中北大学精品课程-6_离散时间信号与系统的时域分析

6 线性时不变离散系统的时域分析
第6章 线性时不变离散系统的时域分析
6.1 离散时间信号——序列 6.2 序列的卷积和 6.3 线性移不变系统 6.4 离散时间系统的时域分析法 6.5 离散相关
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§6.1 离散时间信号 序列 离散时间信号—序列
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y(n)
3 5/2 3/2 1/2 3/2
-1
0
1
2
3
4ห้องสมุดไป่ตู้
5
n
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6.2.2 卷积和的性质
离散卷积具有和连续卷积类似的一些性质，也服 从交换律、分配律和结合律等。 （1）交换律 x1 (n) ∗ x2 (n) = x2 (n) ∗ x1 (n) （2）结合律
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（2）插值： x(n)
x(n/m), m为正整数。
例如， m=2， x(n/2)，相当于两个点 之间插一个点；以此 类推。通常，插值用
x(n) I倍表示，即插入（I-1）个值。 x(n/2)
2 1 1/2 -1 0 1 n 1/2 。 -2 -1 0 1
2
。 1 2
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在亚变量坐标m上作出x(m),h(m)
x(m) 3/2 1 1/2 m h(m)
1
0
1
2 3
0
1
2
m
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x(m)
1 1/2
3/2
x(m)
1 1/2 m
3/2
0 1 2 3 翻褶 h(-m)=h(0-m)
0 1 2 3 位移1 h(1-m)
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5. 累加 (n),则 (n)的 y(n)定义为 设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列 y(n)定义为
y(n) =
k =−∞
∑x(k)
n
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6.差分 6.差分 前向差分（先左移后相减）： 前向差分（先左移后相减）：
∆x(n) = x(n +1) − x(n)
m=−∞
∞
∞
卷积和计算分四步：折迭(反褶),位移,相乘, 卷积和计算分四步：折迭(反褶),位移,相乘,累 ),位移 加。
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例：
1 n ( ) , x(n) = 2 0, 1, h(n) = 0,
3
1≤ n ≤ 3 其 n 它 0≤n≤2 其 n 它
n 0 1 m
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2.单位阶跃序列 2.单位阶跃序列 u（n）
1, u(n) = 0,
n≥0 n<0
u(n)
...
-1 0 1 2 3 n
δ (n) = ∇u(n) = u(n) −u(n −1)
∞ m=0
u(n) = ∑δ (n − m) = δ (n) +δ (n −1) +δ (n − 2) +L
m
-2 -1 0 得y 对应相乘，逐个相加。 (0)
m
-1 0 1
m 得y(1)
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y(0) = 0 1 1 y(1 = ×1 = ) 2 2 1 3 y(2) = ×1+1×1 = 2 2 1 3 y(3) = ×1+1×1+ ×1 = 3 2 2 1 3 5 y(4) = ×0 +1×1+ ×1+ 0×1 = 2 2 2 3 3 y(5) = ×1 = 2 2
离散时间信号是指仅在不连续的离散时刻有确 定函数值，而在其它点上函数值未定义的信号， 定函数值，而在其它点上函数值未定义的信号，简 序列， 表示。 称离散信号，也称序列 x(n) 称离散信号，也称序列，常用 表示。 也常用图形描述，如图所示， 离散信号 x(n) 也常用图形描述，如图所示，用 有限长线段表示数值大小。 有限长线段表示数值大小。虽然横坐标画成一条连 n 续的直线， 才有定义， 续的直线，但仅对于整数值的 才有定义，而对于 x(n) 没有定义， 非整数值 n 没有定义，此时认为 为零是不正确 的。
n
根据上述性质可以推得以下结论：
f (n − n1 )*δ (n − n2 ) = f (n − n1 − n2 )
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δ ) 例 已知 x1(n) = δ (n) + 3 (n −1 + 2δ (n − 2) x2 (n) = u(n) − u(n − 3)试求信号 x(n)，它满足 x(n) = x1(n) ∗ x2 (n) 解：可利用上面讲述的性质求解。
x1 (n) ∗[x2 (n) + x3 (n)] = x1 (n) ∗ x2 (n) + x1 (n) ∗ x3 (n)
（3）分配律
x1 (n) ∗[x2 (n) ∗ x3 (n)] = [x1 (n) ∗ x2 (n)] ∗ x3 (n)]
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（4）δ (n) 是离散卷积的单位元
y(n) = T[x(n)]
式中T代表变换。一个离散时间系统可以是一个硬 件装置，也可以是一个数学表达式。总之，一个离散 时间系统的输入输出关系可用下图表示。本书所要研 究的是“线性移不变”的离散时间系统。
x ( n)
T [• ]
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6.1.1 常用序列
1.单位样值序列 1.单位样值序列 δ (n)
δ (n)
1
1, δ (n) = 0, 1 , δ (n − m) = 0,
n=0 n≠0 n=m n≠m
-2 -1
0 1 2
n
δ (n− m)
1
-2 -1
m=0 N−1
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4.正弦型序列 4.正弦型序列
x(n) = Acos(nω0 +φ)
其中， 为数字频率。 其中，ω0 为数字频率。
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5.实指数序列 5.实指数序列 a a为实数，当
n
u(n)
a < 1 收敛 a > 1 发散
实指数序列
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-2 -1 0
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25/8 Z(n) 9/4 3/2 3/2 .… … 1/4 -2 -1 0 1 2
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2n , n < −1 3 z(n) = x(n) + y(n) = , n = −1 2 1 1 n 2 ( 2) + n +1, n ≥ 0
1 1/ 2 1/4 -2 -1 0 1 1/8 ... 2
n
x(-n) 1 1/2 1/8 1/4 ... -2 -1 0
1
2
n
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3.序列的加减 3.序列的加减 两序列的加、减是指同序号(n)的序列值逐项对 两序列的加、减是指同序号(n)的序列值逐项对 (n) 应相加得一新序列。 应相加得一新序列。
x(n) = x1(n) ∗ x2 (n) = [δ (n) + 3δ (n − 1) + 2δ (n − 2)]∗[u(n) − u(n − 3)]
= [δ (n) + 3δ (n − 1) + 2δ (n − 2)]∗ R3 (n) = R3 (n) + 3R3 (n − 1) + 2R3 (n − 2)
后向差分（先右移后相减） 后向差分（先右移后相减） ：
∇x(n) = x(n) − x(n −1)
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7.尺度变换 （1） 抽取： x(n) x(mn), m为正整数。 例如， m=2， x(2n)，相当于两个点 取一点；以此类推。
x(n) 2 1 1/4 -2 -1 0 1 2 n 1/2 1/4 n -1 0 1 1 3 x(2n) 3
求：
y(n) = x(n) ∗h(n) = ∑x(m)h(n − m)
m=1
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解： 1. 翻褶 .以m=0为对称轴，折迭h(m) 得到h(-m)，对应序号相乘，相加 得 y(0)； 2. 位移一个单元，对应序号相乘， 相加 得 y(1)； 3. 重复步骤2，得y(2)， y(3)， y(4), y(5),如下所示。
n
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§6.2 序列的卷积和
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6.2.1卷积和的定义及计算 6.2.1卷积和的定义及计算
(n),h(n),它们的卷积和y(n)定义为 它们的卷积和y(n) 设序列x(n),h(n),它们的卷积和y(n)定义为
y(n) =
m=−∞
∑ x(m)h(n − m) = ∑h(m)x(n − m) = x(n) ∗h(n)
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4. 乘积 是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。 是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。 (n)的序列值逐项对应相乘
0, n < −1 1 z(n) = x(n) y(n) = , n = −1 2 1n 1 ( 2)(n +1)( 2) , n ≥ 0
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6.1.2 序列的基本运算
1.移位 1.移位 为正时， 当m为正时， x(n-m)表示依次右移m位； (n-m)表示依次右移 表示依次右移m x(n+m)表示依次左移m位。 (n+m)表示依次左移 表示依次左移m
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1 1 n ( ) , n ≥ −1 x(n) = 2 2 0, n < −1 1 1 n+1 ( ) , n +1 ≥ −1 x(n +1) = 2 2 0, n +1 < −1
= δ (n) + 4δ (n − 1) + 6δ (n − 2) + 5δ (n − 3) + 2δ (n − 4)
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§6.3 线性移不变系统
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输入和输出都是离散时间信号的系统叫做离散时间 系统。一个离散时间系统，可以抽象为一种变换，或是 一种映射，即把输入序列 x(n) 变换为输出序列 y(n)
6.复指数序列 6.复指数序列
x(n) = e =e
nσ nσ
(σ + jω0 )n jϕ
= x(n) e ⋅e
jωon
= e (cosω0n + j sin ω0n)
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周期序列 7. 周期序列 如果存在一个最小的正整数N,满足 如果存在一个最小的正整数N,满足x(n)=x(n+N), N, (n)为周期性序列,N为周期 为周期性序列,N为周期。 则序列x(n)为周期性序列,N为周期。
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例：
x(n) 1 1/2 1/4 -2 -1 0 y(n) 2 1 1/4 1/2 1 2 n 1 3 … 1/8 2 n
1 1 n ( ) , n ≥ −1 x(n) = 2 2 0, n < −1
2n , n < 0 y(n) = , n +1 n ≥ 0
-2
例：
x(n)
1 1/2 1/4 1/8 ... -1 0 1 2
n
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1 1 n ( ) , n ≥ −2 x 即 (n +1) = 4 2 0, n < −2
1 1/2
x(n+1)
1/4 1/8 -2 -1 0 1
n
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x(n) ∗δ (n) = x(n)
δ （5） (n − 1) 是单位延迟器
x(n) ∗δ (n − 1) = x(n − 1)
一般地有 x(n) ∗δ (n − k) = x(n − k) 其中k为任意整数。
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（6）u(n) 是数字积分器
k=−∞
∑x(k) = x(n)* u(n)
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3.矩形序列 3.矩形序列
RN (n)
1, RN (n) = 0,
0 ≤ n ≤ N −1 其 n 它
RN (n) = u(n) −u(n − N) RN (n) = ∑δ (n − m) = δ (n) +δ (n −1) +L+δ [n − (N −1)]
2.翻褶(折迭) 2.翻褶(折迭) 翻褶 (n),则 n)是以 是以n=0 如果有x(n),则x(-n)是以n=0 (n)加以翻褶的序列 加以翻褶的序列。 为对称轴将x(n)加以翻褶的序列。
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x(n) 例：
1 1 n ( ) , n ≥ −1 x(n) = 2 2 0, n < −1 1 1 −n ( ) , n ≤1 x(−n) = 2 2 0, n >1