函数大小比较
高中数学函数比较大小
函数比较大小1专项突破一指数式、对数式，幂式比较大小1已知a=log2e，b=ln2，c=1e，其中e为自然对数的底数，则()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a【解析】∵log2e>log22=1=lne>ln2>ln2=12>1e，∴a>b>c.故选：A.2设a=325，b=253，c=log325，则()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a 【解析】结合指数函数性质和对数函数性质可知a=325>30=1，0<b=25 3<25 0=1，c=log325<log31=0，∴a>b>c，故选：A.3已知a,b,c,d∈R,2a=3b=log12c=log13d=2，则()A.a<b,c<dB.a<b,c>dC.a>b,c<dD.a>b,c>d【解析】因为a,b,c,d∈R,2a=3b=log12c=log13d=2，所以a=1,b=log32<1，故a>b，c=122=14,d=13 2=19，所以c>d.故选：D.4若a=50.3，b=0.35，c=ln sin22020，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b 【解析】a=50.3>1，b=0.35∈0,1，0<sin22020<1，所以c=ln sin22020<0，所以a>b>c 故选：A5已知a=1213，b=53 12，c=log2352，则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【解析】a=1213<12 0=1，b=53 12>53 0=1，c=log2352<log231=0，∴b>1>a>0>c.故选：C.6已知a=30.5，b=log32，c=tan 56π，则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b【解析】∵30.5>30=1=log33>log32>log31=0>-33=tan5π6，∴a>b>c.故选：A.7已知幂函数f x 的图象经过点A3,27与点B t,64，a=log0.1t，b=0.2t，c=t0.1，则() A.c<a<b B.a<b<c C.b<a<c D.c<b<a【解析】设幂函数f x =xα，因为点A3,27在f x 的图象上，所以27=3α，α=3，即f x =x3，又点B t,64在f x 的图象上，所以64=t3，则t=4，所以a=log0.14<0，0<b=0.24<1，c=40.1>1，所以a<b<c，故选：B8已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0(x 1≠x 2)，a =f log 1312，b =f log 213 ，c =f 512，则()A.a >b >cB.c >a >bC.b >a >cD.c >b >a【解析】因为对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0(x 1≠x 2)，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )=f (-x )因为log 1312=log 32，又0=log 31<log 32<log 33=1所以log 1312∈0,1 ，又1=log 22<log 23<log 24=2，512=5>2所以0<log 1312<log 23<512，所以f log 1312 <f log 23 =f -log 23 =f log 213 <f 512 所以c >b >a .故选：D .9已知定义在R 上的偶函数f x 满足f x +6 =f x ，且当x ∈0,3 时，f x =x e x ，则下面结论正确的是()A.f ln3 <f e 3 <f -eB.f -e <f ln3 <f e 3C.f e 3 <f -e <f ln3D.f ln3 <f -e <f e 3【解析】∵x ∈0,3 ，f x =x e x ，∴f x =e x x +1 ，∴x ∈0,3 时，f x 单调递增；∵f x +6 =f x ，∴x ∈18,21 ，f x 单调递增；∵2+3×6<e 3<e +3×6，∴f 2+3×6 <f e 3 <f e +3×6 ，∴f 2 <f e 3 <f e ，∵f -x =f x ∴f -e =f e ，∴0<ln3<lne 2=2，∴f ln3 <f 2 ，综上所述，f ln3 <f e 3 <f -e .故选：A .10已知定义在R 上的函数y =f (x -1)的图象关于点(1，0)对称，且函数y =f (x )在(0,+∞)上单调递增，a =0.23，b =30.2，c =log 0.20.3，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为()A.f (a )>f (b )>f (c )B.f (c )>f (a )>f (b )C.f (b )>f (c )>f (a )D.f (c )>f (b )>f (a )【解析】因为函数y =f (x -1)的图象关于点(1，0)对称，所以y =f (x )的图象关于点(0，0)对称,即函数y =f (x )为奇函数，所以a =0.23=0.008，b =30.2>30=1，c =log 0.20.3=log 0.20.09>log 0.20.2=12，故b >c >a >0，又函数y =f (x )在(0,+∞)上单调递增，所以f (b )>f (c )>f (a )，故选：C .11已知a =ln 12，b =ln lg2 ，c =lg ln2 则a ，b ，c 的大小关系是()A.c >a >bB.c >b >aC.a >b >cD.b >c >a【解析】先比较a ,b ，易知lg2<12,故ln (lg2)<ln 12，即b <a ，又e <10，故x >1时ln x >lg x ，0<x <1时ln x <lg x ，故lg 12>ln 12，而ln2>12，故lg (ln2)>lg 12>ln 12，有c >a ，故选：A ，12已知x ∈1,2 ，则下列说法正确的是()A.ln22x>2ln2x >x 2ln2 B.x 2ln2>ln22x>2ln2xC.2ln2x >x 2ln2>ln22xD.2ln2x >ln22x>x 2ln2【解析】∵x 2ln2=ln2x 2，2ln2x =ln 2x 2，∴比较2x 2，2x 2，22x的大小关系即可．1、当x ∈1,2 时，x 2<2x ，x 2<2x ，故2x 2<22x ，2x 2<2x 2，故x 2ln2<ln22x，x 2ln2<2ln2x ．2、令2x =t ∈2,4 ，则2x 2=t 2，22x=2t ．由2t <t 2，即22x<2x 2，则2ln2x >ln22x．综上，2ln2x >ln22x>x 2ln2.故选：D ．13(多选)已知a ,b ,c ∈R ，且ln a =e b =1-c ，则下列关系式中可能成立的是()A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【解析】设ln a =e b =1-c =t ,t >0，则a =e t ,b =ln t ,c =1-t ，在同一直角坐标系中分别画出函数y =e x ,y =ln x ,y =1-x 的图像，当0<t <1时，a >c >b ，当t =1时，a >c =b ，当t >1时，a >b >c ，故AB 正确.14(多选)若b >c >32，13<a <12，则()A.b log c a <c log b aB.bc a <cb aC.b a >c aD.log b a <log c a【解析】对于A 选项，因为b >c >32，13<a <12，则log c a <0，log b a <0，b b >b c >c c >1，b log c a c log b a =b lg a lg c ⋅lg b c lg a =lg b blg c c>1，所以，b log c a <c log b a ，A 对；对于B 选项，bc a cba =bc ⋅b c -a =b c 1-a >b c 0=1，则bc a >cb a ，B 错；对于C 选项，b a >c a ，C 对；对于D 选项，log b a log c a =lg a lg b ⋅lg c lg a =lg clg b<1，所以，log b a >log c a ，D 错.故选：AC .15已知a =2-13，b =log 213，c =log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为.【解析】因为y =2x 在R 上为增函数，且-13<0，所以0<2-13<20=1，即0<a <1，c =log 1213=log 23因为y =log 2x 在(0,+∞)上为增函数，且0<13<1<2<3，所以log 213<log 21<log 22<log 23，即log 213<0<1<log 23，即b <0<1<c ，所以b <a <c ，16若a =log 23，b =log 48，c =log 58，则a ,b ,c 的从大到小顺序为.【解析】由于b =log 48=12log 28=log 28<log 29=a ，即a >b .由b =log 48=1log 84>1log 85=c ，即b >c .所以a >b >c .17已知a =3525，b =25 35，c =2525，则a ，b ，c 的大小关系为.(用“<” 连接)【解析】由于函数y =25 x 在R 上是减函数，且35>25，∴c =25 25>b =25 35，由于函数y =x 25在0,+∞ 上是增函数，且35>25，∴a =35 25>c =25 25，故a ，b ，c 的大小关系是b <c <a .18 1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8的大小关系是.【解析】因为y =1.1x 单调递增，所以1.10.9>1.10=1；因为y =log 1.1x 在0,+∞ 上单调递增，所以log 1.10.9<log 1.11=0；因为y =log 0.7x 在0,+∞ 上单调递减，所以0=log 0.71<log 0.70.8<log 0.70.7=1；所以1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9.19已知a >b >0，且a +b =1，x =1a b ，y =log ab 1a +1b ，z =log b 1a ，则x ，y ，z 从大到小为.【解析】∵a >b >0，a +b =1，∴1>a >12>b >0，∴1<1a <1b，∴x =1ab >1a 0=1，y =log (ab )1a +1b =log (ab )1ab=-1，z =log b 1a >logb 1b =-1.∴x >z >y .20已知55<84，134<85，设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则a ，b ，c 的大小关系是.(用“<”连接)【解析】由题意，知a ,b ,c ∈0,1 .因为a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1lg52⋅lg3+lg822=lg3+lg82lg52=lg24lg252<1，所以a <b ，由b =log 85，得8b =5；由55<84，得85b <84，所以5b <4，可得b <45，由c =log 138，得13c =8；由134<85，得134<135c ，所以5c >4，可得c >45，综上所述，a ，b ，c 的大小关系是a <b <c .21已知x ,y ,z 分别满足下列关系：18x =19,19y =20,log 1918z =2019，则x ,y ,z 的大小关系(从小写到大).【解析】因为18x=19,19y=20,log 1918z =2019，所以x =log 1819,y =log 1920,z =1918 2019，x -y =log 1819-log 1920=ln19ln18-ln20ln19=ln19 2-ln20⋅ln18ln18⋅ln19ln20⋅ln18<ln20+ln182 2=ln3602 2<ln36122=ln19 2，所以x -y >0即x >y ，z =1918 2019>1918，z x >1918log 1819=1918⋅ln18ln19=ln1818÷ln1919>1所以z >x ，故有y <x <z 22设a ,b ,c 均为正数，且2a =12a log ,12b=12b log ,12c=2c log .则a ,b ,c 的大小关系为．【解析】a ,b ,c 分别是函数y =2x ,y =log 12x 的交点，函数y =12x,y =log12x 的交点，函数y =12x,y =log 2x 的交点，做出三函数图像，由图像可知a <b <c .23比较下列各组数中两个数的大小：(1)250.3与13 0.3；(2)-23 -1与-35-1；(3)250.3与0.325.【解析】(1)∵0<0.3<1，∴y =x 0.3在0,+∞ 上为增函数.又25>13，∴25 0.3>130.3；(2)∵y =x -1在-∞，0 上是减函数，又-23<-35，∴-23 -1>-35 -1；(3)∵y =x 0.3在0,+∞ 上为增函数，∴由25>0.3，可得250.3>0.30.3，①又y =0.3x 在(-∞,+∞)上为减函数，∴0.30.3>0.325，②由①②知250.3>0.325.24比较下列几组值的大小：(1)(-2.5)23和(-2.5)45；(2)25-12和(0.4)-32；(3)13-12和32-12；(4)0.4-2.5，2-0.2，2.51.6．【解析】(1)由于(-2.5)23=2.523，(-2.5)45=2.545．∵y =2.5x 在R 上为增函数，且45>23，∴2.545>2.523，即(-2.5)45>(-2.5)23；(2)由于(0.4)-32=25 -32．∵y =25 x 在R 上为减函数，且-12>-32，∴25-12<(0.4)-32；(3)∵y =13 x 在R 上为减函数，y =32 x 在R 上为增函数，且-12<0，∴13-12>1，32 -12<1，∴13 -12>32 -12；(4)∵0.4-2.5=2.52.5，y=2.5x在R上为增函数，且2.5>1.6>0>-0.2∴2.52.5>2.51.6>1>2.5-0.2，∴0.4-2.5>2.51.6>2-0.2．2专项突破二构造函数比较大小1已知f (x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且满足xf (x)+f(x)>0对任意的x∈R都成立，则下列选项中一定正确的是()A.f(1)>f(2)2B.f(1)2>f(2) C.f(1)<f(2)2D.f(1)2<f(2)【解析】令F x =xf x ，则F x =xf (x)+f(x)>0，故F x 为R上的增函数，所以F2 >F1 即2f2 >f1 ，故选：D.2若a=ln33，b=e-1，c=5ln2010(e为自然对数的底数)，则实数a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a【解析】令f(x)=ln xx，则f(x)=1-ln xx2，故当x∈(0,e)时，f (x)>0；当x∈(e,+∞)时，f (x)<0；而a=ln33=ln33=f(3)，b=e-1=lnee=f(e)，c=5ln2010=ln2525=f25，而e<3<25，故b>a>c，故选：B3已知a=ln33，b=1e，c=ln55，则以下不等式正确的是()A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a【解析】令f x =ln xx,则f x =1-ln xx2,当0<x<e时,f x >0,f x 单调递增,当x>e时,f x <0,f x 单调递减,因为e<3<5,所以f e >f3 >f5 ,所以b>a>c，故选:C4设a=3e2lne23，b=1e，c=ln22，则a，b，c的大小顺序为()A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c【解析】令f x =ln xxx>0，则f (x)=1-ln xx2，当x>e时，f (x)<0，函数单调递减，当0<x<e时，f (x)>0，函数单调递增，故当x=e时，函数取得最大值f e =1 e，因为a=3e2lne23=f e23，c=ln22=f2 ，b=1e=f e ，∵2<e23<e，当0<x<e时，函数f x 单调递增，可得f2 <fe23<f e ，即c<a<b．故选：B．5已知a=810，b=99，c=108，则a，b，c的大小关系为() A.b>c>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c【解析】构造f x =18-xln x，x≥8，f x =-ln x+18x-1，f x =-ln x+18x-1在8,+∞时为减函数，且f 8 =-ln8+94-1=54-ln8<54-lne2=54-2<0，所以f x =-ln x+18x-1<0在8,+∞恒成立，故f x =18-xln x在8,+∞上单调递减，所以f8 >f9 >f10，即10ln8>9ln9>8ln10，所以810>99>108，即a>b>c.故选：D 6已知实数a，b满足a=log23+log86，5a+12a=13b，则下列判断正确的是() A.a>2>b B.b>2>a C.b>a>2 D.a>b>2【解析】a=log23+log86=log23+13log22×3=43log23+13>43log222+13=43×32+13=73>2，所以a>2；由5a+12a=13b且a>2，所以5a+12a>25+144=169，所以b>2，令f x =5x+12x-13x，x>2，令t=x-2>0，则x=t+2，则f x =5x+12x-13x，x>2等价于g t =25×5t+144×12t-169×13t，t>0；又g t =25×5t+144×12t-169×13t<169×12t-169×13t<0，所以当x>2时，f x =5x+12x-13x<0，故5a+12a=13b<13a，所以a>b>2.故选：D.7设a=20202022，b=20212021，c=20222020，则() A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a【解析】∵ln aln b=2022ln20202021ln2021=ln20202021ln20212022，构造函数f x =ln xx+1x≥e2，f x =x+1-x ln xx x+12，令g x =x+1-x ln x，则g x =-ln x<0，∴g x 在e2,+∞上单减，∴g x ≤g e2 =1-e2<0，故f x <0，∴f x 在e2,+∞上单减，∴f2020>f2021>0，∴ln aln b=f2020f2021>1∴ln a>ln b.∴a>b，同理可得ln b>ln c，b>c，故a>b>c，故选：A8设a=23e 1.5，b=23(4-ln2)，c=e33，则a,b,c的大小关系是()A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c【解析】①先比较a,c：a=23e 1.5=e3232，c=e33，设函数f(x)=e xx2，则f (x)=e x(x-2)x3<0，得函数f(x)在(0,2)单调递减，f (x)=e x(x-2)x3>0得函数f(x)在(2,+∞)单调递增所以f(3)<f32即c<a；②再比较b,c：由①知f min(x)=f(2)=e 24<f(3)=c，而b=2232-12ln2=232+ln1212，设h(x)=23(ln x+2)x，h(x)=-23(ln x+1)x2当0<x<1e，h(x)>0，h(x)单调递增，当x>1e，h(x)<0，h(x)单调递减，所以b=h12<h max(x)=h1e =23e，而23e<e4.e=e24<f(3)=c，所以b<c，故选：A9已知a,b,c∈(0,1)，且a2-2ln a+1=e，b2-2ln b+2=e2，c2-2ln c+3=e3，其中e是自然对数的底数，则() A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a【解析】设f x =x2-2ln x,g x =e x-x，则f a =g1 ,f b =g2 ,f c =g3 ，又g x =e x-1>0x>0，所以g x 在0,+∞上单调递增，所以g3 >g2 >g1 ，即f c >f b >f a ，因为fx =2x -2x =2x 2-1 x<0x ∈0,1 ，所以f x 在0,1 上单调递减，所以a >b >c ，故选：A10设a =e 1.3-27,b =4 1.1-4,c =2ln1.1，则()A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.c <a <b【解析】∵e 1.3 2=e 2.6<e 3<33，(27)2=28>33，∴e 1.3<27，∴a <0；b -c =4 1.1-4-2ln1.1=22 1.1-2-ln1.1 ，令f x =2x -2-ln x ，∴f x =1x-1x =x -1x ，∴当0<x <1时，f x <0，f x 单调递减；当x >1时，f x >0，f x 单调递增；∴f (x )min =f 1 =0，∴f 1.1 >0，即2 1.1-2-ln1.1>0，∴c <b ，又c =2ln1.1>2ln1=0，∴a <c <b ．故选：B ．11已知定义在R 上的偶函数f x 满足f x +6 =f x ，且当x ∈0,3 时，f x =x e x ，则下面结论正确的是()A.f ln3 <f e 3 <f -eB.f -e <f ln3 <f e 3C.f e 3 <f -e <f ln3D.f ln3 <f -e <f e 3【解析】∵x ∈0,3 ，f x =x e x ，∴f x =e x x +1 ，∴x ∈0,3 时，f x 单调递增；∵f x +6 =f x ，∴x ∈18,21 ，f x 单调递增；∵2+3×6<e 3<e +3×6，∴f 2+3×6 <f e 3 <f e +3×6 ，∴f 2 <f e 3 <f e ，∵f -x =f x ∴f -e =f e ，∴0<ln3<lne 2=2，∴f ln3 <f 2 ，综上所述，f ln3 <f e 3 <f -e .故选：A .12设a =10099，b =e 0.01，c = 1.02，则()A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.c >a >b【解析】令f x =e x -x +1 ，则f x =e x -1，所以当x <0时f x <0，当x >0时f x >0，所以f x 在0,+∞ 上单调递增，在-∞,0 上单调递减，所以f x ≥f 0 =0，即e x -x +1 ≥0恒成立，即e x ≥x +1(当x =0时取等号)，所以e 0.02>1+0.02⇒e 0.01> 1.02，∴b >c ，又e -x ≥1-x (当x =0时取等号)，所以当x <1且x ≠0时，有1e x >1-x ⇒e x <11-x ，∴e 0.01<11-0.01=10099，∴a >b ．故选：A 13已知a =e 0.1-1，b =sin0.1，c =ln1.1，则()A.a <b <cB.b <c <aC.c <a <bD.c <b <a【解析】令f x =e x -1-sin x ，∴f x =e x -cos x ，当x >0时，e x >1，∴e x -cos x >0，∴f x >0，f x 单调递增，∴f 0.1 >f 0 ，即e 0.1-1-sin0.1>0，∴e 0.1-1>sin0.1，即a >b ，令g x =ln x +1 -sin x ，∴g x =1x +1-cos x =1-x +1 cos x x +1=1-x cos x -cos xx +1，令h x =1-x cos x -cos x ，∴h x =x +1 sin x -cos x令φx =x +1 sin x -cos x ，∴φ x =2sin x +x +1 cos x ，当0<x <π6时，φ x >0，∴h x 单调递增，∴h x <h π6 =π6+1 sin π6-cos π6=π+61-312<0∴h x 在x ∈0,0.1 上单调递减，∴h x <h 0 =0，∴g x <0，∴g x 在x ∈0,0.1 上单调递减，∴g 0.1 <g 0 =0，即ln1.1-sin0.1<0，∴c <b 综上：c <b <a .故选：D .14(多选)f x 是定义在非零实数集上的函数，f x 为其导函数，且x >0时，xf x -f x <0，记a =f 20.2 20.2，b =f 0.22 0.22，c =f log 25 log 25，则错误的有()A.a <b <cB.b <a <cC.c <a <bD.c <b <a【解析】令g x =f x x ，得gx =xf x -f x x 2，由x >0时，xf x -f x <0，得g x <0，g x 在0,+∞ 上单调递减，又log 25>log 24=2，1<20.2<2，0<0.22=0.04<1，可得log 25>20.2>0.22，故g log 25 <g 20.2 <g 0.22 ，故c <a <b ，故选：ABD 15(多选)若正实数a ,b 满足13a+log 13a =19b+2log 19b ，则下列结论正确的有()A.a >bB.a ≤bC.a <2bD.a ≥2b【解析】设f x =13x+log 13x ，则f x 在0,+∞ 为减函数，因为13a+log 13a =19b +2log 19b =19 b+log 13b ,所以f a -f b =13a+log 13a -13b +log 13b =19 b +log 13b -13 b+log 13b =19b-13b=132b-13b，因为2b >b >0,所以132b<13b，所以132b-13b<0，即f a <f b ，从而a >b ,所以A 正确，B错误；而f a -f 2b =13a +log 13a -13 2b +log 132b =13 2b +log 13b -13 2b +log 132b =log 13b -log 132b >0,所以f a >f 2b ,所以a <2b ，所以C 正确，D 错误.故选：AC .16(多选)已知定义在0,π2上的函数f (x )的导函数为f (x )，且f (0)=0，f (x )⋅cos x +f (x )sin x <0，则下列选项中正确的是()A.f π6<62f π4 B.f π3 >0 C.f π6 >3f π3 D.f π4 >2f π3 【解析】令g (x )=f (x )cos x ，x ∈0,π2 ，则g (x )=f (x )cos x +f (x )sin x cos 2x.因为f (x )cos x +f (x )sin x <0，所以g (x )=f (x )cos x +f (x )sin x cos 2x<0在0,π2 上恒成立，所以函数g (x )=f (x )cos x在0,π2 上单调递减，所以g π6 >g π4 ，即f π6 cos π6>f π4 cos π4，f π6 >62f π4，故A 错误；又f (0)=0，所以g (0)=f (0)cos0=0，所以g (x )=f (x )cos x≤0在0,π2 上恒成立，因为π3∈0,π2 ，所以f π3 ≤0，故B 错误；又g π6 >g π3 ，所以f π6cos π6>f π3 cos π3，即f π6 >3f π3，故C 正确；又g π4 >g π3 ，所以f π4 cos π4>f π3 cos π3，即f π4 >2f π3 ，故D 正确.故选：CD .17若a =2ln (ln1.01),b =ln ln3π2,c =23ln2，则a ，b ，c 的大小关系为．【解析】因为b =ln ln 3π2=2ln ln 3π =2ln ln π3 ，c =23ln2=2ln213，所以构造函数f x =2ln x ，由对数函数的性质知，f x 在0,+∞ 上单调递增，所以只需比较ln1.01，ln π3，213的大小，由于1.01×3=3.03<π，故π3>1.01,所以ln1.01<ln π3<1<213,所以a =2ln (ln1.01)<b =2ln ln π3<2ln213=23ln2=c ,故答案为：a <b <c18已知f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f x 1 -x 1f x 2x 1-x 2<0，记a =f 4.10.2 4.10.2，b =f 0.42.1 0.42.1，c =f log 0.24.1log 0.24.1，则a ，b ，c 的大小关系．【解析】设0<x 1<x 2，因为x 2f x 1 -x 1f x 2 x 1-x 2<0，则x 2f x 1 -x 1f x 2 >0，即f x 1 x 1>f x 2x 2，所以函数g x =f xx 在0,+∞ 上单调递减．因为f x 是定义在R 上的奇函数，所以g -x =f -x -x =-f x -x =f xx =g x ，所以g x 是定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的偶函数，因此a =f 4.10.24.10.2=g 4.10.2 <g 1 ，b =f 0.42.10.42.1=g 0.42.1 >g 0.42>g 0.5 ，c =f log 0.24.1 log 0.24.1=g log 0.24.1 =g log 54.1 ∈g 1 ,g 12 ，即a <c <b ．。
函数中大小的比较
一、通过设置障碍培养学生信息技术自学能力小学生对新鲜事物充满好奇、不认输，这一点是可以被我们小学信息技术教师好好利用的。
我们知道，信息技术课是以理论课程为前提，实践操作为根本的学科。
可是现实教学中我们发现小学生们对于实践操作课兴趣十足，对于理论课程却是兴味索然。
这就造成了理论基础薄弱，实践操作起来无从下手的局面。
为了从根本上解决这种不良的现状，特别是促进同学们对理论课程的学习，我故意在每堂实践操作课之前对学生电脑动了“手脚”。
这样，上课之后，同学们就会发现他们的电脑出现了这样那样的故障。
这些故障是五花八门的，诸如：“桌面快捷方式无法打开”、“电脑桌面一片空白”、“电脑音量图标不见了”、“电脑屏幕颠倒”、“网络连接总是自动断开”等。
然后我就要求同学们自己摸索着把这些故障解决掉，看看哪些同学把这些故障解决得又快又好。
通过这样的教学小“手段”，我发现同学们总是乐于去解决老师设置的一个又一个“故障”。
在这个过程中，他们认识到了自己原本不重视理论知识的错误，也锻炼提高了自己的信息技术自学能力。
二、利用帮助系统培养学生信息技术自学能力小学阶段学习的应用程序主要有Word、Excel、Power-point这几种。
这几个应用程序都是有帮助系统的。
对于初学者的小学生们来说，这些帮助系统是图文并茂、易于接受的。
在帮助系统里，开发商系统全面地介绍了本应用程序的入门信息和常见问题的答案，可以帮助小学生们更好、更有效地使用应用程序。
所以，小学信息技术教师要好好引导学生利用每一个应用程序的帮助系统。
在上每一堂信息技术实践操作课之前，老师应该先交代本堂课具体的操作任务。
学生领受任务后开始自己动手操作的过程中往往会遇到一些这样那样的问题，碰到难题时有部分缺乏独立钻研精神的学生会想到询问老师。
这时，如果从更好地培养学生信息技术自学能力出发来考虑，老师是应该“狠”下心来不把正确的操作过程直接告诉学生的。
这是因为任何一种电脑的应用程序的操作其实都是很简单的，学生们通过老师的讲述而非自己的主动探究得来的答案是很容易遗忘的。
对数函数比较大小
对数函数是数学中一种重要的函数，其定义为任意实数x的以e为底的对数。
它的形式为y=logax，其中a>0，且a≠1。
数函数的定义域是实数集，其值域是实数集。
在对数函数比较大小的时候，我们需要考虑两个因素：a和x。
当a和x相同时，对数函数的大小是相同的，因此，我们可以比较a和x的大小来比较对数函数的大小。
1、当a相同时，对数函数的大小与x的大小成正比，即当x越大，对数函数的值越大。
例如，当a=2时，y1=log2x1，y2=log2x2，若x1>x2，则y1>y2，即对数函数y1的值大于y2的值。
2、当x相同时，对数函数的大小与a的大小成反比，即当a越大，对数函数的值越小。
例如，当x=2时，y1=loga1x，y2=loga2x，若a1>a2，则y1<y2，即对数函数y1的值小于y2的值。
总之，对数函数比较大小时，可以根据a和x的大小来比较，当a和x相同时，对数函数的大小也是相同的；当a相同时，对数函数的大小与x的大小成正比；当x相同时，对数函数的大小与a的大小成反比。
指数函数 幂函数 对数函数比较大小
指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。
在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。
通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。
1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。
指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。
指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。
在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。
2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。
幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。
当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。
幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。
3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。
对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。
对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。
对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。
指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。
在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。
比较两函数大小的方法
比较两函数大小的方法比较两个函数的大小是一种常见的问题，可以用于优化算法、性能分析和设计评估中。
在计算机科学中，通常用时间复杂度和空间复杂度来比较两个函数的大小。
下面将介绍一些常用的方法来比较两个函数的大小。
1.时间复杂度比较：时间复杂度是衡量一个算法执行时间的函数，通常用大O表示法表示。
在比较两个函数的大小时，我们可以比较它们的时间复杂度的增长率。
1.1渐进符号比较：渐进符号比较包括大O、Ω和Θ符号，它们表示函数的上界、下界和紧确界。
大O符号表示上界，表示一个函数的渐进行为不会超过另一个函数的一些常数倍，即f(n)=O(g(n))。
我们可以比较两个函数的大O符号来判断函数的增长率。
Ω符号表示下界，表示一个函数的渐进行为不会少于另一个函数的一些常数倍，即f(n)=Ω(g(n))。
我们可以比较两个函数的Ω符号来判断函数的增长率。
Θ符号表示紧确界，表示一个函数的上界和下界相同，即f(n)=Θ(g(n))。
我们可以比较两个函数的Θ符号来判断函数的增长率。
1.2比较增长率：在没有给出具体的时间复杂度函数的情况下，我们可以通过比较两个函数的增长率来判断它们的相对大小。
常见的函数的增长率从小到大依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(n log n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、指数阶O(2^n)。
如果一个函数的增长率大于另一个函数的增长率，那么它的时间复杂度较高，即较慢。
2.空间复杂度比较：空间复杂度是衡量一个算法所需内存空间的函数，通常用大O表示法表示。
在比较两个函数的大小时，我们可以比较它们的空间复杂度大小。
空间复杂度包括原地算法（In-place algorithm）和非原地算法（Out-of-place algorithm）两种。
原地算法是指算法在执行过程中额外使用的空间是常数级别的，即O(1)。
如果一个函数是原地算法，那么它通常比非原地算法更节省内存空间。
函数大小比较问题
一、两幂值比大小的方法：（1）同底数的两幂值比大小时，利用指数函数的单调性可直接比较大小；（2）底、指都不同的两幂值比大小时，可借用中间值间接比较大小，也可利用函数图象的位置关系来比较大小。
例2 ：比较下列各组中各数的大小．（1）0.40.3与0.40.2；（2）-0.75-0.1与-0.750.1(3)（）1/5与()3/4；（4） ()-2/3与 ()-3/2解：（1）考察指数函数y=0.4x,∵0<0.4<1,此函数为减函数，而0.3>0.2,∴0.40.3<0.40.2（2）∵0<0.75<1,-0.1<0.1,∴0.75-0.1>0.750.1,故-0.75-0.1<-0.750.1.另解：分别画出函数y=（）x和y=()x的图象，图象中A点的纵坐标为（）1/5，B点的纵坐标为()3/4，C点的纵坐标为()1/5由于A点高于C点，C点又高于B点，所以（）1/5>()3/4(4)∵()-2/3>()0=1, ()-3/2<()0=1,∴ ()-2/3>()-3/2二、两对数值比大小的方法：（1）同底数的两对数值比大小时，利用对数函数的单调性可直接比较大小；（2）同真数的两对数值比大小时，可换底后比较大小，也可利用同类函数图象的高低比大小；（3）底与真数都不同的两对数值比大小时，可以借用中间值间接比较大小，也可利用函数图象的位置关系来比较大小。
例3：比较下列各组中两个对数值的大小.(1)log0.20.5, log0.20.3; (2) log23, log1.53(3) log59, log68 ; (4) log1/50.3, log20.8 .解：（下面的解答由师生共同完成）（2）考察指数函数y=log0.2x,∵0<0.2<1, 此函数为减函数,而0.5>0.3，∴log0.20.5< log0.20.3（3）log23=, log1.53=,∵lg3>0,lg2>lg1.5>0,∴ log23< log1.53另解：分别画出函数y=log1.5x,y=log2x的图象，x>1以后y=log1.5x的图象在y=log2x的图象的上方。
比较函数式大小常用的几种思路
解题宝典有关抛物线的证明题比较常见.这类问题常与直线、三角形、圆等相结合，侧重于考查抛物线的定义、方程、几何性质，直线的方程、斜率公式，直线与抛物线的位置关系，以及平面几何图形的性质.下面就一道抛物线证明题，来探究一下解答此类问题的思路.题目：已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，若ΔABC的三个顶点都在抛物线上，且满足 FA + FB +FC =0 ，则称该三角形为“核心三角形”.（1）设“核心三角形ABC ”的一边AB 所在直线的斜率是2，求直线AB 的方程；（2）已知ΔABC 是“核心三角形”，设ΔABC 的三个顶点分别为A ()x A ，y A ，B ()x B ，y B ，C ()x C ，y C .证明：ΔABC 的三个顶点的横坐标x A ,x B ,x C 都小于2.对于第一个问题，我们需根据已知条件和向量的运算法则明确A 、B 、C 三点坐标之间的关系，并结合韦达定理、直线的斜截式方程来求解，得出直线AB 的方程为y =2x -1.这里主要讨论一下第二个问题的解法.方法一：参数法参数法是解答圆锥曲线问题的常用方法.参数法是指先引入参数，建立有关参数的关系式，然后通过消参来求得问题的答案.在求解有关抛物线的证明题时，往往可以根据题意引入参数，并将参数设为直线的斜率、截距，抛物线的方程，动点的坐标等.然后将其代入题设中，建立关系式，再通过等量变换消去参数，从而获得问题的答案.本题中，三角形三边所在的直线方程未知，不妨引入参数，设出BC 边所在直线的方程，再代入求解.证明：设直线BC 的方程为x =my +n ，将其代入抛物线的方程y 2=4x ，可得y 2-4my -4n =0，由Δ=16(m 2+n )>0得n >-m 2，且y B +y C =4m ，y B y C =-4n ，因为x B =my B +n ,x C =my C +n ，所以x B +x C =m (y B +y C )+2n =4m 2+2n ，又因为x A +x B +x C =3，所以x A =3-m 2-2n ，y A +y B +y C =0，所以y A =-4m .因为点A 在抛物线上，所以16m 2=4(3-m 2-2n )，可得n =32-4m 2，又因为n >-m 2，所以32-4m 2>-m 2，解得m 2<12，所以点A 的横坐标x A =4m 2<2，同理可证得x B <2,x C <2，所以ΔABC 的三个顶点的横坐标都小于2.先设出直线BC 的方程，并将其与抛物线的方程联立，即可构造出一元二次方程，利用韦达定理建立三角形顶点坐标之间的关系式，根据判别式建立不等关系式，最后通过等量代换、消元，求得问题的答案.方法二：反证法对于从正面难以入手的问题，可以重点研究问题的反面情形，利用反证法来解题.先假设命题的结论不成立，即假设问题的反面情形成立；然后将这个假设的结论作为条件进行推理论证，得出与题设条件、公式、定理等相矛盾的结论，由此断定假设的结论不正确，即可说明原结论是正确的.证明：假设x C ≥2，则y C 2=4x C ≥8.因为x A +x B +x C =3，所以y A 2+y B 2+y C 2=12，因为y C 2≥8，所以y A 2+y B 2≤4，由y A +y B +y C =0可得y A +y B =-y C ，将其两边平方可得y C 2=y A 2+y B 2+2y A y B ≤2(y A 2+y B 2)，又因为y C 2≥8，所以y A 2+y B 2≥4，当且仅当y A =y B 时等号成立，此时x A =x B ，即点A ,B 重合，这不符合题意，所以假设x C ≥2不成立，由此可知x C <2，同理可证x A <2,x B <2，所以ΔABC 的三个顶点的横坐标都小于2.我们首先假设问题的反面情况成立，即x C ≥2；然后将其当作已知条件，结合题目中的条件和基本不等式进行推理，得出y C 2≥8，y A 2+y B 2≥4，而这两式取等号时A 、B 两点重合，这与题目条件不相符，从而说明假设的情形不成立.解答有关抛物线的证明题，可从抛物线的方程、几何性质出发，利用参数法进行求解，也可以从解答证明题的方法入手，利用反证法进行证明.同学们在解答综合性问题时，要学会将所学的知识关联起来，从不同角度寻找解题的思路.（作者单位：管文娟，江苏省淮安市楚州中学；赵正威，江苏省淮安市淮安外国语学校）管文娟赵正威42比较函数式的大小问题常以选择题的形式出现，这类问题侧重于考查基本初等函数的单调性、基本不等式以及不等式的性质.本文中，笔者对比较函数式大小常用的几种思路进行了总结、归纳，以期对同学们解答此类问题有所帮助.一、利用函数的单调性若要比较的函数式可化为同一种类型的函数，如二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，即可将要比较的两个函数式看作自变量不同、类型相同的函数式，直接根据函数的单调性进行比较.一般地，已知定义域内x 1<x 2，若函数单调递增，则f (x 1)<f (x 2)；若函数单调递减，则f (x 1)>f (x 2).例1.已知a =(34)13,b =(25)23,c =(23)-12，则a ,b ,c 的大小关系是（）.A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a解：由题意可知b =(25)23=(425)13，且1>34>425，因为幂函数y =x 13在(0,+∞)上单调递增，所以113>(34)13>(425)13，即1>a >b .因为指数函数y =(23)x 在R 上单调递减,且-12<0，所以(23)-12>(23)0=1，所以c >1.综上可知，c >a >b .故选C.我们先将b 化为指数是13的式子，将1化为指数是13、23的式子，即可将a 、b 化为同指数的函数式，将c 、1化为同底数的函数式；然后根据基本初等函数y =x 13和y =(23)x 的单调性进行比较，即可判断出a 、b 、1、c 的大小关系.例2.已知a =3ln 2π,b =2ln 3π,c =3ln π2，则下列选项正确的是（）.A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.b >c >a解：由题意得a =3ln 2π=3πln 2,b =2ln 3π=2πln 3,c =3ln π2=6ln π，所以a 6π=ln 22=ln 44,b 6π=ln 33，c 6π=ln ππ，设f (x )=ln x x ()x >0，对其求导可得f ′(x )=1-ln x x 2，由f ′(x )>0，得0<x <e ；由f ′(x )<0，得x >e ，所以函数f (x )在(0,e ]上单调递增，在[e ,+∞)上单调递减.又4>π>3>e ，可得f (4)<f (π)<f (3)，即ln 44<ln ππ<ln 33，可知a 6π<c 6π<b 6π，故b >c >a .故选D.解答本题，需先将三个函数式变形，得a 6π=ln 44、b 6π=ln 33、c 6π=ln ππ；然后根据这三个式子的特征构造函数f (x )=ln xx，即可根据函数f (x )的单调性，迅速比较出三个函数式的大小.对于非基本初等函数，往往要利用函数单调性的定义、导数与函数单调性之间的关系来判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性来比较函数式的大小.例3.设x ,y ,z 为正实数，且log 2x =log 3y =log 5z >0，则x 2,y3,z 5的大小关系不可能是（）.A.x 2<y 3<z 5 B.y 3<x 2<z 5C.x 2=y 3=z 5D.z 5<y 3<x 2解：设log 2x =log 3y =log 5z =k ，则x =2k ,y =3k ,z =5k，可得x 2=2k -1,y3=3k -1,z 5=5k -1.王丽丽43。
指对数函数比较大小
指对数函数比较大小一、前言对数函数是高中数学中的重要内容，它在数学中有着广泛的应用。
在比较大小时，我们经常需要比较对数函数的大小。
本文将介绍如何比较对数函数的大小。
二、对数函数的定义对数函数是指以某个正实数为底的幂函数的反函数。
设a为正实数且a≠1，则以a为底的对数函数f(x)定义为：f(x) = log<sub>a</sub>x其中，x为正实数。
三、对数函数的性质1. 对于任意正实数x和y，有以下性质：（1）log<sub>a</sub>(xy) = log<sub>a</sub>x +log<sub>a</sub>y（2）log<sub>a</sub>(x/y) = log<sub>a</sub>x -log<sub>a</sub>y（3）log<sub>a</sub>x<sup>n</sup> = nlog<sub>a</sub>x2. 对于任意正整数n，有以下性质：（1）log<sup>n</sup><sub>a</sub>x = (log<sup>n-1</sup><sub>a</sub>log<sup>n-2</sup><sub>a</sub>...log<sup>0</sup><sub>a</sub>x) （2）当n=2时，有log(logx)<leqslant logx-1四、比较两个对数函数大小的方法在比较两个对数函数大小时，我们可以使用以下方法：1. 换底公式设f(x) = log<sub>a</sub>x，g(x) = log<sub>b</sub>x，则有：f(x) = log<sub>a</sub>x = ln(x)/ln(a)g(x) = log<sub>b</sub>x = ln(x)/ln(b)因此，我们可以将两个对数函数都转化为以e为底的对数函数，然后比较它们的大小。
高考数学函数比较大小方法介绍与解题方法
函数1.比较大小【高考真题】1．（2022·新高考全国I 卷）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b <<【答案】C【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小. 【详解】方法一：构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x xx g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当021x <<-时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减， 当211x -<<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，所以当021x <<-时，()0h x <，所以当021x <<-时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C. 方法二：比较法 解： 0.10.1a e = ， 0.110.1b =- ， ln(10.1)c =-- ， ① ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+- ，令 ()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈ 则 1()1011x f x x x-'=-=<-- ， 故 ()f x 在 (0,0.1] 上单调递减，可得 (0.1)(0)0f f <= ，即 ln ln 0a b -< ，所以 a b < ； ① 0.10.1ln(10.1)a c e -=+- ， 令 ()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则 ()()()1111'11x xxx x e g x xe e x x+--=+-=-- ， 令 ()(1)(1)1x k x x x e =+-- ，所以 2()(12)0x k x x x e '=--> ，所以 ()k x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 ()(0)0k x k >> ，即 ()0g x '> ，所以 ()g x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 (0.1)(0)0g g >= ，即 0a c -> ，所以 .a c > 故 .c a b <<2．（2021·新高考全国II 卷）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论. 【详解】55881log 2log 5log 22log 32a b =<==<=，即a c b <<. 故选：C.3．（2022·全国甲卷文数）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =--> ，则1()1m f x mx -'=-， 令()0f x '=，解得110m x m -= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b > ，又因为9log 10(9)9100f =-= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．4．（2022·全国甲卷理数）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >>【答案】A 【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >;构造函数()()21cos 1,0,2f x x x x ∞=+-∈+,利用导数可得b a >,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数 因为当π0,,tan 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭故14tan 14c b =>，故1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞， ()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432->， 所以b a >，所以c b a >>，故选A[方法二]：不等式放缩 因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a > 1114sin cos 17sin 444ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且14sin ,cos 1717ϕϕ==当114sin cos 1744+=时，142πϕ+=，及124πϕ=-此时14sin cos 417ϕ==，11cos sin 417ϕ== 故11cos 417=411sin 4sin 4417<=<，故b c < 所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法三]：泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==-，2410.250.25cos 1424!b =≈-+， 241sin10.250.2544sin1143!5!4c ==≈-+，计算得c b a >>，故选A. [方法四]：构造函数 因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A ．[方法五]：【最优解】不等式放缩 因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>． 故选：A ．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法； 方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭放缩，即可得出大小关系，属于最优解．5．（2021·全国乙卷理数）设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =．则（ ） A ．a b c << B ．b<c<a C ．b a c << D ．c<a<b【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a ,b 的大小作出判定，对于a 与c ，b 与c 的大小关系，将0.01换成x ,分别构造函数()()2ln 1141f x x x =+-++,()()ln 12141g x x x =+-++，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f (0)=0,g (0)=0即可得出a 与c ，b 与c 的大小关系. 【详解】[方法一]：2ln1.01a =2ln1.01=()2ln 10.01=+()2ln 120.010.01=+⨯+ln1.02b >=，所以b a <；下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 1141f x x x =+-++，则()00f =，()()()214122114114x x f x x x x x +--=-+'=+++， 由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>，即()141x x +>+，0fx ，所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=，即2ln1.01 1.041>-，即a c >； 令()()ln 12141g x x x =+-++，则()00g =，()()()21412221214114x x g x x x x x +--=-=++++'， 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时，()214120x x +-+<，所以()0g x '<，即函数()g x 在[0，+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=，即ln1.02 1.041<-，即b <c ； 综上，b<c<a ， 故选：B. [方法二]：令()21ln 1(1)2x f x x x ⎛⎫+=--> ⎪⎝⎭()()221-01x f x x =+'-<，即函数()f x 在（1，+∞)上单调递减()()10.0410,ff b c +<=∴<令()232ln 1(13)4x g x x x ⎛⎫+=-+<< ⎪⎝⎭()()()21303x x g x x --+'=>，即函数()g x 在（1，3)上单调递增()()10.0410,gg a c +=∴综上，b<c<a ， 故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.6．（2020·全国I 卷理数）若242log 42log a ba b +=+，则（ ）A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <【答案】B【分析】设2()2log x f x x =+，利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案.【详解】设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b ba b b +=+=+所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b bb b +-+21log 102==-<， 所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.7．（2020·全国II 卷文/理数）若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A【分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t tf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.8．（2020·全国III 卷文数）设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b<c<a D ．c<a<b【答案】A【分析】分别将a ,b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可.【详解】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<. 故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.9．（2020·全国III 卷理数）已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.10．（2019·全国I 卷文理数）已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a【答案】B【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 11．（2019·全国II 卷理数）若a >b ，则（ ） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．【基础知识】1．作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b .(a ，b ∈R )比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方式的形式或一些易判断符号的因式积的形式．2．作商法作商比较法乘方比较法依据 a >0，b >0，且ab >1⇒a >b ；a >0，b >0，且ab <1⇒a <ba 2>b 2且a >0，b >0⇒a >b应用范围 同号两数比较大小或指数式之间比较大小 要比较的两数(式)中有根号步骤①作商②变形③判断商值与1的大小①乘方②用作差比较法或作商比较法④下结论3．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1图象性质定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)4．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数5．对数函数的图象与性质y ＝log a xa >10<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性 质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数【题型方法】 一、作法法1．若0,10a b <-<<，则下列不等关系正确的是（ ） A ．2ab ab a >> B ．2ab ab a >> C ．2ab a ab >> D ．2a ab ab >>【答案】A【分析】利用作差法比较即可得到答案.【详解】因为0,10a b <-<<，所以0ab >，10b ->，10b -<，10+>b所以()210ab ab ab b -=->，即2ab ab >，()()()221110ab a a b a b b -=-=+->，所以2ab ab a >>. 故选：A2．（多选）已知a b >，则下列不等式正确的是（ ） A ．22a b > B ．11a b> C ．22ac bc ≥ D ．22a b c c > 【答案】CD【分析】由作差法可逐项判断.【详解】对A ，()()22a b a b a b -=+-，无法确定a b +的正负，故A 项错误；对B ，11b aa b ab--=，无法确定ab 的正负，故B 项错误；对C ，()2220ac bc a b c -=-≥，所以C 项正确；对D ，2220a b a bc c c--=>，所以D 项正确. 故选：CD3．（多选）已知实数a 、b 、c 满足23121a b c ==>，则下列说法正确的有（ ） A ．20a b -> B ．20b c -> C ．211a b c+=D ．322a bc+≥+ 【答案】BCD【分析】令23121a b c k ===>，则2log a k =，3log b k =，12log c k =，利用作差法可判断AB 选项；利用换底公式可判断C 选项；利用换底公式结合基本不等式可判断D 选项.【详解】令23121a b c k ===>，则2log a k =，3log b k =，12log c k =且0a >，0b >，0c >． 对于A ，()2323lg 3lg 2lg lg lg 2log 2log log log 0lg 2lg 3lg 2lg 3k k k a b k k k k --=-=-=-=<⋅，所以A 错误：对于B ，()312323lg lg 23lg 3lg lg 2log 2log log log 0lg 3lg 23lg 3lg 23k k kb c k k k k --=-=-=-=>⋅， 即20b c ->，所以B 正确；对于C ，2112log 2log 3log 12k k k a b c +=+==，所以C 正确：对于D ：()()2223232312log log log 12log 12log 32log 32log k ka b c k++==+=⨯+⨯ 23233log 32log 232log 32log 2322=++>+⨯=+，所以D 正确．故选：BCD.二、作商法1．设()121p a a -=++，21q a a =-+，则（ ）．A ．p q >B ．p q <C ．p q ≥D ．p q ≤【答案】D【分析】首先配方判断p 、q 均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】()1222110132411p a a a a a -==>⎛⎫++⎪⎭+⎝=+++， 22131024q a a a ⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭，则()()()222121111a a a a a a a q a p --+-++++=+= ()()222222111a a a a =+-=++≥.故p q ≤，当且仅当0a =时，取等号， 故选：D【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 2．若实数m ，n ，p 满足354m e =，235n e =，218p e =，则（ ） A ．p m n << B ．p n m << C ．m p n <<D ．n p m <<【答案】A【分析】根据作商法比较大小，即可得出结果.【详解】因为实数m ，n ，p 满足354m e =，255n e =，218p e =， 所以315152344155m e e n e -==⋅<，①m n <；又313552421189m e e p e ==⋅>，①m p >； ①p m n <<． 故选：A ．【点睛】本题主要考查作商法比较大小，属于基础题型. 3．已知41291log ,log ,0.90.8204p m n ===，则正数,,m n p 的大小关系为（ ） A ．p m n >> B ．m n p >> C ．m p n >> D ．p n m >>【答案】A【分析】根据对数式与指数式之间的互化，以及作商法比较大小，即可比较,m n 的大小，由对数函数的单调性以及中间值法即可比较三者的大小. 【详解】由49log 20m =，得992010422m ==<，由121log 4n =，得1412,n =91111199942020202020201155555420444442561123432431212m n ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======> ⎪⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，即2m n >>；由0.90.8p =，得0.90.9log 0.8log 0.812p =>=，于是p m n >>， 所以正数,,m n p 的大小关系为p m n >>. 故选:A.三、单调性法1．下列比较大小中正确的是（ ）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．3377( 2.1)( 2.2)--<- D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】利用函数的单调性进行判断即可.【详解】解：对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增， 因为333777115( 2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭， 所以3377( 2.1)( 2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.2．已知函数()e e x x f x -=-，则0.60.60.4(0.4),(0.6),(0.4)a f b f c f ===的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c<a<bD ．a c b <<【答案】D【分析】利用幂函数的性质比较0.60.20.60.216=、0.40.20.40.16=、0.40.4大小，再由()f x 单调性比较a 、b 、c 大小. 【详解】由0.630.20.20.6(0.6)0.216==，0.420.20.20.4(0.4)0.16==，即0.20.20.160.216<， 所以0.40.60.40.6<，又0.60.40.40.4<，所以0.60.40.60.40.40.6<<，而()e e x x f x -=-递增， 故0.60.40.6(0.4)(0.4)(0.6)a f c f b f =<=<= 故选：D3．已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin (sin )a αα=，sin (cos )b αα=，cos (sin )c αα=，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b<c<aD ．c<a<b【答案】D【分析】利用指数函数以及幂函数的单调性，即可得到结论．【详解】因为(0,)4πα∈，0sin cos 1αα∴<<<；(sin )x y α∴=单调递减；sin y x α=单调递增；sin cos (sin )(sin )αααα∴>,sin sin (sin )(cos )αααα<；a c ∴>，ab <,即c<a<b , 故选：D4．设 1.2111y =， 1.428y =，0.63130y =，则（ ）A ．231y y y >>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【分析】通过观察三个数的特征可知，很难化成同底形式，所以可通过构造幂函数0.6y x =，利用其单调性即可比较得出结果.【详解】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.5．已知235log log log 0x y z ==<，则2x、y 、5z 的大小排序为（ ）A ．235x y z<< B ．325y x z<< C ．523z x y<< D ．532z y x<< 【答案】A【分析】首先设235log log log x y z k ===，利用指对互化，表示2x，3y ，5z ，再利用对数函数的单调性判断大小.【详解】x y z ，， 为正实数，且235log log log 0===<x y z k ，111235235k k k x y z ---∴===，，，可得：1112352131,51k k kx y z ---=>=>=>，．即10k -> ， 因为函数1k f x x -=（） 单调递增，①235x y z<<. 故选：A.6．已知e 是自然对数的底数，451e a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，15b =，5ln 6c =-，则（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．c a b << D ．b a c <<【答案】A【分析】根据指数函数的单调性即可比较,a b ，根据56ln ln 65c =-=，151ln e 5b ==结合对数函数的性质即可比较,bc ，即可得解.【详解】解：4511e 51e a b ⎛⎫= ⎭>>=⎪⎝， 56lnln 65c =-=， 151ln e 5b ==，因为56e 2.488325⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以156e 5>，所以156ln e ln5>，即b c >， 所以c b a <<. 故选：A.四、中间量法1．已知lg9a =，0.12b =，1ln 3c =，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】C【分析】通过中间值，将三个数与0和1进行比较即可判断大小关系. 【详解】因为0lg1lg9lg101=<<=，所以()0,1a ∈， 因为0.10122>=，()1,b ∈+∞， 因为1ln ln103<=，(),0c ∈-∞，综上所述得b a c >>． 故选：C2．若sin 4a =，5log 3b =，lg 6c =，0.01e d =，则（ ）． A ．a b c d <<< B ．a c b d <<< C ．b c d a <<< D ．a d b c <<<【答案】A【分析】利用介值法分别与0,1比较大小，然后再利用作差法比较,b c 的大小. 【详解】由题意，0.01sin 40,e 1a d =<=>，50log 31,0lg 61b c <=<<=<，只需比较,b c 的大小，而 ()()5lg31lg 2lg 2lg3lg3lg3lg5lg 6log 3lg 6lg 6lg5lg5lg5--+-⋅-=-==()lg 21lg 60,lg5b c ⋅-+=<∴<，综上a b c d <<<.故选：A【点睛】指对数比较大小时，一般采用介值法，通过分别和0,1比较大小判断，当遇到同一范围内的数时，可以通过作差或者作商的办法比较两数大小关系.3．若正实数a ，b ，c 满足0.1e a =0.51log 5b =，2314c =，则（ ）A ．a a c b >B ．log log c b a a <C ．log log a b b c >D ．11a c c b --<【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的计算，利用中间量法进行估算，即可得解. 【详解】①0.10ee 1a =>=．①1a >，①0.50.50.51log 10log 1log 0.55b =<=<=， ①0.51b <<，①2314c =，①18c =，①00.41c b a <<<<<，①a a c b <，log log c b a a >，log 0log a b b c <<，①A ，B ，C 项错误； ①10a ->，10c -<，①1101a c c b --<<<，D 项正确． 故选：D ．五、导数法1．已知1162411e sin ,e ,e sin 224a b c ππ---===，则（ ）A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】A【分析】由所给数据可构造函数()e sin()e sin x x f x x x =-=-，利用导数判断函数单调性可比较,a c ，再由不等式性质可比较,a b ，利用作商法比较,b c 大小.【详解】设()e sin()e sin x x f x x x =-=-，则()πe sin e cos 2e sin 4x x xf x x x x ⎛⎫=--=-+ ⎝'⎪⎭，当3ππ44x -≤≤时，()0f x '≤，所以函数在π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，1π24->-，1π()()24f f ∴-<-，即a c <， 1162110ee ,0sin 22--<<<<，116211e sin e 22--∴<，即a b <，11163π261212π4e e e 16422eb c -⨯--⎛⎫⎛⎫==>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，b c ∴>，综上，b c a >>. 故选：A2．设0.33e a -=，0.6e b =， 1.6c =，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b<c<a【答案】B【分析】先利用导数证明出e 1x x >+，令0.3x =，可以判断出 1.6c =最小；利用作商法比较出b a <，即可得到答案.【详解】设()e 1xf x x =--.因为()e 1xf x '=-，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减， 当0x >时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递增， 所以当x ∈R ，且0x ≠时，()()00f x f >=，即e 1x x >+． 所以()0.33e30.31 2.1a --+>=⨯=，0.6e 0.61 1.6b =>+=，所以 1.6c =最小，又因为0.60.90.3e e e13e 33b a -==<<，所以b a <．综上可知，c b a <<． 故选：B3．已知e ππe e ,π,2a b c ===，则这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A【分析】构造函数()()ln ,0xf x x x=>，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较,a b ，在同一坐标系中作出()2xy =与y x =的图象，结合图象与幂函数的性质可比较,b c ，即可求解【详解】令()()ln ,0xf x x x =>，则()()21ln ,0x f x x x -'=>， 由0fx，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减； 因为πe >， 所以()()πe f f <，即ln πln eπe<， 所以eln ππlne <，所以e πln πln e <， 又ln y x =递增， 所以e ππe <，即b a <；()()ee ππ2=2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出()2xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有()2xx >，又2π4<<，所以()ππ2>，又e y x =在()0,∞+上单调递增，且()ππ2>所以()()eπe πeπ2=2⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<， 故选：A六、特殊值法1．若()2021202120222022,x y x yx y R --->-∈，则（ ）A ．33x y >B ．ln ln x y >C ．11x y< D ．221111x y <++ 【答案】A【分析】构造函数()20212022x xf x -=-，分析函数()f x 的单调性，可得出x y >，再利用函数的单调性以及特殊值法可判断各选项的正误.【详解】构造函数()20212022x x f x -=-，因为函数12021x y =为R 上的增函数，函数22022xy -=为R 上的减函数，故函数()20212022x xf x -=-为R 上的增函数，因为2021202120222022x y x y --->-，则2021202220212022x x y y --->-， 即()()f x f y >，则x y >.对于A 选项，函数()3g x x =为R 上的增函数，故33x y >，A 对；对于B 选项，若0y x <<，则ln x 、ln y 均无意义，B 错； 对于C 选项，取1x =，1y =-，则11x y>，C 错； 对于D 选项，取1x =，1y =-，则221111x y =++，D 错. 故选：A.2．若a b >，则下列选项中正确的是（ ） A ．()ln 0a b -> B ．33a b < C ．330a b -> D ．a b >【答案】C【分析】对于ABD ，举反例即可排除；对于C ，利用幂函数的单调性即可判断. 【详解】因为a b >，对于A ，令0,1a b ==-，则()ln ln10a b -==，故A 错误；对于B ，令0,1a b ==-，则0111,33333b a -====，即33a b >，故B 错误； 对于C ，因为幂函数3y x =在R 上单调递增，故33a b >，即330a b ->，故C 正确； 对于D ，令0,1a b ==-，则01a b =<=，故D 错误. 故选：C.3．若0a b >>，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．35a b < B ．11log log b a a b ++< C a b >D ．tan tan a b >【答案】C【分析】取特殊值可判断ABD ，利用幂函数12y x x ==的单调性可判断C 【详解】选项A ，令4,2a b ==，则381525a b =>=，故A 错误；选项B ，令2,1a b ==，则1213log log 21log log 10b a a b ++==>==，故B 错误；选项C ，由于幂函数12y x x ==在(0,)+∞单调递增，0a b >>，故a b >恒成立，故C 正确； 选项D ，令,4a b ππ==，则tan 0tan 1a b =<=，故D 错误故选：C【高考必刷】1．设,R a b ∈且0ab ≠，若a b <，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b < B ．22ab a b < C ．2211ab a b< D ．b aa b< 【答案】C【分析】根据不等式的性质结合作差法比较大小逐项判断即可.【详解】解：对于A ，若a b <且0ab ≠，则2,1a b =-=，得22a b >，故A 错误；对于B ，若a b <，则0b a ->，所以()22ab a b ab b a -=-，又0ab ≠，则()ab b a -的正负不能确定，即2ab 与2a b 的大小不确定，故B 错误；对于C ，若a b <且0ab ≠，，则0a b -<，所以2222110a bab a b a b --=<，即2211ab a b <，故C 正确； 对于D ，若a b <且0ab ≠，则0b a ->，所以ab 与b a +正负不能确定，则()()22b a b a b a b a a b ab ab-+--==的符号不能确定，故b a与ab 的大小不确定，故D 错误.故选：C.2．若0c b a >>>，则（ ） A ．b c c b a b a b > B ．2ln ln ln b a c <+ C ．cc a b ab->- D ．log log a b c c >【答案】A【分析】利用不等式的基本性质，并对选项化简，转化，判断对错即可.【详解】解：选项A 中，由于1b cb c b c c b c b a b a a b a b b ---⎛⎫==> ⎪⎝⎭，所以b c c b a b a b >成立；故A 正确；选项B 中，22ln ln b b =，ln ln ln a c ac +=，2b 与ac 大小不能确定，故B 错误； 选项C 中，由于()10c c c a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫---=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 选项D 中，令1c =，则log log 0a b c c ==，故D 错误. 故选：A.【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查转化能力，属于基础题. 3．已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．a b c >>D ．b<c<a【答案】B【分析】由已知，根据题意给出的式子，先进行化简，得到222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后根据幂函数23y x =的单调性，即可做出判断.【详解】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B.4．设0.60.4a =，0.80.6b =，0.40.8c =，则（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b a c >>【答案】B【分析】先由指数运算得出555c a b >>，再由幂函数的单调性得出大小关系.【详解】因为5354520.40.064,0.1296,0.640.60.8a b c ======，所以555c a b >>，又函数5y x =在()0,∞+上单调递增，所以c b a >>. 故选：B5．三个数33342233,,224a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b<c<a【答案】C【分析】首先将,,a b c 化简，构造函数32(),(0)f x x x =>，利用函数的单调性比较大小.【详解】332432624a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3322322,44b c ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设32(),(0)f x x x =>，此函数在定义域内是单调递增的， ①22326444<<①22326()()()444f f f << ①c b a <<. 故选：C.6．下列比较大小正确的是（ ） A 12433332π--->> B ．12433332π--->> C ．12433332π--->> D ．21433323π--->>【答案】C【分析】根据指数幂的运算法则及幂函数的性质判断即可. 【详解】解：因为()2242333πππ---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，()213333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，23π>>，所以()22233323π---<<，所以12433332π--->>. 故选：C7．对于任意的,a b ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．20232023log log a b >C ．11a b <D ．20232023a b >【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数、反比例函数和幂函数的定义域和单调性依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，1122ab⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错误；对于B ，当0b a <<时，原式无意义，B 错误； 对于C ，当0a b >>时，11a b>，C 错误； 对于D ，2023y x =在R 上单调递增，20232023a b ∴>，D 正确.故选：D.8．已知 5.10.9m =，0.8log 5.1n =， 5.10.8p =，则m 、n 、p 的大小关系为（ ） A ．p ＜n ＜m B ．n ＜p ＜m C ．m ＜n ＜p D ．n ＜m ＜p【答案】B【分析】根据幂函数 5.1y x =，对数函数0.8log y x =的单调性判定即可. 【详解】由于幂函数 5.1y x =在[0,)+∞单调递增， 故 5.1 5.10.90.8m p =>=，又1 5.15.000.8p >==， 5.1 5.1110.9m =>=， ①0＜p ＜m ＜1，由对数函数0.8log y x =在(0,)+∞单调递减， 故0.80.8log 5.1log 10n =<=，①n ＜p ＜m ． 故选：B9．若实数a ，b 满足01a b <<<，则下列式子正确的是（ ） A ．b b a b --< B ．a a a b < C ．a a a b --< D ．b b b a <【答案】B【分析】根据不等式的性质以及幂函数的单调性分别进行判断即可. 【详解】对A ，1b baa -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1bbb b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为01a b <<<，所以111a b >>. 因为幂函数b y x =在()0,∞+上为增函数，所以b b a b -->，A 错；对B ，因为幂函数a y x =在()0,∞+上为增函数，所以a a a b <成立，B 对；对C ，因为1a aaa -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1aa b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，且幂函数a y x =在()0,∞+上为增函数，所以a a a b -->，C 错； 对D ，因为幂函数b y x =在()0,∞+上为增函数，所以b b b a >，D 错； 故选：B.10．设,a b R ∈，若a b >，则下列不等式不恒成立的是（ ） A ．11a b +>+ B ．22a b > C ．33a b > D ．sin 4sin 4a b >【答案】D【分析】根据不等式的性质可判断A;根据指数函数2,R x y x =∈的单调性判断B;根据幂函数3,R y x x =∈的单调性判断C ，可举特例说明D 中不等式不恒成立，即可得答案.【详解】对于A,由于a b >，根据不等式性质可知11a b +>+恒成立； 对于B,由于函数2,R x y x =∈是单调增函数，故若a b >，则22a b >恒成立；对于C ，由于函数3,R y x x =∈是单调增函数，故若a b >，则33a b >恒成立； 对于D ，不妨取ππ,=2a b = ，则sin 4sin 40a b ==，即a b >时，sin 4sin 4a b >不恒成立， 故选：D11．设0.83a =，0.8b π=，e13c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c<a<b B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】A【分析】利用幂函数、指数函数单调性并借助“媒介数”即可判断作答.【详解】因幂函数0.8y x =在(0,)+∞上单调递增，又31π>>，则有0.80.80.8311π>>=，指数函数1()3x y =在R 上单调递减，而e 0>，于是得e 011()()133<=，从而有e 0.80.81()133π<<<，所以c<a<b . 故选：A12．已知定义在R 上的幂函数()mf x x =（m 为实数）过点(2,8)A ，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()c f m =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c<a<b D ．c b a <<【答案】A【分析】首先求出3()f x x =，得到函数的单调性，再利用对数函数的图象性质得到20.5log 5log 3m >>，即得解. 【详解】由题得3382,22,3,()m m m f x x =∴=∴=∴=. 函数3()f x x =是R 上的增函数.因为0.50.5log 3log 10<=，220log 5log 83m <<==， 所以20.5log 5log 3m >>，所以20.5()(log 5)(log 3)f m f f >>， 所以a b c <<. 故选：A【点睛】方法点睛：比较对数式的大小，一般先利用对数函数的图象和性质比较每个式子和零的大小分成正负两个集合，再利用对数函数的图象和性质比较同类数的大小. 13．已知幂函数()()2242(1)mm f x m x m R -+=-∈，在()0,∞+上单调递增.设5log 4a =，15log 3b =，0.20.5c -=，则()f a ，f b ，()f c 的大小关系是（ ）A ．()()()f b f a c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】A【分析】根据幂函数的概念以及幂函数的单调性求出m ，在根据指数函数与对数函数的单调性得到b a c -<<，根据幂函数的单调性得到()()()f b f a f c -<<，再结合偶函数可得答案. 【详解】根据幂函数的定义可得2(1)1m -=，解得0m =或2m =， 当0m =时，2()f x x =，此时满足()f x 在()0,∞+上单调递增， 当2m =时，2()f x x -=，此时()f x 在()0,∞+上单调递减，不合题意. 所以2()f x x =.因为5log 4(0,1)a =∈，0.200.50.51c -=>=，155log 3log 3(0,1)b -=-=∈，且a b >-，所以b a c -<<，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()()f b f a f c -<<， 又因为2()f x x =为偶函数，所以()()f b f b -=， 所以()()()f b f a c <<. 故选：A【点睛】关键点点睛：掌握幂函数的概念和性质、指数函数与对数函数的单调性是解题关键. 14．设a ，R b ∈，且a b >，则（ ） A ．33a b > B ．22a b > C ．||||a b > D ．1>a b【答案】A【分析】对于选项A,B,C,利用函数的单调性分析得解，对于选项D 可以利用作差法判断. 【详解】由于函数3()f x x =在R 上为增函数，由a b >得33a b >，故选A . 由于函数2yx 在定义域内不单调，所以a b >不能得到22a b >，故选项B 错误；由于函数||y x =在定义域内不单调，所以a b >不能得到||||a b >，故选项C 错误； 1a a b b b--=符号不确定，所以选项D 错误. 故选：A。
比较函数值的大小
A (-3,m), B (-1,n),
x
三线四区的类比运用（两线三区）
例:如图，抛物线y1=ax2+bx+c和直线 y2=x+f ① 相交于A(3,m),B(-1,n) ② ③ y X<-1 X>3 -1<X<3 当x取何值时，y1= y2 A (3,m) 当x取何值时，y1< y2 B (-1,n) 当x取何值时， y1> y2
③
④
0<X<3 -2<X<0 X>3
A (-2,m),
O
B (3,n),
x
归纳：从左向右，一、三区相同；二、四区 相同,且二、四区与一、三区相反
三线四区的拓展运用
例:如图，双曲线y1=e/x和直线 y2=-x+f相交于 A(-3,m),B(-1,n) y 当x取何值时，y1= y2 ① ② ③ ④ X<-3 -1<X<0 当x取何值时，y1< y2 -3<X<-1 X>0 当x取何值时， y1> y2
y=-x+m上，试比较y1和y2的大小. 例2：点A（-3，y1）、B（-5，y2）均在双曲 线y=3/x上，试比较y1和y2的大小. 例3：点A（-3，y1）、B（-5，y2）均在抛物 线y=-x2+2x+3上，试比较y1和y2的大小.
பைடு நூலகம்
一、同一函数中比较函数值的大小
方法2：运用正负性比大小： 例:点A（-3，y1）、B（1，y2）均在双曲线 y=-3/x 上，试比较y1和y2的大小. 方法3：运用距离比大小： 例:点A(-3，y1)、B(2，y2)、C(6，y3)均在抛物线 y=-x2+2x+3上，试比较y1、y2和y3的大小.
函数值的大小比较
二次函数、反比例函数比较大小一、二次函数的大小比较方法：1、特殊值代入法：直接根据题目要求，分别代入具体的数值，再比较大小。
2、利用函数的增减性：当各点都在对称轴的一侧时，利用函数的增减性进行比较。
3、计算各点到对称轴的距离，结合抛物线的开口方向比较大小：（本法适用于各点在对称轴同侧和异侧的大小比较，尤其是异侧。
）（1）当抛物线开口向上时（即a>0时），离对称轴距离越远，函数值越大，反之越小。
当抛物线开口向上与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2 【推理：由x 2-(a b 2-)＞a b 2--x 1得x 2+x 1＞a b -得221x x +＞a b 2-；即x 2离对称轴距离较远；由x 2-(a b 2-)＜a b 2--x 1，得x 2+x 1＜a b -，得221x x +＜a b 2-，即x 1离对称轴距离较远.】 （2）当抛物线开口向下时（即a ＜0时），离对称轴距离越远，函数值越小，反之越大。
当抛物线开口向下与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2，推理同（1） 4、图象法：结合具体图象，利用y 轴“上大下小”的特点比较具体各点的函数值的大小。
（第一、二象限的函数值总是大于第三、四象限的函数值）5、移点法：利用抛物线的对称性将各点转化到对称轴的同一侧，再利用函数的增减性比较大小。
二、反比例函数的大小比较方法由于反比例函数图象为双曲线，所以比较大小时，首先应注意利用k 值弄清各点所处的象限。
1、 同一象限时，利用函数的增减性比较大小。
K ＞0时，y 随x 的增大而减小；K ＜0时，y 随x 的增大而减大；2、不同象限时，用图象法，利用y 轴“上大下小”的特点进行比较。
比较函数式大小的三种思路
一一一一一一一一一一一一一一一一一一λ+μ=k （定值），此时直线AB 及平行于AB 的直线为等和线，即可根据等和线的性质求得最值.五、利用极化恒等式极化恒等式：a ⋅b =14[(a +b )2-(a -b )2]是解答向量问题的重要工具.当遇到共起点的两向量的数量积最值问题时，可以考虑根据三角形法则和平行四边形法则，将两个向量的数量积的最值问题转化为两个向量的和、差的最值问题，利用极化恒等式求解.例6.如图6，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ，AD ∙ AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ∙DN 的最小值为．图6解：由 AD ∙ AB =-32，得(λ BC )∙ AB =λ| BC || AB |cos ∠B=λ×6×3æèöø-12=-32，解得λ=16．分别过D ，A 作BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，由极化恒等式得，DM ∙ DN =||DQ 2-||QM 2=|| DQ 2-æèöø122≥|| DE 2-æèöø122=|| AF 2-æèöø122=132．一般地，若在三角形ABC 中，M 为BD 的中点，由极化恒等式可得： AB ∙ AD =| AM |2-| BM |2；在平行四边形ABCD 中， AB ∙ AD =14(| AC |2-| BD |2)，这样就将向量的数量积问题转化为两条线段长度的平方差问题.解答本题，需先找到定点，再根据动点的变化情况求最值可见，求解平面向量最值问题的措施很多.解题的关键是要根据解题的需求，建立合适的平面直角坐标系和关系式，灵活运用函数的性质、等和线的性质、向量的几何意义、极化恒等式进行求解.（作者单位：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学）探索探索与与研研究究比较函数式的大小问题通常会综合考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质和图象.解答这类问题的常用方法有：特殊值法、放缩法、中间值法、基本不等式法等.在解题时，若能选用恰当的方法，就能达到事半功倍的效果.本文主要谈一谈下列三种比较函数式大小的思路.一、利用重要不等式在比较函数式的大小时，可根据已有的经验和不等式结论来进行比较，这样能有效地提升解题的效率.常用的重要不等式有：（1）基本不等式及其变形式：若ab >0,a 、b >0，则a +b ≥2ab 、21a +1b≤ab ≤a +b 2≤，当且仅当a =b 时等号成立；（2）切线不等式：e x +1、ln x ≤x -1；（3）柯西不等式：a ,b ,x ,y ∈R ，()a2+b 2()x 2+y 2≥(ax +by )2，(ax -by )2≥()a 2-b 2()x 2-y 2；等等.例1.设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln 0.9，请比较a ，b ，c的大小.解：由于b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109,令x =-0.1,由切线不等式：e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立，可得e -0.1>-0.1+1=0.9,则e 0.1<109,所以0.1e 0.1<0.1×109=19,即a <b ，令x =109,由切线不等式：e x≥x +1，得：ln 109<109-1=19,即c <b ，而e 0.1>0.1+1=1.1,则0.1e 0.1>0.1×1.1=0.11,由重要不等式：当x >1时，恒有ln x <12(x -1x )成立，可知-ln 0.9=ln 109<12(109-910)=19180<0.11，50探索探索与与研研究究即a >c ，综上所述，c <a <b .解答本题，要先将三个函数式进行化简，得b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109；然后利用重要不等式：e x ≥x +1、ln x ≤x -1、ln x <12(x -1x )()x >1分别判断出a 、b 、c 三者的大小关系.函数与不等式之间联系紧密，在比较较为复杂的函数式的大小时，往往要灵活运用函数的性质以及与函数相关的重要不等式结论来辅助解题.二、借助中间值中间值法是比较函数式大小的一种常用方法.有时我们很难直接判断出要比较的函数式的大小，此时可采用中间值法来解题.首先将函数式分别进行化简，以确定其大概的取值范围，并判断其正负；然后选取合适的中间值，如0、1、-1等特殊值，分别比较出函数式与中间值的大小；再根据不等式的传递性来判断出几个函数式之间的大小关系.例2.已知a =0.70.7，b =0.71.5,c =1.50.7，试比较a ，b ，c 的大小.解：由于0<b =0.71.5<0.70.7=a <0.70=1,c =1.50.7>1.50=1,所以b <a <c .先利用指数函数y =0.7x的单调性比较出a 、b 之间的大小，并确定其取值范围为（0，1）；然后根据指数函数y =1.5x的单调性比较出c 与1的大小，这样便以1为中间值，根据不等式的传递性来判断出a 、b 、c 的大小关系.例3.设a =log 50.5，b =log 20.3，c =log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是().A.b <a <cB.b <c <aC.c <b <aD.a >b >c解：a =log 50.5>log 50.2=-1，b =log 20.3<log 20.5=-1，c =log 0.32>log 0.3103=-1，log 0.32=lg 2lg 0.3，log 50.5=lg 0.5lg 5=lg 2-lg 5=lg 2lg 0.2.∵-1<lg 0.2<lg 0.3<0，∴lg 2lg 0.3<lg 2lg 0.2，即c <a ，∴b <c <a ，本题选B.观察a 、b 、c 三个函数式，可发现三个函数式均为对数式，且底数和真数均不相同，因此需采用中间值法求解.首先根据对数函数的运算性质、公式对三个函数式进行化简；然后取中间值1、-1，根据对数函数y =log 0.3x 和y =lg x 的单调性分别判断出a 、b 、c 、1、-1之间的大小关系，进而比较出a 、b 、c 的大小.三、放缩函数式放缩法是比较函数式大小的重要方法之一.利用放缩法比较函数式的大小，需先对函数式进行恒等变形；再借助不等式的基本性质、函数的单调性对函数式进行合理放缩，进而比较出函数式的大小.例4.已知9m =10,a =10m -11,b =8m -9，请判断a ，b 的大小关系.解：∵9m =10,∴m =log 910>log 99=1,而a =10m-11=9m×æèöø109m-11=10×æèöø109m-11>10×109-11=19>0，b =8m-9=9m×æèöø89m-9=10×æèöø89m-9<10×89-9=-19<0，∴a >0>b .先根据指数幂的运算性质将指数式、对数式进行互化；再利用指数函数的单调性确定参数m 的取值范围；然后利用指数函数的单调性进行放缩，即可比较出a 、b 的大小.例5.已知7m =10,a =11m -13,b =6m -7，试判断a ，b 的大小关系.解：∵7m =10,∴m =log 710>log 77=1,而a =11m-13=7m×æèöø117m-13=10×æèöø117m-13>10×117-13>0，b =6m-7=7m×æèöø67m-7=10×æèöø67m-7<10×67-7<0，∴a >0>b .三个函数式中均含有参数m 和指数式，于是先根据指数的运算性质对函数式进行化简；再根据参数m 的取值范围，利用指数函数的单调性进行放缩，最终确定两个函数式的正负，从而比较出a ，b 的大小.解答比较函数式的大小问题，需要仔细研究要比较的函数式，找出二者之间的区别和联系，灵活运用重要不等式、中间值、函数的性质和图象，来确定函数的大小和取值范围.（作者单位：安徽省砀山第二中学）51。
三角函数的大小比较
三角函数的大小比较
三角函数是数学中一类重要的函数，它们可以用来描述物理现象，也可以用来
解决复杂的数学问题。
三角函数有三个基本函数，即正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们之间的大小关系是：正弦函数的值最大，余弦函数的值次之，而正切函数的值最小。
正弦函数的值最大，是因为它的定义域是[-1,1]，而它的值域是[-1,1]，因此
它的值可以取到最大值1。
余弦函数的值次之，是因为它的定义域也是[-1,1]，但
它的值域是[-1,1]，因此它的值只能取到最大值0.5。
正切函数的值最小，是因为
它的定义域是[-∞,+∞]，而它的值域是[-∞,+∞]，因此它的值可以取到最小值0。
三角函数的大小比较，可以从它们的定义域和值域来看出。
正弦函数的定义域
和值域都是[-1,1]，因此它的值可以取到最大值1；余弦函数的定义域和值域也是[-1,1]，因此它的值只能取到最大值0.5；而正切函数的定义域和值域是[-
∞,+∞]，因此它的值可以取到最小值0。
三角函数的大小比较，不仅可以从它们的定义域和值域来看出，还可以从它们
的函数图像来看出。
正弦函数的函数图像是一条曲线，它的值可以取到最大值1；
余弦函数的函数图像也是一条曲线，它的值只能取到最大值0.5；而正切函数的函
数图像是一条直线，它的值可以取到最小值0。
总之，三角函数的大小比较，可以从它们的定义域和值域，以及它们的函数图
像来看出，正弦函数的值最大，余弦函数的值次之，而正切函数的值最小。
如何比较两个不同底数的对数函数式的大小
比较对数函数式的大小问题常以选择题或填空题的形式出现，侧重于考查同学们对对数函数的单调性、图象以及运算性质等知识的掌握情况.比较对数函数式的常用思路是利用对数函数的单调性.而对于不同底数的两个对数函数式，往往需通过作差、取中间值、指对数互化来比较其大小.一、取中间值中间值法是通过取一个中间数来比较两个对数函数大小的方法.当无法直接比较出两个对数函数的大小时，可先确定两个函数式的取值范围；然后引入一个合适的中间量，将这两个对数函数式分别与中间量相比较；再根据不等式的传递性得出结论.例1.已知a=log67，b=log43，c=log85，判断a,b,c的大小关系.解：因为log67>log66，log43<log44=1,log85<log88=1,所以a>b，且a>c.又因为log43=log22(3)2=log23，log85=log23(53)3=log253，由对数函数的单调性可知，log23>log253，即log43>log85，故a>b>c.观察三个对数式，可发现这三个对数函数的底数和真数各不相同，我们无法直接根据函数的图象和单调性得出结论.于是用取中间值的方法来比较三个函数式的大小，即先以1为中间值，比较a与b、a与c之间的大小；然后根据对数函数的单调性来比较b与c的大小.二、利用指数函数的性质比较不同底数的两个对数函数式时，可以通过指对数互化，将对数函数化为指数函数，利用指数函数的性质进行比较.例2.比较log1365与log1576的大小.解：设m=log1365，n=log1576，则æèöø13m=65，æèöø15n=76，因为65>76，所以æèöø13m>æèöø15n，则3m<5n.由于3m和5n都大于零，所以lg3m<lg5n，即m lg3<n lg5,则m<n·lg5lg3<n.故log1365<log1576.我们知道，对数函数与指数函数互为反函数，它们之间是可以相互转化的，于是令m=log1365和n=log1576，将函数式化为指数式æèöø13m=65和æèöø15n=76，利用指数函数的单调性比较出两式的大小，即可比较出两个对数函数式的大小.三、作差当要比较的两个对数函数式的真数相同，但底数不同时，可以通过作差来进行比较.先利用换底公式，将这两个对数函数换成相同底数的函数式；然后将两式相减，并根据对数函数的运算性质对其进行化简，最后将所得的结果与0比较，即可得出结论.例3.比较log56和log35的大小.解：因为log35=lg5lg3，log56=lg6lg5，所以log56-log35=lg6lg3-(lg5)2lg5lg3.又因为lg6lg3<æèçöø÷lg6+lg322=æèöø12lg182，æèöø12lg182<æèöø12lg252=(lg5)2.所以lg6lg3<(lg5)2，即lg6lg3-(lg5)2<0.因为lg5lg3>0，则log56-log35<0，即log56<log35.解答这道题，主要采用了作差法.首先要根据换底公式log a N=log c Nlog c a，将两个对数函数式化成底数为10的函数式；然后将两式相减，并根据对数函数的运算性质log a MN=log a M+log a N进行计算；最后通过放缩，比较出两式之差与0的关系，便能判断出两个函数式的大小关系.无论是运用中间值法、作差法，还是利用指数函数的性质比较不同底数的两个对数函数的大小，都需灵活运用对数函数的单调性、运算性质.这就要求同学们熟练掌握对数函数的单调性、运算性质，以顺利解题.（作者单位：江苏省大丰区南阳中学）思路探寻51Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
函数中的“大小比较”问题
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3、已知点A（-4, y1）、 （-3, y2）、 （1, y3） 、已知点 （ ）、B（ ）、C（ 是二次函数y=x2+4x-5的图象上的三个点，则y1,y2,y3的 的图象上的三个点， 是二次函数 的图象上的三个点 大小关系是（ 大小关系是（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 ． ． C．y3＜y1＜y2 ． D．y1＜y3＜y2 ． 4、一次函数ｙ1=ｘ－ 与反比例函数ｙ2=2/x的图 ｘ－1与反比例函数 、一次函数ｙ ｘ－ 与反比例函数ｙ 的图 像交于点A(2,1)，B(－1,－2)，则使ｙ1＞ｙ2的ｘ的取 像交于点 ， － － ，则使ｙ 值范围是（ 值范围是（ ） A．ｘ＞ ．ｘ＞2 B．ｘ＞ 或－1＜ｘ＜ ．ｘ＞2 ＜ｘ＜0 ．ｘ＞ ．ｘ＞ ＜ｘ＜ C．－ ＜ｘ＜ ．－1＜ｘ＜ D．ｘ＞ 或ｘ＜－ ．ｘ＞2 ｘ＜－1 ．－ ＜ｘ＜2 ．ｘ＞
y -1 -2
．
y=k2x x
y=k1x+b
【课内探究】 课内探究】
考点二：两个函数中的“大小比较”问题 考点二：两个函数中的“大小比较”
3、（2010年潍坊中考）已知函数y1 = x2与函数 1 y2 = - 2 x+3的图象大致如图，若y1 < y2，则自变量 的x的取值范围是（ ） 3 3 y A. - 〈x〈2 B. x 〉 2或x 〈2 2 C. 3 D. 3
y 2 y2 A y 1 1 x O 1 2
(A）0 1 2
(B) 0 1 2
(C) 0 1 2
(D) 0 1 2
【课内探究】 课内探究】
考点二：两个函数中的“大小比较”问题 考点二：两个函数中的“大小比较”
2、直线L1：y=k1x+b与直线 2：y=k2x在同一平面直 、直线 与直线L 与直线 在同一平面直 角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式k 角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式 1x+b＞k2x 的解为（ ) 的解为（ A. x＞-1 B. x＜-1 ＞ ＜ C. x＜-2 D. 无法确定 ＜
比较两函数大小的方法
比较两函数大小的方法
比较两个函数的大小有以下几种方法：
1.比较两个函数在同一自变量区间上的函数值大小。
对于给定的自变量x，分别计算两个函数f(x)和g(x)的值，并比较它们的大小。
2.比较两个函数的导数大小。
若对于自变量x在某个区间上，函数
f(x)的导数大于函数g(x)的导数，则认为函数f(x)在这个区间上大于函数g(x)。
3.比较两个函数的二阶导数大小。
若对于自变量x在某个区间上，函数f(x)的二阶导数大于函数g(x)的二阶导数，则认为函数f(x)在这个区间上大于函数g(x)。
4.比较两个函数的泰勒展开式的截断误差大小。
若对于自变量x在某个区间上，函数f(x)的泰勒展开式的截断误差小于函数g(x)的泰勒展开式的截断误差，则认为函数f(x)在这个区间上大于函数g(x)。
以上几种方法有其各自的特点和应用范围，要根据具体情况选择合适的方法进行比较。
函数值大小比较泰勒
函数值大小比较泰勒我们来了解一下泰勒级数的定义。
泰勒级数是一种将一个函数表示为无穷级数的方法，通过无穷项的相加，来逼近一个复杂函数在某个点的近似值。
泰勒级数的一般形式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)表示要近似的函数，a表示近似点，f'(a)表示函数在a点的导数，f''(a)表示函数在a点的二阶导数，以此类推。
泰勒级数的应用非常广泛。
在数学领域，泰勒级数可用于计算函数的导数和积分，求解微分方程，以及近似计算无法直接求解的函数值等。
在物理学中，泰勒级数可用于描述物理现象的变化规律，如牛顿运动定律、电磁场的分布等。
在工程领域，泰勒级数可用于设计控制系统、优化算法和信号处理等方面。
泰勒级数的重要性不言而喻。
通过泰勒级数，我们可以将复杂的函数近似为简单的多项式形式，从而简化计算过程。
在实际应用中，我们往往无法直接求解复杂函数的值，但通过泰勒级数的近似计算，可以得到足够精确的结果。
泰勒级数的应用不仅提高了计算的效率，也为解决实际问题提供了有效的数学工具。
在物理学中，泰勒级数的应用尤为重要。
物理学研究的对象往往是复杂的物理系统，如天体运动、电磁场分布等。
这些物理系统往往难以直接求解，但通过泰勒级数的近似计算，我们可以得到足够精确的结果。
例如，牛顿运动定律可以通过泰勒级数展开来描述物体的运动规律。
通过将物体的位置、速度和加速度表示为泰勒级数的形式，我们可以精确地计算物体在任意时刻的位置和速度。
在工程领域，泰勒级数的应用也十分广泛。
例如，在控制系统设计中，我们常常需要近似计算系统的输出响应。
通过将系统的传递函数表示为泰勒级数的形式，我们可以得到系统的高阶近似模型，从而设计出满足要求的控制器。
此外，在优化算法和信号处理中，泰勒级数也被广泛应用。
不同底对数函数对比大小的方法
不同底对数函数对比大小的方法不同底对数函数是数学中常见的一类函数，主要是以不同的底数作为对数运算的基础。
在比较不同底对数函数的大小时，我们可以通过以下方法进行分析和比较。
首先，我们可以考虑不同底数对数函数的图像。
不同底数对数函数的图像会展示出不同的特点，如曲线的陡峭程度、增长的速度等。
可以通过观察曲线的形状来初步判断函数的大小关系。
例如，对于两个底数不同的对数函数，如果在相同的自变量取值范围内，一个函数的图像比另一个函数的图像更为陡峭，那么我们可以初步推测前者的函数值会更大。
其次，我们可以通过计算不同底数对数函数的导数来进一步分析它们的大小关系。
对于底数为a的对数函数f(x)=logₐ(x)，它的导数可以表示为f'(x)=1/(xln(a))。
可以看出，底数较大的对数函数的导数会比底数较小的对数函数的导数更小，这意味着底数较大的对数函数的增长速度会相对较慢，即函数值会相对较小。
因此，当两个底数不同的对数函数在相同的自变量取值范围内的导数进行比较时，导数较小者对应的函数值通常会更大。
此外，我们还可以考虑对数函数的性质。
对数函数的性质包括对数运算的定义、对数函数的定义域和值域等。
根据对数运算的定义，底数不同的对数之间可以进行底数换底的运算。
我们可以将不同底数对数函数转化为相同底数的对数函数进行比较。
例如，可以将以底数为2的对数函数和以底数为10的对数函数转化为以自然对数e为底的对数函数进行比较。
通过底数换底的运算，我们可以把不同底数对数函数转变为相同底数对数函数，进而进行比较。
另外，对数函数的定义域和值域也可以提供一些线索。
对数函数的定义域为正实数集合，而值域为实数集合。
当两个不同底数对数函数的自变量取值范围相同时，我们可以比较它们的值域，即函数在定义域内所能取到的值。
根据定义域和值域的性质，底数较大的对数函数的值域通常会更小，即函数值更小。
最后，对于无法通过以上方法比较大小的情况，我们可以使用数值计算的方法。
【数学知识点】对数函数比较大小口诀
【数学知识点】对数函数比较大小口诀对数函数比较大小的口诀为：比较函数别着急，对数底数比一比，相同则看单调性，真同最好则换底。
俩都不同没关系，中间值来帮助你，1与0看好不好，肯定马上觉容易。
比较函数别着急，对数底数比一比，相同则看单调性，真同最好则换底。
俩都不同没关系，中间值来帮助你，1与0看好不好，肯定马上觉容易。
1、单调性方法，如果是底数一样可以用此方法，底数大于一，函数单增，指数越大，值越大，底数大于零小于一，函数单减，指数越小，值越大。
对于对数函数，也是如此。
对于指数函数，如果指数相同，底数不同，实质上应用的是幂函数的单调性。
对于对数函数，如果真数相同，底数不同，如果底数都大于一，那么，告诉你一个规律，对数函数的图像，在x轴以上底数小的在上面，底数大的在下面，在X轴以下相反。
这样，画出图像，竖着画一条平行于Y轴的线，就一目了然了。
其实，总结一下的话，就是真数相同，底数大于一，底数越小，对数值越大。
相反，底数小于一，在x轴以上底数小的在下面，底数大的在上面。
2、对于底数不同，但是真数相同的，可以很快的化同底。
举个例子，比如log2.5和log7.5，log2.5=1/log5.2,log7.5=1/log5.7，因为log5.7>log 5.2，所以1/log5.7<1/log5.2，即log7.5<log2.5。
3、找中间值法，一般是对于对数函数而言的，先看正负，若一正一负，自然好，比如lg2和lg0.5.若为同号，就和1比，如lg8(＜1）和lg12（＞1）4、有时可以先化简再比较，原则是化为同底数，什么样的对数可以化为同底？这里不要使用换底公式的话，一般是底数或真数同为某个数的幂次才行。
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㈠ 与幂函数αx y =有关的大小比较
⑴ 两个幂函数的指数相同(底数为负数时须先化为正数)，利用幂函数的单调性判定大小；
⑵ 两个幂函数的指数不同，能化为同指数的，利用幂函数的单调性判定大小，不能化为同指数的，利用中间数0来比较大小；
幂函数αx y =的性质：
⑴ 在),0(∞上，0>α时是增函数，0<α时是减函数：
⑵ 1>x 时，指数大的图象在上方，10<<x 时，指数大的图象在下方；
⑶ 0>α时，图象过（0，0），（1，1），0<α时，图象过（1，1）。
㈡ 与指数函数x a y =有关的大小比较
⑴ 两个指数函数的底数相同指数不同时，利用指数函数的单调性判定大小；
⑵ 两个指数函数的底数不同指数相同时，可根据图象与底数的关系进行比较；
⑶ 两个指数函数的底数和指数都不同时，可引进第3个数(如0，1)分别与之比较，通过常数传递比较大小。
指数函数的性质：
⑴ 1>a 时，x a y =是增函数，10<<a 时，x a y =为减函数；
⑵ 1>a 时，a 越大图象上升越快，10<<a 时，a 越小图象下降越快；
⑶ x a y =的图象过（0，1）点，R x y ∈∞∈),,0(。
㈢ 与对数函数x y a log =有关的大小比较
⑴ 两个对数函数的底数相同真数不同时，利用对数函数的单调性判定大小；
⑵ 两个指数函数的底数不同真数相同时，可按图象与底数的关系进行比较，或用换底变成同底函数进行比较； ⑶ 两个对数函数的底数和真数都不同时，可引进第3个数(如0，1)分别与之比较，通过常数传递比较大小。
⑷ 解与对数有关的不等式，通常借助对数函数的单调性，由外向里逐步化简，最终变形为整式不等等式求解。
对数函数的性质：
⑴ 1>a 时，x y a log =是增函数，10<<a 时，x y a log =为减函数；
⑵ 1>a 时，010,01<⇒<<>⇒>y x y x ，10<<a 时，010,01>⇒<<<⇒>y x y x ； ⑶ x y a log =的图象过（1，0）点，),0(,∞∈∈x R y 。
对数的性质：N a
a N a a a ===log ,1log ,01log ，零和负数没有对数。
对数运算公式：
⑴ N M MN a a a log log )(log +=
⑵ N M N
M a a a log log )(log -= ⑶ M n M a n a log log =
⑷ 换底公式：)1,0,1,0(,log log log ≠>≠>=c c a a a
N N a a a ⑸ a b b a log 1log =
⑹ )1,0,1,0(,log log ≠>≠>=b b a a b n m M a m a n。