= 2[x]C. [x+ y]≤ [x] + [y]D. [x- y]≤ [x] - [y]答案D解析特殊值法.令 x= 1.5,∵ [- 1.5]=- 2,- [1.5] =- 1,故 A 错; [2 ×1.5] =3,2[1.5] = 2,故B 错;令 x= 1.5, y= 0.5,[x+y]= 2, [x]+ [y] = 1+ 0= 1,故 C 错.7.函数 f(x)的定义域为 D ,假设存在非零实数 l 使得对于任意x∈ M( M? D),有 x+ l∈ D,且f(x+ l)≥ f(x),那么称 f(x)为 M 上的 l 高调函数.如果定义域为R 的函数f(x)是奇函数,当x≥0时, f(x)= |x- a2|- a2,且 f(x)为R上的 4 高调函数,那么实数 a 的取值X围是 ()A .- 1≤ a≤ 1B. 0< a<1C.- 2<a<2D.- 2≤a≤ 2答案Ax≥ 0 时,函数 f(x)=-x,0≤ x≤ a2,解析由于函数 f( x)是奇函数,所以函数 y= f(x)的图x- 2a2, x>a2.象大致如以下图所示,根据函数图象的平移变换法那么可得函数y= f(x+ 4)的图象,大致如以下图所示.如果在 R 上,f(x+4)≥f(x)恒成立,必须且只需-4+ 2a2≤- 2a2(横轴上的截距 ),即2a ≤ 1,解得- 1≤ a≤ 1.特例排除法也可解此题.8.在平面直角坐标系中,定义d(P, Q)= |x1- x2|+ |y1-y2|为两点P(x1, y1), Q(x2, y2)之间的“折线距离〞.在这个定义下,给出以下命题:①到原点的“折线距离〞等于1 的点的集合是一个正方形;②到原点的“折线距离〞等于 1 的点的集合是一个圆;③到 M(- 1,0), N(1,0) 两点的“折线距离〞相等的点的轨迹方程是x= 0;④到 M(- 1,0), N(1,0) 两点的“折线距离〞差的绝对值为 1 的点的集合是两条平行线.其中真命题有 ()A.1 个B.2 个C.3 个D.4个答案C解析设到原点的“折线距离〞为 1的点为 (x,y),那么 |x|+ |y|=1,这是以点 (1,0),(0,1),(-1,0),(0,- 1)为顶点的正方形,故命题① 为真命题,命题②为假命题.设到 M,N 的“折线距离〞相等的点为 (x,y),那么 |x+ 1|+ |y|= |x- 1|+ |y|,即|x+ 1|= |x- 1|,两边平方即得 x=0,命题③为真命题.设到 M,N 的“折线距离〞差的绝对值为 1 的点为 (x, y),那么 ||x+1|+ |y| -|x- 1|- |y||= 1,即 ||x+ 1|- |x- 1||= 1,当 x≥ 1 时,不成立,当 x≤ - 1 时也不成立,只有当- 1<x<1 时可能成立,此时 ||x+ 1|- |x-1||=1,即 |2x|= 1,即1x=±,所以命题④为真命题.29.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,那么抽验一只是正品(甲级 )的概率为()A . 0.95B. 0.97C. 0.92D. 0.08答案C解析记抽验的产品是甲级品为事件A,是乙级品为事件B,是丙级品为事件C,这三个事件彼此互斥,因而抽验的产品是正品(甲级 )的概率为P(A)= 1- P(B)- P(C)= 1-5%- 3%=92%= 0.92,应选 C.222210.函数f(x)= x - 2(a+ 2)x+ a ,g(x)=- x + 2(a- 2)x- a + 8.设 H 1(x) =max{ f(x),g(x)} ,H2(x)= min{ f(x),g( x)}(max{ p,q} 表示 p,q 中的较大值, min{ p,q} 表示 p,q 中的较小值 ).记H1(x)的最小值为A, H2 (x)的最大值为B,那么 A- B 等于 ()A.16B.- 16C. a2- 2a- 16D. a2+ 2a-16答案B解析∵ f(x)- g(x) =2x2-4ax+ 2a2- 8=2[ x-(a- 2)][ x- (a+2)] ,f x ,x∈ -∞, a- 2],∴H 1(x)=g x , x∈ a- 2,a+ 2 ,f x ,x∈[ a+ 2,+∞,g x , x∈ -∞, a-2],g x , x∈ [ a+ 2,+∞,可求得 H1(x)的最小值 A=f(a+ 2)=- 4a- 4,H 2(x)的最大值B= g(a- 2)=- 4a+ 12,∴A- B=- 16.应选 B.11.对于平面上的点集的凸集.给出平面上Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于 4 个点集的图形如下 (阴影区域及其边界 ):Ω,那么称Ω 为平面上其中为凸集的是 ________(写出所有凸集相应图形的序号 ).答案 ②③解析图 ①中连接左顶点和右上顶点的线段不在区域内, 故不是凸集, 图 ④ 中两圆的外公切线不在区域内,也不是凸集,②③ 符合凸集的定义.12.设 f(x)和 g(x)是定义在同一区间 [a , b]上的两个函数,假设函数 y = f( x)- g(x)在 x ∈ [a , b]上有两个不同的零点,那么称 f(x)和 g(x)在[a ,b]上是“关联函数〞,区间 [a ,b] 称为“关联区间〞.假设 f(x)= x 2- 3x + 4与 g(x)= 2x + m 在 [0,3] 上是“关联函数〞,那么m 的取值X 围是________. 答案-9,- 24解析f(x)=x 2- 3x + 4 为开口向上的抛物线,g(x)=2x + m 是斜率 k = 2的直线,可先求出g(x)= 2x +m 与 f(x)= x 2- 3x + 4 相切时的 m 值.由 f ′( x)= 2x -3= 2 得切点为5,11,此时 m =-9,因此 f(x)= x 2- 3x + 4 的图象与 g(x)=2 442x + m 的图象有两个交点,只需将g(x)= 2x -9向上平移即可.4再考虑区间 [0,3] ,可得点 (3,4) 为 f(x) =x 2- 3x + 4 图象上最右边的点,此时m =- 2,所以m ∈-9,- 2 .413.在数列 { a n } 中,如果对任意n ∈N *都有a n +2-a n +1= k(k 为常数 ),那么称数列 { a n } 为等差比a n+1-an数列, k 称为公差比.现给出以下命题:①等差比数列的公差比一定不为零;②等差数列一定是等差比数列;③假设 a n =- 3n + 2,那么数列 { a n } 是等差比数列; ④假设等比数列是等差比数列,那么其公比等于公差比.其中正确命题的序号为 ________.答案 ①③④解析假设 k =0,{ a n } 为常数列, 分母无意义,①正确;公差为零的等差数列不是等差比数列,a n +2- a n +1a n +2- a n +1n +1 n= 3,满足定义,③正确;设 a n = a 1n -1= a 1q - a 1 q②错误;q ( q ≠ 0),那么 a n +1- a nn n - 1a n +1- a na 1q - a 1q=q ,④正确.14. y = f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x ∈ [0,1] 时, f(x)= x ,那么在区间[-1,3] 内,关于 x 的方程 f(x)= kx + k + 1(k ∈R , k ≠1)有 4 个根,那么 k 的取值X 围为 ________.答案 (-13, 0)解析上有由图象可知,在 l 1和 l2之间的直线都满足与函数图象在区间4 个交点,且f(x)= kx+ k+1 过定点 (-1,1),结合图象可知[- 1,3]k 的取值X围为(- 13,0).15.设 P1,P2,, , P n为平面α内的 n 个点,在平面α内的所有点中,假设点 P 到点 P1,P2,, ,P n的距离之和最小,那么称点P 为点 P1,P2,, , P n的一个“中位点〞.例如,线段AB 上的任意点都是端点 A、 B 的中位点.现有以下命题:①假设三个点 A, B, C 共线, C 在线段 AB 上,那么 C 是 A, B, C 的中位点;②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;③假设四个点 A, B, C,D 共线,那么它们的中位点存在且唯一;④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是 ________. (写出所有真命题的序号 )答案①④解析①C 到 C 点距离为0, C 在 AB 上,所以 C 到 AB 距离和最小,所以①正确.②斜边上的高的垂足是中位点,所以② 错误.③共线的四点的中位点是中间两点连线线段上任何点,所以③ 错误.④ 用反证法易证④正确.。

2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案

2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案

2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案2015普通高等学校招生全国统一考试II卷文科数学第一卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 $A=x-1<x<2$,$B=x<x<3$,则 $A\cup B=$A。

$(-1,3)$ B。

$(-1,0)$ C。

$(0,2)$ D。

$(2,3)$2.若 $a$ 是实数,且 $\frac{2+ai}{1+i}=3+i$,则 $a=$A。

$-4$ B。

$-3$ C。

$3$ D。

$4$3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是此处删除明显有问题的段落)4.已知向量 $a=(1,-1)$,$b=(-1,2)$,则 $(2a+b)\cdot a=$A。

$-1$ B。

$0$ C。

$1$ D。

$2$5.设 $S_n$ 是等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。

若$a_1+a_3+a_5=3$,则 $S_5=$A。

$5$ B。

$7$ C。

$9$ D。

$11$6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A。

$\frac{1}{1111}$ B。

$\frac{1}{8576}$ C。

$\frac{2}{1254}$ D。

$\frac{1}{333}$7.已知三点 $A(1,-1)$,$B(2,3)$,$C(2,3)$,则 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心到原点的距离为A。

$\sqrt{5}$ B。

$3$ C。

$2\sqrt{5}$ D。

$3\sqrt{2}$8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图,若输入的$a,b$ 分别为14,18,则输出的 $a$ 为开始输入a,ba>b是a≠b 否输出a是否结束a=a-b b=b-aA。

[精品]2015年高考真题文科高中数学新课标ii卷试卷和答案

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2015年普通高等学校招生全国统一考试 II 卷文 科 数 学一、选择题:本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =( ) A .()1,3- B .()1,0- C .()0,2 D .()2,3 【答案】A考点:集合运算. 2. 若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A .4- B .3- C .3 D .4 【答案】D 【解析】试题分析:由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D. 考点:复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年19002000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700A .逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B .2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C .2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D .2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D考点:柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a ( ) A .1- B .0 C .1 D .2 【答案】C 【解析】试题分析:由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点:向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =( ) A .5 B .7 C .9 D .11 【答案】A 【解析】试题解析:13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点:等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )1A.8 1B.7 1C.6 1D.5【答案】D 【解析】试题分析:截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15 ,故选D.考点:三视图7. 已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )5A.3 3 C.34D.3 【答案】B考点:直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为( )A.0B.2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析:由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点:1. 更相减损术;2.程序框图.9.已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =( )A.2B.1 1C.2 1D.8【答案】C 【解析】试题分析:由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C.考点:等比数列.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为( ) A.π36 B. π64 C.π144 D. π256 【答案】C考点:球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为( )A .B .C .D .【答案】B考点:函数图像12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )A .1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B .()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C .11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D .11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析:由21()ln(1||)1f x x x =+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A. 考点:函数性质二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点(-1,4),则a = . 【答案】-2 【解析】试题分析:由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- . 考点:函数解析式 14. 若x ,y满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为 . 【答案】8考点:线性规划15.已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 .【答案】2214x y -=考点:双曲线几何性质16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = . 【答案】8 【解析】试题分析:由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由2808a a a ∆=-=⇒=.考点:导数的几何意义. 三、解答题17(本小题满分12分)△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . (I )求sin sin BC∠∠ ; (II )若60BAC ∠=,求B ∠. 【答案】(I )12;30.考点:解三角形试题解析:(I )由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD ==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠. (II )因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由(I )知2s i nsB C ∠=∠,所以tan 30.3B B ∠=∠= 考点:解三角形18. (本小题满分12分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图(I)在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可)B地区用户满意度评分的频率分布直方图(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】(I )见试题解析(II )A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点:1.频率分布直方图;2.概率估计.19. (本小题满分12分)如图,长方体111A B C D A B CD -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(I )在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由);(II )求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.【答案】(I )见试题解析(II )97 或79考点:1.几何体中的截面问题;2.几何体的体积20. (本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> ,点(在C 上.(I )求C 的方程;(II )直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】(I )2222184x y +=(II )见试题解析考点:直线与椭圆21. (本小题满分12分)已知()()ln 1f x x a x =+-.(I )讨论()f x 的单调性;(II )当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.【答案】(I )0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增;0a >,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减;(II )()0,1. 【解析】考点:导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图O是等腰三角形AB C内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(I )证明EF BC ;(II )若AG 等于圆O 半径,且AE MN ==求四边形EBCF 的面积.【答案】(I )见试题解析;(II考点:1.几何证明;2.四边形面积的计算.23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ (t 为参数,且0t ≠ ),其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==(I )求2C 与3C 交点的直角坐标;(II )若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.【答案】(I )()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭;(II )4. 【解析】试题分析:(I )把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220+-=,220x y y+-=,联立解x y考点:参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式证明选讲设,,,+=+.证明:a b c d均为正数,且a b c d(I)若ab cd> ,(II-<-的充要条件.a b c d【答案】【解析】试题分析:(I)由a b c d>,可证明22+=+及ab cd>,开(II)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.试题解析:解:(I)因为22=++=++a b c d考点:不等式证明.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)文数答案解析(正式版)(原卷版)

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高中数学学习材料(灿若寒星 精心整理制作)2015普通高等学校招生全国统一考试II文科数学一、选择题:本大题共12道小题,每小题5分,共60分.1.已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则AB =( ) A .()1,3- B .()1,0-C .()0,2D .()2,32.若为a 实数,且2i 3i 1ia +=++,则a =( ) A .4- B .3- C .3 D .43.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A .逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B .2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C .2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D .2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a ( )A .1-B .0C .1D .25. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =( )A .5B .7C .9D .116. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )1A.8 1B.7 1C.6 1D.57. 已知三点(1,0),(0,3),(2,3)A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )5A.3 21B.3 25C.3 4D.38. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为( )A.0B.2C.4D.149.已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =( ) A.2 B.1 1C.2 1D.810. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为( )A.π36B. π64C.π144D. π25611. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为( )A .B .C .D .12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( ) A .1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B .()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C .11,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D .11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点(-1,4),则a = . 14. 若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为 .15. 已知双曲线过点()4,3,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 . 16.已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = .三、解答题17(本小题满分12分)△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .(I )求sin sin B C∠∠ ;(II )若60BAC ∠=,求B ∠.18. (本小题满分12分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图(I )在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可)B 地区用户满意度评分的频率分布直方图(II )根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.19. (本小题满分12分)如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(I )在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由);(II )求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.20. (本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率为22,点()2,2在C 上. (I )求C 的方程;(II )直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.21. (本小题满分12分)已知()()ln 1f x x a x =+-.(I )讨论()f x 的单调性;(II )当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图O 是等腰三角形AB C 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.(I )证明EF BC ;(II )若AG 等于圆O 半径,且23AE MN == ,求四边形EBCF 的面积.23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数,且0t ≠ ),其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== (I )求2C 与3C 交点的直角坐标;(II )若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式证明选讲设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明:(I )若ab cd > ,则a b c d +>+; (II )a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件.。

2015年高考新课标Ⅱ卷文数试题+解析.doc

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2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2)文科数学一、 选择题:本大题共12小题。

每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。

1.已知集合}21|{<<-=x x A ,}30|{<<=x x B ,则A ∪B=( )A. )3,1(-B. )0,1(-C. )2,0(D. )3,2(2.若a 为实数,且i iai+=++312,则=a ( ) A. 4- B. 3- C. 3 D. 43. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果显著B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4.向量a =(1,-1) b =(-1,2),则(2a +b ).a = ( ) A. 1- B. 0 C. 1 D.2 5. 设n S 是数列}{n a 的前n 项和,若3531=++a a a ,则=5S ( )A. 5B. 7C. 9D. 116. 一个正方体被一个平面截取一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.81 B. 71 C. 61 D. 51 7.已知三点)0,1(A ,)3,0(B ,)3,2(C ,则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.35 B. 321 C. 352 D. 348.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a 、b 分别为14、18,则输出的=a ( )A. 0B. 2C. 4D. 149.已知等比数列}{n a 满足411=a ,)1(4453-=a a a ,则=2a ( ) A. 2 B. 1 C. 21 D. 8110.已知A 、B 是球O 的球面上两点, 90=∠AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为( )A. π36B. π64C. π144D. π256 11.如图,长方形ABCD 的边2=AB ,1=BC ,O 是AB 的中点,点P 沿着BC 、CD 与DA 运动,记x BOP =∠.将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数)(x f ,则)(x f y =的图象大致为( )12. 设函数211|)|1ln()(xx x f +-+=,则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值范围是( ) A. )1,31( B. ),1()31,(+∞-∞U C. )31,31(- D. ),31()31,(+∞--∞U二.填空题:共4小题,每小题5分.13. 已知函数x ax x f 2)(3-=的图象过点)4,1(-,则=a .14.若x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥--≤-+01201205y x y x y x ,则y x z +=2的最大值为 .15.已知双曲线过点)3,4(,且渐近线方程为x y 21±=,则该双曲线的标准方程为 . 16.已知曲线x x y ln +=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切,则=a.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17、(本小题满分12分)ΔABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sinsinBC∠∠;(2)若∠BAC=60°,求∠B.18、(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得分A地区用户满意评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.(1)在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频数分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可)(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级;估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.19、(本小题满分12分)如图,长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,分别在A 1B 1, D 1C 1上,A 1E= D 1F=4.过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 20、(本小题满分12分)已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0,点(2)在C 上.(1)求C 的方程.(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M.直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21、(本小题满分12分)已知函数f (x )=ln x +a (1- x ) (1)讨论f (x )的单调性;(2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求a 的取值范围. 22、(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中,曲线C 1:cos sin x t y t ==αα{(t 为参数,t ≠0)其中0≤α≤π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:p=2sin θ,C 3:cos θ。

【创新设计】2015届高考数学(人教A版文科)一轮复习题组训练第二篇函数、导数及其应用(五)Word版含解析

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第5讲 指数与指数函数基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.(2014·郑州模拟)下列函数f (x )中,满足“对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2)”的是( ).A .f (x )=1x B .f (x )=x 2-4x +4 C .f (x )=2xD .f (x )=log 12x解析 由条件可知在(0,+∞)上,函数f (x )递增,所以选C. 答案 C2.函数y =a x -1a (a >0,a ≠1)的图象可能是( ).解析 当a >1时单调递增,且在y 轴上的截距为0<1-1a <1时,故A ,B 不正确;当0<a <1时单调递减,且在y 轴上的截距为1-1a <0,故C 不正确;D 正确. 答案 D3.(2014·济南一模)若a =30.6,b =log 30.2,c =0.63,则 ( ). A .a >c >b B .a >b >c C .c >b >aD .b >c >a解析 30.6>1,log 30.2<0,0<0.63<1,所以a >c >b ,选A. 答案 A4.设2a =5b =m ,且1a +1b =2,则m 等于 ( ).A .10B .10C .20D .100解析 ∵2a =5b =m ,∴a =log 2m ,b =log 5m , ∴1a +1b =1log 2m +1log 5m =log m 2+log m 5=log m 10=2.∴m =10. 答案 A5.函数y =a x -b (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限,则a b 的取值范围为( ).A .(1,+∞)B .(0,+∞)C .(0,1)D .无法确定解析 函数经过第二、三、四象限,所以函数单调递减且图象与y 轴的交点在负半轴上.而当x =0时,y =a 0-b =1-b ,由题意得⎩⎨⎧0<a <1,1-b <0,解得⎩⎨⎧0<a <1,b >1,所以a b ∈(0,1). 答案 C 二、填空题 6.a 3a ·5a 4(a >0)的值是________.解析 答案a 17107.(2013·盐城模拟)已知函数f (x )=a -x (a >0,且a ≠1),且f (-2)>f (-3),则a 的取值范围是________.解析 因为f (x )=a -x =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ,且f (-2)>f (-3),所以函数f (x )在定义域上单调递增,所以1a >1,解得0<a <1. 答案 (0,1)8.函数f (x )=a x (a >0,a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2,则a 的值为________.解析 当0<a <1时,a -a 2=a 2,∴a =12或a =0(舍去).当a >1时,a 2-a =a 2,∴a =32或a =0(舍去). 综上所述,a =12或32. 答案 12或32 三、解答题9.设f (x )=e -x a +ae -x 是定义在R 上的函数.(1)f (x )可能是奇函数吗? (2)若f (x )是偶函数,求a 的值.解 (1)假设f (x )是奇函数,由于定义域为R , ∴f (-x )=-f (x ),即e x a +ae x =-⎝ ⎛⎭⎪⎫e -xa +a e -x ,整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a (e x +e -x )=0,即a +1a =0,即a 2+1=0,显然无解. ∴f (x )不可能是奇函数.(2)因为f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x ),即e x a +a e x =e -xa +a e-x ,整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a -1a (e x -e -x )=0, 又∵对任意x ∈R 都成立,∴有a -1a =0,得a =±1.10.设a >0且a ≠1,函数y =a 2x +2a x -1在[-1,1]上的最大值是14,求a 的值. 解 令t =a x (a >0且a ≠1), 则原函数化为y =(t +1)2-2(t >0).①当0<a <1时,x ∈[-1,1],t =a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ,1a ,此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ,1a 上为增函数. 所以f (t )max =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +12-2=14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +12=16,所以a =-15或a =13.又因为a >0,所以a =13.②当a >1时,x ∈[-1,1],t =a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ,a ,此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ,a 上是增函数.所以f (t )max =f (a )=(a +1)2-2=14, 解得a =3(a =-5舍去).综上得a =13或3.能力提升题组 (建议用时:25分钟)一、选择题1.(2014·惠州质检)设f (x )=|3x -1|,c <b <a 且f (c )>f (a )>f (b ),则下列关系式中一定成立的是( ).A .3c >3bB .3b >3aC .3c +3a >2D .3c +3a <2解析 作f (x )=|3x -1|的图象如图所示,由图可知,要使c <b <a 且f (c )>f (a )>f (b )成立,则有c <0且a >0,∴3c <1<3a ,∴f (c )=1-3c ,f (a )=3a -1, 又f (c )>f (a ),∴1-3c >3a -1, 即3a +3c <2,故选D. 答案 D2.(2014·杭州质检)已知函数f (x )=⎩⎨⎧(1-3a )x +10a ,x ≤7,a x -7,x >7是定义域上的递减函数,则实数a 的取值范围是 ( ). A .⎝ ⎛⎭⎪⎫13,12B .⎝ ⎛⎦⎥⎤13, 611C .⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,23D .⎝ ⎛⎦⎥⎤12,611解析 ∵函数f (x )=⎩⎨⎧(1-3a )x +10a ,x ≤7,a x -7,x >7是定义域上的递减函数,∴⎩⎨⎧1-3a <0,0<a <1,(1-3a )×7+10a ≥a 0,即⎩⎨⎧1-3a <0,0<a <1,7-11a ≥1,解得13<a ≤611. 答案 B 二、填空题3.函数f (x )=a x -3+m (a >1)恒过点(3,10),则m =________. 解析 由图象平移知识及函数f (x )=a x 过定点(0,1)知,m =9. 答案 9 三、解答题4.已知函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2-4x +3.(1)若a =-1,求f (x )的单调区间; (2)若f (x )有最大值3,求a 的值.解 (1)当a =-1时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13-x 2-4x +3,令t =-x 2-4x +3=-(x +2)2+7,由于t 在(-∞,-2)上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R上单调递减,所以f (x )在(-∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函数f (x )的单调递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2). (2)令h (x )=ax 2-4x +3,则f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x ).由于f (x )有最大值3,所以h (x )应有最小值-1,因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0,-4a +3=-1,解得a =1,即当f (x )有最大值3时,a的值等于1.。

2015全国II高考数学文科word版

2015全国II高考数学文科word版

普通高等学校招生全国统一考试文科数学一.选择题. 12题. 每题5分.1.已知集合{|12}A x x =-<<,{}03B x x =<<,则=B A ( ).A.()13,-B.()10,-C.()02,D.()23,2.若a 为实数,且2i 3i 1ia +=++,则=a ( ). A.4- B.3- C.3 D.43. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( ).A.逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果显著B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关4.向量()11,=-a ,()12,=-b ,则()2+=a b a ( ).A.1-B.0C.1D.25. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,若3531=++a a a ,则=5S ( ).A.5B.7C.9D.116. 一个正方体被一个平面截取一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ).A.81 B.71 C.61 D.517.已知三点()10A ,,(0B ,(2C ,则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( ). A.35 B.321 C.352 D.34 8.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a 、b 分别为14、18,则输出的=a ( ).A.0B.2C.4D.149.已知等比数列{}n a 满足411=a ,()35441a a a =-,则=2a ( ). A. 2 B. 1 C. 21 D. 81 10.已知A 、B 是球O 的球面上两点,90AOB ∠=,C 为该球面上的动点.若三棱锥O ABC ﹣体积的最大值为36,则球O 的表面积为( ).A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π11.如图所示,长方形ABCD 的边2=AB ,1=BC ,O 是AB 的中点,点P 沿着BC 、CD 与DA 运动,记BOP x ∠=.将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则()y f x =的图象大致为( ).12. 设函数()()2111f x ln |x |x =+-+,则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是( ). A. 113,⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ()113,,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C. 1133,⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1133,,⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二.填空题:共4小题,每小题5分.13. 已知函数()32f x ax x =-的图象过点()14,-,则=a .14.若x 、y 满足约束条件50210210x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩,则y x z +=2的最大值为 .15.已知双曲线过点(4,且渐近线方程为x y 21±=,则该双曲线的标准方程为 . 16.已知曲线ln y x x =+在点处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则=a .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17、△AD 平分BAC ∠, 2BD DC =.(I )(II 60,求.18、(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得分A 地区用户满意评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表.19、(本小题满分12分)如图所示,长方体1111ABCDA B C D ﹣中,16AB =,10BC =,18AA =,点E ,F 分别在11A B , 11D C 上,114AE D F ==.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)(Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.上. ,线段AB 的21、(本小题满分12分)已知函数()()=ln +1f x x a x -.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.α.0π24、(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲。

2015年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

2015年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

2015年普通高等学校招生全国统一考试(2全国Ⅱ卷)数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合A={}{}=<<=<<-B A x x B x x 则,30,21( ) A.( −1,3) B 。

( −1,0 ) C.(0,2) D.(2,3) 2。

若a 实数,且=+=++a i iai则,312( ) A 。

—4 B. -3 C 。

3 D. 43.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )2700260025002400210020001900)A.逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著; B 。

2007年我国治理二氧化碳排放显现成效; C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势; D 。

2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。

4。

已知向量=•+-=-=a b a b a )则(2),2,1(),1,0(( ) A. -1 B 。

0 C 。

1 D. 25。

设{}项和,的前是等差数列n a S n n 若==++5531,3S a a a 则( )A 。

5B 。

7 C. 9 D. 116.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )A 。

81 B 。

71 C. 61 D. 51 7。

已知三点)32()30(),01(,,,,C B A ,则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A 。

35B 。

321C 。

352D 。

348。

右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a为()否否A。

0 B. 2 C。

4 D。

149。

已知等比数列{}=-==24531),1(4,41aaaaaan则满足()A. 2B. 1C.21D.8110.已知A,B是球O的球面上两点,为该球面上动点,CAOB,90︒=∠若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A. 36πB. 64πC。

【纯手打原创】2015高考真题文科数学(新课标Ⅱ卷)【逐题解析版】

【纯手打原创】2015高考真题文科数学(新课标Ⅱ卷)【逐题解析版】

2015普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标Ⅱ卷)第Ⅰ卷一、 选择题:本小题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A ={x |−1<x <2},B ={x |0<x <3},则A ∪B =(A )(−1,3) (B )(−1,0) (C )(0,2) (D )(2,3)【解析】由题意可得,集合A 、B 在数轴上的表示如图,所以A ∪B =(−1,3),所以选A(2)若a 为实数,且2+ai1+i =3+i,则a =(A )-4 (B )-3 (C )3 (D )4【解析】2+ai 1+i=3+i ,即2+ai =(3+i )(1+i )=2+4i ,所以a =4,选D(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是(A )逐年比较,2008年减少二氧化硫年排放量的效果最显著 (B )2007年我国治理二氧化硫排放显现成效(C )2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D )2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【解析】2006年以来我国二氧化硫年排放量随着年份的增长在减少,所以2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关,选D(4)已知a ⃗=(0,−1),b ⃗⃗=(−1,2),则(2a ⃗+b ⃗⃗)∙a ⃗=(A )-1 (B )0 (C )1 (D )2【解析】2a ⃗⃗+b ⃗⃗=(−1,0),则(2a ⃗⃗+b⃗⃗)∙a ⃗⃗=0,选B12345-1-2-3-4-5xAB(5)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5= (A )5 (B )7 (C )9 (D )11【解析】a 1+a 3+a 5=3a 3=3,所以a 3=1,且S 5=(a 1+a 5)×52=5a 3=5,选A(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分的体积与剩余部分的比值为(A )18 (B )17 (C )16 (D )15【解析】根据三视图,可得:所以,截去的部分体积是原正方体体积的16,则截去部分的体积与剩余部分的比值为15,所以选D(7)已知三点A (1,0), B(0,√3), C(2,√3),则△ABC 外接圆圆心到原点的距离为 (A )53 (B )√213(C )2√53(D )43【解析】如图, △ABC 是正三角形,外接圆的圆心为三角形的中心,所以E 的坐标为(1+0+23,0+√3+√33),所以E 的坐标为(1,2√33),则OE 的长度为√(2√33)2+12=√213(8)右边程序框图得算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损法”,执行该程序框图,若输入a,b 分别是14,18,则输出的a =(A )0 (B )2 (C )4 (D )14【解析】执行该程序框图的运算如下表所以选Ba ≠b ? 是 a>b ? 否 b = b – a=18–14=4 a ≠b ? 是 a>b ? 是 a = a – b=14–4=10 a ≠b ? 是 a>b ? 是 a = a – b=10–4=6 a ≠b ? 是 a>b ? 是 a = a – b=6–4=2 a ≠b ? 是 a>b ? 否 b = b – a=4–2=2a ≠b ? 否输出a =2ABC DA 1B 1C 1D 1123123xyOA(1,0)B (0,3)C (2,3)D E开始输入a,ba ≠b输出a结束否是a >b否是b = b - aa = a - b(9)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3∙a 5=4(a 4−1),则a 2=(A )2 (B )1 (C )12(D )18【解析】a 3∙a 5=a 42=4(a 4−1),所以a 42−4a 4+4=0,则a 4=2,因为a 4a 1=q 3=8,所以a 2=a 1∙q =12,故选C(10)已知A 、B 是球O 的球面上两点,∠AOB =90°,C 为球面上的动点,若三棱锥O −ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为(A )36π (B )64π (C )144π (D )256π【解析】A 、B 是球O 的球面上两点,∠AOB =90°,所以平面AOB 为大圆平面,AO =BO =R ,其中R 为球的半径,三棱锥O −ABC 的体积等于三棱锥C −AOB 的体积,如图1所示:当C 点位于O 点正上方时,三棱锥C −AOB 的高最大,为球的半径,此时体积最大,如图2,V C−AOB 最大值为13∙12R ∙R ∙R =36,所以R =6, 则球O 的表面积为4πR 2=144π,故选C(11)如图,长方形ABCD 的边AB =2,BC =1,O 为AB 的中点,点P 沿着边BC,CD 与DA 运动∠BOP =x ,将动点P 到A 、B 两点的距离之和表示为x 的函数f (x ),则y =f (x )的图像大致为(A ) (B ) (C ) (D )【解析】当0≤x ≤π4时,PB =tanx ,PA =√tan 2x +22,f (x )= tanx +√tan 2x +4, 当π4<x <π2时,f (x )=√(1+1tanx)2+1+√(1−1tanx)2+1,,因为不可能是直线的图像,且在0≤x ≤π2应该为分段函数的形式。

2015年高考文科数学(全国通用)二轮复习突破练小题部分10份

2015年高考文科数学(全国通用)二轮复习突破练小题部分10份

目录高考小题综合练 (1)高考小题综合练(一) ................................................................................................................ 1 高考小题综合练(二) ................................................................................................................ 6 高考小题综合练(三) .............................................................................................................. 12 高考小题综合练(四) .............................................................................................................. 18 高考小题分项练 .. (27)高考小题分项练(一) .............................................................................................................. 27 高考小题分项练(二) .............................................................................................................. 33 高考小题分项练(三) .............................................................................................................. 39 高考小题分项练(四) .............................................................................................................. 46 高考小题分项练(五) .............................................................................................................. 53 高考小题分项练(六) .. (60)高考小题综合练高考小题综合练(一)(推荐时间:40分钟)1.已知集合A ={-1,1},B ={x |ax +2=0},若B ⊆A ,则实数a 的所有可能取值的集合为( ) A .{-2} B .{2} C .{-2,2} D .{-2,0,2}答案 D解析 当a =0时,B =∅⊆A ,合乎题意;当a ≠0时,B ={x |ax +2=0}=⎩⎨⎧⎭⎬⎫-2a ,∵B ⊆A ,∴-2a =1或-2a =-1,解得a =±2,综上所述,实数a 的所有可能取值的集合为{-2,0,2}.2.(2014·上海)设a ,b ∈R ,则“a +b >4”是“a >2,且b >2”的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件D .既非充分也非必要条件答案 B解析 显然,a +b >4,无法推出a >2且b >2,∴不是充分条件,若a >2且b >2,则a +b >4成立,∴是必要条件,∴必要不充分条件,所以选B. 3.i 是虚数单位,则ii (1+i )的模为( )A.12B.22C. 2 D .2答案 B 解析i i (1+i )=11+i =12-12i ,故其模为22.4.将函数f (x )=cos(π+x )(cos x -2sin x )+sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数g (x ),则g (x )具有性质( )A .最大值为2,图象关于直线x =π2对称B .周期为π,图象关于(π4,0)对称C .在(-π2,0)上单调递增,为偶函数D .在(0,π4)上单调递增,为奇函数答案 D解析 f (x )=-cos x (cos x -2sin x )+sin 2x =2sin x cos x -(cos 2x -sin 2x ) =sin 2x -cos 2x =2sin(2x -π4),所以g (x )=2sin[2(x +π8)-π4]=2sin 2x .结合正弦函数的性质,可知D 正确.5.已知各项不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若m ∈N *,且a m -1+a m +1-a 2m =0,S 2m -1=38,则m =( )A .10B .20C .30D .40答案 A解析 a m -1+a m +1=2a m ,得2a m -a 2m =0,又a m ≠0,所以a m =2,则S 2m -1=(2m -1)(a 1+a 2m -1)2=(2m -1)a m =2(2m -1)=38,所以m =10.6.在△ABC 中,AB =2,BC =1.5,∠ABC =120°(如图所示),若将△ABC 绕BC 边所在直线旋转一周,则所形成的旋转体的体积是( ) A.92π B.72π C.52π D.32π 答案 D解析 如图所示,该旋转体的体积为圆锥CD 与圆锥BD 的体积之差,由已知求得BD =1.所以V =V 圆锥CD -V 圆锥BD =13×π×3×52-13×π×3×1=32π. 7.双曲线y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =x 2+1相切,则该双曲线的离心率等于( ) A.52 B. 5 C. 6 D.62答案 A解析 可以设切点为(x 0,x 20+1),由y ′=2x , ∴切线方程为y -(x 20+1)=2x 0(x -x 0), 即y =2x 0x -x 20+1,∵已知双曲线的渐近线为y =±a b x ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1-x 20=0,±a b =2x 0,∴x 0=±1,∴ab =2, ∴e =c a=c 2a 2= a 2+b 2a 2= 4b 2+b 24b 2=52. 8.(2014·辽宁)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中AB =2,BC =1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8答案 B解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ,则P (A )=阴影面积长方形面积=12π·121×2=π4.9.(2014·湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入的t ∈[-2,2],则输出的S 属于( )A .[-6,-2]B .[-5,-1]C .[-4,5]D .[-3,6]答案 D解析 由程序框图知,当0≤t ≤2时,输出S =t -3,此时S ∈[-3,-1];当-2≤t <0时,执行t =2t 2+1后1<t ≤9,执行1<t ≤9时,输出S =t -3,此时S ∈(-2,6].因此输出S 的值属于[-3,6].10.某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( ) A .这种抽样方法是一种分层抽样 B .这种抽样方法是一种系统抽样C .这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D .该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数 答案 C解析 x 男=15(86+94+88+92+90)=90, x女=15(88+93+93+88+93)=91, s 2男=15[(86-90)2+(94-90)2+(88-90)2+(92-90)2+(90-90)2]=8,s 2女=15[(88-91)2+(93-91)2+(93-91)2+(88-91)2+(93-91)2]=6.11.(2014·浙江)在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是________. 答案 13解析 设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0,那么甲、乙抽奖结果有(1,2),(1,0),(2,1),(2,0),(0,1),(0,2),共6种. 其中甲、乙都中奖有(1,2),(2,1),2种, 所以P (A )=26=13.12.抛物线x 2=2py (p >0)的焦点为F ,其准线与双曲线x 23-y 23=1相交于A 、B 两点,若△ABF为等边三角形,则p =________. 答案 6解析 因为△ABF 为等边三角形, 所以由题意知B ⎝⎛⎭⎫p 3,-p 2, 代入方程x 23-y 23=1得p =6.13.已知定义在R 上的函数y =f (x )满足以下三个条件:①对于任意的x ∈R ,都有f (x +1)=1f (x );②函数y =f (x +1)的图象关于y 轴对称;③对于任意的x 1,x 2∈[0,1],且x 1<x 2,都有f (x 1)>f (x 2),则f (32),f (2),f (3)从小到大的关系是________.答案 f (3)<f (32)<f (2)解析 由①得f (x +2)=f (x +1+1)=1f (x +1)=f (x ),所以函数f (x )的周期为2.因为函数y =f (x+1)的图象关于y 轴对称,将函数y =f (x +1)的图象向右平移一个单位即得y =f (x )的图象,所以函数y =f (x )的图象关于x =1对称;根据③可知函数f (x )在[0,1]上为减函数,又结合②知,函数f (x )在[1,2]上为增函数.因为f (3)=f (2+1)=f (1),在区间[1,2]上,1<32<2,所以f (1)<f (32)<f (2),即f (3)<f (32)<f (2).14.在△ABC 中,已知D 是边AB 上的一点,若AD →=2DB →,CD →=13CA →+λCB →,则λ=________.答案 23解析 因为AD →=2DB →,所以AD →=23AB →,又CD →=CA →+AD →=CA →+23AB →=CA →+23(CB →-CA →)=13CA →+23CB →,所以λ=23.15.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为_________________.答案2π6+16解析 据三视图可知,该几何体是一个半球(下部)与一个四面体(上部)的组合体,其直观图如图所示,其中BA ,BC ,BP 两两垂直,且BA =BC =BP =1,∴(半)球的直径长为AC =2,∴该几何体的体积为 V =V 半球+V P -ABC =12×43π(AC 2)3+13×12×BA ·BC ·PB =2π6+16.高考小题综合练(二)(推荐时间:40分钟)1.全集U=R,A={x|x2-2x≤0},B={y|y=cos x,x∈R},则右图中阴影部分表示的集合()A.{x|x<-1或x>2} B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x≤1} D.{x|0≤x≤1}答案 D解析阴影部分表示的集合是A∩B.依题意知,A={x|0≤x≤2},B={y|-1≤y≤1},所以A∩B={x|0≤x≤1},故选D.2.复数1+i4+3i的虚部是()A.125i B.1 25C.-125D.-125i 答案 B解析1+i4+3i=(1+i)(4-3i)(4+3i)(4-3i)=725+i25,所以虚部为125.3.(2014·陕西)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,假,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假答案 B解析原命题正确,所以逆否命题正确.模相等的两复数不一定互为共轭复数,同时因为逆命题与否命题互为逆否命题,所以逆命题和否命题错误.故选B.4.(2014·湖南)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p +q 2B.(p +1)(q +1)-12C.pqD.(p +1)(q +1)-1答案 D解析 设年平均增长率为x ,则(1+x )2=(1+p )(1+q ), 所以x =(1+p )(1+q )-1.5.设数列{a n }是首项为1,公比为4的等比数列,把{a n }中的每一项都减去3后,得到一个新数列{b n },{b n }的前n 项和为S n ,对任意的n ∈N *,下列结论正确的是( ) A .4b n =b n +1且S n =13(4n -1)B .4b n -6=b n +1且S n =13(4n -1)C .4b n +9=b n +1且S n =13(4n -1)-3nD .4b n -9=b n +1且S n =13(4n -1)-3n答案 C解析 由已知得b n =4n -1-3,故有4b n +9=4(4n -1-3)+9=4n -3=b n +1,S n =(1+4+42+…+4n -1)-3n =13(4n -1)-3n .6.已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y ≥0,x +y ≤1,0≤y ≤12,若目标函数z =ax +y (其中a 为常数)仅在点⎝⎛⎭⎫12,12处取得最大值,则实数a 的取值范围是( )A .(-2,2)B .(0,1)C .(-1,1)D .(-1,0)答案 C解析 由x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y ≥0,x +y ≤1,0≤y ≤12,画出此不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示. 由目标函数z =ax +y ,得y =-ax +z , 因为z 仅在点⎝⎛⎭⎫12,12处取得最大值,所以得-1<-a <1,得实数a 的取值范围是(-1,1).7.一个半径为2的球体经过切割后,剩余部分几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .15πB .16πC .17πD .18π答案 B解析 该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分,所以该几何体的表面积为34×(4π×22)+2×π×222=16π. 8.(2014·课标全国Ⅱ)若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是( ) A .(-∞,-2] B .(-∞,-1] C .[2,+∞) D .[1,+∞)答案 D解析 由于f ′(x )=k -1x ,f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)单调递增⇔f ′(x )=k -1x ≥0在(1,+∞)上恒成立.由于k ≥1x ,而0<1x <1,所以k ≥1.即k 的取值范围为[1,+∞).9.已知锐角A ,B 满足2tan A =tan(A +B ),则tan B 的最大值为( )A.22 B.24C. 2 D .2 2 答案 B解析 tan B =tan[(A +B )-A ]=tan (A +B )-tan A 1+tan (A +B )tan A =tan A 1+2tan 2A =11tan A+2tan A ,又tan A >0,则1tan A+2tan A ≥22,当且仅当tan A =22时取等号.所以tan B ≤122=24.故选B.10.当x =π4时,函数f (x )=A sin(x +φ)(A >0)取得最小值,则函数y =f ⎝⎛⎭⎫3π4-x 是( ) A .奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2,0对称 B .偶函数且图象关于点(π,0)对称C .奇函数且图象关于直线x =π2对称D .偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2,0对称 答案 C解析 由题意得,sin ⎝⎛⎭⎫π4+φ=-1, ∴φ可取-3π4.∴f ⎝⎛⎭⎫3π4-x =A sin ⎝⎛⎭⎫3π4-x -3π4=-A sin x , ∴选C.11.设直线x -my -1=0与圆(x -1)2+(y -2)2=4相交于A ,B 两点,且弦AB 的长为23,则实数m 的值是______. 答案 ±33解析 由条件可知圆心(1,2)到直线x -my -1=0的距离d =4-3=1,即|1-2m -1|1+m2=1,解得m =±33.12.(2014·天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取________名学生.答案 60解析 根据题意,应从一年级本科生中抽取的人数为44+5+5+6×300=60.13.(2014·上海)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是________(结果用最简分数表示). 答案11514.设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC .若DE →=λ1AB →+λ2AC→(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________. 答案 12解析 DE →=DB →+BE →=12AB →+23BC →=12AB →+23(BA →+AC →)=-16AB →+23AC →,所以λ1=-16,λ2=23,即λ1+λ2=12.15.已知数列{a n }满足a n =n ·k n (n ∈N *,0<k <1),下面说法正确的是____________________. ①当k =12时,数列{a n }为递减数列;②当12<k <1时,数列{a n }不一定有最大项;③当0<k <12时,数列{a n }为递减数列;④当k 1-k 为正整数时,数列{a n }必有两项相等的最大项.答案 ③④ 解析a n +1a n =n +1nk ,因为0<k <1, 所以当n <k1-k 时,a n +1a n >1,即a n +1>a n ;当n >k1-k 时,a n +1a n <1,即a n +1<a n .①当k =12时,a 1=12,a 2=2×(12)2=12,a 1=a 2,故数列{a n }不是递减数列.故①不正确.②当12<k <1时,k1-k∈(1,+∞),所以数列{a n }先减后增,有最大值,故②不正确.③当0<k <12时,k1-k ∈(0,1),所以数列{a n }是递减数列,故③正确.④当k 1-k 为正整数时,令k 1-k =n ∈N *,所以k =n n +1∈[12,1).k =12时,a 1=a 2=12,数列{a n }从第二项起递减,所以此时数列{a n }有两项相等的最大值; 12<k <1时,数列从第一项到第n -1项递增,从第n +1项起递减. a n a n -1=n n -1k =n n -1×n n +1=n 2n 2-1>1, 所以a n >a n -1,a n +1a n =n +1n k =n +1n ×nn +1=1,所以a n =a n +1,所以此时数列{a n }有两项相等的最大值,故④正确.高考小题综合练(三)(推荐时间:40分钟)1.(2014·大纲全国)设集合M ={x |x 2-3x -4<0},N ={x |0≤x ≤5}, 则M ∩N 等于( ) A .(0,4] B .[0,4) C .[-1,0) D .(-1,0]答案 B解析 ∵集合M ={x |x 2-3x -4<0}={x |-1<x <4}. N ={x |0≤x ≤5},∴M ∩N ={x |0≤x <4}.2.已知l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,且l ∥α,则下列命题正确的是( ) A .若l ∥m ,则m ∥α B .若m ∥α,则l ∥m C .若l ⊥m ,则m ⊥α D .若m ⊥α,则l ⊥m 答案 D解析 由l ∥α,l ∥m ,可得m ⊂α或m ∥α,A 不正确;由l ∥α,m ∥α,可得l ∥m 或l ,m 相交或l ,m 互为异面直线,B 不正确; 由l ∥α,l ⊥m ,可得m ∥α或m ,α相交,C 不正确; 由l ∥α,m ⊥α,可得l ⊥m ,D 正确.3.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |,x ∈[-π,π],lg x ,x >π,x 1,x 2,x 3,x 4,x 5是方程f (x )=m 的五个不等的实数根,则x 1+x 2+x 3+x 4+x 5的取值范围是( ) A .(0,π) B .(-π,π) C .(lg π,1) D .(π,10)答案 D解析 函数f (x )的图象如图所示,结合图象可得x 1+x 2=-π,x 3+x 4=π, 若f (x )=m 有5个不等的实数根, 需lg π<lg x 5<1,得π<x 5<10, 又由函数f (x )在[-π,π]上对称, 所以x 1+x 2+x 3+x 4=0,故x 1+x 2+x 3+x 4+x 5的取值范围为(π,10). 4.(2014·陕西)原命题为“若a n +a n +12<a n ,n ∈N +,则{a n }为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A .真,真,真 B .假,假,真 C .真,真,假 D .假,假,假答案 A 解析a n +a n +12<a n ⇔a n +1<a n ⇔{a n }为递减数列.原命题与其逆命题都是真命题,所以其否命题和逆否命题也都是真命题,故选A. 5.在区间[0,π]上随机取一个数x ,则事件“sin x +cos x ≥62”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.23 答案 B解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧sin x +cos x ≥62,0≤x ≤π,所以⎩⎪⎨⎪⎧sin (x +π4)≥32,0≤x ≤π,即π12≤x ≤5π12.根据几何概型的计算方法,所以所求的概率为P =5π12-π12π=13. 6.下列不等式中,一定成立的是( ) A .lg ⎝⎛⎭⎫x 2+14>lg x (x >0) B .sin x +1sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z )C .x 2+1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2+1>1(x ∈R ) 答案 C解析 取x =12否定A ,取x =-π4否定B ,取x =0否定D ,故选C.7.已知x 、y 取值如下表:从所得的散点图分析可知:y 与x 线性相关,且y =0.95x +a ,则a 等于( ) A .1.30 B .1.45 C .1.65 D .1.80答案 B解析 代入样本点中心(x ,y ),可知a =1.45.8.定义在R 上的函数y =f (x )在(-∞ ,a )上是增函数,且函数y =f (x +a )是偶函数,当x 1<a ,x 2>a ,且|x 1-a |<|x 2-a |时,有( )A .f (x 1)>f (x 2)B .f (x 1)≥f (x 2)C .f (x 1)<f (x 2)D .f (x 1)≤f (x 2)答案 A解析 因为函数y =f (x +a )是偶函数,其图象关于y 轴对称,把这个函数图象平移|a |个单位(a <0左移,a >0右移)可得函数y =f (x )的图象,因此函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称,此时函数y =f (x )在(a ,+∞)上是减函数.由于x 1<a ,x 2>a 且|x 1-a |<|x 2-a |,说明x 1与对称轴的距离比x 2与对称轴的距离小,故f (x 1)>f (x 2).9.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点和顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的焦点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( ) A.13 B.12 C.33 D.22 答案 D解析 设椭圆的焦点F 1(-c,0),F 2(c,0),由题意可知双曲线方程为x 2c 2-y 2b 2=1,其渐近线方程为y =±bc x ,又双曲线的两条渐近线与椭圆的焦点构成的四边形恰为正方形,所以由椭圆的对称性知双曲线的渐近线方程为y =±x ,即b =c ,所以a =b 2+c 2=2c ,所以椭圆的离心率为22. 10.在平面上,AB 1→⊥AB 2→,|OB →1|=|OB 2→|=1,AP →=AB 1→+AB 2→.若|OP →|<12,则|OA →|的取值范围是( ) A .(0,52] B .(52,72] C .(52,2] D .(72,2] 答案 D解析 根据条件知A ,B 1,P ,B 2构成一个矩形AB 1PB 2,以AB 1,AB 2为坐标轴建立直角坐标系,设|AB 1|=a ,|AB 2|=b ,点O 的坐标为(x ,y ),则点P 的坐标为(a ,b ),由|OB 1→|=|OB 2→|=1得⎩⎪⎨⎪⎧ (x -a )2+y 2=1,x 2+(y -b )2=1,则⎩⎪⎨⎪⎧(x -a )2=1-y 2,(y -b )2=1-x 2,又由|OP →|<12,得(x -a )2+(y -b )2<14,则1-x 2+1-y 2<14,即x 2+y 2>74①又(x -a )2+y 2=1,得x 2+y 2+a 2=1+2ax ≤1+a 2+x 2,则y 2≤1;同理,由x 2+(y -b )2=1,得x 2≤1,即有x 2+y 2≤2② 由①②知74<x 2+y 2≤2,所以72<x 2+y 2≤ 2.而|OA →|=x 2+y 2,所以72<|OA →|≤ 2. 11.设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y ≥-1,x +y ≤3,x ≥0,y ≥0,则z =x -2y 的取值范围为________.答案 [-3,3]解析 如右图,阴影部分为不等式组表示的平面区域,易知点A (1,2),B (3,0)分别为目标函数取得最小值和最大值的最优解,即z min =1-2×2=-3,z max =3-2×0=3,故z =x -2y 的取值范围是[-3,3].12.执行下面的程序框图,则输出的S 的值是________.答案 63解析 由程序框图知,当n =1时,S =1+21=3;当n =2时,S =3+22=7;当n =3时,S =7+23=15;当n =4时,S =15+24=31;当n =5时,S =31+25=63>33,循环结束,故输出S 的值是63.13.如图所示,ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体,M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点,P 是上底面的棱AD 上的点,AP =a3,过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ,Q 在CD 上,则PQ =________. 答案223a 解析 如图所示,连接AC , 易知MN ∥平面ABCD , ∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ,∴PQ ∥AC . 又∵AP =a3,∴PD AD =DQ CD =PQ AC =23, ∴PQ =23AC =223a .14.设A ,B 为双曲线x 2a 2-y 2b 2=λ(a >0,b >0,λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点,已知向量m =(1,0),|AB →|=6,AB →·m |m |=3,则双曲线的离心率为________.答案 2或233解析 设AB →与m 的夹角为θ,则AB →·m |m |=6cos θ=3,所以cos θ=12.所以双曲线的渐近线与x 轴成60°角,可得ba = 3.当λ>0时,此时e =ca =1+(ba)2=2;当λ<0时,e =cb=1+(a b )2=233.15.定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=2f (x ),当x ∈[0,2)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x ,x ∈[0,1),-(12)3||2x -,x ∈[1,2),若x ∈[-4,-2)时,f (x )≥t 4-12t 恒成立,则实数t 的取值范围是________.答案 (-∞,-2]∪(0,1]解析 当-4≤x <-3时,0≤x +4<1,f (x )=12f (x +2)=14f (x +4)=14[(x +4)2-(x +4)],即f (x )=14(x +4)(x +3).此时,-116≤f (x )≤0.当-3≤x <-2时,1≤x +4<2, f (x )=12f (x +2)=14f (x +4)=(-14)·(12)3|4|2x +-=(-14)·(12)5||2x +.此时,-14≤f (x )≤-28.所以f (x )在[-4,-2)上的最小值为-14.f (x )≥t 4-12t 恒成立,则t 4-12t ≤-14,即t 2+t -2t ≤0,(t +2)(t -1)t≤0,即t ≤-2或0<t ≤1. 高考小题综合练(四)(推荐时间:40分钟)1.(2014·福建)复数z =(3-2i)i 的共轭复数z 等于( ) A .-2-3i B .-2+3i C .2-3i D .2+3i答案 C解析 因为z =(3-2i)i =3i -2i 2=2+3i , 所以z =2-3i ,故选C.2.“m =1”是“直线x -y =0和直线x +my =0互相垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 C解析 因为m =1时,两直线分别是直线x -y =0和直线x +y =0,两直线的斜率分别是1和-1.所以两直线垂直,所以充分性成立;当直线x -y =0和直线x +my =0互相垂直,则1×1+(-1)m=0,所以m=1,所以必要性成立.故选C. 3.(2014·湖南)若0<x1<x2<1,则()A.e2x-e1x>ln x2-ln x1B.e1x-e2x<ln x2-ln x1C.x2e1x>x1e2xD.x2e1x<x1e2x答案 C解析设f(x)=e x-ln x(0<x<1),则f′(x)=e x-1x =x e x-1x.令f′(x)=0,得x e x-1=0.根据函数y=e x与y=1x的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1),因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数,故A,B选项不正确.设g(x)=e xx(0<x<1),则g′(x)=e x(x-1)x2.又0<x<1,∴g′(x)<0.∴函数g(x)在(0,1)上是减函数.又0<x1<x2<1,∴g(x1)>g(x2),∴x2e x1>x1e x2.4.(2014·新课标Ⅰ)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为()答案 B解析 如图所示,当x ∈(0,π2)时,则P (cos x ,sin x ),M (cos x,0),作MM ′⊥OP ,M ′为垂足,则|MM ′||OM |=sin x ,∴f (x )cos x=sin x ,∴f (x )=sin x cos x =12sin 2x ,则当x =π4时,f (x )max =12;当x ∈(π2,π)时,有f (x )|cos x |=sin(π-x ),f (x )=-sin x cos x =-12sin 2x ,当x =3π4时,f (x )max =12.只有B 选项的图象符合.5.(2014·四川)已知F 为抛物线y 2=x 的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,OA →·OB →=2(其中O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A .2 B .3 C.1728D.10答案 B解析 设直线AB 的方程为x =ny +m (如图), A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), ∵OA →·OB →=2, ∴x 1x 2+y 1y 2=2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2=x ,x =ny +m ,得y 2-ny -m =0,∴y 1y 2=-m =-2, ∴m =2,即点M (2,0). 又S △ABO =S △AMO +S △BMO =12|OM ||y 1|+12|OM ||y 2|=y 1-y 2, S △AFO =12|OF |·|y 1|=18y 1,∴S △ABO +S △AFO =y 1-y 2+18y 1=98y 1+2y 1≥298y 1·2y 1=3, 当且仅当y 1=43时,等号成立.6.若不等式(a -a 2)·(x 2+1)+x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立,则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,1-32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1+32,+∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,1-32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1+32,+∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-32,1+32答案 C解析 ∵x ∈(0,2],∴a 2-a ≥x x 2+1=1x +1x.要使a 2-a ≥1x +1x在x ∈(0,2]时恒成立, 则a 2-a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +1x max ,由基本不等式得x +1x ≥2,当且仅当x =1时,等号成立,即⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +1x max=12. 故a 2-a ≥12,解得a ≤1-32或a ≥1+32.故选C.7.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( )A .f (x )=|x |xB .f (x )=12x -1+12C .f (x )=e x -e -xe x +e -xD .f (x )=cos x答案 C解析 第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数,第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点.结合选项,知函数f (x )=e x -e -x e x +e -x为奇函数,且存在零点.8.已知点O ,N ,P 在△ABC 所在平面内,且|OA →|=|OB →|=|OC →|,NA →+NB →+NC →=0,P A →·PB →=PB →·PC →=PC →·P A →,则点O ,N ,P 依次是△ABC 的( ) A .重心、外心、垂心 B .重心、外心、内心 C .外心、重心、垂心D .外心、重心、内心(注:三角形的三条高线交于一点,此点称为三角形的垂心) 答案 C解析 由|OA →|=|OB →|=|OC →|知O 为△ABC 的外心.∵P A →·PB →=PB →·PC →,∴(P A →-PC →)·PB →=CA →·PB →=0,同理AB →·PC →=0,BC →·P A →=0,∴点P 是△ABC 的垂心,由NA →+NB →+NC →=0知NA →+NB →=-NC →,结合向量加法的平行四边形法则知N 为△ABC 的重心.故选C.9.函数y =xsin 2x,x ∈⎝⎛⎭⎫-π2,0∪⎝⎛⎭⎫0,π2的图象可能是下列图象中的( )答案 C解析 由函数y =xsin 2x,x ∈⎝⎛⎭⎫-π2,0∪⎝⎛⎭⎫0,π2是偶函数,排除A ;又由函数y =sin 2x ,y =2x ,x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2的图象可知恒有2x >sin 2x ,x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,所以y =x sin 2x >12,x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,排除B 和D ,故选C.10.函数f (x )在[a ,b ]上有定义,若对任意x 1,x 2∈[a ,b ],有f (x 1+x 22)≤12[f (x 1)+f (x 2)],则称f (x )在[a ,b ]上具有性质P .设f (x )在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题:①f (x )在[1,3]上的图象是连续不断的;②f (x 2)在[1,3]上具有性质P ;③若f (x )在x =2处取得最大值1,则f (x )=1,x ∈[1,3];④对任意x 1,x 2,x 3,x 4∈[1,3],有f (x 1+x 2+x 3+x 44)≤14[f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)+f (x 4)]. 其中真命题的序号是( ) A .①② B .①③ C .②④ D .③④答案 D解析 ①中,反例:取函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(x -1)2,x ∈[1,2]∪(2,3],2,x =2,则函数f (x )满足题设条件具有性质P ,但函数f (x )的图象不是连续的.②中,反例:f (x )=-x 在[1,3]上具有性质P ,f (x 2)=-x 2在[1,3]上不具有性质P . ③中,在[1,3]上,f (2)=f (x +(4-x )2)≤12[f (x )+f (4-x )]⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )+f (4-x )≥2,f (x )≤f (x )max=f (2)=1,f (4-x )≤f (x )max=f (2)=1⇒f (x )=1,所以,对于任意x 1,x 2∈[1,3],f (x )=1. ④中,f (x 1+x 2+x 3+x 44)=f ((x 1+x 2)+(x 3+x 4)4)≤12[f (x 1+x 22)+f (x 3+x 42)] ⇒12[12(f (x 1)+f (x 2))+12(f (x 3)+f (x 4))] ≤14[f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)+f (x 4)].由以上推断可知①②错误,③④正确.11.如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为________. 答案255解析 过点P 作PH 垂直上底面A 1B 1C 1D 1,过点E 作线段EE 1垂直底面A 1B 1C 1D 1,E 1在线段B 1C 1上,点P 到线段CC 1的距离PP 1=HC 1.当点P 在线段ED 1上运动时,其最小值为点C 1到线段D 1E 1的距离,所以最小值就是△C 1D 1E 1的高为255.12.已知集合A ={x ,xy ,lg(xy )},B ={0,|x |,y },若A =B ,则x =________,y =________. 答案 -1 -1解析 由A =B 知需分多种情况进行讨论, 由lg(xy )有意义,则xy >0.又0∈B =A ,则必有lg(xy )=0,即xy =1. 此时,A =B ,即{0,1,x }={0,|x |,y }. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x =|x |,xy =1,y =1,或⎩⎪⎨⎪⎧x =y ,xy =1,|x |=1,解得x =y =1或x =y =-1.当x =y =1时,A =B ={0,1,1}与集合元素的互异性矛盾,应舍去;当x =y =-1时,A =B ={0,-1,1}满足题意,故x =y =-1.13.若正实数x ,y ,z 满足x +y +z =1,则1x +y +x +y z 的最小值是________.答案 3解析 ∵x +y +z =1,且x ,y ,z 都是正实数,∴1x +y +x +y z =x +y +z x +y +x +y z =1+zx +y +x +y z ≥3.14.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面,各项点都在同一球面上,若该棱柱的体积为3,AB =2,AC =1,∠BAC =60°,则此球的表面积等于________. 答案 8π解析 由已知条件得:12×2×1×sin 60°×AA 1=3,∴AA 1=2,∵BC 2=AB 2+AC 2-2AB ×AC ×cos 60°,∴BC =3, 设△ABC 的外接圆的半径为R ,则BC sin 60°=2R ,∴R =1, ∴外接球的半径为1+1=2,∴球的表面积等于4π(2)2=8π.15.若函数f (x )=x n +1(n ∈N *)的图象与直线x =1交于点P ,且在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ,则log 2 013x 1+log 2 013x 2+log 2 013x 3+…+log 2 013x 2 012的值为________. 答案 -1解析 将x =1代入函数式得f (1)=1n +1=1,即P (1,1),对函数求导得f ′(x )=(n +1)x n ,则f ′(1)=(n +1)×1n =n +1,则在点P (1,1)处的切线为y -1=(n +1)(x -1),y =(n +1)x -n ,令y =0得x n =nn +1,又log 2013x 1+log 2 013x 2+log 2 013x 3+…+log 2 013x 2 012=log 2013(x 1·x 2·x 3·…·x 2 012)=log 2 013(12·23·34·…·2 0122 013)=log 2 013(12 013)=-1.高考小题分项练高考小题分项练(一)(推荐时间:40分钟)1.(2014·课标全国Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B等于() A.[-2,-1] B.[-1,2)C.[-1,1] D.[1,2)答案 A解析∵A={x|x≥3或x≤-1},B={x|-2≤x<2},∴A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1],故选A.2.(2014·湖南)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∨q中,真命题是()A.①③B.①④C.②③D.②④答案 C解析当x>y时,-x<-y,故命题p为真命题,从而綈p为假命题.当x>y时,x2>y2不一定成立,故命题q为假命题,从而綈q为真命题.由真值表知,①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③p∧(綈q)为真命题;④(綈p)∨q为假命题.故选C.3.已知函数f (x )是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,若对于任意的实数x ≥0,都有f (x +2)=f (x ),且当x ∈[0,2)时,f (x )=log 2(x +1),则f (-2 015)+f (2 016)的值为( ) A .-1 B .-2 C .2 D .1答案 A解析 由已知f (x )为R 上奇函数且周期为2,对于任意的实数x ≥0,都有f (x +2)=f (x ),∴f (-2 015)+f (2 016)=-f (2 015)+f (2 016)=-f (2×1 007+1)+f (2×1 008+0)=-f (1)+f (0)=-log 22+log 21=-1.4.已知命题p 、q ,“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 A解析 因为綈p 为真,所以p 为假,那么p ∧q 为假,所以“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分条件;反过来,若“p ∧q 为假”,则“p 真q 假”或“p 假q 真”或“p 假q 假”,所以由“p ∧q 为假”不能推出綈p 为真.综上可知,“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件.5.已知f (x +1)=f (x -1),f (x )=f (-x +2),方程f (x )=0在[0,1]内有且只有一个根x =12,则f (x )=0在区间[0,2 013]内根的个数为( ) A .2 011 B .1 006 C .2 013 D .1 007答案 C解析 由f (x +1)=f (x -1),可知f (x +2)=f (x ),所以函数f (x )的周期是2,由f (x )=f (-x +2)可知函数f (x )关于直线x =1对称,因为函数f (x )=0在[0,1]内有且只有一个根x =12,所以函数f (x )=0在区间[0,2 013]内根的个数为2 013个,选C. 6.“φ=π”是“曲线y =sin(2x +φ)过坐标原点”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案 A解析 当φ=π时,y =sin(2x +φ)=-sin 2x 过原点.当曲线过原点时,φ=k π,k ∈Z ,不一定有φ=π.所以“φ=π”是“曲线y =sin(2x +φ)过原点”的充分不必要条件. 7.设函数f (x )满足x 2f ′(x )+2xf (x )=e x x ,f (2)=e 28,则x >0时,f (x )( )A .有极大值,无极小值B .有极小值,无极大值C .既有极大值又有极小值D .既无极大值也无极小值 答案 D 解析 由x 2f ′(x )+2xf (x )=e xx, 得f ′(x )=e x -2x 2f (x )x 3,令g (x )=e x -2x 2f (x ),x >0,则g ′(x )=e x -2x 2f ′(x )-4xf (x )=e x -2·ex x =(x -2)e x x.令g ′(x )=0,得x =2.当x >2时,g ′(x )>0;当0<x <2时,g ′(x )<0, ∴g (x )在x =2时有最小值g (2)=e 2-8f (2)=0, 从而当x >0时,f ′(x )≥0, 则f (x )在(0,+∞)上是增函数, 所以函数f (x )无极大值,也无极小值.8.已知函数f (x )=x (1+a |x |).设关于x 的不等式f (x +a )<f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤-12,12⊆A ,则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1-52,0B.⎝⎛⎭⎪⎫1-32,0C.⎝⎛⎭⎪⎫1-52,0∪⎝⎛⎭⎪⎫0,1+32 D .⎝⎛⎭⎪⎫-∞,1-52答案 A解析 ∵⎣⎡⎦⎤-12,12⊆A ,∴f (a )<f (0), ∴a (1+a |a |)<0,解得-1<a <0,可排除C. ∵f ⎝⎛⎭⎫-12+a <f ⎝⎛⎭⎫-12,∴⎝⎛⎭⎫-12+a ⎝⎛⎭⎫1+a ⎪⎪⎪⎪-12+a <-12⎝⎛⎭⎫1+a 2, ∴a ⎝⎛⎭⎫-12+a ⎪⎪⎪⎪-12+a <-54a . ∵-1<a <0,∴⎝⎛⎭⎫-12+a ⎪⎪⎪⎪-12+a >-54, ∴-⎝⎛⎭⎫-12+a 2>-54,∴⎝⎛⎭⎫-12+a 2<54, ∴1-52<a <0.排除B ,D.应选A.9.若变量x ,y 满足|x |-ln 1y=0,则y 关于x 的函数图象大致是( )答案 B解析 由|x |-ln 1y =0,有y =1e |x |=⎩⎪⎨⎪⎧e -x,x ≥0,e x ,x <0,利用指数函数图象可知答案选B.10.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a +x 2+2x ,x <0,f (x -1),x ≥0,且函数y =f (x )+x 恰有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,1] B .(0,1] C .(-∞,0] D .(-∞,2]答案 A解析 当x <0时,f (x )=(x +1)2+a -1,把函数f (x )在[-1,0)上的图象向右平移一个单位即得函数y =f (x )在[0,1)上的图象,继续右移可得函数f (x )在[0,+∞)上的图象.如果函数y =f (x )+x 恰有3个不同的零点,即函数y =f (x ),y =-x 的图象有三个不同的公共点,实数a 应满足最小值a -1≤0,即可,即a ≤1.11.已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|kx -y -2≤0},其中x ,y ∈R .若A ⊆B ,则实数k 的取值范围是________. 答案 [-3, 3 ]解析 要使A ⊆B ,只需直线kx -y -2=0与圆相切或相离, 所以d =21+k 2≥1,解得-3≤k ≤ 3.12.已知函数f (x )=ln x ,若任意x 1、x 2∈[2,3]且x 2>x 1,t =f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1,则实数t 的取值范围是________. 答案 (13,12)解析 对函数求导得f ′(x )=1x,可得当x ∈[2,3]时f ′(x )>0,函数在x ∈[2,3]上单调递增,又f ′(2)=12,f ′(3)=13,根据题意得f ′(3)<t <f ′(2),13<t <12. 13.函数f (x )=ln x +ax (a ∈R )存在与直线2x -y =0平行的切线,则实数a 的取值范围是________. 答案 (-∞,2)解析 f ′(x )=1x +a ,∵函数f (x )存在与直线2x -y =0平行的切线,∴1x +a =2,即a =2-1x <2.14.在平面直角坐标系xOy 中,设定点A (a ,a ),P 是函数y =1x (x >0)图象上一动点,若点P ,A 之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为________. 答案10,-1解析 |P A |2=(x -a )2+⎝⎛⎭⎫1x -a 2=x 2+1x 2-2ax -2ax +2a 2=⎝⎛⎭⎫x +1x 2-⎝⎛⎭⎫x +1x 2a +2a 2-2 =⎝⎛⎭⎫x +1x -a 2+a 2-2 由x >0,得x +1x≥2,由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2,a 2-2=8或⎩⎪⎨⎪⎧a <2,(2-a )2+a 2-2=8,解得a =10或a =-1.15.如果对定义在R 上的函数f (x ),对任意两个不相等的实数x 1,x 2,都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1),则称函数f (x )为“H 函数”.给出下列函数①y =-x 3+x +1;②y =3x -2(sin x -cos x );③y =e x+1;④f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |,x ≠0,0, x =0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________.答案 ②③解析 x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1), 即(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0, 所以函数f (x )在R 上是增函数. 对于①,由y ′=-3x 2+1>0得-33<x <33,即函数在区间(-33,33)上是增函数,其不是“H 函数”;对于②,由y ′=3-2(cos x +sin x )=3-22sin(x +π4)>0恒成立,所以其为“H 函数”;对于③,由y ′=e x >0恒成立,所以其为“H 函数”;对于④,由于其为偶函数,所以其不可能在R 上是增函数.所以不是“H 函数” 综上知,是“H 函数”的有②③.高考小题分项练(二)(推荐时间:40分钟)1.(2013·课标全国Ⅱ改编)设θ为第二象限角,若tan ⎝⎛⎭⎫θ+π4=12,则sin θ+cos θ等于( ) A .-105B.105C.255 D .-255答案 A解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ+π4=12,∴tan θ=-13, 即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ=-cos θ,sin 2θ+cos 2θ=1且θ为第二象限角,解得sin θ=1010,cos θ=-31010. ∴sin θ+cos θ=-105. 2.已知A 、B 、C 是圆O :x 2+y 2=1上三点,OA →+OB →=OC →,则AB →·OA →等于( ) A.32 B .-32C .-32D.12答案 C解析 ∵OA →+OB →=OC →, ∴OA →2+OB →2+2OA →·OB →=OC →2, ∴OA →·OB →=-12,∴AB →·OA →=(OB →-OA →)·OA →=OA →·OB →-OA →2=-32.3.函数y =x cos x +sin x 的图象大致为( )答案 D解析 函数y =x cos x +sin x 为奇函数,排除B.取x =π2,排除C ;取x =π,排除A ,故选D.4.已知三个向量m =(a ,cos A 2),n =(b ,cos B 2),p =(c ,cos C2)共线,其中a ,b ,c ,A ,B ,C 分别是△ABC 的三条边及相对三个角,则△ABC 的形状是( ) A .等腰三角形 B .等边三角形 C .直角三角形D .等腰直角三角形答案 B解析 在三角形中,cos A 2,cos B 2,cos C 2均不为0,故由题意可得a cos A 2=b cos B 2=ccos C2.由正弦定理得2sin A 2cos A 2cos A 2=2sin B 2cos B 2cos B 2=2sin C 2cosC2cos C 2⇒sin A 2=sin B 2=sin C2,即A =B =C ,所以△ABC 为等边三角形. 5.函数y =11-x的图象与函数y =2sin πx (-2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A .2B .4C .6D .8 答案 D解析 作出函数y =11-x及y =2sin πx (-2≤x ≤4)的图象,发现共有8个交点(x i ,y i )(i =1,2,…,8并令x 1<x 2<…<x 8),且这些点构成了四对关于点(1,0)对称的点,则每对点的横坐标和为x 1+x 8=2,x 2+x 7=2,x 3+x 6=2,x 4+x 5=2.所以所有交点的横坐标和为8.6.(2014·浙江)记max{x ,y }=⎩⎪⎨⎪⎧ x ,x ≥y ,y ,x <y ,min{x ,y }=⎩⎪⎨⎪⎧y ,x ≥y ,x ,x <y ,设a ,b 为平面向量,则( )A .min{|a +b |,|a -b |}≤min{|a |,|b |}B .min{|a +b |,|a -b |}≥min{|a |,|b |}C .max{|a +b |2,|a -b |2}≤|a |2+|b |2D .max{|a +b |2,|a -b |2}≥|a |2+|b |2 答案 D解析 由于|a +b |,|a -b |与|a |,|b |的大小关系与夹角大小有关,故A ,B 错.当a ,b 夹角为锐角时,|a +b |>|a -b |,此时,|a +b |2>|a |2+|b |2;当a ,b 夹角为钝角时,|a +b |<|a -b |,此时,|a -b |2>|a |2+|b |2;当a ⊥b 时,|a +b |2=|a -b |2=|a |2+|b |2,故选D.7.已知函数y =A sin(ωx +φ)+k 的最大值为4,最小值为0,最小正周期为π2,直线x =π3是其图象的一条对称轴,则符合条件的解析式为( ) A .y =2sin(4x +π6)+2B .y =2sin(2x +π3)+2C .y =2sin(4x +π3)+2D .y =4sin(4x +π6)答案 A解析 由题意可得A +k =4,-A +k =0,解得A =2,k =2,再由最小正周期为π2,可得2πω=π2,解得ω=4,所以函数y =A sin(ωx +φ)+k =2sin(4x +φ)+2,再由x =π3是其图象的一条对称轴,可得4×π3+φ=k π+π2,k ∈Z ,即φ=k π-5π6,k ∈Z ,当k =1时,φ=π6,故符合条件的函数解析式是y =2sin(4x +π6)+2,故选A.8.函数f (x )=A sin(ωx +ωπ)(A >0,ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤-3π2,-3π4上单调递增,则ω的最大值是( ) A.12B.34C .1D .2答案 C解析 函数f (x )=A sin(ωx +ωπ)的图象向右平移π个单位得函数f (x )=A sin ωx 的图象,问题等价于函数f (x )=A sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤-π2,π4上单调递增,故只要2πω≥2π,即ω≤1. 9.函数y =tan(πx 4-π2)(0<x <4)的图象如图所示,A 为图象与x 轴的交点,过点A 的直线l 与函数的图象交于C 、B 两点.则(OB →+OC →)·OA →=( )A .-8B .-4C .4D .8答案 D解析 因为函数y =tan(πx 4-π2)(0<x <4)的图象对称中心是(2k +2,0)(k ∈Z ).所以点A 的坐标是(2,0).因为点A 是对称中心,所以点A 是线段BC 的中点,所以OC →+OB →=2OA →.所以(OB →+OC →)·OA →=2OA →·OA →=2(OA →)2=2×4=8.故选D.10.(2014·重庆)已知△ABC 的内角A ,B ,C 满足sin 2A +sin(A -B +C )=sin(C -A -B )+12,面积S 满足1≤S ≤2,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( ) A .bc (b +c )>8 B .ab (a +b )>16 2 C .6≤abc ≤12 D .12≤abc ≤24 答案 A解析 由sin 2A +sin(A -B +C )=sin(C -A -B )+12,得sin 2A +sin(A -B +C )-sin(C -A -。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (文科)解析版

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2015年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标 II 卷文 科 数 学一、选择题:本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =( )A .()1,3-B .()1,0-C .()0,2D .()2,3【答案】A考点:集合运算.2. 若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A .4- B .3- C .3 D .4【答案】D【解析】试题分析:由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.考点:复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A .逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B .2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C .2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D .2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D考点:柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a ( )A .1-B .0C .1D .2【答案】C 【解析】试题分析:由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点:向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =( ) A .5 B .7 C .9 D .11【答案】A 【解析】试题解析:13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点:等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )1A.8 1B.7 1C.6D.15【答案】D【解析】试题分析:截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15 ,故选D.考点:三视图7. 已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )5A.3 4D.3 【答案】B考点:直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为( )A.0B. 2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析:由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点:1. 更相减损术;2.程序框图.9.已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =( )A.2B.1C.12 1D.8【答案】C【解析】试题分析:由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C.考点:等比数列.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为( )A.π36B. π64C.π144D. π256【答案】C考点:球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为( )A .B .C .D .【答案】B考点:函数图像12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )A .1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B .()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C .11,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D .11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析:由21()ln(1||)1f x x x=+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A.考点:函数性质二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点(-1,4),则a = .【答案】-2 【解析】试题分析:由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点:函数解析式14. 若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为 .【答案】8考点:线性规划15. 已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 .【答案】2214x y -=考点:双曲线几何性质16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = . 【答案】8 【解析】试题分析:由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由2808a a a ∆=-=⇒=.考点:导数的几何意义.三、解答题17(本小题满分12分)△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .(I )求sin sin BC∠∠ ;(II )若60BAC ∠=,求B ∠.【答案】(I )12;30.考点:解三角形试题解析:(I )由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.(II )因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由(I )知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠= 考点:解三角形18. (本小题满分12分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图(I )在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可)B 地区用户满意度评分的频率分布直方图(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】(I)见试题解析(II)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点:1.频率分布直方图;2.概率估计.19. (本小题满分12分)如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(I )在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由); (II )求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】(I )见试题解析(II )97 或79考点:1.几何体中的截面问题;2.几何体的体积20. (本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> ,点(在C 上.(I )求C 的方程; (II )直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】(I )2222184x y +=(II )见试题解析考点:直线与椭圆21. (本小题满分12分)已知()()ln 1f x x a x =+-. (I )讨论()f x 的单调性;(II )当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围. 【答案】(I )0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增;0a >,()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减;(II )()0,1. 【解析】考点:导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图O是等腰三角形AB C内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(I)证明EF BC;(II)若AG等于圆O半径,且AE MN【答案】(I)见试题解析;(II考点:1.几何证明;2.四边形面积的计算.23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ (t 为参数,且0t ≠ ),其中0απ≤<,在以O为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== (I )求2C 与3C 交点的直角坐标;(II )若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.【答案】(I )()30,0,2⎫⎪⎪⎭;(II )4. 【解析】试题分析:(I )把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,220x y +-=,联立解考点:参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式证明选讲设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明:(I )若ab cd > ,+>;(II )>是a b c d -<-的充要条件. 【答案】【解析】试题分析:(I )由a b c d +=+及ab cd >,可证明22>,开方即得>(II )本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明. 试题解析:解:(I )因为22a b c d =++=++考点:不等式证明.。

【创新设计】2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练:小题综合限时练3

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限时练(三)(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知i 为虚数单位,复数z 满足i z =1+i ,则z =( ). A .1+i B . 1-i C. -1+iD . -1-i解析 由题意z =1+i i =(1+i )ii 2=1-i ,则z =1+i. 答案 A2.设集合A ={1,2},则满足A ∪B ={1,2,3}的集合B 的个数是( ). A .1 B .3 C .4D .6解析 符合题意的B 有{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},共4个. 答案 C3.函数f (x )=log 2(4x +1)的值域为( ). A .[0,+∞) B .(0,+∞) C .[1,+∞)D .(1,+∞)解析 因为4x +1>1,所以f (x )=log 2(4x +1)>0. 答案 B4.已知函数f (x )为偶函数,当x <0时,f (x )=sin x +cos x ,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=( ).A .0B . 2C .- 2D .1解析 由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4=-22+22=0.答案 A5.圆(x +2)2+y 2=4与圆x 2+y 2-2x -2y +1=0( ). A .内切 B .相交 C .外切D .相离解析 两圆圆心分别是(-2,0),(1,1),圆心距为d =10,而两圆半径分别为2,1,显然10>2+1,故两圆相离. 答案 D6.已知数列{a n }满足1+log 3a n =log 3a n +1(n ∈N +),且a 2+a 4+a 6=9,则log 13(a 5+a 7+a 9)的值是( ). A.15 B .-15 C .5D .-5解析 由1+log 3a n =log 3a n +1(n ∈N +)可以推出a n +1=3a n ,数列{a n }是以3为公比的等比数列,故a 5+a 7+a 9=27(a 2+a 4+a 6)=35,故log 13(a 5+a 7+a 9)=-5. 答案 D7.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ). A.110 B .310 C.35D .910解析 由题意可知从5个球中任取3个球的所有情况有10种,所取的3个球至少有1个白球的情况有(10-1)种,根据古典概型公式得所求概率P =10-110=910. 答案 D8.某企业2014年2月份生产A ,B ,C 三种产品共6 000件,根据分层抽样的结果,该企业统计员制作了如下的统计表格:产品分类 A B C 产品数量 2 600 样本容量260由于不小心,表格中B ,C 产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得B 产品的样本容量比C 产品的样本容量多20,根据以上信息,可得C 产品数量是( ). A .160B .180C .1 600D .1 800解析 记B ,C 两种产品的样本容量分别为x ,y ,则⎩⎨⎧x +y =600-260,x -y =20,解得⎩⎨⎧x =180,y =160,因此C 产品数量为1 600. 答案 C 9.函数y =cos πxx 的图象大致为( ).解析 考虑函数的性质,它是奇函数,排除C ,D ;当x 从正方向趋向于0时,cos πxx →+∞,排除B ,故选A. 答案 A10.如图为长方体与圆柱构成的组合体的三视图,则该几何体的体积为( ).A .64+32πB .64+64πC .256+64πD .256+128π解析 由题意,V =8×8×4+π×42×4=256+64π. 答案 C11.已知△ABC 是边长为4的等边三角形,点D ,E 分别满足DC →=-AC →,BE →=EC →,则AB →·DE →=( ). A .8 B .4 C .-8D .-4解析 AB →·DE →=AB →·(DC →+CE →)=AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫-AC →+12CB →=-AB →·AC →+12AB →·CB →=-4×4×cos π3+12×4×4×cos π3=-4. 答案 D12.定义在R 上的函数f (x )满足:f ′(x )>f (x )恒成立,若x 1<x 2,则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( ). A .e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1) B .e x 1f (x 2)<e x 2f (x 1) C .e x 1f (x 2)=e x 2f (x 1)D .e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析 设g (x )=f (x )e x ,则g ′(x )=f ′(x )e x-f (x )e x(e x )2=f ′(x )-f (x )e x ,由题意g ′(x )>0,所以g (x )单调递增,当x 1<x 2时,g (x 1)<g (x 2),则f (x 1)e x 1<f (x 2)e x 2,所以e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1). 答案 A 二、填空题13.若实数x ,y 满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1,y ≥1,x +2y ≤5,则yx 的最大值是________.解析 作出不等式组表示的平面区域(可行域),如图△ABC 内部(含边界),yx 表示可行域内点与原点连线的斜率,最大值在A (1,2)处取得,y x =21=2.答案 214.执行如图的程序框图,则输出的S 的值为________.解析 S ,T ,n 的值依次为3,1,2;6,4,3;9,11,4,此时有T >S ,因此执行语句S =S -n =5,输出S =5. 答案 515.设P 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1上的点,它的一条渐近线方程为y =32x ,两焦点间距离为213,F 1,F 2分别是该双曲线的左、右焦点,若|PF 1|=3,则|PF 2|=________. 解析 由题意b a =32,又2c =2a 2+b 2=213,所以a =2,b =3,由双曲线定义得||PF 2|-|PF 1||=2a =4,故|PF 2|=7. 答案 716.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若其面积S =b 2+c 2-a 216,则cos A =________.解析 因为b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,由S =b 2+c 2-a 216得b 2+c 2-a 2=16S ,即2bc cos A =16×12bc sin A ,cos A =4sin A ,所以cos A =41717. 答案41717。

【创新设计】2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练:小题综合限时练1

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限时练(一)(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知集合A ={-1,0,1},B ={x |-1≤x <1},则A ∩B =( ). A .{0} B .{0,1} C .{-1,0}D .{-1,0,1}解析 A ∩B ={-1,0}. 答案 C2.若(1+2a i)i =1-b i ,其中a ,b ∈R ,则|a +b i|=( ). A.12+i B . 5 C.52D .54 解析 因为(1+2a i)i =1-b i ,所以-2a +i =1-b i ,a =-12,b =-1,|a +b i|=|-12-i|=52. 答案 C3.设a =log 123,b =(13)0.2,c =213,则( ). A .a <b <cB .c <b <aC .c <a <bD .b <a <c解析 由函数的性质得到a =log 123<0,b =(13)0.2∈(0,1),c =213>1,所以,a <b <c . 答案 A4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 4+a 6=12,则S 7的值是( ). A .21B .24C .28D .7解析 ∵a 2+a 4+a 6=3a 4=12,∴a 4=4, ∴S 7=a 1+a 72×7=7a 4=28. 答案 C5.设a ,b ∈R ,则“(a -b )·a 2<0”是“a <b ”的( ). A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析 由(a -b )·a 2<0,得a ≠0且a <b ;反之,由a <b ,不能推出(a -b )·a 2<0,即“(a -b )·a 2<0”是“a <b ”的充分非必要条件. 答案 A6.抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 2-y 23=1的渐近线的距离是( ).A.12 B .32 C .1D . 3解析 抛物线y 2=4x 的焦点为(1,0),双曲线x 2-y 23=1的渐近线为x ±33y =0,所以抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 2-y 23=1的渐近线的距离是|1±33×0|1+⎝ ⎛⎭⎪⎫332=32. 答案 B7.某程序框图如图所示,若输出的S =57,则判断框内应填入( ).A .k >7?B .k >6?C .k >5?D .k >4?解析 由程序框图可知,程序在运行过程中各变量值变化如下表:k S 是否满足条件 循环前 1 1 否 第一次循环 2 4 否 第二次循环 3 11 否 第三次循环 4 26 否 第四次循环557是所以退出循环的条件应为k >4. 答案 D8.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的图象如图所示,则f (x )的解析式为( ).A .f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3B .f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3C .f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6D .f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6解析 由图象可知A =1,且14T =14×2πω=7π12-π3=π4, ∴ω=2,f (x )=sin(2x +φ).把⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12,-1代入得:-1=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12+φ,又∵|φ|<π2, ∴7π6+φ=3π2, ∴φ=π3, ∴f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3. 答案 A9.已知O 是坐标原点,点A (-2,1),若点M (x ,y )为平面区域⎩⎨⎧x +y ≥2,x ≤1,y ≤2上的一个动点,则O A →·OM →的取值范围是( ). A .[-1,0] B .[-1,2] C .[0,1]D .[0,2]解析 ∵A (-2,1),M (x ,y ),∴z =O A →·OM →=-2x +y ,作出不等式组对应的平面区域及直线-2x +y =0,如图所示.平移直线-2x +y =0,由图象可知当直线经过点N (1,1)时,z min =-2+1=-1;经过点M (0,2)时,z max =2. 答案 B10.如图F 1,F 2是双曲线C 1:x 2-y23=1与椭圆C 2的公共焦点,点A 是C 1,C 2在第一象限的公共点.若|F 1F 2|=|F 1A |,则C 2的离心率是( ).A.13 B .23 C.15D .25解析 由题意知,|F 1F 2|=|F 1A |=4, ∵|F 1A |-|F 2A |=2,∴|F 2A |=2, ∴|F 1A |+|F 2A |=6, ∵|F 1F 2|=4, ∴C 2的离心率是46=23. 答案 B11.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形,则此几何体的体积V 为( ).A.323 B .403 C.163D .40解析 观察三视图可知,该几何体为四棱锥,底面为直角梯形,两个侧面与底面垂直,棱锥的高为4,由图中数据得该几何体的体积为13×4+12×4×4=403.答案 B12.已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32-x =f (x ),f (-2)=-3,数列{a n }满足a 1=-1,且S n n =2×a nn +1(其中S n 为{a n }的前n 项和),则f (a 5)+f (a 6)=( ). A .-3 B .-2 C .3D .2解析 ∵函数f (x )是奇函数, ∴f (-x )=-f (x ),∵f (32-x )=f (x ), ∴f (32-x )=-f (-x ),∴f (3+x )=f (x ), ∴f (x )是以3为周期的周期函数. ∵S n n =2×a nn +1,∴S n =2a n +n ,S n -1=2a n -1+(n -1)(n ≥2). 两式相减并整理得出a n =2a n -1-1, 即a n -1=2(a n -1-1),∴数列{a n -1}是以2为公比的等比数列,首项为a 1-1=-2, ∴a n -1=-2·2n -1=-2n ,a n =-2n +1, ∴a 5=-31,a 6=-63.∴f (a 5)+f (a 6)=f (-31)+f (-63)=f (2)+f (0)=f (2)=-f (-2)=3. 答案 C 二、填空题13.曲线f (x )=e x 在x =0处的切线方程为__________. 解析 ∵f ′(x )=e x ,∴f ′(0)=1.又f (0)=1, ∴切线方程为:y -1=x ,即x -y +1=0.答案 x -y +1=014.已知向量p =(2,-1),q =(x,2),且p ⊥q ,则|p +λq |的最小值为__________. 解析 ∵p ·q =2x -2=0,∴x =1, ∴p +λq =(2+λ,2λ-1),∴|p +λq |=(2+λ)2+(2λ-1)2=5λ2+5≥ 5. 答案515.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,b =2,sin B +cos B =2,则角A 的大小为________.解析 由sin B +cos B =2,得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B +π4=2,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B +π4=1,而B ∈(0,π),所以B =π4.由正弦定理得,sin A =a sin B b =12,又A +B +C =π,A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,3π4,∴A =π6. 答案 π616.已知a >0,b >0,方程为x 2+y 2-4x +2y =0的曲线关于直线ax -by -1=0对称,则3a +2bab 的最小值为______.解析 该曲线表示圆心为(2,-1)的圆,直线ax -by -1=0经过圆心,则2a +b -1=0,即2a +b =1,所以 3a +2b ab =3b +2a =(3b +2a )(2a +b )=6a b +2ba +7≥26a b ·2ba +7=7+43(当且仅当a =2-3,b =23-3时等号成立).答案 7+4 3。

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限时练(五)
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.已知集合A ={x | lg(x +1)≤0},集合B ={x |2x ≤1},则A ∩B =( ). A .{x |-1<x ≤1} B .{x |x ≤0} C .{x |-1<x ≤0}
D .{x |x ≤1}
解析 集合A ={x | lg(x +1)≤0}=(-1,0],集合B ={x |2x ≤1}=(-∞,0],则A ∩B =(-1,0]. 答案 C 2.已知复数z =2i
1+i
,则z ·z =( ). A .1-i B .2 C .1+i
D .0
解析 z =2i
1+i =1+i ,则z ·z =(1+i)(1-i)=2.
答案 B
3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2,a 5是方程2x 2-3x -2=0的两个根,S 6
=( ). A.92 B .5 C .-92
D .-5
解析 由根与系数的关系可知a 2+a 5=3
2,由等差数列的性质知a 2+a 5=a 1+a 6,根据等差数列的求和公式得S 6=6(a 1+a 6)2=92.
答案 A
4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为( ).
A.3 B.4
C.5 D.6
解析按照程序框图中的赋值语句要求将几次循环结果计算得出,通过判断语句,知每次运算依次为1×1+1=2,2×2+1=5,3×5+1=16,4×16+1=65,当i=4时,计算结果为a=65>50,此时输出i=4.
答案 B
5.下列选项中,说法正确的是().
A.“∃x0∈R,x20-x0≤0”的否定是“∃x∈R,x2-x>0”
B.若向量a,b满足a·b<0,则a与b的夹角为钝角
C.若am2≤bm2,则a≤b
D.命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件
解析特称命题的否定是全称命题,选项A中“存在x0”的否定应该是“任意的x0”,所以A错误;当两向量共线反向时,数量积也是负值,所以B错误;
C选项忽略了m=0的情况,错误;命题“p∨q为真”分为三种情况,p真q 假;q真p假;p和q都真;而p∧q为真是p和q都真,所以显而易见选项D 正确.
答案 D
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().
A .4
B .5
C .6
D .7
解析 根据三视图,可知原几何体是一个棱长分别为2、2、1的长方体和一个横放的直三棱柱的组合体,三棱柱底面是一个直角边分别为1、1的直角三角形,高是2,所以几何体体积易求得是V =2×2×1+1
2×1×1×2=5. 答案 B
7.已知平面向量a =(1,2),a ·b =10,|a +b |=53,则|b |=( ). A .5 2 B .25 C .3 2
D .2 5
解析 |a +b |=a 2+2a ·b +b 2=5+2×10+b 2=5 3.解得|b |=5 2. 答案 A
8.函数f (x )=A sin (ωx +φ)(其中|φ|<π
2)的图象如图所示,为了得到g (x )=sin ωx 的图象,则只要将f (x )的图象( ).
A .向左平移π
6个单位长度 B .向右平移π
6个单位长度 C .向左平移π
3个单位长度 D .向右平移π
3个单位长度
解析 根据函数图象先确定参数值,由图象知函数周期为π,故ω=2,图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3,0,则2π3+φ=2k π+π,k ∈Z ,因为|φ|<π2,故φ=π3.根据图象平移的规律,可知f (x )的图象向右平移π
6可得到g (x )的图象. 答案 B
9.设a=log2.83.1,b=logπe,c=log eπ,则().
A.a<c<b B.c<a<b
C.b<a<c D.b<c<a
解析易知0<b<1,1<a=log2.83.1<log2.8π,又1>logπ2.8>logπe>0,∴1<log2.8π<log eπ=c,
∴1<a<c,∴b<a<c.
答案 C
10.已知函数f(x)=x2+2x+1-2x,则y=f(x)的图象大致为().
解析f(x)=x2+2x+1-2x=(x+1)2-2x,令g(x)=(x+1)2,h(x)=2x,则f(x)=g(x)-h(x),在同一坐标系下作出两个函数的简图,根据函数图象的变化趋势可以发现g(x)与h(x)的图象共有三个交点,其横坐标从小到大依次设为x1,x2,x3,在区间(-∞,x1)上有g(x)>h(x),即f(x)>0;在区间(x1,x2)上有g(x)<h(x),即f(x)<0;在区间(x2,x3)上有g(x)>h(x),即f(x)>0;在区间(x3,+∞)上有g(x)<h(x),即f(x)<0.
答案 A
11.已知双曲线x2
a2-
y2
b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,以|F1F2|为直
径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为().
A.x2
9-
y2
16=1 B.
x2
4-
y2
3=1
C.x2
16-
y2
9=1 D.
x2
3-
y2
4=1
解析如图所示PF1⊥PF2,故圆的半径为5,|F1F2|=10,又b
a=
4
3,∴a=3,b
=4.
答案 A
12.定义在R 上的函数f (x )满足f (4)=1,f ′(x )为f (x )的导函数,已知y =f ′(x )的图象如图所示,若两个正数a 、b 满足f (2a +b )<1,则b +1
a +2
的取值范围是
( ).
A .(5
2,+∞)
B .(-∞,14)∪(5
2,+∞)
C .(0,1
4) D .(14,52)
解析 根据导函数图象可知,函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,f (2a +b )<1=
f (4),所以依题意可得到⎩⎨⎧
2a +b <4,
a >0,
b >0,
画出a ,b 的可行域,则所求
b +1
a +2
可看作点(a ,b )与(-2,-1)连线斜率,画图易知选D.
答案 D
二、填空题
13.在△ABC 中,若2sin A =sin C ,a =b ,则角A =________.
解析 根据正弦定理,可将条件化为c =2a ,又b =a ,根据余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =22,A =
π4. 答案 π4
14.已知圆x 2+y 2-6x -7=0与抛物线y =ax 2(a >0)的准线相切,则a =______. 解析 抛物线的准线方程为y =-
14a
,圆的方程可转化为(x -3)2+y 2=16,圆与准线相切,可得到14a =4,解得a =1
16. 答案 1
16
15.已知变量x ,y 的值如表所示:如果y 与x 线性相关且回归直线方程为y ^=b ^
x +7
2,则b ^=________.
x 2 3 4 y
5
4
6
解析 根据所给的三对数据,得到x =
2+3+43=3,y =5+4+6
3
=5,∴这组数据的样本中心点是(3,5),∵线性回归直线的方程一定过样本中心点,∴5=3b ^
+7
2,∴b ^=12. 答案 12
16.在区间[0,π]内随机取两个数分别记为a ,b ,则使得函数f (x )=x 2+2ax -b 2
+π有零点的概率为______.
解析 依题意知,要使函数f (x )=x 2+2ax -b 2+π有零点,则Δ=4a 2-4(π-b 2)≥0,整理可得a 2+b 2≥π,因为总的事件的范围是以π为边长的正方形区域,
故所求概率为P =
π2-1
4π(π)2
π
2
=34.
3答案
4。

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