函数大小比较

㈠ 与幂函数αx y =有关的大小比较

⑴ 两个幂函数的指数相同(底数为负数时须先化为正数)，利用幂函数的单调性判定大小；

⑵ 两个幂函数的指数不同，能化为同指数的，利用幂函数的单调性判定大小，不能化为同指数的，利用中间数0来比较大小；

幂函数αx y =的性质：

⑴ 在),0(∞上，0>α时是增函数，0<α时是减函数：

⑵ 1>x 时，指数大的图象在上方，10<

⑶ 0>α时，图象过（0，0），（1，1），0<α时，图象过（1，1）。

㈡ 与指数函数x a y =有关的大小比较

⑴ 两个指数函数的底数相同指数不同时，利用指数函数的单调性判定大小；

⑵ 两个指数函数的底数不同指数相同时，可根据图象与底数的关系进行比较；

⑶ 两个指数函数的底数和指数都不同时，可引进第3个数(如0，1)分别与之比较，通过常数传递比较大小。 指数函数的性质：

⑴ 1>a 时，x a y =是增函数，10<

⑵ 1>a 时，a 越大图象上升越快，10<

⑶ x a y =的图象过（0，1）点，R x y ∈∞∈),,0(。

㈢ 与对数函数x y a log =有关的大小比较

⑴ 两个对数函数的底数相同真数不同时，利用对数函数的单调性判定大小；

⑵ 两个指数函数的底数不同真数相同时，可按图象与底数的关系进行比较，或用换底变成同底函数进行比较； ⑶ 两个对数函数的底数和真数都不同时，可引进第3个数(如0，1)分别与之比较，通过常数传递比较大小。 ⑷ 解与对数有关的不等式，通常借助对数函数的单调性，由外向里逐步化简，最终变形为整式不等等式求解。 对数函数的性质：

⑴ 1>a 时，x y a log =是增函数，10<

⑵ 1>a 时，010,01<⇒<<>⇒>y x y x ，10<⇒<<<⇒>y x y x ； ⑶ x y a log =的图象过（1，0）点，),0(,∞∈∈x R y 。

对数的性质：N a

a N a a a ===log ,1log ,01log ，零和负数没有对数。 对数运算公式：

⑴ N M MN a a a log log )(log +=

⑵ N M N

M a a a log log )(log -= ⑶ M n M a n a log log =

⑷ 换底公式：)1,0,1,0(,log log log ≠>≠>=c c a a a

N N a a a ⑸ a b b a log 1log =

⑹ )1,0,1,0(,log log ≠>≠>=b b a a b n m M a m a n